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内容提要( 一 ) 函数

1. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量，若当变量 x

在非空数集 D 内任取一数值时，变量 y 依照某一规则 f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量 y 为变量 x

的函数，记作 y = f (x).

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2. 函数的几种特性(1) 有界性

设函数 y = f (x) ，在集合 D 上有定义，若存在正数M ，对于所的 ，恒有 ，则称函数 y = f (x) 在 D 上是有界的；若不存在满足上述条件的正数 M ，则称 f (x) 在 D 上是无界的 .

x D | ( ) |f x M

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(2) 奇偶性 设函数 y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称，对于任一 ，则偶函数： f (−x) = f (x) ，图像关于 y 轴对称；奇函数： f (−x) = − f (x) ，图像关于原点对称 .

x D

4

(3) 单调性

设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，若对于

(a,b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f

(x2) ，则称函数 f (x) 在 (a ， b) 内是单调增加的；若

对于 (a ， b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 < x2 时，有 f

(x1) > f(x2) ，则称函数 f (x) 在 (a,b) 内是单调减少的 .

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(4) 周期性

设函数 y = f (x) 在集合 D 上有定义，若存在正数 a ，对于属于定义域 D 的任意 x ， ，使 f (x) = f ( x+a ) 恒成立，则称此函数为周期函数 . 满足这个等式的最小正数 a 称为函数的周期 .

x a D

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3.反函数

设 y = f (x) 是 x 的函数，其值域为 R ，若对于 R 中的每一个 y 值，都有唯一确定的且满足 y

= f (x) 的 x 值与之对应，则得到一个定义在 R 上的以 y 为自变量， x 为因变量的新函数，称之为 y = f

(x) 的反函数， 记作 x=f –1( y ).

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4. 分段函数 在自变量的不同变化范围中，函数关系由不同的式子表达的函数称为分段函数 .

5. 基本初等函数 包含常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数六大类 .

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6. 复合函数 设 y 是 u 的函数 y = f (u) ， u 是 x

的函数 ，若 的值域包含在 y = f (u) 的定义域中，则 y 通过中间变量 u 构成 x 的复合函数，记作

( )u φ x( )u φ x

[ ( )] .u f φ x

7. 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数 .

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( 二 ) 无穷小量与无穷大量

1. 无穷小量 若函数 y = f (x) 在自变量 x 的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中， f (x) 为无穷小量 .

2. 无穷大量 若在自变量 x 的某个变化过程中，函数

是无穷小量，即

则称在该变化中， f (x) 为无穷大量，简称无穷大，记

作

1

( )y

f x 1

lim 0.( )f x

lim ( ) f x

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3. 无穷小量的性质

性质 1. 1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量 .

性质 1. 2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量 .

性质 1. 3 常数乘无穷小量仍是无穷小量 .

性质 1. 4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量 .

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4. 无穷小量的阶 设 α ， β 是同一变化过程中的两个无穷小量，

(1) 若 ，则称 α 是比 β 高阶的无穷小量，也称 β 是比 α 低阶的无穷小量 .

lim 0α

β

(2) 若 ( c 是不等于零的常数 ) ，则称α 与 β 同阶无穷小量 . 若 c = 1 ，则称 α 与 β 是等价无穷小量 .

limα

cβ

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5.极限与无穷小量的关系： 函数 f (x) 以 A 为极限的充分必要条件是： f

(x) 可以表示为 A 与一个无穷小量之和 . 即lim ( ) ( ) f x A f x A α ，

其中 lim α = 0.

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( 三 ) 极限

1. 数列极限的定义 对于数列 { xn } ，若当 n 无限变大

时， xn 趋于一个常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数

列 { xn } 以 A 为极限 . 记作lim ( )n nx

x A x A x

或 当

2. x→∞时函数的极限 若当 x 的绝对值无限增大时，函数 f (x) 趋近于一个常数 A ，则称函数 f (x) 当 x→∞

时以 A 为极限，记作lim ( ) ( ) ( )x

f x A f x A x

或 当

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若当 x > 0 且无限增大时，函数 f (x) 趋近于一个常数 A ，则称函数 f (x) 当 x→+∞ 时以 A 为极限，记作 lim ( ) ( ) ( ).

xf x A f x A x

或

若当 x < 0 且绝对值无限增大时，函数 f (x)

趋近于一个常数 A ，则称函数 f (x) 当 x→−∞ 时以 A 为极限，记作lim ( ) ( ) ( ).

xf x A f x A x

或

--

当

当

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3. x→x0 时函数的极限 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某

个邻域 ( 点 x0 本身可以除外 ) 内有定义，若当 x 趋于

x0 ( x ≠ x0 ) 时，函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x

趋于 x0 时，函数 f (x) 以 A 为极限，记作0

0lim ( ) ( ) ( ).x x

f x A f x A x x

或 当

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设函数 y = f (x) 在点 x0 右侧的某个邻域

( 点 x0 本身可以除外 ) 内有定义，若当 x > x0 且趋于

x0 时，函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于 x0

时，函数 f (x) 的右极限是 A ，记作0

0lim ( ) ( ) ( ).x x

f x A f x A x x

或 当

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设函数 y = f (x) 在点 x0 左侧的某个邻域 ( 点 x0

本身可以除外 ) 内有定义，若当 x < x0 且趋于 x0 时，

函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于 x0 时，函

数 f (x) 的左极限是 A ，记作0

0lim ( ) ( ) ( ).x x

f x A f x A x x

或-

-当

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4. 极限存在的充分必要条件 当 x→x0 时， f (x) 以

A 为极限的充分必要条件是 f (x) 在点 x0 处左、右极限

存在且相等，即0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x x

f x A f x f x A

-

5. 极限的运算法则 若 lim u(x) = A∙lim v(x) = B ，则(1) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) u x v x u x v x A B ；

(2) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) u x v x u x v x A B ；

( ) lim ( )lim .

( ) lim ( )

u x u x A

v x v x B

(3) lim ( ) 0 v x ，当 时

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6. 求极限的方法

(1) 观察法 利用极限的定义来观察并求出极限 .

(2) 利用函数的连续性

设 f (x) 是初等函数，定义域为 (a ， b) ，若 ，则

0 ( )x a b ，

00lim ( ) ( ).

x xf x f x

(3) 若函数 y = f (x) 在点 x0 处连续，则可交换函数

符号和极限符号，即

0 0

lim ( ) (lim ).x x x x

f x f x

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(4) 利用无穷小量与有界量乘积仍是无穷小量 .

(5) 利用无穷大量的倒数是无穷小量 .

(6) 利用两个重要极限 .

两个重要极限1

0 0

sin 1lim 1 lim(1 ) e lim(1 ) e.x t

x x t

xt

x x ， 或

两个重要极限的推论

0 0 x

sin tanlim lim lim(1 ) e .bx c ab

x x

kx kx ak k

x x x

， ，

都可用来求极限 .

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7. 有理分式的极限

(1) 设 x→x0 ，当分母极限不为零时，可直接利用函

数的连续性求极限 . 当分母极限为零时，又分为两种情况：若分子极限不为零，则有无穷小量是无穷大量的倒数可知原式的极限为无穷大；若分子极限为零，则分解因式，消去无穷小量因子后再求极限 .

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(2) x→∞ 时，若 a0≠0 ， b0≠0 ，则

10 1 0

10 1 0

0

lim

.

n nn

m mxn

n m

a x a x a an m

b x b x b b

n m

， ，

， ，

，

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则称函数 f (x) 在点 x0 处连续 .

( 四 ) 函数的连续性

00lim ( ) ( )

x xf x f x

，

1. 函数在点 x0 连续的定义 设函数 y=f (x) 在点 x0

的某个邻域内有定义，若当 x→x0 时，函数 f (x) 的极限

存在，且等于 f (x0) ，即

2. 若函数 y=f (x) 在定义域 D 中每一点连续，则称 y=

f (x) 是连续函数 .

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3. 函数在闭区间连续定义 若函数 y=f (x) 在区间 (a ，b) 内连续，且

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x a x b

f x f a f x f b

， ，

则称函数 f (x) 在闭区间 [a ， b] 上连续 .

4. 间断点 若 f (x) 在点 x0 处有下列三种情况之一，

则点 x0 是 f (x) 的间断点 .(1) 在点 x0 处， f (x) 没有定义；

(2) 0

lim ( )x x

f x

(3) 虽然 存在，但0

lim ( )x x

f x 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

不存在；

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5. 连续函数的运算法则 设函数 f (x) 与 g (x) 在点 x0

处连续，则( ) ( )f x g x 、 ( )( ) ( ) ( ( ) 0)

( )

f xf x g x g x

g x 、 在点 x0 处连续 .

设函数 在点 x0 处连续， y=f (u)

在点 处连续，则复合函数

在点 x0 处连续 .

( )u x 0 0( )u x

[ ( )]y f x

6. 初等函数的连续性 初等函数是连续函数 .

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7. 闭区间上连续函数的性质

(1) 有界性 闭区间 [a ， b] 上的连续函数是有界的 .

(2) 最大值和最小值定理 若函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，则它在这个区间上取得最大值和最小值 .

(3) 介值定理 若函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，m 和 M 分别为 f (x) 在 [a,b] 上的最小值与最大值，则对于 m<c<M ，存在 ，使得( )a b ，

( ) .f c

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(4) 推论 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且 f (a)

与 f (b) 异号，则存在 ，使得( )a b ，

( ) 0.f

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( 五 ) 本章知识结构图

函数 y=f(x)

几种特性初等函数分段函数

极限

单侧极限 极限存在的充分必要条件

无穷小量与无穷大量

运算法则

无穷小与极限存在的关系无穷小的性质无穷小与无穷大的关系0

( )

lim ( )x xx

f x A

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连续

函数在开区间上连续函数在闭区间上连续间断点的判定初等函数的连续性

00lim ( ) ( )

x xf x f x