STATISZTIKA II.5.előadás

A hipotézisvizsgálat alapfogalmai

Egymintás paraméteres próbák

Statisztikai következtetések

Becslések Hipotézisek

ellenőrzése

Becslés (theta) paraméter

Pontbecslés Intervallumbecslés

θ

Hipotézis a sokaság(ok) eloszlására, vagy az adott eloszlás(ok) egy vagy több paraméterére vonatkozó feltevés(ek)

Nullhipotézis (H0) Alternatív hipotézis (H1)

Statisztikai próba alapján a nullhipotézist teszteljük, a neki ellentmondóalternatív hipotézissel szemben.

Döntést mindig a nullhipotézisről hozunk.

Közvetve hozunk róla döntést

Hipotézisvizsgálat

A sokaságra vonatkozó különféle feltevések (hipotézisek) helyességének mintavételi eredményekre alapozott vizsgálata.�Eszközei: statisztikai próbák, tesztek�Feltételek:

a vizsgált sokaság eloszlásaa mintavétel módjaa minta nagysága

Példa: 500 grammos kávé töltősúlyát kívánjuk ellenőrizni

Egyoldali próbák

(baloldali illetve jobboldali próba)

Kétoldali próba

gH 500 :0

=µ

gH 500 :1

≠µ

gH 500 :0

≥µ

gHb 500 :

1<µ

gH 500 :0

≤µ

gHj 500 :

1>µ

Hipotézisek megfogalmazása(Pl. várható értékre)

Egyoldali próbák:� csak az egyik irányban állít korlátot (csak ilyen irányú eltérés lehetséges vagy fontos számunkra)

Kétoldali próba:

� két oldalról állít alsó és felsőkorlátot (a feltételtől való eltérés tényét vizsgáljuk, irányát nem)

00 : µµ = H

0 H µµ ≠:1

00 : µµ ≥H

01 : µµ <bH

00 : µµ ≤H

01 : µµ >jH

baloldali jobboldali

Nullhipotézis (H0)

� Egyszerű hipotézis:

� Összetett hipotézisek:

Technikai nullhipotézis:

00 : µµ ≥H

00 : µµ =H

00 : µµ ≤H

00 : µµ =TH

Az egyoldali alternatív hipotézisnek legkevésbé

ellentmondó egyszerű hipotézis.0H

Példa: kávé töltősúly

� Sokasági szórás 15 g� n=100 elemű FAE minta,� Hipotézisek:

� Ha helyes a H0

y ~

)5,110015,500( ggN =y ~

),( nN σµ

gH 500 :0

=µ

gH 500 :1

≠µ

gy 497=

A mintaátlagok eloszlása

500==Yµ 5,196,150094,502 ⋅+=06,4975,196,1500 =⋅−

y << 502,94 g497,06 g

%951 =− α

%5,22/ =α%5,22/ =α

Döntés: H0 hipotézis nem hihető

94,50206,497

%5,22/ =α%5,22/ =α

K KElfogadási tartomány

500=Y

gy 497=

A hipotézisvizsgálat lépései

1) A hipotézis megfogalmazása2) Próbafüggvény választás3) Szignifikanciaszint és kritikus tartomány4) Mintavétel és döntés

A próbafüggvény

• A próbafüggvény a véletlen minta elemeinek függvénye, értéke

mintáról-mintára változik.

• A próbafüggvény – a mintavétel előtt - valószínűségi változó, a

mintavétel után pedig az adott valószínűségi változónak egy

konkrét értéke, realizációja.

• Valószínűségi eloszlása bizonyos feltételek (a vizsgált

sokaság eloszlása, a mintavétel módja, a minta nagysága) és a

nullhipotézis helyességének a feltételezése mellett ismert.

Adott megbízhatósággal (valószínűséggel) megszerkeszthető,

hova várjuk a próbafüggvény értékét.

( )n

yyyT , ... , ,21

Próbafüggvény (példa)

25,1

3

10015

5004970 −=

−=

−=

−=

n

yz

σ

µ

Tetszőleges eloszlásból származó nagy minta, ismert sokasági szórás

Szignifikancia-szint és kritikus tartomány

A hipotézis helyességének ellenőrzése céljából a próbafüggvény lehetséges értékeinek teljes tartományát alkalmas osztópontok segítségével két egymást át nem fedőrészre bonjuk:

�Elfogadási tartomány (E)

�Visszautasítási – kritikus – tartomány (K)

: szignifikancia-szint

( )( ) α−=∈ 1 , ... , ,21

EyyyTPn

( )( ) α=∈KyyyTPn

, ... , ,21

α

Az E és a K tartomány lehetségeselhelyezkedésének esetei

zz <2αH0 hipotézist elfogadjuk, ha

1.

21 α−< z

o

oo

H

H

µµ

µµ

≠

=

:

:

1

ac fc

Szignifikancia-szint, elfogadási és kritikus tartomány (példa)

96,1−=a

c 96,1+=f

c

%951 =−α

975,0025,02

zzz −==α 975,012

zz =− α

%5=α

fc

2.

3.

H0 hipotézist elfogadjuk, ha

H0 hipotézist elfogadjuk, ha zz <α

α−< 1zz

00 : µµ = HT

01 : µµ >jH

00 : µµ = HT

01 : µµ <bH

ac

Az E és a K tartomány lehetségeselhelyezkedésének esetei

Mintavétel és döntés� A mintavétel végrehajtása, majd a próbafüggvény

számszerű értékének meghatározása a mintából.� Döntés:

� Ha a próbafüggvény értéke az E tarto-mányba esik, a tapasztalati adatok ααααszignifikancia szinten nem mondanak ellent a nullhipotézisnek. ( -t elfogadjuk)

� Ha a próbafüggvény értéke a K tarto-mányba esik, a nullhipotézist elvetjük és az alternatív hipotézist fogadjuk el.

0H

Döntés (példa)

A kivett 100 elemű minta alapján a próbafüggvény konkrét értéke -2.Mivel ez az érték kisebb, mint -1,96, azaz a próbafüggvény értéke a visszautasítási (K) tartományba esik, ezért 5%-os szignifikancia-szinten

H0-t elvetjük

H1-t elfogadjuk

p-érték (empirikus szignifikancia-szint)

0α≤p

0α>p

Az a legkisebb valószínűség, amely mellett a vizsgált H0hipotézist elutasíthatjuk a H1 hipotézissel szemben, azaz, ahol éppen az elfogadásból az elutasításba váltunk.

Döntés a p értéke alapján:

H0-t elvetjük

H0-t elfogadjuk

Példában:

Próbafüggvény értéke:

(kétoldali)

2−=z

gH 500 :1

≠µ

0456,0)9772,01(2

9772,02/1222/12/

=−=

=−=−=−

p

pzzpp

H0-t elvetjük

H0-t elfogadjuk

0%56,4 α≤

0%56,4 α>

%5=α

K Elfogadási tartomány

gy 497=

525,4975,165,1500 =⋅−

500 : 1

<µbH

H0 hipotézist elfogadjuk, ha zzz <−= −αα 1

500 : 0

=µTH

500 : 1

<µbH

ac

Példa: egyoldali (baloldali) tesztelés

%951 =− α2

5,1

3

10015

5004970 −=

−=

−=

−=

n

yz

σ

µ

Döntés: a technikai nullhipotézist elutasítjuk

%5=α

65,195,005,0

−=−== zzzα

500 : 0

≥µH

p-érték (egyoldali tesztelés):

� Próbafüggvény értéke 2−=z

150 : 1 <µbH (egyoldali)

0228,09772,01

9772,01221

=−=

=−=−=−

p

pzzpp

0%28,2 α≤

0%28,2 α>

H0-t elvetjük

H0-t elfogadjuk

A -ról való döntés során elkövethető hibák

�Elsőfajú hiba:

elvetjük -t, pedig az a valóságban igaz ( -t tévesen vetjük el)

�Másodfajú hiba:

nem vetjük el (elfogadjuk) -t, pedig az a valóságban nem igaz. ( -t tévesen nem vetjük el/elfogadjuk)

0H

0H

0H

0H

0H

Döntési tábla

a valóságban

hipotézist

elfogadjuk elvetjük

igazHelyes döntés Elsőfajú hiba

hamisMásodfajú hiba Helyes döntés

0H 0

H

)1( α−

)1( β−)(β

)(α

A másodfajú hiba

H0 H1 H2

β1

β2

Rossz nullhipotézis alapjánszerkesztett próbafüggvény

Igazságnak megfelelő eloszlás

Mitől függ a másodfajú hiba elkövetésének esélye?

� Mekkora az értéke� Milyen messze van az igaz

nullhipotézis� Mekkora a mintaelemszám (első és

másodfajú hiba valószínűségeegyszerre csak a mintaelemszámnövelésével csökkenthető)

α

PRÓBÁK� Egymintás paraméteres próbák:

- Várható értékre- Sokasági arányra (nagymintás)- Varianciára

� Nagymintás nemparaméteres próbák:

- Illeszkedésvizsgálat- Függetlenségvizsgálat- Két eloszlás egyezőségének vizsgálata

� Két független mintás paraméteres próbák

-Várható értékre-Sokasági arányra-Varianciákra

� Több független mintás paraméteres próbák

-Több sokaság várható értékének összehasonlítása

Várható értékre vonatkozóegymintás paraméteres próbák

1. Z-próba

Alkalmazási feltételei:- normális eloszlás- ismert szórás

Próbafüggvény:

Minta nagyságára való tekintet nélküleloszlást követ.

)1,0(N

n

yz

σ

µ 0−=

00 : µµ = H

Várható értékre vonatkozóegymintás paraméteres próbák

2. t-próbaAlkalmazási feltételei:

- normális eloszlás- a sokasági szórás nem ismert

Próbafüggvény:

A próbafüggvény szabadságfokút-eloszlást követ.

1−n

n

s

yt 0µ−

=

00 : µµ = H

Várható értékre vonatkozóegymintás paraméteres próbák

3. Aszimptotikus Z-próba

Alkalmazási feltételei:- véges szórású tetszőleges eloszlásból

származó nagy minta

Próbafüggvény:

A próbafüggvény aszimptotikusan standardnormális eloszlású.

n

s

yz

0µµµµ−=

00 : µµ = H

Sokasági arányra irányulónagymintás próba

Alkalmazási feltétel: - n elemű FAE minta

Próbafüggvény:

00 : PPHT =

n

PP

Ppz

)1( 00

0

−

−=

A próbafüggvény aszimptotikusan standard normális eloszlású.

Példa: selejtes termékek aránya

� n = 500 elemű FAE minta,� k = 20 (selejtes termékek száma)� Állítható-e 5%-os szignifikancia-szinte, hogy a

selejtes termékek aránya a sokaságban 5% alatt van?

� Hipotézisek:

05,0 :0

≥PH

05,0 :0

=PHT

05,0 : 1

<PHb

%5=α

K Elfogadási tartomány

%4=p

%39,3975,065,15 =⋅−

05,0 : 1

<PHb

H0 hipotézist elfogadjuk, ha z<− 65,1

05,0 : 0

=PHT

05,0 : 1

<PHb

ac

Példa: egyoldali (baloldali) tesztelés

Döntés: a technikai nullhipotézist elfogadjuk, az alternatív hipotézist elvetjük 5%-os szignifikancia-szinten

05,0 : 0

≥PH

03,100975,0

01,0

500

95,005,0

05,004,0

)1(00

0 −=−

=⋅

−=

−

−=

n

PP

Ppz

p-érték (egyoldali tesztelés):

� Próbafüggvény értéke z = -1,03

05,0 : 1

<PH b(egyoldali)

1515,08485,01

8485,0103,103,11

=−=

=−=−=−

p

pzzpp

0%15,15 α≤

0%15,15 α>

H0-t elvetjük

H0-t elfogadjuk

Szórásnégyzetre irányulópróbák

Alkalmazási feltétel: normális eloszlás

Próbafüggvény:

n-1 szabadságfokú -eloszlásKritikus értékek:

2χ

20

22 )1(

σχ

sn −=

)()(:

)(:

)(:

22/1

22/

20

21

220

21

21

20

21

νχνχσσ

νχσσ

νχσσ

αα

α

α

−

−

==≠

=<

=>

fa

ab

fj

césc H

c H

c H

: 2

0

2

0 σσ =TH