5.chapitre ii- dimensionnement capacitaire des poteaux ba
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Chapitre II ………………………………………………………………Dimensionnement capacitaire des poteaux en Béton Armé
Elabore par ELDJOUZI Brahim et TALEB Rafik
Chapitre II
Dimensionnement capacitaire des poteaux en Béton Armé
II.1. Introduction
Dans le plan cartésien (N, M), le domaine de sécurité d’une section donnée
en béton armé, soumise à des sollicitations de calcul, (flexion composée),
est défini par une courbe fermée appelée diagramme d’interaction, décrite
par le point de coordonnées et .
Le point représentatif (Nu, Mu) de la sollicitation agissante de calcul doit se
trouver à l’intérieur ou sur la frontière de ce domaine.
On peut aussi déterminer la section d’acier nécessaire à cette section pour
résister à des sollicitations imposées, a l’aide de la même courbe
d’interaction.
Hypothèses fondamentales
Ces hypothèses sont :
a) Les sections droites restent droites après déformation (hypothèse de
Bernoulli).
b) La résistance du béton tendu est négligée.
c) Du fait de l’adhérence, toute armature subit la même déformation
linéaire que la gaine de béton qui l’entoure (supposée non
fissurée si l’armature considérée est tendue).
d) Le raccourcissement relatif de la fibre de béton la plus comprimée est
limité à 3,5‰ en flexion simple ou composée (tant que la section n’est
pas entièrement comprimée), et 2,0‰ en compression simple.
e) L’allongement relatif des armatures les plus tendues, supposées
concentrées en leur centre de gravité, est limité à 10 ‰. (Fig. II.1
et II.2).
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Compte tenu du caractère différent des deux ELU (fragile – non fragile) des
deux matériaux acier et béton, la ruine d’une section fléchie est toujours, en
fait, atteinte par l’écrasement du béton.
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: Résistance caractéristique a la compression du béton âgé de j jour. : Contrainte de compression du béton : Raccourcissement relatif du béton comprimé
Es : Le module de déformation longitudinale de l’acier. : Contrainte élastique de l’acier. : Contrainte de traction, de compression dans l’acier.: Raccourcissement relatif du béton comprimé
b = 1,5 : pour les combinaisons fondamentales et 1,15 pour les
combinaisons accidentelles.
s = 1,15 : pour les combinaisons fondamentales et 1,0 pour les
combinaisons accidentelles.
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d
y 0.8y
AN
10‰.
s
es
ff
ε sε se
f s
Figure II.2. Diagramme contraintes déformation de l’acier
avec : Es = 2,0.105 MPa
Figure II.1. Diagramme parabole-rectangle du béton
3,5‰.
f bc
ε sε bc2,0‰.
f bc
ε bc f bc
Diagramme parabole-rectangle
Diagramme rectangle simplifié
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II.2. Présentation de la méthode de calcul
Nous traitons le cas des sections rectangulaires, le cas le plus répandu. On
considère un poteau de section rectangulaire b x h comportant deux
armatures de section A et A’ disposées symétriquement sur les deux faces.
(Fig. II.3.).
Si on suppose que la contrainte de compression est de signe positif, la
contrainte dans les aciers est donc, de signe positif si on est dans la
compression et de signe négative si on est dans la traction.
La valeur de l'effort normal ultime limite Nu,lim de résistance la section
vaut :
Le moment de flexion ultime limite de la section par rapport au centre de gravité de la section du béton seul :
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Diagramme des contraintes
Section du poteau Diagramme des déformations
Figure II.3- Section rectangulaire à deux nappes d’armatures
s
00350,c
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Avec : Nc effort de compression limite du béton seul.
Ns Effort de compression dans les aciers comprimés.
Ts Effort de traction dans les armatures tendues, Ts peut être un
effort de compression dans le cas où y > d et Ts = 0 dans le où y = d
(Fig. II.4).
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Effort de compression limite du béton seul :
L’effort normal réduit est :
Cette expression décrit la capacité de la section sous effort axial en fonction
de la variable
Et :
Le moment réduit est :
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y < h/2 y = h/2 y > h/2
y > dy = d
Figure II.4. Différentes possibilités de la position de l’axe neutre dans une section
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Avec la présence des armatures tendues As, la traction dans le béton tendu est négligée on a :
En effet, la quantité : est le pourcentage géométrique des
armatures As dans la section de l’élément.
Le moment réduit des armatures As est :
Le changement de l'effort normal axial limite et le moment ultime limite
dépendent de la contrainte et la déformation dans l'acier (Fig. II.4).
Par les triangles semblable on déduit la valeur de et :
Par conséquent le changement dans la capacité est dépendant du
paramètre .
La présence d'armature comprimée change également la capacité de
charge axiale de la section de l’élément :
est le pourcentage géométrique des armatures As’ dans la section
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s
sFigure II.4.
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du l’élément
De même pour le moment ultime :
Ainsi la capacité axiale globale,
II.3. Étapes de traçage de la courbe d’interaction
Étape 01 :
Calculer : c'est paramètres sont des constantes une fois que
l'aire d'armatures est les dimensions de la section du poteau sont définies.
Étape 02 :
Choisir la valeur de
Étape 03 :
On utilise la première valeur choisit de pour le calcul des déformations
des armatures (As et As’) par les formules précédentes :
On déduit par la suite les valeurs de (avec leur signes positifs ou négatifs)
si si
Étape 04 :
On remplace les valeurs de dans la formule de :
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Et :
Étape 05 :
Répéter les étapes 2 a 4 pour définir une série de points et les joindre pour
obtenir une courbe continue.
Pour n’importe qu’elle combinaison de b et h on peut tracer une succession
de courbes d’interactions en fonction de la variable avec des
pourcentages des armatures et ’ variable pour chaque courbe (Fig.II.5)
On fixe : d/h = 0,9 et d’/h = 0,1
Données :
si Es = 2,0.105 MPa
si pour des aciers Fe E 400
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Figure II.5 - Utilisation de la courbe d’interaction pour la vérification de la section
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II.3.1. Application Excel pour le calcul des courbes d’interaction
Nous avons programmé la méthode précédente pour tracer la courbe
d’interaction d’une section en béton armé de forme rectangulaire.
L’exemple ci-dessous montre une application numérique pour une section
30x30 cm2 en béton armé et un ferraillage en 2x3T14. Les résultats des
cordonnées Nu et Mu sont regroupés dans le tableau ci-dessous, pour le
tracé de la courbe d’interaction (Fig. II.6).
Tableau de donnéesh = 300 mm As = 462 mm²b = 300 mm A's = 462 mm²d = 270 mm As/bh = 0,5%d' = 30 mm A's/bh = 0,5%
d/h = 0,9 14,17 MPad'/h = 0,1bh = 90000 mm²
bh² = 2,7E+07 mm3
Tableau des résultats
y/h εs εs' fs (Mpa) fs' (Mpa) υ μ N (kN) M (kN.m)
1,3 1,08 3,23 215 348 1,244 -0,002 1 586,60 -0,611,25 0,98 3,22 196 348 1,197 0,022 1 526,63 8,431,2 0,88 3,21 175 348 1,149 0,044 1 465,91 16,941,15 0,76 3,20 152 348 1,101 0,065 1 404,36 24,941,1 0,64 3,18 127 348 1,052 0,085 1 341,84 32,441,05 0,50 3,17 100 348 1,002 0,103 1 278,23 39,46
1 0,35 3,15 70 348 0,951 0,120 1 213,36 46,020,95 0,18 3,13 37 348 0,899 0,136 1 147,03 52,140,9 0,00 3,11 0 348 0,846 0,151 1 078,99 57,860,85 -0,21 3,09 -41 348 0,791 0,165 1 008,96 63,200,8 -0,44 3,06 -88 348 0,734 0,178 936,54 68,220,75 -0,70 3,03 -140 348 0,675 0,191 861,28 72,970,7 -1,00 3,00 -200 348 0,614 0,203 782,54 77,520,65 -1,35 2,96 -269 348 0,549 0,214 699,55 81,970,6 -1,75 2,92 -348 348 0,480 0,226 612,14 86,330,55 -2,23 2,86 -348 348 0,440 0,224 561,13 85,720,5 -2,80 2,80 -348 348 0,400 0,221 510,12 84,500,45 -3,50 2,72 -348 348 0,360 0,216 459,11 82,660,4 -4,38 2,63 -348 348 0,320 0,210 408,10 80,210,35 -5,50 2,50 -348 348 0,280 0,202 357,08 77,150,3 -7,00 2,33 -348 348 0,240 0,192 306,07 73,480,25 -9,10 2,10 -348 348 0,200 0,181 255,06 69,190,2 -12,25 1,75 -348 348 0,160 0,168 204,05 64,300,15 -17,50 1,17 -348 233 0,078 0,137 100,06 52,430,1 -28,00 0,00 -348 0 -0,046 0,087 -58,75 33,37
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On remarque que pour cette section rectangulaire de dimensions b x h et
comportant deux armatures de section A = A’ disposées symétriquement
sur les deux faces section, on peut facilement déduire le moment résistant
Mr en fonction de l’effort de compression N appliqué issu de l’analyse et
situé dans l’intervalle délimiter par la courbe.
On peut aussi déduire la position de l’axe neutre si on connaît les deux
sollicitations M et N par la suite.
Exemple : pour N = 459,11 kN on lit Mr = 82,66 kN.m
La position de l’axe neutre par rapport à la fibre du béton le plus comprimé
dans ce cas là est
y = 0.45h = 13.5 cm.
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Figure II.6 – Courbe d’interaction de la section étudiée
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II.4. Calcul des moments résistant d’une section en flexion simple
Le moment résistant d’une section est le moment maximum que peut
supporter cette section.
Les équations d’équilibre deviennent (fig. II.7) :
On utilise la relation géométrique :
Les déformations des armatures valent :
En pratique pour simplifier les calculs on utilise la formule simplifiée
suivante :
avec =0,8 à 0,85
si
si
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Figure II.7.
s
b
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En présence des armatures comprimé A’s, les équations d’équilibre
deviennent :
si si
II.5. États Limites de flexion oblique (Moments bi-axial) et effort
normal
Une pièce est sollicitée en flexion oblique lorsqu’elle est non symétrique ou
lorsqu’elle n’est pas chargée dans son plan de symétrie (fig. II.7).
30Figure II.7.- Section rectangulaire soumis à une flexion oblique
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En pratique, les sections non symétriques se présentent relativement
rarement. Les sections symétriques soumises à (Mx, My, N) sont par contre
assez courants (poteaux d’angle d’un bâtiment, piles d’un pont sous l’action
des charges principales et le séisme).
La difficulté principale du calcul a la flexion oblique réside dans le fait
qu’aussi bien la direction que la position de l’axe neutre sont inconnues a
priori. D’autre part, la forme de la zone comprimée rend l’expression de la
force de compression Fc compliquée (déjà pour la section rectangulaire, on
est conduit à une équation du 5éme degré).
Il est donc préférable de résoudre le problème par itération au moyen
d’ordinateur.
Cheminement du calcul des contraintes :
1. Admettre une position et une direction de l’axe neutre, et imposer
donc un état de déformation .
2. Calculer la position et la grandeur correspondantes de Fs, Fc et
éventuellement Fs’ .
3. Vérifier que le système des forces intérieurs Fs, Fc et Fs’ est
équivalent à l’effort donné. Si ce n’est pas le cas, refaire une nouvelle
itération.
Il existe plusieurs méthodes numériques qui permettent la construction des
courbes d’interaction des sections en béton armé de forme quelconque, et
de ce fait, plusieurs logiciels sont disponible pour l’analyse des sections
béton armé.
Le logiciel CSICOL est un programme complet pour l’analyser des sections
de forme quelconque. C’est un logiciel simple, organisé et efficace. La
conception peut être effectuée selon les codes parasismiques américains.
Mais en fait, si on calcul par rapport au code ACI-318 (American Concrete
Institute), l’effort Nu et le moment Mu sont multipliés par un coefficient
réducteur Ф=0.80, dû aux incertitudes concernant la distribution réelle des
efforts et moments dans la section, et donc plus de sécurité dans l’analyse.
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II.5.1. Exemple : diagramme d’interaction d’une section béton en forme de L
Données du problème :
Poteau en béton seul en forme de L (Fig. II.8)
Béton : (Situation permanentes)
(Situation accidentelle)
Acier: (Situation permanent)
(Situation accidentelle)
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Figure. II.8 – Poteau en forme de L
Figure. II.9 – Courbe d’interaction de la section en forme de L sans armatures