財務管理

第五章　評價：貨幣的時間價值

5.1 　終值和複利

5.2 　現值和折現

5.3 　現值和終值：進一步探討

終值（ future value, FV ）指的是，在某一利率水準下，今天投資的金額經過一段期間所能累積的價值。換言之，終值是今天的投資在未來某個時點的價值。把本金連同累積 的 利 息 繼 續 投 資 超 過 一 期 ， 就 是 利 息 再 投 資（ reinvesting ）。複利（ compounding ）。複利就是利上加利（ interest

on interest ）這部份的利息為複利利息（ compound

interest ）。單利利息（ simple interest ），利息就不再投資，每一期只賺得原本本金的利息。

5.1 　終值和複利

單期投資假設你存 $100 到一個年息 10% 的儲蓄帳戶中。一年後你會有多少錢呢？等於原來的本金（ principal ） $100 ，加上所賺得 $10 的利息。如果你在 r 利率下投資一期， $1 的投資將成長為 (1 ＋ r) 。

(1) 原本的 $100 本金；(2) 第一年賺得的 $10 利息；(3) 第二年賺得的另一個 $10 利息；(4) $1 是 第 一 年 年 底 的 利 息 在 第 二 年 所 賺 得 的

$10×0.10 ＝ $1 利息。

多期投資同前例，如果利率沒有變動，兩年後投資終值是多少呢？在第二年可以賺得 $110×0.10 ＝ $11 的利息，總共會有 $110 ＋ 11 ＝ $121 。在 10% 利率下投資兩年後的終值。這 $121 包括四部份。

範例 5.1 　利上加利

假設你從事一個年利率 14% 的投資兩年。假

如你投資了 $325 ，兩年後的投資終值是多少

？其中多少是單利利息？多少是複利利息？

在第一年年底時， $325×(10.14) ＝ $370.50

。

第二年年底 $370.5×1.14 ＝ $422.37 。

總利息是 $422.37 － 325 ＝ $97.37 。

本金每年賺得的利息為 $325×0.14 ＝ $45.50

，

兩年的單利利息和為 $91 ，

剩下的 $97.37 － 91 ＝ $6.37 ，則是複利利息

的部份。

在每期利率為 r 之下， $1 投資 t 期後的終值為：終值＝ $1×(1 ＋ r)t

(1 ＋ r) 通常稱為 $1 在 r 利率下投資 t 期的終值利率因子（ future value interest factor ），或簡稱終值因子（ future value factor ），可縮寫為 FVIF （ r, t ）。例子 $100 的五年後價值是多少呢？(1) 算出攸關的終值因子為：(1 ＋ r)t ＝ (1 ＋ 0.10)5 ＝ 1.15 ＝ 1.6105

(2) $100 將成長為：$100×1.6105 ＝ $161.05

範例 5.2 　複利利息

你看中了一項報酬率 12% 的投資。由於這項投

資的報酬率不賴，所以你投資了 $400 。三年後

你可以拿到多少呢？七年後？七年結束後，你賺得

了多少利息？其中多少是來自複利利息呢？12% 的三年期終值因子：(1 ＋ r)t ＝ 1.123 ＝ 1.4049

$400 成長為：$400×1.4049 ＝ $561.97

七年後，你將擁有：$400×1.12 ＝ $400×2.2107 ＝ $884.27

在 $884.27 的終值中，其中 $400 為本金， $884.27 － 400 ＝ $484.27 是利息。在 12% 利率下，每年賺得 $400×0.12

＝ $48 的單利利息。七年期間，單利利息共 7×$48 ＝ $336 。其餘的部份 $484.27 － 336 ＝ $148.27

，則是來自複利利息。

複成長

例如，你的公司目前有 10,000 個員工。你估計員工

人數每年以 3% 成長，五年後將有多少員工呢？

我們所思考的是成長率而不是利率，但是，兩者的計

算卻是完全一樣：

10,000×(1.03)5 ＝ 10,000×1.1593 ＝ 11,593 個

員工未來五年內將有 1,593 個新進員工。

範例 5.4 　股利成長

TICO 公司目前每股發放 $5 現金股利，你確

信股利將以每年 4% 的成長率一直成長下去

。八年後股利將是多少？

終值＝ $5×(1.04)8 ＝ $5×1.3686 ＝ $6.84

股利將成長 $1.84 。

單期現值例子：「在 10% 年利率下，今天我們必須投資多少，才能在一年後拿到 $1 ？」終值是 $1 ，現值（ present value, PV ）是多少呢？

5.2 　現值和折現

範例 5.5 　單期現值

　　假設你明年需要 $400 購買教科書，而你的投資

可以賺得 7% 的報酬。那麼，今天你必須存多少錢？

現值 ×1.07 ＝ $400

現值＝ $400×(1/1.07) ＝ $373.83

投資 $373.83 一年，就可以擁有終值 $400 。

多期現值　　假設兩年後你得到需用 $1,000 。如果你的投資可以賺得 7% ，那麼，你必須投資多少錢才能確保你需用的 $1,000 ？$1,000 ＝ PV×1.07×1.07

　　　＝ PV×1.072

　　　＝ PV×1.1449

現值＝ $1,000/1.1449 ＝ $873.44

範例 5.6 　儲　蓄

你想要買一部新車。你有約 $50,000 ，但車價為

$68,500 。如果，你可以賺到 9% 的報酬，今天你必須

存多少錢，才能在兩年後買這部車呢？你有足夠的錢嗎

？假設車子的價格維持不變。

PV ＝ $68,500/(1.09)2 ＝ $68,500/1.1881 ＝

$57,655.08

仍短缺 $7,655 。

在 r 折現率下， t 期後的 $1 之現值是

：

PV ＝ $1×[1/(1 ＋ r)t] ＝ $1/(1 ＋ r)t

1/(1 ＋ r)t 被稱為折現因子（ discount factor ）。

討論現值時，以折現率（ discount rate ）稱呼它。

1/(1 ＋ r)t 又被稱為 r 利率下， t 期的 $1 的現值利

率因子（ present value interest factor ），並縮寫

為 PVIF （ r, t ）。

計算未來現金流量的現值，以決定它（證券）在今天的

價值之方法，通常稱為折現現金流量評價

（ discounted cash flow (DCF) valuation ）。

例如，假設三年後你需用 $1,000 ，而你的投資

每年可以賺到 15% 的報酬，今天你必須投資多

少呢？

(1) 折現因子計算如下

1/(1 ＋ 0.15)3 ＝ 1/1.5209 ＝ 0.6575

(2) 投資的金額是

$1,000×0.6575 ＝ $657.50

現值和終值現值因子就是終值因子的倒數：終值因子 (1 ＋ r)t

現值因子 1/(1 ＋ r)t

如果讓 FVt 代表 t 期後的終值，那麼終值和現

值間的關係就可以寫成：

PV×(1 ＋ r)t ＝ FVt

PV ＝ FVt /(1 ＋ r)t ＝ FVt ×[1/(1 ＋ r)t ]

稱為基本現值等式（ basic present value

equation ）

5.3 　現值和終值：進一步探討

範例 5.8 　投資評估

我們以下列簡單投資案例，說明現值和終值的應用

：你的公司擬購買價值 $335 的資產。這項投資

方案非常安全，三年後你可以把這項資產以 $400

賣掉。另外，你也可以將 $335 作其他投資，賺

取 10% 報酬率且風險極低。你覺得公司擬進行的

這項資產投資案如何呢？

(1) 將 $335 作其他投資，若報酬率為 10% ，三年後就可以

得到： $335×(1 ＋ r)t ＝ $335×(1.1)3

　　　　　　 ＝ $335×1.331

　　　　　　 ＝ $445.89

提案中的投資卻只得到 $400 ，所以，這並不是項好投資。

(2) 在 10% 下，三年後 $400 的現值為： $400×[1/(1 ＋ r)t] ＝ $400/(1.1)3 ＝ $400/1.331

＝ $300.53

折現率的求算

PV ＝ FVt /(1 ＋ r)t

現值（ PV ）、終值（ FV ）、折現率（ r ）

和投資期間（ t ）。

範例 5.9 　找出單期投資的折現率你正在考慮某項一年期的投資。如果你投入 $1,250，將回收 $1,350 ，這項投資的報酬率是多少？這項投資，你多拿到了 $100 ，因此，隱含的報酬率是 $100/1,250 ＝ 8% 。基本現值等式來看，$1,250 ＝ $1,350/(1 ＋ r)1

(1 ＋ r ) ＝ $1,350/1,250 ＝ 1.08　　 r ＝ 8%

假設有一項投資必須投入 $100 ，八年後這項投資

成長為 $200 。這個投資隱含的折現率是多少？也

就是該投資的報酬率（ rate of return ，或只稱

return ）。

　　　 PV ＝ FVt /(1 ＋ r)t

　　　 $100 ＝ $200/(1 ＋ r)8

(1 ＋ r)8 ＝ $200/100 ＝ 2

r 是 9%

1. 使用財務計算機。2. 兩邊各開八次方根，解得 (1 ＋ r) 。3. 使用終值表。

在這個特例中，我們可以利用所謂的 72 法則（ Rule of 72 ）。在合理的報酬率下，使你的錢變成兩倍大約需要 72/r% 的時間。

範例 5.10 　棒球收藏品投資在 2008 年 4 月， Barry Bonds 所揮出個人大聯盟生涯的最後一顆全壘打球，以大約 $376,000 　拍售，這樣的得標價格被認為是值得投資，因為買家不確定 Bonds 是否會再復出大聯盟。棒球「專業」收藏家認為這顆棒球收藏品的價值，於十年後會加倍。根據 72 法則每年報酬率大約是 72/10 ＝ 7.2% 而已。

藝術品收藏界一個經驗法則是「在五年內可以回

收 ， 十 年 內 會 加 倍 」 1998 年 Alberto

Giacometti 的 銅 雕 像 作 品 Homme Qui

Marche Ⅲ 以 $2,972,500 賣出。五年之後這

個雕像以 $4,039,500 賣出，這項投資的報酬如

何呢？

投資價值會在十年後加倍。根據 72 法則每年會

有 7.2% 的報酬率。這個雕像在五年期間轉手

一次，現值為 $2,972,500 ，終值為

$4,039,500 ，求解折現率 r 如下：

$2,972,500 ＝ $4,039,500/(1 ＋ r)5

(1 ＋ r)5 ＝ 1.3590

r 將近 6.33% ，低於 7.2% 。

範例 5.11 　為上大學儲蓄

你預估八年後你的孩子上大學時，將需要大約

$80,000 的目標金額。現在你有 $35,000 。你

的投資報酬率是每年 20% ，你可以達到目標嗎？

在報酬率多少之下你剛好可以達到目標？

假設年報酬率 20% ， $35,000 在八年後的終值是：

FV ＝ $35,000×(1.20)8 ＝ $35,000×4.2998 ＝ $150,493.59

最低限度的報酬率 r ：

FV ＝ $35,000×(1 ＋ r)8 ＝ $80,000

(1 ＋ r)8 ＝ 80,000/35,000 ＝ 2.2857

報酬率大約是 11%

範例 5.12 18,262.5 天後退休你想要在 50 年後以一個百萬富翁退休。假如你今天擁 有 $10,000 ，要達到百萬富翁的目標，你的報酬率必須是多少？

終值是 $1,000,000 ，現值是 $10,000 ，離退休還有 50 年，我們必須算折現率 r ：$10,000 ＝ $1,000,000/(1 ＋ r)50

(1 ＋ r)50 ＝ 100

大約是 9.65% 。

計算投資期數　　假設我們有意購買價值 $50,000 的某項資產。目前，我們有 $25,000 現金，如果這 $25,000

可以賺得 12% 的報酬，多久才能累積到 $50,000

呢？根據 72 法則，這將需要 72/12 ＝ 6 年的時間。基本現值等式為：$25,000 ＝ $50,000/(1.12)t

$50,000/25,000 ＝ (1.12)t ＝ 2

查表 12% 所對應的那一欄，你將看到終值因子

1.9738 對應的期數為 6，所以，大約是 6 年。

範例 5.13 　計畫買下 Godot 公司你正存錢準備買下 Godot 公司。該公司價值將為

1,000 萬美元，目前，你有 230 萬美元，如果賺得 5% 報酬，必須等多少年？在 16% 報酬率下，必須等多久？(1) 在 5% 下　　 230 萬美元＝ 1,000 萬美元 /(1.05)t

　　 1.05t ＝ 4.35

　　 t ＝ 30 年(2) 在 16% 下，大約需要等 10 年。

策略試算表

你可以求解終值、現值、折現率、期間四個未知數中

的任何一個，在試算表中它們皆有個別獨立的公式可

應用，在 Excel 中，這些公式應用如下：