常用概率分布

---Poisson 分布

Poisson分布的概念

描述某罕见事件发生次数的概率

罕见事件 : ,n 很大 , 而 x 很小 ,n

0

每个格子的大小恰好容纳一个细菌1L水

细分 格子数 n

有限格子 中有细菌

0

如果随机变量 x 的分布规律服从

称 X 服从参数为 的 Poisson 分布，记为式中 x 为观察单位内罕见事件发生次 x=0,1,2…… 为 Poisson 分布的总体均数，有时也记为 。递推公式

( )!

x

P x ex

Poisson分布的概念

~ ( )X P

( 1) ( )1

P x P xx

与二项分布相似平稳性（随机分布性）： x 的取值与观察单位的

位置无关，与观察单位的大小有关独立增量性：在某个观察单位上 x 的取值与前面

各观察单位上 x 的取值无关普通性：观察单位可以小到只有 1 个事件发生，

发生概率不变

Poisson分布的条件

Poisson分布的条件

服从 Poisson 分布的罕见事件 :

均匀液体中的细菌分布 放射性物质单位时间内的放射次数 粉尘在观察容积内的分布 非传染性罕见疾病在人群中的分布

Poisson分布的形态

Poisson分布的形态

形态： 离散分布 只取决于 ， 很小时分布很偏，当 增加时，

逐渐趋于对称。 在 和 处达到峰值，且有

Poisson 分布的总体均数与总体方差相等，为

Poisson分布的特点

x 1x

( ) ( 1)P x P x

Poisson 分布的观察结果具有可加性：如果 相互独立，且分别服从以 为参数的

Poisson 分布，则 也服从总体参数为 的 Poisson 分布

例：放射性物质平均每分钟放射记数为 5 ，测量 3 次， 均服从 ，则 即 3 分钟的放射记数服从

Poisson分布的特点

1 2, ,..., nX X X 1 2, ,... n

1 2 ... nX X X

1 2 ... n

1 2 3, ,X X X (5)P 1 2 3( ) ~ (15)X X X P

(15)P

二项分布的 Poisson近似

设 ，当 ， 常数时，此时的极限分布是以 c 为参数的 Poisson 分布。 越小，近似越好

例：某地食管癌的发病率 =8/10000 ，在当地随即抽查 500 人，患者至少为 6 人的概率。

~ ( , )ix B n n n c ix

( 6) 1 ( 6)P X P X

(0.4)X P500 0.0008 0.4 5

0.4

0

0.41

!

k

k

P ek

越小分布越偏，随着 ， Poisson 分布也渐近正态 ， 。一般当 时， Poisson 分布进行连续性校正后可按正态分布处理。

Poisson分布的正态近似

20 ~ ( , )X N

Poisson分布的应用

概率估计 例 4-7 某地新生儿先心的发病率为 8‰ ，该地

20 名新生儿中有 4 人患先心的概率多大？单侧累积概率

例 4-15 放射性物质平均半小时发出 360 个脉冲，估计该物质平均半小时发出脉冲数大于400 个的概率

0164.0)135.2(1)360

3605.0400(1)400(1)400(

XPXP

STATA命令

Poisson 分布的总体均数的 95 ％可信区间命令为 : cii 观察单位数 观察到的发生数 , poisson例 7.1 cii 1 30,poisson例 7.2 cii 1 490,poisson例 7.3 cii 192000 1977,poisson

STATA命令

单样本 Poisson 分布确切概率法假设检验命令为： poistest 样本均数 已知总体均数

例 7.4 Poistest 3 4.2