附录 矢量与张量

内 容 提 要

1 矢量分析 11.1 向量运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 三矢量的混合积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 三矢量的矢积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 矢量分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 微分算子∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 ∇算子矢量、微分特性的推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 复合函数的微分算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 一些常用微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 柱坐标系下的微分算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 柱坐标下常用微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.11 球坐标系下的微分算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12 球坐标下常用微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 张量初步 72.1 坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 张量的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 二阶张量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 克罗内克(Kronecker)符号δij（替换符号） . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk（排列符号） . . . . . . . . . . . . . 92.6 张量的运算法则：加法与乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 张量的运算法则：缩并与内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 张量的运算法则：并矢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 并矢的微分运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

第第第一一一节节节 矢矢矢量量量分分分析析析

§ 1.1 向量运算法则向量的加法和乘法，及其运算时的分配律、结合律、交换律。

加法的运算太简单，略去；主要考虑乘法的运算。

I 两个量的运算：一个矢量一个标量、两个矢量（略去）

I 三个量的运算：

• 两个标量一个矢量a (ϕψ) = ϕ (aψ)

• 两个矢量一个标量a× (kb) = k (a× b)

a · (kb) = k (a · b)

1

• 三个矢量的运算 第四例应该是第三例

a · (b× c) , a× (b× c) , a · (b · c) , a× (b · c)

I 多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开

§ 1.2 三矢量的混合积平行六面体的体积；

行列式性质：交换一次变符号

a · (b× c) =

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣= b · (c× a) = c · (a× b)

= −a · (c× b) = −b · (a× c) = −c · (b× a)

a · (b× c) = (a× b) · c【推论】

I a, b, c共面 ⇐⇒ a · (b× c) = 0

I a, a, c一定共面 ⇐⇒ a · (a× c) = 0

§ 1.3 三矢量的矢积

矢积的方向：设c× (a× b) = f，(a× b) = d，由于所有垂直于d的矢量都在一个平面上，故f在a , b平面上，且与c在该平面的投影垂直 既然f在a , b平面上，则

可以分解为两个方向

c× (a× b) = (b · c) · a− (a · c) · b(a× b)× c = (a · c) · b− (b · c) · a

(a× b)× c 6=a× (b× c)

【推论】

a× (ex × ey) = (a · ey) · ex − (a · ex) · ey = ay · ex − ax · ey

ex × (a× ey) = (ex · ey) · a− (a · ex) · ey = −ax · ey

证明矢积的公式

【求证】c× (a× b) = (b · c) · a− (a · c) · b

【证明】 设f = c× (a× b) = c× d

故d = (a2b3 − a3b2)ex − (a1b3 − a3b1)ey + (a1b2 − a2b1)ez

f1 = c2d3 − c3d2 = c2(a1b2 − a2b1) + c3(a1b3 − a3b1)

= a1(b2c2 + b3c3)− b1(a2c2 + a3c3) + (a1b1c1 − b1a1c1)

= a1(b · c)− b1(a · c)

2

同理：f2 = a2(b · c)− b2(a · c)

f3 = a3(b · c)− b3(a · c)

故此f = (b · c) · a− (a · c) · b

§ 1.4 矢量分解

将矢量分解为两个矢量的和，其一沿着b方向，其二在a , b平面上且垂直c方向

a · (b · c) = (c · a) · b + c× (a× b) = (c · a) · b + (b× a)× c

a · (b · c) = (a · b) · c + b× (a× c) = (a · b) · c + (c× a)× b

【推论】

a = a · (ex · ex) = (a · ex) · ex + (ex × a)× ex = ax · ex + ex × (a× ex)

§ 1.5 微分算子∇同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。

I ∇算子的大小： 1r（量纲）

I ∇算子的方向：纵向

∇ = ex · ∂

∂x+ ey · ∂

∂y+ ez · ∂

∂z

∇ · f =∂fx

∂x+

∂fy

∂y+

∂fz

∂z

∇× f = (∂fz

∂y− ∂fy

∂z) · ex + (

∂fx

∂z− ∂fz

∂x) · ey + (

∂fy

∂x− ∂fx

∂y) · ez

∇ϕ =∂ϕ

∂x· ex +

∂ϕ

∂y· ey +

∂ϕ

∂z· ez

§ 1.6 ∇算子矢量、微分特性的推论

a (ϕψ) = ϕ (aψ) ⇒ ∇ (ϕψ) = ϕ (∇ψ) + ψ (∇ϕ)

a× (kb) = k (a× b) ⇒ ∇× (kb) = k (∇× b) +∇k × b

a · (kb) = k (a · b) ⇒ ∇ · (kb) = k (∇ · b) +∇k · ba · (a× c) = 0 ⇒ ∇ · (∇× c) = 0

a× (ka) = 0 ⇒ ∇× (∇k) = 0

3

例一

【求解】∇ (f · g) , ∇× (f × g) , ∇ · (f × g)

【解】

∇ (f · g) = ∇ (f · gc) +∇ (fc · g)

→ (gc · ∇) f + (f ×∇)× gc + (∇ · fc) g + (g ×∇)× fc

= (gc · ∇) f + gc × (∇× f) + (fc · ∇) g + fc × (∇× g)

= (g · ∇) f + (f · ∇) g + g × (∇× f) + f × (∇× g)

∇× (f × g) = ∇× (f × gc) +∇× (fc × g)

→ (∇ · gc) f − (∇ · f) gc + (∇ · g) fc − (∇ · fc) g

= (gc · ∇) f − gc (∇ · f) + fc (∇ · g)− (fc · ∇) g

= (g · ∇) f − (f · ∇) g + f (∇ · g)− g (∇ · f)

∇ · (f × g) = ∇ · (fc × g) +∇ · (f × gc)

→ −fc · (∇× g)− gc · (f ×∇)

= −fc · (∇× g) + gc · (∇× f)

= −f · (∇× g) + g · (∇× f)

例二

【形式变换】(f · ∇) g , (f · ∇) ϕ

【解】 我们应该熟悉(f · ∇) g这种形式：它很简单，也很常用。对其变换只能复杂化。

(f · ∇) g = (fc · ∇) g = ∇ (fc · g)− fc × (∇× g) 6=f (∇ · g)

(f · ∇) ϕ = f · ∇ϕ

举例如下：（设k为常矢量）(k · ∇) r = k

(k · ∇) r = ∇ (k · r)− k× (∇× r) = ∇ (k · r) = k

无限大平行板电场、平面电磁波波前

(f · ∇) (ϕg) = g [(f · ∇) ϕ] + ϕ [(f · ∇) g]

事实上由并矢可知：(f · ∇) g = ∇ · (fg)− (∇ · f) g

例三

【形式变换】

(f ×∇)× g , (f ×∇) · g , (f ×∇) ϕ

【解】 这种形式不好计算，我们不用

(f ×∇)× g = (fc ×∇)× g = ∇ (fc · g)− fc (∇ · g)

(f ×∇) · g = f · (∇× g)

(f ×∇) ϕ = f ×∇ϕ

4

§ 1.7 复合函数的微分算子

∇f(u) = ∇udf(u)

du

∇ ·A(u) = ∇u · dA(u)

du

∇×A(u) = ∇u× dA(u)

du

(a · ∇)A(u) = (a · ∇)udA(u)

du

【结论】

∇ = ∇ud

du

§ 1.8 一些常用微分

∇ · ( r

r3) = ∇r · d

dr(

r

r3)

= ∇r · d

dr(rer

r3) = (∇r · er)

d

dr(

1

r2)

= − 2

r3

上述推导的错误在于：r 6=A(r)

【常用微分】

∇r = er , ∇1

r= −er

r2, ∇2 1

r= −4πδ(r)

∇ · r = 3 , ∇ · er =2

r, ∇ · ( r

r3)= 4πδ(r)

∇× r = 0 , ∇× er = 0 , ∇× (r

r3) = 0

例四

试用上式证明

∇ · ( r

rn) =

3− n

rn+

4π

rn−3δ(r)

【证明】

∇ · ( r

rn) = ∇ · ( r

r3· 1

rn−3)

= ∇ · ( r

r3) · 1

rn−3+ (

r

r3) · ∇ 1

rn−3

=4π

rn−3δ(r) + (

r

r3) · [∇r · 3− n

rn−2]

=4π

rn−3δ(r) +

3− n

rn

5

§ 1.9 柱柱柱坐标系下的微分算子

∇ψ =∂ψ

∂rer +

1

r

∂ψ

∂θeθ +

∂ψ

∂zez

∇ · f =1

r

∂

∂r(rfr) +

1

r

∂fθ

∂θ+

∂fz

∂z

∇× f = (1

r

∂fz

∂θ− ∂fθ

∂z) er + (

∂fr

∂z− ∂fz

∂r) eθ + [

1

r

∂

∂r(rfθ)− 1

r

∂fr

∂θ] ez

∇2ψ =1

r

∂

∂r(r

∂ψ

∂r) +

1

r2

∂2ψ

∂θ2+

∂2ψ

∂z2

§ 1.10 柱柱柱坐标下常用微分

∇r = er , ∇z = ez , ∇θ =1

reθ

∇ · er =1

r, ∇× er = 0

∇ · eθ = 0 , ∇× eθ =1

rez

∇ · ez = 0 , ∇× ez = 0

§ 1.11 球球球坐标系下的微分算子

∇ψ =∂ψ

∂rer +

1

r

∂ψ

∂θeθ +

1

r sin θ

∂ψ

∂φeφ

∇ · f =1

r2

∂

∂r(r2fr) +

1

r sin θ

∂

∂θ(sin θ fθ) +

1

r sin θ

∂fφ

∂φ

∇× f =1

r sin θ[

∂

∂θ(sin θ fφ)− ∂fθ

∂φ] er +

1

r[

1

sin θ

∂fr

∂φ− ∂

∂r(r fφ)] eθ

+1

r[

∂

∂r(rfθ)− ∂fr

∂θ] eφ

∇2ψ =1

r2

∂

∂r(r2 ∂ψ

∂r) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂ψ

∂θ) +

1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2

§ 1.12 球球球坐标下常用微分

∇r = er , ∇θ =1

reθ , ∇φ =

1

r sin θeφ

∇ · er =2

r, ∇× er = 0

∇ · eθ =1

r tan θ, ∇× eθ =

1

reφ

∇ · eφ = 0 , ∇× eφ =1

r tan θer − 1

reθ

6

例五

电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。【解】 在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对称性及安培环路定律得：

I 当r > a时 ∮

L

B · dl = 2πrB = µ0 I ⇒ B =µ0I

2πreθ

故：

∇×B = ∇× (µ0I

2πreθ) =

µ0I

2π[∇× (

1

reθ)]

=µ0I

2π[(∇1

r)× eθ +

1

r(∇× eθ)]

=µ0I

2π[∇r

d

dr(1

r)× eθ +

1

r

ez

r]

=µ0I

2π[− 1

r2(er × eθ) +

1

r

ez

r]

= 0

I 当r < a时

∮

L

B · dl = 2πrB = µ0

∫∫

S

J · dS ⇒ B =µ0Ir

2πa2eθ

故：

∇×B = ∇× (µ0Ir

2πa2eθ) =

µ0I

2πa2[∇× (reθ)]

=µ0I

2πa2[(∇r)× eθ + r(∇× eθ)]

=µ0I

2πa2[(er × eθ) + r

ez

r]

=µ0I

πa2ez

= µ0J

第第第二二二节节节 张张张量量量初初初步步步

§ 2.1 坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定

I 张量与空间及坐标变换密切相关。 三维欧氏空间内，笛卡尔直角坐标变换下的张量

I 设Σ系中一点(x1, x2, x3)，通过坐标系的转动，在Σ′系中坐标为(x′1, x′2, x

′3)，则：

x′i =3∑

j=1

αijxj , i = 1, 2, 3

7

I 其中αij = e′i ·ej为坐标转动角的方向余弦，由其构成的矩阵称为坐标变换系数矩阵。

【爱因斯坦求和约定】 在张量运算中，在算式的某项中出现重复下标，就意味着对这个指标求和，求和号

∑并不写出，该指标称之为哑指标。 由此，上式即可简写成 这种约定是否会带来麻烦？

请做练习体会。

x′i = αijxj , i = 1, 2, 3

I 满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换：

x′ix′i = xixi = const (1)

I 空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij为一正交矩阵：

α̃α = I

其中I为单位矩阵。

§ 2.2 张量的定义

【定义】 如果某一物理量T，在三维笛卡儿坐标系下，由3n个有序分量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ′的变换αij后，满足如下关系： 字母不是重点，关键在于字

母的次序

T ′i···j = αil · · · · · ·αjm︸ ︷︷ ︸n

Tl···m

则称该量T为n阶张量。

I 零阶张量：标量，坐标变换下不变，如质量、电荷、达朗贝尔算符等；

T ′ = T

I 一阶张量：矢量，如速度、力、电场强度、∇算符等；T ′i = αijTj

∂

∂x′i=

∂xj

∂x′i

∂

∂xj= αij

∂

∂xj

I 高阶张量：应用最多的是二阶张量

§ 2.3 二阶张量

I 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； 逐一解释物理意义。

铁丝网模型：张量即不太简单（非一维）也不太简单（矩阵即可描述）

T ′ij = αilαjmTlm

I 二阶张量可以用一个矩阵来表示； T ′ = AT A′

I 张量的含义：Tij分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； 点乘一个矢量后还是矢量（标量）的物理量为张量（矢量）I 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分：

• 迹（标量）Tii 自由度为1• 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5 电四极矩

• 反对称张量Tij = −Tji 自由度为3

I 张量的对称性不随坐标变换改变；

I 两个矢量的并矢为二阶张量：ab =←→T 6= ba , Tij = aibj 矩阵表达与指标表达

8

§ 2.4 克罗内克(Kronecker)符号δij（替换符号）

I 克罗内克符号δij

δij = 1 (i = j)

δij = 0 (i 6= j)

I 对称性：δij = δji

I 转置不变性：δ′ij = δij

I 替换性：δijvj = vi

I 单位张量：v · ←→I =←→I · v = v

§ 2.5 勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk（排列符号）

I 勒维{契维塔符号εijk（三阶反对称张量）

εijk = +1 (ijk = 123, 231, 312)

εijk = −1 (ijk = 213, 321, 132)

εijk = 0 (ijk = 112, 233, · · · )

I 反对称性：εijk = −εjik

I 转置不变性：ε′ijk = εijk = εkij = εjki

I 排列性：(a× b)i = εijkajbk , (∇×A)i = εijk∂jAk

§ 2.6 张量的运算法则：加法与乘法

I 张量相等：Aij = Bij 注意矩阵表示

I 张量加法：Aij + Bij = Cij 证明Cij也是个张量

I 标量与张量相乘：←→C = k

←→A ⇔ Cij = kAij

I 张量的并乘：←→C =

←→A←→B ⇔ Cijlm = AijBlm

一般而言：←→A←→B 6= ←→

B←→A！

←→C 的阶数是

←→A、

←→B阶数相加 运算不满足交换律

I 结合律与分配律： 特别适合验证爱因斯坦求和约定

(←→A←→B )

←→C =

←→A (

←→B←→C )

←→A (

←→B +

←→C ) =

←→A←→B +

←→A←→C

(←→B +

←→C )

←→A =

←→B←→A +

←→C←→A

9

§ 2.7 张量的运算法则：缩并与内积

I 缩并：阶数从n到n− 2的运算，只有n > 2缩并才有意义； 二阶张量的缩并就是迹

• n阶张量←→A对下标(j · · · k)的缩并定义为：

Bi···l =∑

j

∑

k

Ai···j···k···l · δjk = Ai···j···k···l · δjk

I 两个张量的内积（缩并）

• 两个张量←→A与←→B先并乘后各取一下标做缩并的运算称为内积，得到m + n− 2阶张量。

• 若选取的下标是相邻的，可以记做：←→C =←→A · ←→B 注意矩阵表示

Cim = AijBlmδjl = AilBlm

• 若←→A是二阶张量，←→B是一阶张量，同样可以用矩阵乘法。I 双重内积：两个张量先进行并乘，然后再两次缩并；

←→C =

←→A :

←→B 对于二阶张量其双重缩并为

标量

C = AijBlmδjlδim

§ 2.8 张量的运算法则：并矢

I 并矢按单位并矢的分解：单位矢量ei的并矢eiej是二阶张量，称为单位并矢。

• e1e2的矩阵表示除了E12项等于1之外均为零；eiej就是二阶张量的九个基。

←→T = Tijeiej

I 并矢的内积运算a · (bc) = (a · b) c = a · bc

(ab) · c = a(b · c) = ab · cab : cd = (a · d)(b · c) = a · (b · cd) = (ab · c) · d

§ 2.9 并矢的微分运算

∇ · (fg) = (∇ · f)g + (f · ∇)g

∇ ·←→T =∂

∂x(ex · ←→T ) +

∂

∂y(ey · ←→T ) +

∂

∂z(ez · ←→T )

∇ · (EE) = (∇ ·E) E + (E · ∇) E

∇ · (←→I E2) =∂

∂x(ex · ←→I E2) +

∂

∂y(ey · ←→I E2) +

∂

∂z(ez · ←→I E2)

= ex∂E2

∂x+ ey

∂E2

∂y+ ez

∂E2

∂z= ∇E2

∇ · (←→I E2) = (∇ ·←→I ) E2 + (∇E2) · ←→I = ∇E2

∮dS · ←→T =

∫∫∫dV ∇ ·←→T

∮dS · (fg) =

∫∫∫dV ∇ · (fg)

10