不含重路的极赋权有向图

李斌龙

• Bollobas 和 Scott 证明了如果一个赋权有向图每个顶点的出赋权度至少为 1 ，那么它包含一条有向路权值至少为 1 。

• 我们描述了在上述条件下不含权重超过 1的有向路的极图的形式。

演讲结构• 符号和术语

• 问题背景

• 结论和证明思路

• 问题的延伸

符号和术语• 一个图 G 被称为赋权图，如果 G 的每条边

e 对应一个非负实数 w(e) ，这一非负实数称为 e 的权。

• 对于 G 的一个子图 H ，定义 H 的权为

)(

)()(HEe

ewHw

符号和术语• 对于 G 的子图 H 和顶点 v ，定义 v 在 H 中

的赋权度为

• 简记为 。

)(

)()(vNh

H

H

vhwvw

)(vwG )(vw

符号和术语• 一个非赋权图可以看作是一个每条边的赋

权都为 1 的赋权图。因此，对于每一顶点 v ，w(v)=d(v), 此外，它的子图的权等于其边数。

符号和术语• 一条 (x,y)- 路是连接顶点 x 和 y 的一条路。

• 一条 z- 路是以 z 作为其一个端点的一条路。

符号和术语• 一个有向图 D 被称为赋权有向图，如果 D

的每条弧 a 对应一个非负实数 w(a) ，这一非负实数称为 a 的权。

• 对于 D 的一个子图 H ，定义 H 的权为

)(

)()(HAa

awHw

符号和术语• 对于 D 的子图 H 和顶点 v ，定义 v 在 H 中

的出赋权度和入赋权度分别为

• 和 简记为 和 。

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vNh

H

Hvhwvw

)(

)()(vNh

H

Hvhwvw

)(vwG

)(vwG )(vw )(_ vw

符号和术语• 一条有向 (x,y)- 路是由 x 到 y 的一条有向路。

问题背景• Dirac 证明了若一个图 G 的最小度为 d ，则

G 包含一条路长度至少为 d 。

• Bondy 和 Fan 将这个结论推广到赋权图中，并且给出了不含重路的相应的极图的形 式：

问题背景• 定理 1(Bondy 和 Fan) 令 G 是一个连通赋权

图， V(G)≥2 ， z∈V(G) ， d 是一实数。假设对任意顶点 v∈V(G)\{z},w(v)≥d ，并且对任意边 e∈E(G),w(e)>0 。则 G 包含一条 z-路权值至少为 d 。更进一步，如果 G 不包含权值超过 d 的 z- 路，则对于 G-z 的每一分支 H ， (a) 对任意 v∈V(H), vz∈E(G),w(vz) = ;(b) 对任意 u,v∈V(H), uv∈E(G), w(uv) = , 其中 。

HH

dHVHH )1|)((|

问题背景

KnrKn2 Kn3Kn1

z

r

r

问题背景• Dirac 的理论可以推广到有向图上：如果一

个有向图的每个顶点的出度至少为 d ，则它包含一条有向路长度至少为 d 。

• 这一结论被 Bollbas 和 Scott 推广到了赋权有向图上。如果一个赋权有向图的每个顶点的出赋权度至少为 1 ，则它包含一条有向路权重至少为 1 。

问题背景• 定理 2(Bollobas 和 Scott) 令 D 是一个连通

的赋权有向图， V(D)≥2 ， z∈V(D) 。假设对任意顶点 v∈V(D)\{z}, , 并且有一条有向 (v,z)- 路。则 D 包含一条指向 z 的有向路 P ，使得 w(P)≥1 。

• 我们的目的是描述在上述定理的条件下不含指向 z 的权值超过 1 的有向路的图的形式。

1)( vw

结论和证明思路• 定理 3 令 D 是一个连通的赋权有向图， V

(D)≥2 ， z∈V(D) ， 。假设对于任意顶点 v∈V(D)\{z}, ，并且有一条有向(v,z)- 路；并且对任意弧 a∈A(D), w(a)>0 。如果 D 不包含指向 z 的权值超过 1 的有向路，则对于 D-z 的每一分支 H ， (a) 对任意v∈V(H), vz∈A(D),w(vz) = ;(b) 对任意 u,v∈V(H), uv∈A(D), w(uv) = , 其中 。

HH

dHVHH )1|)((|

0)( zd1)( vw

结论和证明思路

KnrKn2 Kn3Kn1

z

r

r

结论和证明思路• 应用定理 3 ，我们可以证明下面的结论：

• 定理 4 令 D 是一个连通的赋权有向图， V(D)≥2 。如果对于任意顶点 v∈V(D), ，并且 D 不包含权值超过 1 的有向路。则D 是一个完全有向图并且每一条弧的权值为

1)( vw

1|)(|

1)(

DVaw

结论和证明思路• 在归纳过程中用到收缩的概念。

• 令 D 是一个有向赋权图， st∈A(D) 。定义D·st 为下面所述之图：V(D·st)=V(D)\{s} ； A(D·st)=A(D−s) {∪ rt|rs∈A(D)} ；

　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　否则。且　 如果

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uvw

tvDAusstwuswuvw

D

DDstD

结论和证明思路

G G·st

s t

v1v2

v3

v4

v1v2

v3

v4

t

w1w3+w6

w3

w4+w6

w5

w6

w1w2

w4

问题的延伸• 在无向图中，有下面的结论：

• 定理 5(Bondy 和 Fan) 令 G 是一个 2- 连通赋权图并且 d 是一实数， x,y∈V(G) 。如果对任意顶点 v∈V(G)\{x,y},w(v)≥d 。则 G 包含一条 (x,y)- 路权值至少为 d 。

问题的延伸• 但是这一结论不能推广到有向赋权图中。

• 假命题 1 令 D 是一个 2- 强连通赋权有向图并且 d 是一实数， x,y∈V(D) 。如果对任意顶点 v∈V(G)\{y}, ≥1; 对任意顶点 v∈V(G)\ {x}, ≥1 。则 G 包含一条 (x,y)-有向路权值至少为 1 。

)(vw

)(_ vw

问题的延伸• 反例：

…

x z

y1

y2

y3

ykw(xyi)=1/k

w(yix)= 1

w(yiz)= 1/k

w(zyi)= 1