三次多項式圖形探討

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1 三次多項式圖形的基本探討 張海潮教授/臺灣大學數學系(退休) 照現行高中課程的設計,到了高三才開始學多項式的微分;學了之後,要分析三 次多項式(註一)的函數圖形當然不是問題。但是考量到高一上就要學多項式根的初 步理論和勘根定理;此時,除了理解一次和二次多項式之外,如果同時也能理解三次 多項式的圖形,對掌握根的性質和勘根定理一定更有幫助。本文因此嘗試以基本幾何 和代數的方法來探討三次多項式的函數圖形,期望能夠提供高一教學現場有關多項式 的學習資料(註二)。 給定多項式 c bx ax x + + + 2 3 ,將 x a x 3 1 - 代入,得到一個缺 x 2 項的多項式 q px x + + 3 。這個代換,就函數圖形而言,只是作了一個向左或向右的平移,因此在 往後的討論中,我們假設 q px x x f + + = 3 ) ( p>0 ,或是 q px x x f + - = 3 ) ( p>0 (註三) 先討論 q px x + + 3 ,並設 px x x g + = 3 ) ( ,顯然,g 的圖形和 f 的圖形只差一個向上 或向下的平移,並且 g 的圖形與原點對稱。當 x 從很負變化到很正,函數 px x x g + = 3 ) ( 的圖形從坐標平面的左下變化到右上,其間至少穿過 x 軸一次,我們要說明這個圖形 是上升的。 因為如果 a b > ,則 ) )( ( ) ( ) ( 2 2 3 3 p p p g g + + + - = - - + = - a ba b a b a a b b a b ,又 因為 p + + + 2 2 a ba b 恆正(註四),所以 0 ) ( ) ( > - a b g g ,這表示 px x x g + = 3 ) ( 有一個 上升的圖形,因此圖形與任意水平軸只交一點,圖形如下(圖一)。注意 px x + 3 的圖 形對稱於原點,此時由於 q px x + + 3 沒有 x 2 項,所以 f ( x)=0 只能有一個實根(註五) (圖一)

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  • 1. () 12 x 3 +ax2 + bx+ c x x- a x 3x 3 + px+ q f (x = x3 + px+ q)p>0 f (x = x3 - px+ q p>0) x 3 + px+ q g (x = x3 + pxgf )gx g (x = x3 + px ) x b > a g ( )- g( )= b 3 + p - a 3 - p = ( - a )( 2 + ba + a 2 + p ba b a bb )b 2 +ba + a 2 + p g( b)- g( )> 0 g (x = x3 + px a)x 3 + px2 x 3 + px+ qx f(x)=0 () 1

2. 3 3p>0g ( x)= x 3 - px y=x y=pxy=x ()y=px(p>0)()g(x)x0() g (x = x3 - pxx>0 ) 2 3. x>0 x=a x>a g ( x ) - g (a ) = x 3 - a 3 - p ( x - a ) = ( x - a )( x 2 + xa + a 2 - p ) 0 0a x 2 + x + a 2 - p 0 a 00a = p>>0g 2 +gb + b 2 > 3a 2 = p g(g)- g( )> 0 b00q = pf(x)3 3() 2pf(x)=0 p q = - pf(x) 33 3()2 p 2 pf(x)=0- pq-p pf(x) 3 3 3 3 34 5. () 2p2 pf(x)=0q >pq < - p f(x) 3 3 3 3 2pq >p 3 3 ()f(x)=05 6. f(x) f(x)=0 qp3f(x)=x f(x)=03f(x)=x +q,q0f(x)=0 3 f(x)=x +px+q,p>0f(x)=03 f(x)=x px+q,p>0 f(x)=0 2 3 2p27q =4pq = p 3 33f(x)=x px+q,p>0f(x)=02 32 p2p27q 02p q > p 2 33 3 f(x)=0 27q >4p 2pq < - p 3 3 p=0 2 1 3 b + ba + a = b + a + a 2 0 2 2 2 4 p>0f(x)=0 - p p 3 3 http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/ Sturm 6