第二章　信号分析与信息论基础

2.1 　确知信号分析2.2 　随机信号分析2.3 　信息及信息的度量2.4 　信道统计特性

本章教学内容及要求

　　信号通过系统的过程。确定信号的时域和频域分析。傅立叶变换关系式，傅立叶变换的主要运算特性，常用信号的付立叶变换。　　卷积定义式，时域卷积定理，频域卷积定理。　 信号的能量和能量谱密度；信号的功率和功率谱密度。　　信号的表达方法，信号通过线性系统传输后的变化及表达。信息及信息量、信道模型、随参信道传输媒质的特

点、信道容量计算。

2.1 　确知信号分析　　信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表示出的与时间 t 之间的函数关系。确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它与时间的关系是确知的。随机信号：与上述相反。　　通信中传输的信号及噪声都是随机信号。

2.1.1 　周期信号与非周期信号周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞ ＜ t ＜∞， T0 ＞

0 非周期信号：不满足上述条件。功率信号：信号在（ 0 ， T ）内的平均功率 S( 式 2-2)

值为一定值。能量信号：当 T→ ∞ 时，式 (2-3) 是绝对可积的。

2.1.2 　 信号的傅里叶变换傅里叶变换： 式 (2-7)傅里叶反变换： 式 (2-6)式（ 2-8 ）是傅里叶变换的指数形式，傅里叶变换是

一个连续函数，称为频谱密度函数，简称频谱函数。

典型的连续时间信号：1.Sa(t) 信号（抽样信号）： Sa(t)=sin(t)/t 波形　特点：偶函数；零值点（ ±n π ）； (0~ ∞) 的积分为

π/22. 单位阶跃信号： U(t)=0 (t<0); U(t)=1 (t>0); 3. 单位冲激信号：∫例：（ 1 ）阶跃信号构成矩形脉冲信号：　 g(t)=u(t)-u(t-t0)（ 2 ）阶跃信号构成符号函数： Sgn(t)=2u(t)-1

常用信号的傅里叶变换：矩形函数（图 2-1 ）的傅里叶变换见式（ 2-9 ），其频

谱函数见图（ 2-2 ）。冲激函数的傅里叶变换。余弦函数的傅里叶变换。

傅里叶变换的性质：时移特性：频移特性：

时域卷积与频域卷积时域卷积： Γ[f1(t)*f2(t)]=F1(ω) F2(ω)频域卷积： Γ[f1(t) f2(t)]=(1/2 π) [F1(ω)*F2(ω)]

例：已知　 Γ[f(t)]=F(ω)　　求　　 Γ[f(t)COS ω0 t]=?解： Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激强度为 π ，根据卷积定理： Γ[f(t)COS ω0 t] = （ 1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] } =(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]

2.1.3 　 信号通过线性系统线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许有延迟）。 f0(t)=Kfi(t-td) （ 2-13 ）该系统传递函数： H(ω) = 式（ 2-14 ） 线性不失真系统的幅频特性 |H(ω)| 是与 ω 无关的常数，相频特性则是 ω 的线性函数。

2.2 　随机信号分析2.2.1 高斯平稳随机过程1 、随机过程的一般概念

通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数 t 的随机过程。这种过程的基本特征是，它是时间 t 的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。2 、随机过程的定义定义：随机过程是依赖于时间参量 t 变化的随机变量的总体或集合；也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用 ξ(t) 表示。3 、随机过程的统计特性的描述 设 ξ(t) 表示一个随机过程，则在任意一个时刻 t1上， ξ(t1) 是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。

4 、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、方差及相关函数等。1 ）数学期望 随机过程 ξ(t) 的数学期望被定义为

可把 t1 直接写成 t 。随机过程的数学期望被认为是时间 t 的函数。

数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。2 ）方差 随机过程的方差定义为

方差的物理意义：信号或噪声交流功率。

3 ）自相关函数

5 、 平稳随机过程 狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何

n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的 n 和 τ ，随机过程 ξ(t) 的 n 维概率密度函数满足：

则称 ξ(t) 是平稳随机过程。

6 、广义平稳过程广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与 τ 有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。

用途： a 、用来判断广义平稳；b 、用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。

通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。7 、自相关函数

我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间 t无关，而只与时间间隔 τ 有关，即： R(τ)＝ E{ξ(t)ξ(t+τ)}

自相关函数的性质：1 ）

R(0) 为 ξ(t) 的均方值 ( 平均功率 ) 。自相关函数在 τ=0处的数值等于该过程的平均功率 ( 包括直流功率和交流功率 ) 。2 ）对偶性 R(τ)＝ R(－ τ) 即自相关函数是 τ 的偶函数。

证明：

3 ）当 τ＝ 0 时 , 自相关函数取最大值，即 R(0)≥ R(τ)4 ）

5)

8 、功率谱密度： 付氏变换沟通了确定信号时域和频域的关系，那么为什么随机过程在频率域中要讨论功率谱密度，而不讨论付氏变换呢？主要原因有二。1) 、对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成 , 所以我们无法求其付氏变换，可以说 , 随机过程不存

在付氏变换。

2) 、随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以我们讨论功率谱密度。 对于任意的功率信号 f(t) 的功率谱为：

9 、高斯分布概率密度函数

由 f(x) 的表达式可画出图形9 、高斯分布和高斯过程 高斯分布这个概念在通信中是经常出现的。而在一般情况下，噪声都可以认为具有高斯分布的形式。由信息论的观点来说，如果是连续信源，当信号的功率一定时，信号幅度的概率密度函数服从高斯分布时，载

荷的信息量最大，即有效性最好；另一方面，如果是起伏噪声，当噪声功率Ｎ一定时，幅度呈现高斯分布的噪声对通信系统的影响也最为恶劣。因此，在系统设计中，常以高斯噪声为着眼点来考虑信噪比、带宽等问题。因此，高斯分布是通信系统的统计分析中最常见、最重要的一种分布。高斯过程定义：通俗地讲，在任意时刻 t 去观察随机过程，若其随机变量的概率分布都满足高斯分布 , 这个随机过程就是高斯过程。

2.2.2 窄带高斯噪声任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程。

窄带条件：中心频率为 ω 0 ，带宽为△ f ，当△ ω << ω 0 时，就可认为满足窄带条件。若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。（图 2-7 ）（图 2-8 ）窄带过程的数学表示1 、用包络和相位的变化表示 由窄带条件可知 ,窄带过程是功率谱限制在 ω0附近的很窄范围内的一个随机过程 ,从示波器观察 ( 或由

理论上可以推知 ): 这个过程中的一个样本函数 ( 一个实现 )的波形是一个频率为 ω0且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。所以可以表示成：

2.3.1 通信系统的统计模型（图 2-12 ）信源：通信的起点。输出消息（包括文字、符号、声音、图像、数据等）。信源编码器：将消息变为信号（提高信号传输效率）。信道编码器：信号处理的设备（提高信号传输的的可靠性）。干扰源：即噪声源。2.3.2 信息的定义 从统计学的信息指的是消息中包含的不确定性。2.3.3 信息的度量 信息的度量，与信息发生的概率成反比。如果一个事件发生的概率是 1 ，这是一个必然事件，那么它的信息量就是 0 。离散信源信息量 I=loga(1/P(x))=-loga(P(x)) (2-58)

2.3 　信息及信息的度量

P(x) 为事件发生的概率，若 a=2 ，信息量单位为比特（ bit ） ; 若 a=e ，信息量单位为奈特（ nit ） ; 若 a=1

0 ，信息量单位为哈特莱。式（ 2-59 ）求信息量总和 例 2-1 、例 2-2 、例 2-3 。

2.3.4 离散信源的平均信息量如离散信息信号序列发生的概率如下所示。 符号 xi x1 x2 …… xn 符号发生概率 P(xi) P(x1) P(x2) …… P(xn)这样每个符号的平均信息量（也称为熵）为 H （ x ）

可以证明，当每个符号等概率出现时，平均信息量最大。 式（ 2-62 ） 例 2-4 。

2.3.5 连续信源的平均信息量当连续信源出现的概率密度为 f(x) 时，连续信源的平

均信息量为

即为连续信源的熵，又称为相对熵。例 2-5 。

2.4.1 离散信道的信道容量信道容量：信道在理想状态下（无差错传输或差错率

等于零）的最大传信速率，通常用 C 表示。条件熵定义（ 2-67 ）（ 2-68 ）互信息量定义（ 2-69 ）（ 2-70 ）无损信道： H （ x/y)=0, I(x,y)=H(x)=H(y)全损信道： H （ x/y)=H(x) Rt=RB[H(x)-H(x/y)]=Ht(x)-Ht(x/y) (bit/s) (2-71)实际信息传输速率 Rt 的最大值记为 C ，即　　 C=maxRt=max[Ht(x)-Ht(x/y)] (2-72)例 2-6 、 2-7 。

　 2.4 　信道统计特性

2.4.2 　连续信道的信道容量香农信道容量公式： 　 C=B log2(1+s/(n0 B)) (bit/s) (2-78)式中， B 为信道带宽（ Hz) ， S 为信号功率（ W ）， n

0 为噪声单边功率谱密度（ W/Hz) ， N=n0B 为噪声功率（ W ）。上式成立的条件是：信号为高斯分布（此时信息熵最大），噪声为高斯白噪声。香农信道容量公式告诉我们以下重要结论：①C 随 S/N增大而增大；②当 n0 →0 时 C → ∞ ，即无干扰信道的信道容量为无穷大；③C 随着 B 的增大而增大，但不能无限增大，即　　　当 B → ∞ 时， C → 1.44(S/n0)④C 一定时， B 与 S/N 可以互换；

⑤若信源信息速率 Rb ≤ C ，则理论上可以实现无差错传输。若 Rb ＞ C ，则不可能实现无差错传输。

信道容积 Vc 的概念 信号体积 Vs ≤ 信道容积 Vc 时才能实现通信