大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。
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A. D. B. C. 一、有向線段與向量：. 1. 量與方向：. 事半功倍 。. 事倍功半 ；. 順風騎單車. 逆風騎單車. 大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。. 2. 有向線段與向量：. 當給定由 A 到 B 的方向後，. B. 就稱為由 A 到 B 的有向線段，. A. 例： 平行四邊形 ABCD 中，以 A 為始點，. 可決定幾個不同的向量 ?. 解：. To be continued 注意. 注意：. (1) 兩相異點可決定一線段，但可決定兩個有向線段。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
AB平面上一線段 ，
A AB B
簡稱向量 ，其中 為始點， 為終點。
大小相同但方向不同的量會產生不同的影響。
當給定由 A 到 B 的方向後，就稱為由 A 到 B 的有向線段，
一、有向線段與向量一、有向線段與向量：： 1. 量與方
向： 事倍功半 ； 順風騎單車
事半功倍。
2. 有向線段與向量：
逆風騎單車
BA
以符號 表之，
3AB AC AD
, , ，共 個。
A
B C
D例：平行四邊形 ABCD 中，以 A 為
始點，
解：
可決定幾個不同的向量 ?
To be continued To be continued 注意注意
AB
A
B
(2) 每個向量有確定的長度與方向，可以在任意位置上，
注意：
(1) 兩相異點可決定一線段，但可決定兩個有向線段。
只要確定起點與終點，則向量的位置就確定了。
| | A AB B
向量 的長度，以符號 表之。
0 0
以 表示之，且 的長度為零，
B BA A AB BA
一般以 表示 的反向量，即 。
3. 向量的長度：
6. 反向量：二個長度相同但方向相反的向量。
4. 相等向量：所有方向相同且長度相等的向量皆為相等向量。
其方向可視為任意方向。
稱為零向量，
5. 零向量：終點與始點為同一點之有向線段所表示的向量
本段結束本段結束
BB DADA AC
, , , ，
AB AC AD BC BD CD
, , , , , ，
A B C D
A
B C
D
7. 範例：如右圖，平行四邊形 ABCD 的四個頂點，
馬上練習：如右圖，同一直線上的相異 A 、 B 、 C 、 D 四點，
Ans ： 12 個。
可決定幾個不同的向量 ?解
：及其反向量，共 8
個。
可決定幾個不同的向量 ?
解： 及其反向量，共 12
個。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
＃＃
BC ACAB
OB OCOA
CDAB AC EDEB
A B
C
DE
A B
C B
O A
C
a
a
b
b
a b
二、向量的加減二、向量的加減法：法：
1. 向量的加法：
(1) 三角形法
(2) 平行四邊形法
(3) 多邊形法
本段結束本段結束
(1) a ab b
。
(2) ( ) ( )b ca ac b
。
(3) 0 0a a a
。
(4) ( ) ( ) 0a a a a
。
D
A B
C
a
c
ba b c
a bb c
2. 向量加法性質：
( )a b ba
我們規定：
POQ QOP
即 。
3. 向量的減法： P
O Q
R
a
a
b
ba b
本段結束本段結束
(1) ____ (2) ____AB BC AO AF AB
(3) ____ (4) ____OC OD AB AO OC
(1) AB B ACC
(2) AO A B AF DA
(3) OC O DCD
(4) AB A C CO BO
A B
C
DE
F O
5. 範例：如右圖，正六邊形 ABCDEF ，試完成下列的空格。
解：
(1) P P QOQ O
E EAB AB
例 ： ，O O GC CG
， D DP PA CAC
。
4. 向量的分解：
＃＃
(2) ( )P PQ QO O O
其中 為任 意點 。
1 60ABCD AB ABC 如右圖，菱形 ， ， ，
| | | |BC BA CD CB
求 與 。
| |BC BA
| | 1AC
，
| |CD CB
| |BD
2 22 cos120CB CD CB CD
2 2 11 1 2 1 1 ( )
2
A
B C
D
6. 範例：
解：
＃＃3 。
r s a b
,設 為實數 ,， 為任意向量。
(1) ( )r s a r a s a
0 ak k a
當 ，則 與 同向； 0 ak k a
當 ，則 與 反向。
(2) ( ) ( )r s a rs a
(3) ( )b br rar a
3 a
2 a
a
2 a
2 a
6 a
2 a
2 a
6 a
2 a
2 a
3 a
2 a
5 a
ab
2 2a b
a b a
b
2 2a b
a b
2 a
2 b
三、向量的係數三、向量的係數積：積： 1. 向量的係數
積：
注意：
本段結束本段結束
AB CD EF a b
將 ， ， 以 ， 表之。
43B bA a
，
2 aC bD
，
3 2aE bF
。
D AB是 的中點，
2AE AC DE x AB y AC x y
,且 ，設 ，求 之值。
DA AEDE 1
22
AB AC
。
12
2x y ， 。
A
B
C
D
E
2. 範例：
3. 範例：在 ABC 中，
解：
解：
E 是直線 AC 上的點，
EA
F
B
b
C
D
a＃＃
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
: 2 :1D AB AC CE 如右圖， 是 的中點， 。
DE x AB y AC x y
,設 ，求 之值。
1 3,
2 2x y 。
DA AEDE
1 3
2 2AB AC
。
A
B C
D
E
馬上練習：
Ans：
解：
＃＃
OA OB
令向量 與
3OA OB OA
設 與
3 OB ODOA
如右圖 ， ，
OD OA 與
ED
O A
B C
4. 範例：
所張成之平行四邊形的面積為 ，所張的平行四邊形面積為 k
，求 k 之值
。解
：
與平行四邊形 OACB
所以 k =1 。
所張平行四邊形
同底等高。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
OA OB
令向量 與
1 12
2 2OA OB OA
設 與
1
4 。
馬上練習：
所張成之平行四邊形的面積為 ，
所張的平行四邊形面積為 k ，
Ans ：
求 k 之值。
ED
O A
B C
＃＃
ba同向兩非零向量 ， 或反向時，
(1) / / ka b bka
，其中 為實數。
(3) b ya x
設 ， 不平行，且 ， 皆為實數，
0 a by
xx
若
/ / ( )b ba a
與 ， 不平行，矛盾
5. 向量的平行：
(2) 零向量與任意向量皆平行。
證明：
故 x = 0 。
同理 y = 0 。
/ / ba ab
稱 與 ，記為平行 。
0 0bax y x y
=若 ，則 。
To be continued To be continued (4) (4)
(4) a x y tb s
,設 不平行，且 ， ，， 皆為實數，
( ) ( ) 0x s ya bt
整理得 ，
0 0x s tba y
, 不平行 ， 。
x y s ta a xb s y tb
若 ，則 ， 。
證明：
c ax by
即平面上的每一向量 皆可唯一表示成 。
本段結束本段結束
PQ x AB y CD x y
設 ，求 、 之值。
53B bA a
， 2 aD bC
，
PQ x AB y CD
( )53 (2 )b ba ax y
(3 2 ) (5 )ax y x y b
3 2aP bQ
又 ，
3 2 3
5 2
x y
x y
比較係數 ，7 9
13 13x y 解之 得 ， 。
PA
Q
B
ab
C
D
解：
範例：右圖中每格均為相同大小的平行四邊形，
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
OBOA O OAx y x y B
設 ， 皆為實數，我們稱 為 與 的線性組合。BOA O
當 與 為兩不平行非零向量，
6. 向量的線性組合：
OP x y OO BA
唯則平面上的每一向量 一 表示皆可 成 。
解：
AB x PQ y CD x y
如右圖，設 ，求 、 之值。1 5
4 4x y
， 。
32Q bP a
，
2 aD bC
，
AB x PQ y CD
( )32 (2 )b ba ax y
(2 2 ) (3 )ax y x y b
2 2 bAB a
又1 5
4 4x y
比較係數解之 得 ， 。
PA
Q
B
C
D
Ans ：
馬上練習：
＃＃
14 5ABC P PA PB PC AB
若 ，且 滿足 ，
5PA PB PC AB
5PA PB PC PB PA
2 5PA PC
: 5 : 2P AC PA PC 為 內分 點且 。
5
7PAB ABC
A
B C
P5
2
7. 範例：
解：
PAB 求 的面積。
514 10
7 。＃＃
ABC M N AB AC在 中， ， 分別是 ， 兩邊的中點，
1/ /
2MN BC MN BC試證 ： 且 。
AN AMMN 1 1
2 2AC AB
1( )
2AC AB
1
2BC
。
1/ /
2MN MB BCNC 所 以 且 。
A
CB
NM
8. 三角形兩邊中點連線：
證明：
＃＃
: :P AB AP PB m n點 在 上，且 ，
n mP
m nO
OA OB
則 。
OA APOP
m
mABOA
n
( )m
mA AB O
nO O
OAn
Bm n n
Om
m
O
A BPm n
四、向量的分點四、向量的分點公式公式
1. 設 O 、 A 、 B 三點不共線，
證明：
本段結束本段結束
OBn
m n
O mA
。
OP xOA y OB x y
設 ，求 ， 之值。
5 2
2 5
O OA BOP
5 2 ,
7 7x y 。
3 2 3 2
2 3 5 5
OBOOP
POA OB
5 2
3 3OP OA OB 5 2
, 3 3
x y 。
1OP xOA y OB x y
，且 。
O
A BP2 5 O
ABP 2 3
(2) P 為外分點 A 為內分點：
P 為外分點時， x 、 y 兩者之中必有一負數。
特別地， P 為內分點時， x 、 y 均為正數。
解： (1) P 為內分點：
: 2 : 5AP PB 且 ，
註：設 O 是一定點，則 P 在直線 AB 上
2. 範例：已知 O 、 A 、 B 三點不共線，點 P 在直線 AB 上，
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
2 3 ,
5 5x y 。
1 2 1 2
1 2 3 3
OAOOP
POB OA
2 3OP OA OB
。
O
A BP3 2
O
A B P1 2
P 為外分點 B 為內分點：
解： P 為內分點：
馬上練習：已知 O 、 A 、 B 三點不共線，點 P 在直線 AB 上，
OP xOA y OB x y
設 ，求 ， 之值。: 3 : 2AP PB 且 ，
3 2
3 2
O OA BOP
2 , 3x y 。＃＃
3AB a AD b AN NC M BC
， ， ， 為 中點，
( )MN a b
求 。以 ， 表之
MN
3 1 1( ) ( )
4 2 4B BMb A
3 1 1 1( ) ( )
4 2 4 2b ba
D
A B
C
a
b
M
N
3. 範例：平行四邊形 ABCD 中，
解：
3 1
4 4MC MA
3k
k
1( )
4ab
。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
2P OAB AB BP AP C OB 在 的 邊上，且 ， 為 的中點。
CP xOA y OB x y
若 ，求 ， 之值。2 1
3 6r s ， 。
2 1 2 1
1 2 3 3
CBCACACP CB
2 1
( )3 3
CO OA CB
2 1 1 1( ) ( )
3 2 3 2OB OA OB
2 1
3 6OA OB
。2 1
3 6x y 故 ， 。
馬上練習：
Ans ：
解：
O
A k 2k
C
BP
＃＃
: 1: 2P BC BP PC 在 上， ，
AP BD Q交對角線 於 ，則：
(1) AP r AB s AD r s
設 ，求 ， 之值。
(2) AQ x AB y AD x y
設 ，求 ， 之值。
(1) A BPAP B
1
3AB BC 1
3AB AD
11 , s
3r 。
:1 3: :BQ DQ BP AD 得
3
1 3
A AAQ
B D
3 1 ,
4 4x y 。
C
A
B
D
Q
P
k
3k
4. 範例：設 ABCD 為平行四邊形，
解：
(2) 由 ADQ ~ PBQ ，
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
3 1
4 4AB AD
1 1 10
3 3 3GA GB GC OG OA OB OC
； 。
2(1)
3AG AD
2
3G BEB
2
3G CFC
0BGA CGG
0GA GB GC
。
五、三角形的重心與內心1. 重心：設 G 為 ABC 的重心，
則：
證明：
A
CBD
G
F E
To be continued To be continued (2) (2)
2 1 1( )
3 2 2AB AC
2 1 1( )
3 2 2BA BC
2 1 1( )
3 2 2CA CB
1 1
3 3AB AC
，
1 1
3 3BA BC
1 1
3 3CA CB
，
(2) (1) 0AG BG CG
由 知： ，
( ) ( ) ( ) 0OBOG A OG CGO OO
，
1
33
1
3
1OBA COO OG
。 A
CBG
O
本段結束本段結束
12
4ABC BD CD AE EC AF AB
中， ， ， ，
AG x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。
1 1 1
3 3 3AD AEAG AF
。
1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( )
3 2 2 3 3 4 3AB AC AC AB
1 7
4 18AB AC
A
B C
F
E
D
G
2. 範例：
解：因為 G 為 DEF 的重心
且 G 為 DEF 的重心。
1 7
4 18x y ， 。
＃＃
: :ABC A BC D BD CD AB AC 中， 的分角線交 於 ，則 。
DP AB DQ AC DP DQ 作 ， 。
: :2 2
AB DP AC DQABD ACD
: : ( )ABD ACD BD CD 又 同高
: :BD CD AB AC所 以 。
A
B CD
QP
o o
hh
3. 內角平分線：
證明：
( 角平分線任一點到角的兩邊等距離 )
:AB AC
To be continued To be continued 範 例範 例
ABC A BC D 中， 的分角線交 於 ，
4 6 5AB AC BC 已知 ， ， ，
2 : 3: :BD CD AB AC
3 2
5 5ABAD AC
A
B CD2 3
4 6
範例：
解：
AD x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。
3 2
5 5x y ， 。
本段結束本段結束
/ /CP AE 作 ，
A
B C E
ooooP oo
oo APC ACP
: :ACB APA AB :BE EC 。
AAP C
: :BE EC AB AC 則 。4. 外角平分線： ABC 中，若 A 之外角平分線交直線 BC 於
E ，
證明：
To be continued To be continued 範 例範 例
10 5 7AB AC BC 已知 ， ， ，
: : 10 : 5 2 :1BE EC AB AC 1 1
2 2AC AB AE
2AE AB AC
範例： ABC 中，若 A 之外角平分線交直線 BC 於 E ，
解：
AE x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。
1 2x y ， 。
A
B C E
105
7 7
本段結束本段結束
5 6 7AB BC CA 已知 ， ， ，
AI x AB y AC x y
若 ，求 ， 之值。
: : 5 : 7BD CD AB AC ，
56
5 7
5
2BD
，
: : : 2 :155
2AI ID BA BD ，
2
3I ADA 2 7 5
( )3 5 7
AB AC
7 5,
18 18x y 。
A
B C
I
D
5. 內心：設 I 為 ABC 的內心，
解：
本段結束本段結束
5k 7k
76
5 7
7
2CD
，
7 5
18 18AB AC
5
2
7
2
5 7
AP BC D直線 交 於 ，
(1) : (2) :BD DC AP PD求
(3) AP x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。A
B C
P
D
6. 範例：設 P 是 ABC 內部一點，已知 BPC 、 CPA 、 APB 之面積比為 5 ： 6
： 7 ，
解：
(1) : :BD nmDC 設
: :ABD AC m nD 。
: ( ) : ( )ABP ACP ABD PBD ACD PCD 又
: : 7 : 6mBD DC n 。
7 : 6 :m n 。
: :PBD PC mD n 。m n
(2) : :AP PD ABP PBD 7
7 : 5 13: 513
。
To be continued To be continued (3) (3)
7k 6k
66xx77xx
55xx
(1) : : 7 : 6BD D m nC 。7
(2) : : 7 : 5 13: 513
AP PD ABP PBD 。
13(3)
18AAP D
6 7
18 18AB AC
1 7 ,
3 18x y 。
A
B C
P
D7k 6k
A
B C
P
D7k 6k
13 6 7( )
18 7 6
AB AC
＃＃
66xx77xx
55xx
AP BC D直 線 交 於 ，
(2) AD x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。
(3) AP AB AC
設 ，求 ， 之值。
(1) 4 3 2PPA PB PCCPA BP
作 ， ， 。
0BP CA PP
1 1: sin : sin
2 2PAB PA B APPA PAPB PBB A PB 又
A
CBP
D
A
BC
A
CBP
D
7. 範例：設 P 為 ABC 內一點，
(1) 求 PAB ： PBC ： PCA 。
解：
P 為 ABC 的重心且 PAB = PBC = PCA 。
= 11 ： 43 = 1 ：12 。
4 3 2 0PA PB PC
且 。
To be continued To be continued (1)(1) PAB ： PBC ： PCA
1 1 1: :
12 6 8PA B PB C PC A
(2) : :BD DC PBD PCD 2 3: :PAB PAC 。
3 2
5 5ABAD AC 3 2
, 5 5
x y 。
同理， PBC ： PBC = 11 ： 32 = 1： 6 。
PCA ： PCA = 11 ： 24 = 1 ：8 。故 PAB ： PBC ： P
CA
A
BC
A
CBP
D1 1 11: 1: 1 2 : 4 : 3
12 6 8 。
A
C
P
D22kk 33kkTo be continued To be continued (3) (3)B
44xx33xx22xx
PAB ： PAB = 11 ： 43 = 1 ： 12 。
2(3) : : 2 : 4 5 : 4
5AP PD ABP PBD 。
5
9P ADA
5 3 2( )
9 5 5AB AC
1 2
3 9 ， 。
A
CB
P
D2k 3k
0 : : : :PPA n PAPBm PCA mPC B nBC
若 。注意：
3 024 PA PB PC
例： PBC ： PCA ： PAB = 4 ： 3 ：2 。
＃＃
PAB ： PBC ： PCA = 2 : 4 : 3
1 2
3 9AB AC
44xx33xx22xx
A
CB
P
44xx33xx22xx
1 2:
3 3P OAP BO O
為內分點
2 1:
3 3Q OAQ BO O
為內分點
4 1:
3 3R OAR BO O
為外分點
QA
R
B
P
O
六、三點共線的性六、三點共線的性質：質：1. 三點共線的線性組
合： 例：如圖，每個小平行四邊形皆全等，
1 21
3 3 且 ，
2 11
3 3 且 ，
4 1( ) 1
3 3 且 。
P 、 Q 、 R 三點皆在直 AB 上，則
本段結束本段結束
1OP xOA y OB x y
，且 。
5 2:
7 7OAOP OBP
為內分點 。
5 2
3 3OAOP OB
。
2. 三點共線的充要條件：設 O 是一定點，則 P 在直線 AB 上
O
A BP2 5
O
ABP 2 3
3 2:
5 5P OPA BO O
為外分點
5 21
7 7
5 2( ) 1
3 3 。
To be continued To be continued 證明證明
(2) 1OP xOA y OB x y P AB
『 ，且 在直 線 上。』
1OP xOA y OB x y
若 ，且 。
1OP xOA x OB
( )OP OB x OA OB
xBP BA
。 故點 P 在直線 AB 上。註：特別地， P 為內分點時， x 、 y 均為正
數。P 為外分點時， x 、 y 兩者之中必有一負數。
(1) 1P AB OP xOA y OB x y
『 在直 線 上 ，且 。』
/ /P AB AP AB
若 在直 線 上 AP ABt t
， 為實數。
( )tOP OA OB OA
(1 )tOP O tA OB
即
證明：
，此時 x=1t ， y=t ， x+y = (1t)+t = 1 。
本段結束本段結束
( )x OA OB OB
(1) 3 0AP AB 2 3
(2)5 5
OP OA OB 1 1
(3)4 3
OP OA OB
5 2(4)
3 3OP OA OB 7 2
(5)5 5
OP OA OB
(1) 3AP AB2 3
(2) 15 5
且均為正數
1 1(3) 1
4 3
5 2(4) 1
3 3
且一正一負
7 2(5) 1
5 5
3. 範例：設 O, A, B 三點不共線，下列選項中的 P 點何者必在直線 AB
上 ?
解：
P 在直線 AB 上。
P 為外分點。
P 為內分點。
不共線。
所以正確選項為 (1) (2) (4) 。
不共線。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
1(1) 3 0
2AP AB 2 7
(2)5 5
OP OA OB
11 4(3)
7 7OP OA OB
(4) 2 3OP OA OB
(5) 5 4OP OA OB
馬上練習：設 O, A, B 三點不共線，下列選項中的 P 點何者必在直線 AB
上 ?
Ans ： (1)(2)(3)(4)(5) 。解： (1) P 在直線 AB
上。(2) P 為內分
點。(3) P 為內分
點。(4) P 為內分點。
(5) P 為內分點。
＃＃
OAB E OA D BE 中 ， 在 上， 在 上，1 1
:2 4
OD OA OB OE EA
且 ，求 。
OA t OE
設 ，
1 1
2 4OAOD OB
則
1 1
2 4OE Bt O
。
1 11
2 4t
3
2t 。
3
2EOA O
得 ， : 2 :1OE EA 所 以 。
O
A BD
E
4. 範例 ( 一次共線 ) ：
解：
因為 E 、 D 、 B 三點共線
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
OAB C OB D AC 中 ， 在 上， 在 上，
3 1:
5 5OD OA OB OC CB
且 ，求 。
OB t OC
設
3 1
5 5OAOD OB
3 11
5 5t
O
A
C
DB
馬上練習：
Ans ： 1 ：1 。
解：
因為 A 、 D 、 C 三點共線
＃＃2 : 1:1t OC CB 。
3 1
5 5OCtOA
OAB P AB Q OP 中 ， 在 上， 在 上，
9 3:
20 10OQ OA OB OQ PQ
且 ，求 。
OQ t OP
設 ，
9 3
20 10OQ OA OB
由 ，
9 3
20 10t OP OA OB
得
9 3
20 10OAOP
tOB
t
，
9 31
20 10t t
3
4t 。
3
4OQ OP
， : 3 :1OQ PQ 故 。
O
AP
Q
B
5. 範例：
因為 A 、 P 、 B 三點共線
解：
＃＃
ABC D AC 中 ， 為 的中點，
: 2 :1AE EB BD CE P 且 ， 與 交於 點。
AP x AB y AC x y
設 ，求 ， 之值。
x AB y CAP A
3
2AEx Cy A
31 (1) , ,
2Px y E C 共線。
x AB y AAP C
又
2 Ax AB Dy
2 1 (2) , ,x y B P D 共線。1 1
(1)(2)2 4
x y 由 解 得： ， 。
A
BP
D
C
E
6. 範例 ( 二次共線 ) ：
解：
＃＃
j
i
ji x y
設 ， 分別為坐標平面上 軸與 軸上的單位向量。
a b v x y
稱 與 是向量 的 分量與 分量，
2 )2,3(3 jAB ABi
例：
1( , )5 5jD DiC C
4 4( , )2 2jEF Ei F
( ,6 63 3)i PQjPQ
(1,0)i
單位向量 ，
y
Q
A
O
B
C
D
xP
E
F
七、向量的坐標表示七、向量的坐標表示法：法： 1. 向量的坐
標：
注意：
j vi
因為 與 不平行，所以任意向量 皆可唯一表成
( , )av b
記作 。
b ja i 之形式。
(0,1)j
。To be continued To be continued 說 明說 明
12 12( , )xx yPQ y
則 。
1 1 1 1( , )OP i jx y x y
，
2 2 1 1( ) ( )x i y j x i y j 1212( ) ( )i jx x y y
1 2 12( , )yx yx 。
1 21 2( ) (, ),Q xP x y y若 ， ，
y
Ox
P(x1, y1)
Q(x2, y2)說明：
21 21 ,(,( ) )P x y Q x y 若 ， 為坐標平面上兩點，
注意：
2 22
1 12| | ( ) ( )x yP xQ Q yP
則 。
OQ OPPQ 2 2 2 2( , )OQ i jx y x y
，
本段結束本段結束
22( , ) | |a av v vb b
設向量 向量 的長度 。
, )4( 3v
2 2| 0 11| i
，
v
u
y
O x
2. 向量的長度：
例如：
注意：
, )3(2u
2 2( 3) 4| | 5v
。
2 2| | 132 3u
。
2 21| | 0 1j
。
本段結束本段結束
2 2 121 1 21 ( , ), ,( )u x v x y v x yy u x y
已知 ， ，則 。
( , ) BCD y ADx
設 ，因為 ， A(3, 7)
B(2, 0) C(4, 3)
D(x, y)
3. 向量的相等：
解：
範例：平行四邊形 ABCD 中，已知 A(3, 7) ， B(2, 0) ，
x = 1 ， y = 4 。
x 3 = 4 + 2 ，
則 ( x3 , y(7) ) = (4(2) , 30 )
C(4, 3) ，求 D 點的坐標。
故 D(1, 4) 。 本段結束本段結束
y + 7 = 3
21 1 2 21( , ,) ( )v x y v x yr
設 為實數，若 ， ，
2 2 2 21 1 1 1 21 1 2(1) ( , ) ( , )v v x y vx y v x yx y
； 。
1 1 12 2 2( ) ( )v x i y jv x i y j
2121( ) ( )i jx x y y
2 1 21( , )yx yx 。
1 1 12 2 2( ) ( )v x i y jv x i y j
1 12 2( ) ( ) )ix yx y j
2 1 21( , )yx yx 。
1 1 1(2) ( , )r rv x ry
。
1 1 1( )v x i yr jr
1 1x ir y jr
1 1( , )x ryr 。
證明：
4. 向量的坐標運算：
證明： 本段結束本段結束
(1, 3) ( 2,4) ( 1, 2)a b c
設 ， ， ，
4 4 2 2( )a b c a c d
若向量 ， ， ，
d
其首尾相接恰能圍成四邊形，求 。
24 ( 0)(4 2 ) dac cba
6 4 4d a b c
6(1, 3) 4( 2,4) 4( 1, 2)
(3, 1) , (4, 2) ,AB AC ABC
已知 求 的周長。
BC
AC AB
(4,2) (3, 1)
ABC AB BC CA 的周長
10 10 20
4 a
2( )a c
4 2b cd
5. 範例：
解：
馬上練習：
解：首尾相接恰可圍成四邊形 向量和為零向
量。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
＃＃
= (2 , 6) 。
(1,3) 。
2 10 2 5 。
(3,1) ( 7, 9)a b
設 ， ，
(3,1) ( 7, 9)t b ta
( 7, 9)3t t ，
2 2| | (3 7) ( 9)t a b t t
210( 3) 40t 。
| | 2 10t a b
有最小值 。
6. 範例：
解：
故當 t = 3 時，
| |t a b t
求 的最小值，及此時的 值。
＃＃
2 21 2 21 21( , ) ( , 0)v x y v xr y x y
設 為實數 ，若 ， ，且 ，
1
2
11 2
2
/ /x y
v vx y
則 。
21 2 1/ / t tvvvv
， 為實數。
1 2 21( , ) ( , )y t xx y
21 1 2t tx yx y ，
1
2
1
2
x y
xt
y 。
7. 向量的平行：
證明：
To be continued To be continued 範 例範 例
(2, 4) ( 3,5) (6, 9)t a b c
設 為實數 ， ， ， ，
( ) / /a t b c t
已知 ，求 的值。
( ) / /a t b c
(2 3 , 4 5 ) / / (6, 9)t t
2 3 4 5 =
6 9
t t
2t 。
(3,4) (2, 1)a b
設 ， 。
( ) / /( )a k b a b
(3 2 ,4 ) / / (1,5)k k
3 2 4 =
1 5
k k 1k 。
範例：
解：
馬上練習：
解：
( ) / /( )a k b a b k
若 ，求實數 的值。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
＃＃
(9, 12) (4, 3)AB AC AD AB t AC
設 ， ，若 ，
AD BAC AD
且 平分 ，求向量 。
| | 15 | | 5ACAB
， ，
B CAD A
欲使 平分
| | || | | 3AB ACtA C
則 必
3t 。
(93 3(4,, 3)12)A AD B CA
故
oo
C
A B
Dt AC
8. 範例：
解：
( ∵ 菱形的對角線即為分角線 )
(21, 21) 。＃＃
1 2 21 ( , )( , )A x y B x y設 與 為坐標平面上的兩點，
: :PBP nA m且 ，
nOAOP
OB
m n
m
則 1 21 2( , ( ,) )mn x
m
y y
n
x
1 212 ,( , )xmx mynx ny
yn nm m
即 。
P PAB當 為 的中點， 點的坐標
O
Pm nA(x1, y1) B(x2, y2)
八、分點公八、分點公式：式：1. 分點公式：
證明：設原點 O(0, 0) ， P(x, y) ，
注意：
ABP若點 在線段 上，
1 212 ,nx nmx my
Pnm m
y
n
則 點的坐標為 。
1 1 1 2 12 2 2
1 11, ,
2 21
x yx y x yx y 為 。
本段結束本段結束
(2,5) ( 3,0)A B P AB坐標平面 上，設 ， ， 點在直 線 上，
: 2 : 3AP PB P且 ， 點的坐標。
(1) AP B當 為 的內分點，
3 32 ( 3)
3 3
2 5 2
2 2
0,P
(2) P AB當 為 的外分點
PBA 為 的內分點
( , )P x y設
62 , 5
3 3
x y
2 ： 1 B(3, 0)
A(2, 5)
P(x, y)
B(3, 0)A(2, 5)
P(x, y)
2 ： 3解
：
2. 範例：
2 1: :PA AB ，
(12,15)P 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
(0,3) 。
( 3)2 2
2
1 1
1
0,2 5
2( )
1,A
x y
(2, 1) ( 1,5)A B P AB 坐標平面 上，設 ， ， 點在直 線 上，
: 1: 2AP PB P且 ，求 點的坐標。
(1) AP B當 為 的內分點，
2 ( 1)2 2
2 2
( 1) 5,
1 1
1 1P
(2) P AB當 為 的外分點
: :1 1PB PA AA B 為 的內分 點，得
( , )P x y設
1 52 , 1
2 2
x y
B(1, 5)A(2, 1)
P(x, y)
1 ： 2
B(1,5)
A(2, 1)
P(x, y)
1 ： 1
馬上練習：
解：
Ans ：當 P 為內分點， P(1, 1) ；當 P 為外分點， P(5, 7) 。
＃＃
(1,1) 。
1 1
1
( 1) 5,
1(2, 1)
1
1 1
1
x yA
(5, 7)P 。
(2, 8) ( 6, 2) (6, 5)ABC A B C 中，設 ， ，
A BC D D若 之平分線交 於 ，求 點的坐標。
: :BD CD AB AC 110 : 5 :2 ，
2 2
2
1 1
1
( 6) 6 ( 2) ( 5),
2 1D
(2, 4) 。
A BC E若 之外角平分線交直線 於 ，
: :BE EC AB AC
C BE 為 中點
(18, 8)E 。
D
o o
12B(6, 2) C(6, 5)
A
A
E
oo
k
2k
B(6,2) C(6,5)
馬上練習：承上例，
3. 範例：
解：
(18, 8)E 。Ans ：解
：
求 E 點的坐標。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
＃＃
510
12 :5
10
1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , )ABC A x y B x y C x y設 中 ， ， ， ，
1 2 3 1 2 3( , )3 3
x x x y y yABC G
則 的重心 。
2 3 2 3,2 2
x x y yB DCD
設 為 中點
2: 1:ABC AG GDG 為 重心 。
2 3 2 31 11
2 22 1
1
2,
12 2
x x y yx y
G
G1
2
A(x1, y1)
B(x2,
y2)C(x3, y3)
2 3 2 3( , )2 2
Dx x y y
4. 重心的坐標：
證明：
1 2 3 1 2 3,3 3
x x x y y y
。本段結束本段結束
1 5( , ) ( 1,3)3 3
ABC G AB M 已知 的重心 ， 的中點 ，
1( ,0) , ,2
BC N A B C的中點 ，求 的坐標。
: 1, :( ) 2MGC y GCx 設 ，且 ，
2 1 2 1,
1
1 5( , )
( 1) 3
2 13 3 2
x yG
( , ) (3, 1)C x y 。
1( ,0)2
N BC 為 的中點 ( 2,1)B 。
( 1,3) AM B 為 的中點 (0,5)A 。
A
CB
M(1, 3)1 5
( , )3 3
G
1( ,0)2
N
5. 範例：
Ans ： A(0, 5) 、 B(2, 1) 、 C(3, 1) 。
解：
＃＃
2k
k
2 1 12( , )xAB x yy
則
0
但不 可以是 。
1(1) Ld
設 為直線 的一個方向向量，
2 Ld也是直 線 的一個方向向量。
A(x1,
y1)
LB(x2,
y2)
1d2d
九、直線參數九、直線參數式：式：
1. 方向向量：設 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) 為直線 L 上的相異兩點，
直線的方向向量可長可短，且可指向相反的兩個方向，
稱為直線 L 的一個方向向量。
12 2/ / 0ddd
若 ，且 ，
To be continued To be continued (2) (2)
(2) ( , )L dm
m
若直線 的斜率為 ，則 為一個方向向量。
2 1
12
yL
xx
y
則直線 的斜率為 。
12 2 1( , )x yyAB x L
此時 為直線 的一個方向向量。
0a
L ax by cb
： 的斜率為
( , )d b a L
是 的一個方向向量。
說明：設 A(x1, y1) 、 B(x2, y2) 為非鉛直線 L 上的相異兩點，
注意：
To be continued To be continued 範例範例
3 4 5 0 (5,5)( 3, 1)AL y Bx 例：直線 ： 上兩點 ， ，
(8,6)AB L
為直線 的方向向量。1
(4,3)2
AB L
而且 亦為 的方向向量。3 3
3 4 5 04 4
L x y
另外， ： 的斜率為 ，
(4,3)d L
為 的方向向量。
( , )L P x y若在直線 上任取 一點 ，
/ /AP d
tAP td ， 為實數。
1 4 33, ,x y t
4
1 3
3x t
y t
3 ,
4
31
x tt R
y t
。
4
3 ,
3
1
x tt R
y t
我們稱 ，
A(3,1)
LB(5,5)
1
2AB
A(3, 1)
L
P(x, y)
(4,3)d
為直線 L 的參數式。
本段結束本段結束
( , )d m L
而 為直線 的方向向量。0
0
, m
x x tt R
y ty
。
/ /AP d
tAP td ， 為實數。
0 0 ( , ),x yx y mt
0
0
tx
y y mt
x
0
0
, t
t Rt
x
y
x
y m
。
/ /AP P Ld
則 點在直 線 上。
0
0
, m
x tt R
x
yy t
我們稱 ，
2. 直線的參數式：設 A(x0, y0) 為直線 L 的定點，
則直線 L 上的任意一點 P(x, y) 皆可表為說明：若在直線 L 上任取一點 P(x, y) ，
A(x0, y0)
( , )d m
L
P(x, y)
為直線 L 的參數式。
反之，若點 P(x, y) 滿足上式，
本段結束本段結束
(1) ( 3, 2)d AB
令2 3
: , 1 2
x tL t R
y t
。
22 3 0
3t t 當 7
(0, )3
L y 與 軸交於 。
3. 範例：已知 L 為通過 A(2, 1) ， B(1, 3) 兩點的直線，則：
(1) 求 L 的參數式。 (2) 求 L 與 y 軸的交點坐標。
解：
(2) L 上任一點的坐標，都可表示成 (23t, 1+2t) ，
注意：直線 L 有無窮多個點，也有無窮多個方向向量
( 長短變化、反向變化 ) 任取一點，任取一方向向量，
即得一個參數式，所以直線的參數式不是唯一。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
1: , (3,6)
2 4
x atL t R A L
y t
設直線 ，且 在 上，
3(3,6)
6
1
2 4
x aL
y tA
t
在 上
1t 31 a
1 4: ,
2 4
x tL t R
y t
。
12 4 0
2t t 當 ( 3,0)L x 與 軸交於 。
馬上練習：
Ans ： (0, 3) 。
解：
L x 求 與 軸交點。
＃＃
4a 。
2 3: ,
4 5
x tL t R
y t
將直線參數式 ，化成一般式。
2 3
4 5
x t
y t
令 ，j
k
3 2: ,
4 3
x tL t R L
y t
已知直線 ，求 的一般式。
3 2
4 3
x t
y t
令 ，j
k
4. 範例：
解：
馬上練習：
由 5 + 3 ，消去 t
解：
Ans ： 3x 2y = 1 。
由 3 2 ，消去 t
得 5x + 3y = 22 。
得 3x 2y =1 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
＃＃
1
1 2 1 5(2) : , : ,
1 3 2 3
x t x sL t R L s R
y t y s
求直 線 ，與 ，的交點坐標。
(1) 3 2 5x y 由3 5
2 2y x , 3 5
2 2
x tt R
y t
。
(2)x
y
交點有相同 坐標交點有相同 坐標
1 2 1 5
1 3 2 3
t s
t s
4
7s 解聯立得
131 5
72
27
4
74
73
x
y
5. 範例：已知直線 L ： 3x 2y = 5 ， (1) 求 L 的參數式。
解：
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
(1) 3 2 5x y 由2 5
3 3x y
2 5 , 3 3
x tt R
y t
。注意：
13 2( , )
7 7 交點坐標 。
1 2
2(1) : 3 8 0 : ,
3 2
x tL x y L t R
y t
求 與 ，的交點坐標。
1 2
3 2 3(2) : , : , s
2 1
x t x sL t R L R
y t y s
求 與 ，的交點坐標。
2
2(1) : 2 1
3 2
x tL x y
y t
，3 8
2 1
x y
x y
解聯立
1
3
x
y
。3 2 3(2)
2 1
x t s
y t s
相同，
相同
1t 解聯立得( 1)3 2 1
2 3( 1)
x
y
。
解：
Ans ： (1) (1, 3) (2) (1, 3) 。
馬上練習：
我是分隔線
＃＃
(1) AB試以參數式表 出線段 。1 2
(2) : , 1 21
x tPQ t PQ
y t
設 的參數式為 ，求 的長。
(( 21) 0, 4)AB
，
(20,( ) ( 2,5) 4)ABA
且 坐標 (18,1)B 。20
4: ,
2 1
50
x tAB t
y t
。
2 2( 3) ( 1 2)3PQ
( , )d m t
加上 的 倍，
A(2, 5)
(20, 4)AB
B(18, 1)
6. 範例：設 A(2, 5) 、 B(18, 1) ，
解：
(2) 當 t = 1 ，得點 P(3, 2) ；當 t = 2 ，得點 Q(3, 1) ；
注意：直線 L 參數式以 A(x0, y0) 為起點，
因此，當限制參數 t 的變化範圍在固定範圍時， 參數式所表示的圖形就只是直線的一部分了。
只要控制實數 t 的大小，就可到達 L 上的任意點 P(x,y) 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !3 5 。
PA PB使 有最小值。
14( ,0)
5P 。
2
1
4: ,
5
x tA B t R
y t
。
1 5 0t 當 14( ,0)
5P 所 求 。
xP 14
( ,0)5
馬上練習：已知 A(2, 1) ， B(6, 4) ，求 x 軸上一點 P ，
解： A(2, 1) 關於 x 軸的對稱點
Ans ：
為 A(2, 1) 。
A(2,1)
B(6,4)
A(2,1)
本節結束本節結束
1
5t
本段結束本段結束Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !＃＃
To be continued To be continued 注 意注 意
(1) 0f
(2) 0f
總複習 第九章 結束總複習 第九章 結束To be continued To be continued 範 例範 例
