求弧的度數與長度

弧與圓心角在第四冊第二章裡已經介紹過了，

我們先來復習一下。

在圓 O上任意兩點 A、B所連成的線段 AB叫

作弦，弦AB將圓 O分為兩部分，每一部分都稱為

弧。當弦是直徑時，會將圓 O分成等長的兩個半圓

弧；當弦不是直徑時，會將圓 O分成一大一小的兩

個弧，其中較小的弧稱為劣弧，記為AB︵（此弧又稱

為弦AB所對的弧），較大的弧稱為優弧。若要表示

優弧，可在其上另取一點 C，將此優弧記為ACB︵。

連接AO、BO，以圓心 O為頂

點，兩半徑AO、BO為邊的角稱為

圓心角。當弦AB不是直徑時，這種

角有兩個，一大一小。劣弧AB︵所對的圓心角較小，

優弧ACB︵所對的圓心角較大。沒有特別說明時，習

慣上∠ AOB指的是劣弧AB︵所對的圓心角。

A B

AB

C ACB

O

優弧

劣弧

弦

量角器是度量一角大小的工具。量角器上可以

看到 0到 180的小刻度，這些小刻度將量角器外緣

的半圓周分成 180等分，其中每一等分的弧所對的

圓心角都是 1度，因此我們也說每一等分的弧的度

數都是 1度。這告訴我們，

圓 O上，AB︵的度數與其

所對的圓心角∠ AOB的

度數是一樣的。

1020

3040

5060

70 80 100110120130

140 150160

170

170

160

1501

40

130120

110100 80 70 6050

4030

2010

90

如右圖，已知圓心角∠ AOB＝47，

請問AB︵與ACB︵的度數是多少？

AB︵＝47，

ACB︵＝360－47＝313

O

C

B A

47°

因為一周角是 360，所以如果圓 O上AB︵所

對的圓心角∠ AOB＝x，那麼AB︵的長度恰好是

圓 O周長的x

360 。有時候我們也用AB︵表示AB︵的

度數與AB︵的長度，而此時AB︵所代表的意義可以

根據前後文來判斷。

如右圖，兩同心圓的圓心為 O，

OA、OB為小圓的半徑，OC、

OD為大圓的半徑。已知∠ AOB＝60，

OA＝OB＝5公分，OC＝OD＝8公分。求： (1) ∠ COD的度數。

求弧的度數與長度

(1) ∠COD＝∠AOB＝60。

O

B

A

D

C

60




OA＝OB＝5公分，OC＝OD＝8公分。求：

(2) AB︵、CD︵的度數。


(2) AB︵的度數＝∠ AOB的度數＝60，

CD︵的度數＝∠ COD的度數＝60。

O

B

A

D

C

60


(3) AB︵的長度＝60

360 × 2 × 5 ×π＝ 5π 3 （公分），

CD︵的長度＝60

360 × 2 × 8 ×π＝ 8π 3 （公分）。




OA＝OB＝5公分，OC＝OD＝8公分。求：

(3) AB︵、CD︵的長度。

O

B

A

D

C

60

如右圖，兩同心圓的圓心為 O，大圓

半徑為小圓半徑的 2倍，請問下列選

項何者正確？

(A) DE︵的長度＝AB

︵的長度

(B) DF︵的長度＝BC

︵的長度的 2倍

(C) DE︵的度數＝EF

︵的度數

(D) DE︵的度數＝BC

︵的度數的 2倍

O

A B D

C

E

F 70

70

(C)。

如下圖，已知圓 O1、圓 O2、圓 O3的半徑分別為 6、8、12，

(1) 比較AB︵、CD︵、EF︵的度數大小。

O1

A

B 120

O2 D

C

90

O3

E

F 60


(1) 因為AB︵的度數＝∠ AO1B的度數＝120，

CD︵的度數＝∠ CO2D的度數＝90，

EF︵的度數＝∠ EO3F的度數＝60，

所以AB︵的度數＞CD

︵的度數＞EF

︵的度數。

如下圖，已知圓 O1、圓 O2、圓 O3的半徑分別為 6、8、12，

(2) 比較AB︵、CD︵、EF︵的長度大小。

O1

A

B 120

O2 D

C

90

O3

E

F 60


(2) 因為AB︵的長度＝

120 360 × 2 × 6 ×π ＝4π，

CD︵的長度＝

90 360 × 2 × 8 ×π ＝4π，

EF︵的長度＝

60 360 × 2 × 12 ×π ＝4π，

所以AB︵的長度＝CD

︵的長度＝EF

︵的長度。

如下圖，圓 O1的半徑O1A為 6公分，圓 O2的半徑O2C為

3公分，∠ AO1B＝∠ CO2D。已知AB︵的長度為 2π公分，

求：

O1

B A

6

D C

3 O2

(1) ∠ CO2D的度數。

2π＝ ∠ AO1B

360 × 2 × 6π ∠ AO1B＝60＝∠ CO2D



求：

O1

B A

6

D C

3 O1

(2) CD︵的度數。

CD︵的度數＝∠ CO2D＝60



求：

O1

B A

6

D C

3 O1

(3) CD︵的長度。

CD︵的長度＝

60 360 × 2 × 3π＝π（公分）。

　　由上面的例子得知：在半徑不相等的兩個圓中，相同的圓心角所對弧的度數相等，但是所對弧長卻不相等。在半徑相等的兩圓或是在同一圓中，有相同度數的弧，它們的弧長必相等；反之，兩弧的長度相等，它們的度數也會相等。　　為討論方便起見，我們稱在半徑相等的兩圓中或在同一圓上，兩個相同度數的弧，或兩個弧長相等的弧為等弧。

　　在同一圓上，長度相等的弦（簡稱等弦）所對的弧相等嗎？所對的圓心角相等嗎？

等弦對等弧及等圓心角；等弧對等弦及等圓心角

連接OA、OB、OC、OD，

則OA＝OB＝OC＝OD＝圓 O的半徑。

(1) 因為AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD，

所以△ OAB～＝△ OCD（SSS全等性質）。故∠ AOB＝∠ COD（對應角相等），

則AB︵的長度＝CD

︵的長度。

如右圖，AB、CD 為圓 O的兩弦，圓 O的半徑為 r。

(1) 若AB＝CD，

則AB︵的長度＝CD

︵的長度嗎？

A D

C

O

B

A D

C

O

B

等弦對等弧及等圓心角；等弧對等弦及等圓心角

(2) 因為AB︵的長度＝CD

︵的長度，

所以∠ AOB＝∠ COD。

又OA＝OB＝OC＝OD，因此△ OAB～＝ △ OCD ( SAS全等性質 )，故AB＝CD（對應邊相等）。

如右圖，AB、CD 為圓 O的兩弦，圓 O的半徑為 r。

(2) 若AB︵的長度＝CD

︵的長度，

則AB＝CD嗎？

A D

C

O

B

A D

C

O

B

由例題 3 ，可以得知：在同一圓中，等弦對等弧及等圓心角；等弧對等弦及等圓心角。

如右圖，已知在圓 O上有四點

A、B、C、D，且四邊形 ABCD

為矩形，請問AB︵＝CD︵嗎？

O

A B

D C

因為四邊形 ABCD為矩形，

所以AB＝CD，故AB︵＝CD︵（等弦對等弧）。

等弧對等弦

(1) 因為在同一圓中，相等的弧所對的弦也相等，

所以由AB︵＝CD︵，可知AB＝CD。

如右圖，已知在圓 O中，

AB︵＝CD︵，則：

(1) AB＝CD嗎？

(2) AC＝BD嗎？

O

B

A D

C

等弧對等弦

(2) 由AB︵＝CD︵，

得AC︵＝AB︵＋BC︵＝CD︵＋BC︵＝BD︵，

所以AC＝BD（等弧對等弦）。

如右圖，已知在圓 O中，

AB︵＝CD︵，則：

(1) AB＝CD嗎？

(2) AC＝BD嗎？

O

B

A D

C

如右圖，已知 ABCDEF為正六邊

形的六個頂點，且這六個頂點都

落在圓 O上，則：

(1) ∠ AOC是多少度？∠ DOF是多少度？

(2) AC＝DF嗎？為什麼？

O

D C

B E

F A

∠ AOC＝∠ DOF＝ 360

6 × 2＝120

是。因為所對弧的度數相等。

一圓內的兩弦不平行時，它們的相交情形有以下三種：

O

兩弦的交點在圓內部圖 2-12

兩弦的交點剛好在圓周上圖 2-13

兩弦在圓內沒有交點圖 2-14

O

O

　　

在一圓內，兩個半徑所夾的角叫作圓心角。如圖2-13 ，交於圓周上一點的兩弦所夾的角稱為圓周角。

如下圖，兩弦AC與CB所構成的角∠ ACB叫作此

圓的一個圓周角，AB︵稱為其所對的弧，AB稱為

其所對的弦。

A

C O

B

A

C O

B A

C O

B

當BC邊為直徑時，連接AO，如右圖。

因為AO＝CO＝圓 O的半徑，

所以∠ CAO＝∠ C。

又因為∠ AOB是△ ACO的一個外角，

所以∠ AOB＝∠ CAO＋∠ C＝2∠ C。

因為∠ AOB＝AB︵，

所以 2∠ C＝∠ AOB＝AB︵，即∠ C＝

1 2 AB︵。

A

C O

B

我們再來研究一下，圓周角的兩個邊都不是直徑時，圓周角的度數仍然會等於其所對弧度數的一半嗎？

1 如右圖，連接CO，並延長交圓 O

於 D點，∠ ACB的兩邊都在直徑

CD的同一側。請問：

(1) ∠ ACD＝1 2 AD︵嗎？∠ BCD＝

1 2 BD︵嗎？為什麼？

(2) ∠ ACB＝1 2 AD︵－

1 2 BD︵＝

1 2 AB︵嗎？

是。是。

是。

D

B

A

O C

2 如右圖，連接CO，並延長交圓

O於 D點，∠ ACB的兩邊在直

徑CD的異側。請問：

(1) ∠ ACD＝1 2 AD︵嗎？∠ BCD＝

1 2 BD︵嗎？為什麼？

(2) ∠ ACB＝1 2 AD︵＋

1 2 BD︵＝

1 2 AB︵嗎？

是。是。

是。

D

B

A

C O

由上面的討論，可以得知：

1. 圓周角的度數等於其所對弧度數的一半。2. 同弧所對的圓周角是圓心角的一半。

例如：右圖中，

∠ B1＝∠ B2＝∠ B3＝∠ B4＝1 2 AC︵。

B1

C

A

B2

B3

B4

上面的說明，可以得知：

同一圓中，同弧或等弧所對的圓周角度數相等。

圓周角與圓心角

(1) ∠ A＝1 2 ∠ BOC＝

1 2 × 100＝50。

如右圖，A、B、C三點都在圓周上，

∠ BOC＝100，且OC為∠ ACB的角

平分線，求∠ A及∠ ABC的度數。

O

A

B C


(2) 因為OB＝OC，即△ OBC為等腰三角形，

所以∠ OCB＝1 2 ×（180－∠ BOC）

＝1 2 ×（180－100）＝40




O

A

B C


又因為OC為∠ ACB的角平分線，

所以∠ ACB＝2 × 40＝80，

故∠ ABC＝180－∠ A－∠ ACB

＝180－50－80＝50。




O

A

B C

如右圖，AC與BD都是圓 O

的直徑，且∠ ACB＝43，求

∠ AOB及∠ ADB的度數。

O

A

B

D

C

∠ AOB＝2∠ ACB＝2 × 43＝86

∠ ADB＝∠ ACB＝43

求圓周角的度數

因為∠ A＝1 2 BCD︵

，且∠ A＝90，

所以BCD︵

＝180，且BAD︵

＝180，

故∠ C＝1 2 BAD︵

＝90。

因為四邊形內角和為 360，所以∠ B＝360－90－90－120＝60。

如右圖，A、B、C、D四點都在圓周上，∠ A＝90，∠ D＝120，求∠ B 及∠ C的度數。

B

C

D

A

120°

如右圖，A、B、C、D四點都在圓 O上，∠ AOC＝140，求

ABC︵

、ADC︵

以及∠ B的度數。

B

C O

D

A

140°

ABC︵

＝∠ AOC＝140

ADC︵

＝360－140＝220

∠ B＝1 2 ADC︵

＝1 2 × 220＝110

例如：右圖中，

∠ B1＝∠ B2＝∠ B3＝1 2 AC︵

＝1 2 × 180＝90。

因為一周角等於 360 ，半圓所對的圓心角為 18

0 ，所以：

半圓所對的圓周角都是 90 。

B3

B2

B1

A C O

半圓所對的圓周角都是 90

因為∠ A是下半圓所對的圓周角，

所以∠ A＝90，

故 ∠ C＝180－90－66＝24，

可得AB︵＝2 ×∠ C＝2 × 24＝48。

右圖是一個半圓， A點在半圓上，

BC為直徑。已知∠ B＝66，

求AB︵的度數。

O

A

B C

O

A

B C

如右圖，△ ABC內接於一圓 O，

且BC為圓 O的直徑。已知

∠ B＝20，求∠ C的度數。

∠ C＝180－90－20＝70

O C B

A

20°

1 如右圖，BC為圓 O的直徑，

P點在圓 O的內部，請問

∠ BPC大於 90還是小於 90？

A

C O

B

P

大於 90。

A

C O

B

Q

小於 90。

2 如右圖，BC為圓 O的直徑，

Q點在圓 O的外部，請問

∠ BQC大於 90還是小於 90？

據說古時木匠就

是根據這個道理，利

用曲尺畫圓的。它的

畫法如下：在直徑AB

的兩端點 A與 B上各釘一根釘子，將曲尺的內緣緊靠

著這兩根釘子，並將筆放在曲尺內緣的「直角頂點」

處，轉動曲尺即可畫出半個圓，用同樣的方法可畫出

另外半個圓，如上圖。

B A

　　在前一節裡，我們曾用三角板畫出過圓外一點的切線。下面我們將利用「半圓所對的圓周角都是 90 」這個性質，用尺規作圖的方式作出過圓外一點的切線。

過圓外一點作圓的切線

分析如果能在圓 O上找到一點 A，

使得∠ OAP＝90，

那麼直線 AP就是我們要作的切線。

過圓 O外一點 P，作此圓的切線。

A

P O

過圓外一點作圓的切線

(1) 連接OP，再找出OP的中點 O'。

(2) 以 O' 點為圓心，OO'為半徑畫圓，

交圓 O於 A、B兩點。

(3) 連接PA、PB，

則PA、PB即為過 P點

的兩條切線。

過圓 O外一點 P，作此圓的切線。

A

O' O

B

P

承例題 8，說說看，如何知

道PA、PB是過 P點的兩條

切線？PA＝PB嗎？

A

O' O

B

P

因為∠ PAO為圓 O' 的半圓所對的圓周角，所以∠ PAO＝90，

同理∠ PBO＝90，即OA⊥ PA且OB⊥ PB，

故PA、PB為過 P點的兩條切線。

又在直角△ OAP與△ OBP中，因為OA＝OB，

所以PA 2＝OP 2－OA 2＝OP 2－OB 2＝PB 2，即PA＝PB。

我們再來看幾個例子。

利用半圓所對的圓周角求弧之度數

(1) 因為△ ABC是正三角形，所以∠ A＝60。

又在△ ABE中，∠ AEB＝90，

所以∠ ABE＝180－90－60＝30，

故 AE︵＝2∠ ABE＝2 × 30＝60。

如右圖，AB是圓 O的直徑，且

△ ABC是正三角形。求AE︵、DE︵

和BD︵的度數。

O

D

A

C

B

E 60°

利用半圓所對的圓周角求弧之度數

(2) 因為∠ CBE＝∠ CBA－∠ ABE＝60－30＝30，

所以DE︵＝2∠ CBE＝60。

(3) 由於EB︵＝2∠ A＝2 × 60＝120，

故BD︵＝EB︵－DE︵＝120－60＝60。

所以AE︵＝DE︵＝BD︵＝60。

如右圖，AB是圓 O的直徑，且

△ ABC是正三角形。求AE︵、DE︵

和BD︵的度數。

O

D

A

C

B

E 60°

如右圖，AB為圓 O的直徑，

且∠ C＝50，求：

(1) ∠ CBE的度數。

(2) DE︵的度數。

∠ CBE＝180－90－50＝40

DE︵＝2∠ CBE＝80

B

A

50°

E

D

C O

　　若四邊形的四個頂點都在同一個圓的圓周上，則我們稱此四邊形為圓內接四邊形。

圓內接四邊形的對角互補

因為∠ A＝1 2 BCD︵

，∠ C＝1 2 BAD︵

，

所以∠ A＋∠ C＝1 2 BCD︵

＋1 2 BAD︵

＝1 2 （BAD︵

＋BAD︵

）

＝1 2 × 360＝180

∠ B＋∠ D＝360－（∠ A＋∠ C）＝360－180＝180。

如右圖，ABCD為圓 O的內接四邊形，請說明∠ A＋∠ C＝180， ∠ B＋∠ D＝180。

O

D

C

B

A

由上面的例子，可以得知：

圓內接四邊形的對角互補。

如右圖，四邊形 ABCD內接於圓 O

中。已知BD為圓 O的直徑，且

∠ ABC＝110，求∠ A、∠ C和

∠ ADC的度數。

O

D

C B

A

110°

因為BD為直徑，所以∠ A＝∠ C＝90，

∠ ADC＝180－110＝70

　　圓內接四邊形的對角一定互補。反之，如果四邊形 ABCD 的對角互補，那麼此四邊形是否一定是圓內接四邊形呢？

我們先仿照前一節例題 5的方法，

作出通過 A、B、C三點的圓 O，再來

看 D點是否在圓 O上：

(1) 如果 D點在圓 O的內部：

延長AD交圓 O於 E點，連接CE。

因為∠ ADC＞∠ E，

所以∠ ADC＋∠ B＞∠ E＋∠ B＝180，

這與四邊形 ABCD的對角互補相矛盾，

故 D點不在圓 O的內部。

A B

C D

O

E

A B

C O

(2) 如果 D點在圓 O的外部：

設AD交圓 O於 F點，連接CF。

因為∠ AFC＞∠ D，

所以∠ AFC＋∠ B＝180＞∠ D＋∠ B，

這也與四邊形 ABCD的對角互補相矛盾，

故 D點也不在圓 O的外部。

A B

C

D

O

F

由 (1) 與 (2) 可知 D 點一定在圓 O 上，可以得知：如果四邊形的對角互補，這個四邊形一定是圓內接四邊形。

如右圖，可不可以找到一個圓

通過四邊形 ABCD的四個頂點？

A D

C

B

160° 120°

80°

60° 可以。

因為 120＋60＝180，80＋100＝180。

　　我們知道一圓內，兩弦相交的點落在圓周上時，如圖 2-16 ，兩弦所夾的角是個圓周角，它的度數等於其所對弧度數的一半。那麼，兩弦的交點在圓內或是在圓外（如圖 2-15 和圖 2-17 ）時，又會是怎麼樣的情形呢？

O

　　　　

O

　　　　

O

圖 2-15圖 2-16

圖 2-17

1 如右圖，兩弦AB與CD相交於

圓內一點 P。

請問：

(1) ∠ APC＝∠ BAD＋∠ ADC嗎？為什麼？

(2) ∠ APC＝1 2 （BD︵＋AC︵）嗎？為什麼？

是。∠ APC為△ APD的外角。

是。

∠ APC＝∠ BAD＋∠ ADC＝1 2 （BD︵＋AC︵）。

O

A

D

C B

P

2 如右圖，兩弦AB與CD的延長

線相交於圓外一點 P。請問：

(1) ∠ P＝∠ ABC－∠ BCP嗎？

為什麼？

(2) ∠ P＝1 2 （AC︵－BD︵）嗎？為什麼？

O

A

D

C

B

P

∠ABC＝∠BCP＋∠P ∠P＝∠ABC－∠BCP

∠P＝∠ABC－∠BCP＝1 2 （AC︵

－BD︵

）

　　如果圓 O 的兩弦在圓 O 的內部相交，則其所成的角如圖 2-18 的∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 就叫作圓 O 的圓內角；

O

1 2 3

4

　　　　　　　

O P

圖 2-18

如果圓 O 兩弦的延長線在圓 O 的外部相交，則其所成的角如圖 2-19 的∠ P 就叫作圓 O 的圓外角。

圖 2-19


1. 圓內角的度數等於這個角及其對頂角所對弧的度數和的一半。2. 圓外角的度數等於其所對大弧與小弧度數差的一半。

求圓內角與圓外角之度數

(1) ∠ BPD＝1 2 （AC︵＋BD︵）＝

1 2 （108＋40）＝74。

(1) 如右圖，兩弦AB與CD相交於

圓內一點 P。已知AC︵＝108，

BD︵＝40，求∠ BPD的度數。

(2) 如右圖，兩弦AB與CD的延

長線相交於圓外一點 P。已

知AC︵＝90， BD

︵＝46，求∠ P的度數。

O

A

D

C

B P

O

A

D C

B

P

求圓內角與圓外角之度數

(2) ∠ P＝1 2 （AC︵－BD︵）＝

1 2 （90－46）＝22。

(1) 如右圖，兩弦AB與CD相交於

圓內一點 P。已知AC︵＝108，

BD︵＝40，求∠ BPD的度數。

(2) 如右圖，兩弦AB與CD的延

長線相交於圓外一點 P。已

知AC︵＝90， BD

︵＝46，求∠ P的度數。

O

A

D

C

B P

O

A

D C

B

P

1 如右圖，兩弦AB與CD相交於圓內

一點 P。已知AD︵＝90，BC

︵＝46，

求∠ APC的度數。

因為∠ BPC＝1 2 （90＋46）＝68，

所以∠ APC＝180－68＝112。

O A

D

C B

P

2 如右圖，兩弦AD與CB的延

3 長線相交於圓外一點 P。已知

AD︵＝108，BC

︵＝40，求

∠ P的度數。

O

A D

C B

P

∠ P＝1 2 （108－40）＝34

最後我們來討論一下圓的弦與切線所交成的角。

如右圖，直線 AB切圓 O於 P點，

PC為圓 O之一弦，則弦PC與切線

AB所形成的角，∠ CPA與∠ CPB

叫作弦切角。CDP︵

與CP︵分別叫作

∠ CPA與∠ CPB所夾的弧。

A

C

O

B P

D

　　我們知道：圓周角的度數等於其所對弧度數的一半。那麼弦切角與其所夾的弧之間是否有什麼關聯呢？

如右圖，連接PO並延長交圓 O於 E點。

因為直徑EP與切線 AB相交於 P點，

所以 ∠ EPB＝90＝1 2 ECP︵

，

∠ EPA＝90＝1 2 EDP︵，

又因為∠ EPC＝1 2 EC︵，

所以∠ CPB＝∠ EPB－∠ EPC＝1 2 ECP︵

－1 2 EC︵＝

1 2 CP︵，

∠ CPA＝∠ EPA＋∠ EPC＝1 2 EDP︵

＋1 2 EC︵＝

1 2 CDP︵。

E

A

C

O

B P

D


弦切角的度數等於它所夾弧度數的一半。

弦切角與弧的應用

因為∠ ABC＝1 2 × AB︵＝

1 2 × 60＝30，

且 ∠ ACB＝1 2 ×AC︵＝

1 2 × 120＝60，

所以∠ BAC＝180－30－60＝90。

如右圖，圓 O1與圓 O2外切於 A點，

直線 L為兩圓的外公切線，與圓 O1、圓 O2的切點分別為 B點、C點。已

知AB︵＝60，AC

︵＝120，求∠ BAC

的度數。

O1

O2 A

B C L

如右圖，圓 O1與圓 O2外切於 A

點，直線 L為兩圓的外公切線，

與圓 O1、圓 O2的切點分別為 B

點、C點。已知∠ ABC＝50，求

∠ ACB的度數。

O1 O2 A

B C L

因為∠ AO1B＝AB︵＝2 ×∠ ABC＝2 × 50＝100，

所以∠ AO2C＝360－100－90－90＝80，

故∠ ACB＝1 2 ×AC︵＝

1 2 ×∠ AO2C＝

1 2 × 80＝40。

弦切角與圓周角的應用

因為∠ EBC為弦切角，所以∠ EBC＝1

2 × 160＝80。

又因為∠ E為圓周角，所以∠ E＝1

2 BD︵＝

1 2 × 80＝40，

故∠ A＝∠ EBC－∠ E＝80－40＝40。

如右圖，↔AC與圓 O相切於 B點，且

AE與圓 O相交於 D、E兩點。已知

BD︵＝80，BE

︵＝160，求∠ A的度數。

O

A C B

D

E

如右圖，PA切圓 O於 A點，

PB交圓 O於 B、C兩點。已

知∠ P＝45，AC︵＝50，求

AB︵的度數。

A P

C

B

O

45°

連AC，則∠ CAP＝1 2 AC︵＝25，

故AB︵＝2∠ ACB＝2（25＋45）＝140。

弦切角與其夾弧所對圓周角之關係

因為∠ D為圓周角，所以∠ D＝1 2 AC︵，

因為∠ BAC為弦切角，所以∠ BAC＝1 2 AC︵，

得∠ D＝∠ BAC。

如右圖，↔AB切圓 O於 A點，AC為

圓 O的一弦，D為圓 O上一點。試

說明∠ BAC＝∠ D。

O

B A

D C

由例題 14 ，可以得知：

在一圓中，弦切角的度數等於其夾弧所對圓周角的度數。

如右圖，A、B、C在同一圓上，↔BD

與圓 O相切於 B點。若AB＝AC，

BC︵＝100，求∠ C與∠ ABD的度數。

O

D B

C A

因為∠ A＝1 2 BC︵＝50，

所以∠ C＝1 2 ×（180－50）＝65，故

∠ ABD＝∠ C＝65。

如右圖，給定一

圓 O及一點 P，過 P

點對圓 O任意作兩條

割線。若這兩條割線分別與圓 O交於 A、B兩點與

C、D兩點，則PA、PB、PC、PD 四條線段之間

有些什麼關係？我們看下面的例題。

D P

O

A

B C

P O

C

A B

D

內冪性質

連接AC與BD。

因為∠ A＝1 2 BC︵＝∠ D，

∠ C＝1 2 AD︵＝∠ B，

所以△ PAC ～ △ PDB（AA相似性質）。

故PA：PD＝PC：PB，因此PA × PB＝PC × PD。

如右圖，過圓 O內一點 P的兩條割

線分別與圓 O交於 A、B兩點與 C、

D兩點。請說明PA × PB＝PC × PD。

P

O

A

B C

D

P

O

A

B C

D

如右圖，圓 O的直徑AB與弦CD交

於 P點。已知圓 O的半徑為 10，

OP＝2，求PC × PD。

內冪性質：若過圓內一點 P的兩條割線，分別與

圓 O交於 A、B兩點與 C、D兩點，則

PA × PB＝PC × PD。

O P

D

A

B

C

因為PA＝10－2＝8，且PB＝10＋2＝12，

所以PC × PD＝PA × PB＝8 × 12＝96。

外冪性質

連接AD與BC。

因為∠ A＝1 2 BD︵＝∠ C，

且∠ P＝∠ P，

所以△ PAD ～ △ PCB（AA相似性質）。

故PA：PC＝PD：PB，因此PA × PB＝PC × PD。

如右圖，過圓 O外一點 P的兩條割線分別與圓 O交於 A、B兩點與 C、

D兩點。請說明PA × PB＝PC × PD。

A B

P D

O

C

A

B

P D

O

C

外冪性質：若過圓外一點 P的兩條割線，分別與圓 O交於 A、B兩點與 C、D兩點，則

PA × PB＝PC × PD。

如右圖，若圓 O的兩弦AB與CD延長線

相交於圓外一點 P。已知PA＝8，PC＝6，

AB＝4，求CD的長度。

P

O A

B

C D

因為PA × PB＝PC × PD，

所以 8 ×（8＋4）＝6 ×（6＋CD），CD＝10。

1. 弦、弧與圓心角

在同一圓中，等弦對等弧及等圓心角；

等弧對等弦及等圓心角。

2. 圓周角

(1) 圓周角的度數等於其所對弧度數的一半。

(2) 同弧所對的圓周角是圓心角的一半。

(3) 同一圓中，同弧或等弧所對的圓周角度數相等。

(4) 半圓所對的圓周角都是 90。

3. 圓內接四邊形

(1) 圓內接四邊形的對角互補。

(2) 四邊形的對角如果互補，

這個四邊形一定是圓內接四邊形。

4. 圓內角與圓外角

(1) 圓內角的度數等於這個角及其對頂角所對弧

的度數和的一半。

(2) 圓外角的度數等於其所對大弧與小弧度數差

的一半。

5. 弦切角

(1) 弦切角的度數等於它所夾弧度數的一半。

(2) 在一圓中，弦切角的度數等於其夾弧所對

圓周角的度數。

6. 圓冪性質

(1) 內冪性質：若過圓內一點 P的兩條割線，分別與圓 O交於 A、B兩點與 C、D兩

點，則PA × PB＝PC × PD。

(2) 外冪性質：若過圓外一點 P的兩條割線，分別與圓 O交於 A、B兩點與 C、D兩

點，則PA × PB＝PC × PD。

P

O

A

B C

D A

B

P D

O

C

1 如右圖，兩同心圓的半徑

OA＝6公分，OC＝12公分，

則CD︵的長度是AB

︵的長度

的多少倍？

CD︵的長度

AB︵的長度

＝ 2π × 12 2π × 6 ＝2（倍）。

O

B

A

D

C

60°

2 如右圖，△ ABC的三個頂點都

在圓 O上。已知∠ BAC＝65，

∠ ABC＝60，求∠ AOB的度數。

∠ AOB＝2∠ C

＝2（180－60－65）

＝110

O C

B

A

60°

65°

3 如右圖，四邊形 ABCD的四個頂

點都在圓 O上。已知∠ A＝50，

∠ D＝90，則：

(1) ∠ B的度數＝？

(2) ∠ C的度數＝？

∠ B＝180－∠ D＝180－90＝90

∠ C＝180－50＝130

O

B

A

D

C 50°

4 如右圖，一圓的兩條割線 L1與 L2

相交於圓內一點 P，割線 L1與圓

相交於 A、B兩點，割線 L2與圓

相交於 C、D兩點。若AC︵＝120，

BD︵＝40，則∠ APC是多少度？

B

A

D

C

P

L1

L2

∠ APC＝1 2 （120＋40）＝80

5 如右圖，↔PC與圓 O相切於 C點，

↔PB與圓 O相交於 A、B兩點。若

∠ P＝40，∠ BAC＝80，求：

(1) AC︵的度數。

(2) ∠ B的度數。

A

O C

B

P

80°

40°

∠ ACP＝80－40＝40，AC︵＝2 × 40＝80

∠ B＝1 2 AC︵＝

1 2 × 80＝40

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求弧的度數與長度

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