函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值

中国青年政治学院

邓艳娟

一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数 x=100-p ，其中 x 是需求（产出）， p 是价格。这个厂商的成本函数为 C=25x ，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。

反需求函数为 P=100-x

厂商的利润 ∏ (x)=px-C=100x-x2-25x

一、函数的极值函数的极值

1 、定义设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义 ,

0x 是 (a, b) 内的一点 . 如果对于

0x 的一个去心邻域内的任何点 x ,

都有 )()( 0xfxf

则称 )( 0xf 是 f(x) 的一个极大值 ( 极小值 ).

0xx

)(xfy y

0 ), )()( ( 0xfxf

极大值与极小值统称为极值 ,使函数取得极值的点称为极值点 .

注（ 1 ）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一 定小于极大值。（ 2 ）极值点不能在端点

0lim

0

0

00

0

xx

xfxfxf

xx

0

0

0

xx

xfxf

证

0

0

0

xx

xfxf

0 , 000 xfxfxxf 则处可导且取得极值在设

( 极小值的情况可类似证明 )

时， 0xx

, 0时xx

0lim

0

0

00

0

xx

xfxfxf

xx

0)( 0 xf

假定 )( 0xf 是极大值

驻点 . 的称为的实根方程 xfxxf 0

3xyxf ，但反之不然，如的极值点一定为其驻点由此，

.0,00 不是极值点但处有在 xxfx

2 、必要条件

设 f(x) 在 0x 的一个去心邻域内可导且 0)( 0 xf

(1) )( , 0 恒为正左侧邻近的值时取 xfxx

处取得极大值在那么 )( 0xxf

(2)

. )( 0处没有极值在则函数 xxf

(负 ),

(正 ),

( 极小值 );

,)( , 0 恒正或恒负左右两侧邻近的值时取 xfxx

3 、第一充分条件

)( , 0 恒为负右侧邻近的值时取 xfxx

0)( xf 0)( xf

0 x

y

0x(a)

0 x

y

0x

0)( xf 0)( xf

(b)

0)( xf

0 x

y

0x

0)( xf

(c)

0)( xf

0)( xf

0 x

y

0x(d)

求函数的极值可按如下步骤进行 :

（ 1 ）求定义域

（ 2 ）求使 f’(x)=0 的点，或使 f’(x) 不存在的点

（ 3 ）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在 各个区间上的单调性，并求极值。

一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数 x=100-p ，其中 x 是需求（产出）， p 是价格。这个厂商的成本函数为 C=25x ，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。

反需求函数为 P=100-x

厂商的利润 ∏ (x)=px-C=100x-x2-25x

x* 表示使厂商利润最大化的产量，可得

∏′ (x*)=100-x-25= ０ x*=37.5

厂商的利润最大化价格 P*=100-x*=62.5 和

最大化利润∏ (x*)=1406.25 。

一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数 x=100-p ，其中 x 是需求（产出）， p 是价格。这个厂商的成本函数为 C=0.1x ３ -３ x ２ +50x+200 ，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。

厂商的利润 ∏ (x)=100x-x2- [0.1x ３ -３ x ２ +50x+200]

∏′(x*)=100-2x- 0.3x2+6x-50 = ０

.2005021.0 23 的极值求 xxxxf例

解 5043.0 2 xxxf

0 y令 21.20 ,86.7 21 xx驻点得(2)

(1)

88.420-86.7 极小f 07.80621.2 极大f

厂商的利润最大化价格 P*=100-x*=78.80 和

最大化利润∏ (x*)=806.07 。

x

)(' xf

)(xf

.867- ,

86.7 20.21

0 0

极小

极大

20.21,86.7- ,20.21

一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数 x=100-p ，其中 x 是需求（产出）， p 是价格。这个厂商的成本函数为 C=25x ，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的１０％作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。

作者的收入Ｙ (x)=０ .1px ＝０ .1R(ｘ )=0.1(100x-x2)

出版商的利润∏ (x)=R(x)-C(x)-Y(x)=65-0.9x2

作者的希望销售量 x*=50 销售价格 P*=50

出版商的希望销售量 x*=36.1 销售价格 P*=63.9

出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。

作者的收入Ｙ (x)=rpx ,0<r<1

出版商的利润∏ (x)=R(x)-C(x)-Y(x)=(1-r)R(x)-C(x)

最大化 Y(x) 得到 Y′(x)=0= R′(x)

只要边际成本大于零，即Ｃ′＞０，出版商的期望销售量肯定和作者的期望销售量不同，由于我们通常假设边际收入随产量的增加而减少即　Ｒ′ ′ ＜０。所以出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。

出版商最大利润∏′ (x)=0 ， 　　　　　　　 R′(x)=C′(x)/(1-r)

4 、第二充分条件

; , 0 1 00 为极大值时 xfxf

0lim

0

00

0

xx

xfxfxf

xx

证

设 f(x) 在 0x 处具有二阶导数且 , 0)( , 0)( 00 xfxf

那么

(1)

极限保号性

00

00

xx

xfxfx 附近，有在

. , 0 2 00 为极小值时 xfxf

,0

0

xx

xf 异号。与即 0xxxf

;0 , 0 xfxx 时 0 , 0 xfxx 时因此

. )( 0处取得极大值在 xxf (2) 可类似证明 .

一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数 x=100-p ，其中 x 是需求（产出）， p 是价格。这个厂商的成本函数为 C=25x ，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。

反需求函数为 P=100-x

厂商的利润 ∏ (x)=px-C=100x-x2-25x

∏"(x)=-2<0

.2005021.0 23 的极值求 xxxxf例

解 5043.0 2 xxxf

0 y令 21.20 ,86.7 21 xx驻点得

88.420-86.7 极小f

07.80621.2 极大f

46.0'' xxf

086.7 '' f而

02.21'' f

注 法判定。，则用第二充分条件无

但是极大值还是极小值，的符号判定一定是极值点，且可用则处若驻点

0

,0

0

00

000

xf

xfxf

xxfx

. 1)1( 32 的极值求 xxf例

解 22 )1(6 xxxf

1 ,0 ,1 321 xxx得

)15)(1(6 22 xxxf

,00 f

.00 为极小值f

.方法二失效，用方法一 ，01 f

0 1 xfx 的左右两侧附近时，在 .1不是极值f

0 1 xfx 的左右两侧附近时，在 .1不是极值f

0)( xf令

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

2.5

假设垄断厂商有线性需求函数 x=a-bp ，其中 x 是需求， p 是价格，且总有一个线性总成本函数 C=cx 。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格 q 。其中 q≥c ，否则这个厂商将会倒闭。

厂商收入函数　 R(p)=px=ap-bp2

厂商成本函数　 C(p)=cx=ca-cbp

问题： max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p

二、函数的最大、最小值函数的最大、最小值

小值内可导，求最大值和最上连续，在在 , , babaxf

abx

y

0

1.

最大（小）值点端点

内部 —— 驻点

求出端点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值

注 1) 若 f(x) 在一个区间内可导且只有一个驻点 0x且

是 f(x) 的极大值点( 极小值点 ), 就是 f(x) 在则 )( 0xf

该区间上的最大值( 最小值 ).

2) 实际问题中 , 若根据问题的性质可以断定可导函数 )(xf

确有最大值 ( 或最小值 ),并且一定在定义区间内部取得 ,

而此时 )(xf 在定义区间内部只有一个驻点 ,0x 则可断定)( 0xf 是最大值 ( 或最小值 ) 。

x

y

o

)(xfy

a b0x

)( 0xf

x

y

o

)(xfy

a 0x b

)( 0xf

,0x

问题１如果 x* 是问题　 maxf(x) s.t. a≤x≤b 的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：

f′(x*) ≤0 且 (x*-a) f′(x*) =0

f′(x*) ≥0 且 (b-x*) f′(x*) =0

其中如果函数同时满足两个条件且 f′(a) ≠0， f′(b) ≠0 ，我们一定有 a＜ x*＜ b 。问题２如果 x* 是问题　 minf(x) s.t. a≤x≤b 的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：

f′(x*) ≥ 0 且 (x*-a) f′(x*) =0

f′(x*) ≤ 0 且 (b-x*) f′(x*) =0其中如果函数同时满足两个条件且 f′(a) ≠0， f′(b) ≠0 ，我们一定有 a＜ x*＜ b 。

一个区间上最优化

假设垄断厂商有线性需求函数 x=a-bp ，其中 x 是需求， p 是价格，且总有一个线性总成本函数 C=cx 。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格 q 。其中 q≥c ，否则这个厂商将会倒闭。

厂商收入函数　 R(p)=px=ap-bp2 厂商成本函数　 C(p)=cx=ca-cbp

问题： max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p

由问题１得到∏′ (p*)=a-2bp*+cb ≥0 且 (q-p*)∏′ (p*)= ０得到两种情况：１若 p*＜ q ，则∏′ (p*)= ０即 p*=(a+cb)/2b 这显然是垄断厂商利润最大化价格。约束价格没有约束力。厂商价格相对监管者允许的价额低，看起来对消费者是好事，但实际上只是说明监管是无效的。２若 p*=q ，则监管有效∏′ (p*) ＞０或者监管无效∏′ (p*)= ０。

二、函数的最大、最小值函数的最大、最小值 和至多有有限个驻点

点内至多有有限个不可导上连续，在在 , , babaxf2.

最大（小）值点端点

内部 —— 驻点、不可导点

求出端点、不可导点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值