チューリング・マシンとコンピュータ工学

チューリング・マシンとコンピュータ工学

コンピュータ工学講義担当者：辻　順平

2015/10/26 (月)

2

参考文献

•  チャールズ・ベゾルド著「チューリングを読む　コンピュー

タサイエンスの金字塔を楽しもう」日経BP社

•  坂井久司著「チューリングマシン　説明できますか？」カッ

トシステム

本日のトピック •  チューリング・マシンとは

•  チューリング・マシンを使った計算

•  万能チューリング・マシン

•  ランダム・アクセス・マシン

3

ノイマン型コンピュータ

ランダムアクセスマシン（RAM）

万能チューリング・マシン 4

抽象化具体化

数学的に等価

チューリング・マシン

5

アラン・チューリングが「計算」によってできることを数学的に定義した＝＞コンピュータのモデル

6

アラン・チューリング（1912 ‒ 1954）

•  チューリング・マシンによる決定問題の解決

•  チャーチ＝チューリングのテーゼ

•  人工知能のチューリング・テスト

　（イミテーション・ゲーム）

•  チューリング・ボンベを用いたエニグマ解読

•  チューリング・パターンの発見

主な業績

ヒルベルトの第１０問題ディオファントス方程式が整数解を持つか否かを

決定できるアルゴリズムを考案せよ

7

ディオファントス方程式：整数係数の多変数代数方程式のこと

x

2 - 5x+ 4 = 0

x

n + y

n = z

n など

アルゴリズム •  有限ステップで終了する

•  明確に指定された有限個の機械的操作手順

8

9

x

2 - 5x+ 4 = 0

() 1x

2 + (-5)x+ 4 = 0

係数の組： (1,-5, 4)

10

(a, b, c) (1,-5, 4)

x =-b±

pb

2 - 4ac

2a

この数が“整数”であることを判定

変数への代入

割り算

掛け算

平方根加減算

11

x

n + y

n = z

n (n � 3)

整数解は存在するか？問題提起：フェルマー（1665年ごろ）

解決：ワイルズ（1995年）

機械的な操作手順とは？

12

•  代入操作？ •  四則演算？ •  べき乗根？ •  大小比較？

チューリングのアイデア •  一般的な「機械的な計算手順」を実行可能な仮想的な概念機械を考えよう

•  それは「チューリング・マシン」である

13

チューリング・マシンの定義

14

15

010001110111 111111111111 入力出力

状態遷移ルール（機械的操作手順）

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

コンピュータのブラックボックスモデル

16

出力（ex. ディスプレイ）

コンピュータ（内部状態が変化する）

入力（ex. キーボード）

比較

17

テープ（無限に長い）

セル

ヘッド

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

内部状態と遷移ルール

q0

18

Q :

⌃ :

� :

� : Q⇥ � ! Q⇥ � ⇥ {L, R}

M の内部状態の集合

入力アルファベット（入力（空白を含まない）の文字の集合）

テープアルファベット（空白文字を含むテープに書かれる文字の集合）


M = (Q, ⌃, �, �, q0)

状態遷移ルール

� : Q⇥ � ! Q⇥ � ⇥ {L,N, R}

計算例 19

20

例１： 0101010101010101… を出力する (turing1)

Q = {q0, q1, q2, q3} � = {0, 1, BLANK, NONE}

内部状態：テープアルファベット：

状態遷移ルール：

(q0, BLANK) 7! (q1, 0, R)(q1, BLANK) 7! (q2, NONE, R)(q2, BLANK) 7! (q3, 1, R)(q3, BLANK) 7! (q0, NONE, R)

21

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

Q = {q0, q1, q2, q3} � = {0, 1, BLANK, NONE}


例１： 0101010101010101… を出力する (turing1)

22

現在のセルは “空欄”

現在の状態は q0 0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

23

# 状態が q0 でテープが “空欄 (BLANK)” であれば，状態を q1 に変更，”0” を書き込み，右 (R) に移動

現在のセルは “空欄”

現在の状態は q0


0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

24

状態が q1 に変わる

テープが “0” に書きかわるヘッド位置が右 (R) に移動


0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK


25

# 状態が q1 でテープが “空欄 (BLANK)” であれば，状態を q2 に変更，右 (R) に移動

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

(q0, BLANK) 7! (q1, 0, R)(q1, BLANK) 7! (q2, NONE, R)(q2, BLANK) 7! (q3, 1, R)(q3, BLANK) 7! (q0, NONE, R)現在のセルは “空欄”

現在の状態は q1

26


テープはそのまま


ヘッド位置が右 (R) に移動


0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

27




NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

28


テープはそのまま


ヘッド位置が右 (R) に移動


0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

29




NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

30



0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK


テープはそのままヘッド位置が右 (R) に移動

31

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANK BLANK

BLANK BLANK

以下，繰り返し

32

0 1 0 1 0 1 0 …

出力： 01010101010101010101010101…

デモンストレーション

http://tsujimotter.info/works/turing/

33

turing1 を実行

34

状態遷移ルール： (q0, BLANK) 7! (q1, 0, R)(q1, BLANK) 7! (q2, NONE, R)(q2, BLANK) 7! (q3, 1, R)(q3, BLANK) 7! (q0, NONE, R)

q_0, BLANK, q_1, 0, R q_1, BLANK, q_2, NONE, R

q_2, BLANK, q_3, 1, R q_3, BLANK, q_0, NONE, R

35

q_0: 初期状態 q_acc: 受理状態 q_rej: 拒否状態 BLANK: 空白 ANY: BLANK 以外 NONE: 何も書き込まない R: ヘッドを右へ 1 セル移動 L: ヘッドを右へ 1 セル移動 N: ヘッドを移動させない

講義内のルール

36

例２： 010110111011110… を出力する (turing2) 内部状態：

テープアルファベット：

状態遷移ルール（その１）：

� = {0, 1, e, x, BLANK, NONE}

Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, o1, o2, o3, o4, a0, a1, p0, p1, k0, k1, k2}

(q0, BLANK) 7! (q1, e, R)(q1, BLANK) 7! (q2, e, R)(q2, BLANK) 7! (q3, 0, R)(q3, BLANK) 7! (q4, NONE, R)(q4, BLANK) 7! (q5, 0, L)(q5, BLANK) 7! (o0, NONE, L)

37

例２： 010110111011110… を出力する

状態遷移ルール（その２）：

(o0, 1) 7! (o1, NONE, R)(o1, ANY) 7! (o2, x, L)

(o1, BLANK) 7! (o2, x, L)(o2, ANY) 7! (o3, NONE, L)

(o2, BLANK) 7! (o3, NONE, L)(o3, BLANK) 7! (o0, NONE, L)

(o0, 0) 7! (o0, NONE, N)

38

例２： 010110111011110… を出力する

状態遷移ルール（その３）：

(p0, x) 7! (a0, BLANK, R)(p0, e) 7! (k0, NONE, R)

(p0, BLANK) 7! (p1, NONE, L)(p1, ANY) 7! (p0, NONE, L)

(p1, BLANK) 7! (p0, NONE, L)

(a0, 0) 7! (a1, NONE, R)(a0, 1) 7! (a1, NONE, R)

(a1, ANY) 7! (a0, NONE, R)(o1, BLANK) 7! (a0, NONE, R)(a0, BLANK) 7! (p0, 1, L)

状態遷移ルール（その４）：

39

例２： 010110111011110… を出力する

状態遷移ルール（その５）： (k0, ANY) 7! (k1, NONE, R)(k1, ANY) 7! (k0, NONE, R)

(k1, BLANK) 7! (k0, NONE, R)(k0, BLANK) 7! (k2, NONE, L)(k2, ANY) 7! (o0, NONE, L)

(k2, BLANK) 7! (o0, NONE, L)

40

q0 q1 q2 q3 q4

o1o0

o2

p0

p1

q5

o3

k0 k2

BLANKe, R

BLANKe, R

BLANK0, R

BLANKNONE, R

BLANKNONE, L

BLANK0, L

1NONE, R

BLANK

x, L

ANY,BLANKNONE, L

BLANKNONE, L

ANYNONE, L

0NONE,N

0, 1NONE, R

ANY,BLANKNONE, R

BLANK1, L

x

BLANK, R

eNONE, R

BLANKNONE, L

ANY,BLANKNONE, L

ANYNONE, R

ANY,BLANKNONE, R

BLANK0, L

ANY,BLANKNONE, L

a0

a1

k1

参考：小数の二進法表現

42

= ( 0 . 0 1 0 1 0 1 0 …)2

0 1 0 1 0 1 0 …

1

3= 0⇥ 1

21+ 1⇥ 1

22+ 0⇥ 1

23+ 1⇥ 1

24+ 0⇥ 1

25+ 1⇥ 1

26+ 0⇥ 1

27+ · · ·

= 0⇥ 1

21+ 1⇥ 1

22+ 0⇥ 1

23+ 1⇥ 1

24+ 0⇥ 1

25+ 1⇥ 1

26+ 0⇥ 1

27+ · · ·

参考：小数の二進法表現

43

(0.b1b2b3b4b5 · · · )2

= b1 ⇥1

21+ b2 ⇥

1

22+ b3 ⇥

1

23+ b4 ⇥

1

24+ b5 ⇥

1

25· · ·

=1X

n=1

bn ⇥ 1

2n

命題「n は素数である ( isPrime(n) )」を表現する

44

01101010001010001… 2 3 5 7 11 13 17

素数のときに “1”が表示される

例題 •  “0.01000000…” を出力するチューリング・マシン

•  “0.001001001…” ( 3 回に 1 回 “1”) を出力する


•  その他，自由に考えてみましょう

45

チューリング・マシンの拡張

46

47

010001110111 accept/reject 入力出力

状態遷移ルール（機械的操作手順）

0, R NONE, R

NONE, R 1, R

q0

q1

q2

q3

BLANKBLANK

BLANK BLANK

qacc

ANYNONE,N

“受理状態 (qacc)” または “拒否状態 (qrej)” に到達するとマシンは停止する（ルール外の遷移はすべて　拒否状態への遷移動作とみなす）

48

Q :

⌃ :

� :

� : Q⇥ � ! Q⇥ � ⇥ {L, R}

M の内部状態の集合

入力アルファベット（入力（空白を含まない）の文字の集合）

テープアルファベット（空白文字を含むテープに書かれる文字の集合）

状態遷移ルール

� : Q⇥ � ! Q⇥ � ⇥ {L,N, R}

M = (Q, �, �, �, q0, qacc, qrej)

受理状態拒否状態（判定付き）チューリング・マシン ⌃ :

49

q0

例３：入力文字列に 0 が少なくとも 1 つ存在する (turing3)

qacc

0NONE,N

1NONE, R

内部状態：


Q = {q0, qacc, qrej}

� = {0, 1, BLANK}

入力アルファベット： ⌃ = {0, 1}

50

内部状態：


例４：入力文字列の「 3 の倍数」番目の文字がすべて “1” である

� = {0, 1, BLANK}

入力アルファベット： ⌃ = {0, 1}

q0

0NONE,N

qacc

qrej

q1

q2

BLANKNONE,N1

NONE, R

ANYNONE, R

ANYNONE, R

Q = {q0, q1, q2, qacc, qrej}

チューリング・マシンの計算能力

51

計算モデル •  帰納的関数（クルト・ゲーデル, 1934年）

•  λ計算（アロンゾ・チャーチ, 1933年）

•  チューリング・マシン（アラン・チューリング, 1935年）

52

これらは数学的にすべて等価

チャーチ＝チューリングのテーゼ

アルゴリズム（機械的操作手順）とは，チューリング・マシンによって定義される計算過程である

53

万能チューリング・マシン

54

55

01010101010… 出力

M = (Q, �, �, �, q0)


56

01010101010… 出力

M = (Q, �, �, �, q0)

01010101010… 出力入力

M = (Q, �, �, �, q0)



入力として与えたチューリング・マシンの出力を再現できる（エミュレート）

57


� = {BLANK, 0, 1}

(q0, BLANK) 7! (q1, 0, R)(q1, BLANK) 7! (q2, BLANK, R)(q2, BLANK) 7! (q3, 1, R)(q3, BLANK) 7! (q0, BLANK, R)


チューリング・マシンの符号化 (STEP 1/5)

Q = {q0, q1, q2, q3}

58

Q = {q0, q1, q2, q3}


� = {S0, S1, S2}

q0 S0q1S1R;q1 S0q2S0R;q2 S0q3S2R;q3 S0q0S0R;



59


q0 S0S1R q1;q1 S0S0R q2;q2 S0S2R q3;q3 S0S0R q0;

Q = {q0, q1, q2, q3} � = {S0, S1, S2}内部状態：テープアルファベット：


60

状態遷移ルール： DADDCRDAA;DAADDRDAAA;

DAAADDCCRDAAAA;DAAAADDCCRDA;

内部状態：テープアルファベット： Q = {DA,DAA,DAAA,DAAAA}� = {D,DC,DCC}

Q = {DA,DAA,DAAA,DAAAA}


61

内部状態：テープアルファベット： Q = {DA,DAA,DAAA,DAAAA}� = {D,DC,DCC}

Q = {DA,DAA,DAAA,DAAAA}


DADDCRDAA;DAADDRDAAA;DAAADDCCRDAAAA;DAAAADDCCRDA;

62


0101010101010… 出力

M = (Q, �, �, �, q0)


63

01010101010… 出力

M = (Q, �, �, �, q0)

01010101010… 出力

入力



入力として与えたチューリング・マシンの出力をエミュレートできる



ランダム・アクセス・マシン（RAM）

64

計算機械 •  有限オートマトン（FA）

•  チューリング・マシン（TM）

•  多テープチューリング・マシン

•  ランダム・アクセス・マシン（RAM）

•  非決定性チューリング・マシン（NTM）

65

チューリング・マシン以下

万能チューリング・マシンと同等（チューリング完全）

66

ランダム・アクセス・マシン（RAM）




抽象化具体化

数学的に等価

まとめ整数や命題の一般的な計算のための「機械的操作手順」を数学的に定めた => チューリング・マシン整数の計算の例： 1/3 => (.0101010101…)2 命題の計算の例： isPrime(n) => 01101010001…

チューリング・マシンはノイマン型コンピュータの原型であり，その計算モデル (RAM) は万能チューリング・マシンと同等の計算能力を有する（チューリング完全）

69

チューリング・マシンとコンピュータ工学

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