直线、平面及综合问题

直线、平面及综合问题直线、平面及综合问题

工程制图基础精品课程之专题一

华北水利水电学院土木与交通学院结构教研室

本专题主要内容：1. 直线上的点2. 直线的投影分类和特点3. 直角三角形法4. 两直线位置关系的判别5. 平面的投影分类和特点6. 平面对投影面的最大斜度线7. 直线和平面、平面和平面的平行问题8. 直线和平面、平面和平面的相交问题

1. 直线上的点直线上的点的投影特点，可归结为从属性和定比性。(1) 从属性点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上。

专题一：直线、平面及综合问题

专题一：直线、平面及综合问题 (2) 定比性直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两段

在同一投影面上的投影长度之比。


2. 直线的投影分类和特点根据空间直线和投影面位置关系的不同，直线可分为投影面

垂直线、投影面平行线、一般位置直线。 (1) 投影面垂直线：垂直于一个投影面，而平行于其他两个投影

面的直线。 (2) 投影面平行线：平行于一个投影面而垂直于其他两个投影面

的直线。 (3) 一般位置直线：倾斜于三个投影面的直线。


(1) 投影面垂直线：分为铅垂线、正垂线、侧垂线三种。 a. 铅垂线


b. 正垂线


c. 侧垂线


(2) 投影面平行线：分为水平线、正平线、侧平线三种。 a. 水平线


b. 正平线


c. 侧平线


(3) 一般位置直线一般位置直线和三个投影面都倾斜，它的投影不能直接反映

直线段实长和对投影面的倾角，需要用直角三角形法辅助解决。


3. 直角三角形法

如右图所示，作辅助线 AB0 垂直于 Bb ，得到直角三角形 ABB0 。


上述方法在投影图中可按以下方式实现：

不难证明，可以用同样的方法，求得直线段的实长和对 V面的倾角 β和对 W 面的倾角 γ 。


综上所述，直角三角形法可归纳为：要求一般位置直线段的实长和对某投影面的倾角，应以直线

段的某一面投影长度为一条直角边，以直线两端点到该投影面的距离差为另一条直角边，做直角三角形，三角形的斜边即为实长，斜边和该面投影的夹角即为所求的倾角。

注意：在实际问题中，也可能已知了一般位置直线段的实长或倾角，来求解直线段的投影。

专题一：直线、平面及综合问题例 1.1 ：已知直线 AB 的长度为 25 ，水平投影 ab 及正面投

影 a′ ，试画出它的正面投影。

(1) 过 a 或 b 作投影 ab 的垂线。(2) 过投影 a 作半径为 25(AB实长 ) 的圆，和垂线交于 B点， aB 为实长， bB 为Zab 。(3) 作距 a′ 为 Zab 平行于 X轴的平行线。

(4) 过 b 作垂线，交点为 b′ 。(5) 连接 a′b′ ，即为所求。(6) 加深 a′b′, 完成作图。

作图步骤：


4. 两直线位置关系的判别 (1). 两直线平行在已知三面投影的情况下，两直线三面投影平行可判定两直

线空间平行，反之也成立。在已知两面投影的情况下，两直线空间平行，可判定两直

线同面投影平行。一般情况下，两直线两面投影分别平行，可判定两直线空间

平行。但当两直线同平行于某投影面时，还要由两直线在该投影面的投影是否平行来判定两直线空间平行。


例 1 ：判断两直线 AC 、 BD 是否平行。

作图步骤：(1) 做出第三投影。(2) 给出立体图。

( 平行 )


例 2 ：判断两直线 AC 、 BD 是否平行。

作图步骤：(1) 做出第三投影。(2) 给出立体图。

( 不平行 )


(2). 两直线相交在已知三面投影的情况下，两直线三面投影相交且交点是同

一点的投影可判定两直线空间相交，反之也成立。在已知两面投影的情况下，两直线空间相交，可判定两直

线同面投影分别相交且交点是同一点的投影，反之也成立。注意：对“交点水同一点的投影”有时要通过定比分点或者

作出第三面投影来加以判别。


例：判断两直线 AC 、 BD 是否相交。

方法一：作出第三投影。

方法二：用比例法判断。(1) 作任一直线 b1 ，连接

a1 ，过 f 作 f2∥ a1 ，交于 2 。(2) 过 b’ 作 b’1=b1 ，连接 a’1 ，过 2 作2f’∥ a’1 ，可看出 F 不是交点，即两直线不相交。

（不相交）（不相交）


(3). 两直线交错如果已经判定两直线既不相交也不平行，那么两直线一定交

错。在两直线交错时，要学会判别重影点的可见性。


(4). 两直线垂直当构成直角的两条直线中，有一直线是投影面平行线，则此

两直线在该投影面上的投影仍相交成直角。上述定理的逆定理也成立。

另外，如果两直线互相垂直，它们在某一投影面上的投影也互相垂直，则此两直线中至少有一直线平行于该投影面。

注意：上述结论不仅在两直线相交的时候成立，在两直线交错的时候也成立。


几种两直线垂直的投影图。

（垂直异面）

（垂直异面）

（垂直相交）

（垂直相交）


例 1.2 ：判别下列两直线的位置关系（对于垂直的直线要注明是否垂直）。

（异面）

（平行）

（异面垂直）

（异面）


例 1.3 ：已知矩形 ABCD 的部分投影，试补全该矩形的两面投影。

作图步骤：(1) 根据直角投影定理过 b’ 作

a’b’ 的垂线得到 c’ 。(2) 根据平行关系得到 d’ 的投影。(3) 同理得到 d 的投影，连接、加

深，完成全图。


例 1.4 ：已知点 A 和水平线 BC 的投影，试求 A 到 BC 的距离。

作图步骤：(1) 根据直角投影定理过 a 作 ak⊥bc 。(2) 作出 k’ ， AK 即为垂线。(3) 利用直角三角形法，求出实长

TL 。


5. 平面的投影分类和特点根据空间平面和投影面位置关系的不同，平面可分为投影面

平行面、投影面垂直面、一般位置平面。 (1) 投影面平行面：平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影

面的平面。 (2) 投影面垂直面：垂直于一个投影面而平行直于其他两个投影

面的平面。 (3) 一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面。


(1) 投影面平行面：分为水平面、正平面、侧平面三种。 a. 水平面


b. 正平面


c. 侧平面


(2) 投影面垂直面：分为铅垂面、正垂面、侧垂面三种。 a. 铅垂面


b. 正垂面


c. 侧垂面


(3) 一般位置平面：一般位置平面的三面投影都不会积聚或者反映实形，对投影

面的倾角也不能从图中直接看出。


6. 平面对投影面的最大斜度线 (1). 平面上的投影面平行线不管平面相对于投影面处

在什么位置，总能在该平面上画出平行于各投影面的直线，这样的直线叫做平面上的投影面平行线。

● 红线为平面 ABC 平面上的水平线。

● 绿线为平面 ABC 平面上的正平线。


(2). 平面的最大斜度线画法几何中，把平面上垂直于该平面迹线及其平行线的直线，称为平面的最大斜度线。

最大斜度线有三种，即平面上对 H 面的最大斜度线( 也称最大坡度线、滚坡线 ) 、对 V 面的最大斜度线和对W 面的最大斜度线。


例 1 求△ ABC 平面上对 H 面的最大斜度线(1) 在△ ABC 上作出水平线 A1 。

(2) 过投影 b 作直线⊥ a1 ，交 ac 于 2 。作出 b’2’的投影。 B2 即为对 H 面的最大斜度线。

注 : 可以依次在△ ABC 平面上作出对 V 面的最大斜度线及对 W 面的最大斜度线。


值得注意的是，平面对某一投影面的倾角，就是平面上对该投影面的最大斜度线的倾角。利用这一点可以求得一般位置平面对投影面的倾角，如图所示。


7. 直线和平面、平面和平面的平行问题 (1). 直线和平面平行

由初等几何知，如果平面外一直线平行于平面上的任意直线，则该直线平行于该平面。

如右图所示 ,直线 EF 的投影 ef∥c1 ， e’f’∥c’1’ ，所以直线 EF∥△ ABC

专题一：直线、平面及综合问题 ●如果平面内找不出与平

面外直线平行的直线，则该直线与平面不平行。

●对于投影面垂直面，只要空间直线的一个投影与平面的相应的积聚投影平行，则直线与平面就彼此平行。

不平行平行


(2). 平面和平面平行由初等几何知，如果某一平面上的相交两直线，分别平行于

另一平面上的相交两直线，则这两平面平行。

专题一：直线、平面及综合问题对于两个投影面垂直面，只要它们的积聚投影平行，就可判

定两平面平行。反之则可判定两平面不平行。

( 平行 )

( 不平行 )


8. 直线和平面、平面和平面的相交问题 (1). 直线和平面相交 a. 直线有积聚性

一般位置平面和投影面垂直线相交，再直线所垂直的投影面内交点的投影为已知，可利用面上取点的方法求出交点的另两面投影。

直线和平面相交时，必然要发生遮挡。需要判别可见性。

可见性一般以交点为界，在交点一侧甲元素可见，另一侧必为乙元素可见。


作图步骤： (1) 补出直线、平面第三投

影， k” 即为交点投影。 (2) 过 k” 在平面中作直线

求出 k 及 k’ 。

(3) 利用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点的可见性判断直线的可见性可见性。


b. 平面有积聚性

一般位置直线和铅垂面相交，交点的水平投影为已知，可利用线上取点的方法求出交点的正面投影。

在线、面相交时，对于具有积聚性的平面，在其投影积聚的那个投影面上，由于面的投影变为线，所以不需要判别可见性。


作图步骤： (1) 由于△ ABC 为铅垂面，

水平投影中 k 为交点。 (2) 求出交点的正面投影 k’

并判断可见性。


(2). 平面和平面相交 a. 一个平面有积聚性

例求两平面的交线，并判断可见性。

作图步骤： (1)因为□ ABCD 为铅垂面，

水平投影交线如图。 (2) 求出交线的正面投影。

(3) 判断可见性。


b. 两个平面都有积聚性

例求两平面的交线，并判断可见性。

作图步骤： (1)因为两平面均为正垂面，正面投

影交点即为交线投影。

(2) 求出水平面交线投影。



(3). 直线和平面垂直由初等几何可知，一直线如果同时垂直（含相交垂直和交错

垂直）于平面上两条相交直线，则该直线垂直于该平面。反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面上所有的

直线。垂直于平面的直线，必垂直于平面上的水平线和正平线，所

以其水平投影必垂直于平面上的水平线的水平投影；其正面投影必垂直于平面上的正平线的正平投影。

垂直于直线 A 的平面，其上的任意直线均和直线 A 垂直，包括平面上的水平线和平面上的正平线，而平面上的水平线的水平投影必垂直于直线 A 的水平投影，平面上的正平线的正面投影必垂直于直线 A 的正面投影。


例 1.5 ：过△ ABC 外一点M ，做直线 MN 垂直于该平面。

作图步骤：

(1) 在△ ABC 上作正平线和水平线。

(2) 过M 作正平线和水平线的垂线，MN 即为所求。


例 1.6 ：已知直线 MN 以及直线外一点 A ，试过点 A 做出一平面与直线 MN 垂直。

作图步骤：

(1) 过 A 点作△ ABC⊥直线 MN 。

(2) 求直线 MN 和△ ABC 的交点 K 。



(3). 平面和平面垂直由初等几何可知，如果平面包含一条垂直于另一平面的直线，

则该两平面垂直。


例 1.7 ：试过点M 作平面垂直于△ ABC 平面。

作图步骤：

(1) 过M 点作直线⊥△ ABC 。

(2) 在直线上截取MN 。

(3) 过 MN 任意作平面均⊥△ ABC 。

本专题结束谢谢收看！

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