54 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซน และโคไซน

โดย ผชวยศาสตราจารย วาสนา สขกระสานต

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2


3

สอการสอน เรอง ตรโกณมต

สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต

2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต - สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส

- อตราสวนตรโกณมต

- อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

- เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1

- ฟงกชนตรโกณมต

- คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60


- ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ


- คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม

- สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและโคไซน - กฎของไซน

- กฎของโคไซน


4

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

10. แบบฝกหด (พนฐาน 1)

11. แบบฝกหด (พนฐาน 2)

12.แบบฝกหด (พนฐาน 3)

13.แบบฝกหด (พนฐาน 4)

14. แบบฝกหด (ขนสง)

15. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย

16. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน

17. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง

ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าได

ด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร

ทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


5

เรอง ตรโกณมต (สอปฏสมพนธ เรองกฎของไซนและโคไซน)

หมวด สอปฏสมพนธ

ตอนท 3 (3/3)

หวขอยอย 1. กฎของไซน

2. กฎของโคไซน

3. มมและดานของรปสามเหลยม

4. พนทของรปสามเหลยม

5. แบบฝกหด

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง ตรโกณมต เกยวกบ 1. กฎของไซน เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาไซนของมม

ภายในของสามเหลยม 2. กฎของโคไซน เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาโคไซน

ของมมภายในของสามเหลยม 3. น ากฎของไซน และกฎของโคไซน มาประยกตใชในการหาคามมและความยาวดานของรป

สามเหลยม 4. น ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครง

มมของสามเหลยม 5. หาพนทรปสามเหลยมโดยใช Heron’s Formula 6. ประยกตหาพนทรปสเหลยมทแนบในวงกลม

ผลการเรยนร

ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธเพอ

1. ท าความเขาใจเกยวกบความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยม กบคาไซนของมมภายในของสามเหลยม


6

2. เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาโคไซนของมมภายในของสามเหลยม

3. ประยกตหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครงมมของสามเหลยม คาโคไซนของครงมมของสามเหลยม ทแนบในวงกลม

4. ประยกตหาพนทของสามเหลยมเมอทราบ


7

สารบญ

หนา

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 8

1. กฎของไซน 13

2. กฎของโคไซน 18

3. มมและดานของรปสามเหลยม 24

4. พนทของรปสามเหลยม 31

5. แบบฝกหด 39


8

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง

เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอไอคอน บนเดสกทอป จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1 หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


9

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏ

หนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 4 คอหนาจอ “สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รายการเมน กลอง

เครองมอ

รปท 2 หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

รปท 3 หนาตางเปดเลอกแฟมขอมล


10

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง

จะปรากฏหนาตางดงรปท 5 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวาตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไว

มขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

รปท 4 หนาตางแรกของโปรแกรม

รปท 5 หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


11

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน” จะปรากฏหนาตางสอง

หนาตางนสลบกน

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา

การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของหนาตางของโปรแกรม The

Geometer’s Sketchpad

ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตาง

เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตางของโปรแกรม The

Geometer’s Sketchpad

ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ระดบแรก

ระดบทสอง


12

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยง

หนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ

การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “กฎของไซน” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง

แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอ

ถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


13

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรองกฎของไซน และโคไซน ผใชตองคลกท

เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

รปท 6 สารบญ

เมอผใชเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและโคไซน หนาตางสารบญจะแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 5 หวขอ ดงน

1. กฎของไซน





ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยมเพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได


14

1. กฎของไซน

กฎของไซนเปนทฤษฎบทหนงทบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมใดๆ และคาไซนของมมภายในทงสาม กฎของไซน จะถกน าไปใชในสาขาตางๆ มากมาย โดยเฉพาะวชาคณตศาสตรประยกต หรอการน ากฎของไซน ไปใชแกโจทยปญหาเกยวกบระยะทางและความสงได

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงกฎของไซน

ซงประกอบดวย

1. กฎของไซน 2. การพสจนกฎของไซน

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน

1.1 กฎของไซน

รปท 7 กฎของไซน

ก าหนดรปสามเหลยมทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน a, b, c ตามล าดบ


15

กฎของไซน (law of sine) หรอกฎไซน (sine rule) กลาววาส าหรบรปสามเหลยม ABC ใด

ๆ อตราสวนความยาวของดาน a ทสมนยกบมม A (มมตรงขาม) จะเทากบ อตราสวนความยาว

ของดาน b ทสมนยกบมม B (มมตรงขาม) และจะเทากบ อตราสวนความยาวของดาน c ทสมนย

กบมม C (มมตรงขาม) กฎของไซนแสดงความสมพนธระหวางอตราสวนของความยาวดาน กบ

มมทตรงกนขามกบดาน ดงน C

c

B

b

A

a

sinsinsin

1.2 การพสจนกฎของไซน

รปท 8 การพสจนกฎของไซน

หนาจอนจะประกอบดวยสสวนหลก ดงน

สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน

a, b, c ตามล าดบ ในทนแสดงความสงของสามเหลยม ABC เมอให BC เปนฐาน โดยลากเสนตรง

จากมม A ไปตงฉากกบดานตรงขามมม A คอดาน BC ทจด HA

สวนทสอง คอสวนทแสดงการพสจน โดยบรรทดแรกจะแสดงขอความ “สวนสงจากจด

ยอด A B C” หมายถงการพสจน กฎของไซน โดยใชความสงของสามเหลยมซงวดจากจดยอด

ของมม A หรอมม B หรอมม C ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร A หมายความวา

สวนแรก

สวนทสอง

สวนทสาม

สวนทส


16

ขณะน สวนแรกไดแสดงความสงจากจดยอด A โดยลากเสนไปตงฉากกบดานตรงขามมม A ทจด

HA พรอมแสดงบทพสจนของสมการหนงในกฎของไซน

สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจาก

การค านวณคาของมมในสวนแรก

สวนทส คอสวนการแสดงคาอตราสวนตามกฎของไซน ของรปในสวนแรก

ค าอธบาย สวนแรก ในหนาจอการพสจนกฎของไซนน ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม

ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม

เปลยนไปดวย มผลท าใหคาอตราสวน C

c

B

b

A

a

sinsinsin ในสวนทสเปลยนไปดวย รปท 9

เปนตวอยางแสดงการเปลยนลกษณะของรปสามเหลยม โดยทสวนสงของสามเหลยมยงคงเปนระยะจากมม A ไปยงดาน BC

รปท 9 (ก) การพสจนกฎของไซน รปท 9 (ข) การพสจนกฎของไซน

ค าอธบาย สวนทสอง ในหนาจอการพสจนกฎของไซนน สวนนผเรยนสามารถเลอกการวดสวนสงของสามเหลยมได

โดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ A หรอ B หรอ C ตามตองการ ดงรปท 10 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยวกนแตเปลยนลกษณะการวดความสง จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C


17

ความยาวดาน a, b, c และอตราสวนตามกฎของไซน กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน

(ก) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให BC เปนฐาน คอ AHA (ข) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให AC เปนฐาน คอ BHB (ค) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให AB เปนฐาน คอ CHC

รปท 10 (ก) การพสจน sin sin

c b

C B

รปท 10 (ข) การพสจน sin sin

a c

A C รปท 10 (ค) การพสจน

sin sin

b a

B A

จากรปท 10 (ก) การวดความสงจากจดยอด A แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก

(1) ABHA จะไดวา sinAAH c B (2) ACHA จะไดวา sinAAH b C

HA

A

B C

c b

a


18

เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ AAH

จะไดวา sin sinc B b C

เพราะฉะนน sin sin

c b

C B (i)

จากรปท 10 (ข) การวดความสงจากจดยอด B แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก

(1) BCHB จะไดวา sinBBH a C

(2) BAHB จะไดวา sinBBH c A

เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ BBH

จะไดวา sin sina C c A


a c

A C (ii)

จากรปท 10 (ค) การวดความสงจากจดยอด C แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก

(1) CAHC จะไดวา sinCCH b A

(2) CBHC จะไดวา sinCCH a B

เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ CCH

จะไดวา sin sinb A a B


b a

B A (iii)

จาก (i), (ii) และ (iii) สรปไดวา C

c

B

b

A

a

sinsinsin

ส าหรบการพสจนกฎของไซนน ผเรยนอาจพสจนเพยงสองกรณกเพยงพอทจะสรปกฎของไซน

ไดแลว เชน ถาพสจน (i) sin sin

c b

C B และ (ii)

sin sin

a c

A C กจะสรปไดวา

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

HC

A

B C

c b

a

HB

A

B C

c b

a


19


กฎของโคไซนเปนทฤษฎบทหนงทบอกความสมพนธระหวางความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมใด ๆ และมมภายในของสามเหลยม กฎของโคไซน จะถกน าไปใชในสาขาตางๆ มากมาย โดยเฉพาะวชาคณตศาสตรประยกต หรอการน ากฎของโคไซนไปใชแกโจทยปญหาเกยวกบระยะทางและความสงได

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงกฎของโคไซน


1. กฎของโคไซน 2. การพสจนกฎของโคไซน 3. การใชกฎของโคไซนหามม


2.1 กฎของโคไซน

รปท 11 กฎของโคไซน

ก าหนดรปสามเหลยมทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน a, b, c ตามล าดบ

กฎของโคไซน (law of cosine) หรอกฎโคไซน (cosine rule) กลาววาส าหรบรปสามเหลยม ABC ใดๆ ความสมพนธระหวางดาน กบมมของรปสามเหลยม ดงน


20

2 2 2 2 cosa b c bc A 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C

2.2 การพสจนกฎของโคไซน

รปท 12 การพสจนกฎของโคไซน


สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน

a, b, c ตามล าดบ พรอมทงแสดงความสงของสามเหลยม ABC ทมดาน BC เปนฐาน โดยลากเสน

ตรงจากมม C ไปตงฉากกบดานตรงขามมม C คอดาน AB ทจด HC

สวนทสอง คอสวนทแสดงการหาความยาวดาน a, b, c โดยบรรทดแรกจะแสดงขอความ

“หาความยาวดาน a, b, c ” ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร a หมายความวาขณะนได

แสดงการหาความยาวดาน a พรอมสวนแสดงบทพสจนสมการหนงตามกฎของโคไซน



สวนแรก



สวนทส


21

สวนทส คอสวนการแสดงความสมพนธของดาน กบมมของสามเหลยมตามกฎของ

โคไซน ของรปในสวนแรก

ค าอธบาย สวนแรก ในหนาจอการพสจนกฎของโคไซนน ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม

ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย ซงมผลท าใหคา a2 , b2 และ c2 ในสวนทสเปลยนไปดวยเชนกน

ค าอธบาย สวนทสอง ในหนาจอการพสจนกฎของโคไซนน สวนนผเรยนสามารถเลอกการหาคาความยาวดานของ

สามเหลยมไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ a หรอ b หรอ c ตามตองการ รปท 13 แสดงตวอยางของรปสามเหลยมรปเดยวกน แตเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน a , b และ c จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม และคา a2 , b2 และ c2 ตามกฎของโคไซน กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน

(ก) การหาความยาวดาน a ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AB เปนฐาน คอ CHC (ข) การหาความยาวดาน b ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AC เปนฐาน คอ BHB (ค) การหาความยาวดาน c ความสงของสามเหลยม ABC เมอ BC เปนฐาน คอ AHA

รปท 13 (ก) กฎของโคไซน


22

รปท 13 (ข) การพสจนกฎของโคไซน รปท 13 (ค) การพสจนกฎของโคไซน

จากรปท 13 (ก) การหาความยาวดาน a ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AB เปนฐาน คอ CHC แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก

(1) CAHc จะไดวา AbCH c sin

(2) พจารณาดาน AB จะไดวา AHBABH cc

นนคอ AHcBH cc

AbcBH c cos

(3) BCHc จะไดวา 222 )()( cc BHCHa

แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 222 )cos()sin( AbcAba

เพราะฉะนน Abccba cos2222 (i)

จากรปท 13 (ข) การหาความยาวดาน b ความสงของสามเหลยม ABC เมอ BC เปนฐาน คอ AHA แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก

(1) BHAA จะไดวา BcAHA sin

(2) พจารณาดาน BC จะไดวา BHCBCH AA

นนคอ BHaCH AA

BcaCHA cos

(3) CAHA จะไดวา 222 )()( cA CHAHb

แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 222 )cos()sin( BcaBcb

เพราะฉะนน Baccab cos2222 (ii)

Hc

A

B

C a

b c

a

b c

HA

A

B

C


23

จากรปท 13 (ค) การหาความยาวดาน c ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AC เปนฐาน คอ BHB แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก

(1) BCHB จะไดวา CaBH B sin

(2) พจารณาดาน AC จะไดวา CHACAH BB

นนคอ CHbAH BB

CabAHB cos

(3) ABHB จะไดวา 222 )()( BB AHBHc

แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 2 2 2( sin ) ( cos )c a C b a C

เพราะฉะนน Cabbac cos2222 (iii) จาก (i), (ii) และ (iii) สรปไดวา 2 2 2 2 cosa b c bc A

2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C

2.3 การใชกฎของโคไซนหามม

รปท 14 (ข) . การใชกฎของโคไซนหามม

ถาเราทราบดานของรปสามเหลยม เราสามารถใชกฎของโคไซนหามมของรปสามเหลยมไดดงน

จากกฎของโคไซน หามมของรปสามเหลยม 2 2 2 2 cosa b c bc A

bc

acbA

2cos

222

HB

A

B

C a

b

c


24

2 2 2 2 cosb a c ac B ac

bcaB

2cos

222

2 2 2 2 cosc a b ab C ab

cbaC

2cos

222


25


ในหวขอนผเรยนจะไดน ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตใชในการค านวณหาคาดาน

หรอมมของรปสามเหลยม เมอมการก าหนดคาดานหรอมมของรปสามเหลยมมาให

ซงประกอบดวยหนาตางดงน

1. รปสามเหลยม 2. รปแบบและหลกการ 3. ก าหนดดานสามดาน 4. ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน 5. ก าหนดมม 2 มม หรอ 3 มม และ 1 ดาน


3.1 รปสามเหลยม

รปท 15 รปสามเหลยม

เมอก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ จะมตวแปรทงหมด 6 ตวคอ 1. มม A, B, C 2. ความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ปญหาเกยวกบการค านวณดานหรอมมของรปสามเหลยมมกจะมการก าหนดตวแปร 3 ตวมาให

อยางเหมาะสม เพอหาคาตวแปรอก 3 ตวทเหลอ โดยใช กฎของไซน และ/หรอ กฎของโคไซน


26

3.2 รปแบบและหลกการ

หนาตางนจะแสดงรปแบบในการก าหนดดาน หรอมมทเพยงพอตอการหาคาตวแปรอนๆ และกลาวถงหลกการทใชในการค านวณหาคาตวแปรอนๆ คอเมอก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ จะมตวแปรทงหมด 6 ตวคอมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ

ในสอนจะกลาวถงการก าหนดคาดานและมมบางสวน เพอใหผเรยนใชกฎของไซน และ/หรอกฎของโคไซน ค านวณหาคาดานและมมทเหลอจนครบตวแปรทง 6 ตว โดยใชหลกการดงน

การก าหนดดานหรอมม หลกการในการค านวณหาดานหรอมมอนใหครบ

ก าหนดดานสามดาน

ค านวณหาคามมสามมมไดจากกฎของโคไซนดงน

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

A

B

C a

b

c

รปท 16 รปแบบและหลกการ

A

B

C a

b

c


27

การก าหนดดานหรอมม หลกการในการค านวณหาดานหรอมมอนใหครบ 6 คา ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดานทงสองนน

ค านวณหาคาดานทสามไดจากกฎของโคไซนดงน Abccba cos222 ค านวณหาคามมอกสองมมไดจากกฎของโคไซนดงน

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

ก าหนดมมสองมม และดานระหวางมมนน

ค านวณหาคามมทสามไดจากคณสมบตมมภายในของสามเหลยม A + B + C = 180 ค านวณหาคาดานอกสองดานไดจากกฎของไซนดงน

sin

sin

Aa c

C

C

Bcb

sin

sin

3.3 ก าหนดดานสามดาน

รปท 17 ก าหนดดานสามดาน

A

B

C a

b

c

A

B

C a

b

c

สวนแรก




28

เมอก าหนดความยาวดานสามดาน ตองการหาคามมทงสามของสามเหลยม โดยใชกฎของโคไซน โดยในสวนนผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย

ส าหรบการค านวณคามม A, B, C ในสวนทสองนน เปนการค านวณโดยใชกฎของโคไซน ตามสตรดงน

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

3.4 ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน

รปท 18 ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน

เมอก าหนดความยาวดานสองดาน และมมระหวางดานทงสองนน ตองการหาคามมและดานทเหลอ โดยใชกฎของโคไซน ถาผเรยนเลอกก าหนดคาของมม A คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม A คอดาน b, c ถาเลอกก าหนดคาของมม B คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม B คอดาน a, c หรอถาเลอกก าหนดคาของมม C คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม C คอดาน a, b ในทนจงใหผเรยนเลอกก าหนดมมใดมมหนงเพยงมมเดยวเทานน

สวนแรก




29

สวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย

สวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคามมระหวางดานหนงมม เพอน ามาใชในการค านวณหาดาน และมมทเหลอ โดยใชกฎของโคไซน ตามสตรดงน

2 2 2 2 cosa b c bc A 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C

รปท 19 แสดงตวอยางของรปสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน (ก) การก าหนดมม A และดานสองดานคอ b และ c

ตองการค านวณหาความยาวดาน a และมม B , C โดยใชสตร Abccba cos222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

(ข) การก าหนดมม B และดานสองดานคอ a และ c ตองการค านวณหาความยาวดาน b และมม A , C โดยใชสตร Baccab cos222

bc

acbA

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

รปท 19 (ก) ก าหนดดาน b, c และมม A

รปท 19 (ข) ก าหนดดาน a, c และมม B ดานสองดาน และมมระหวางดาน


30

(ค) การก าหนดมม C และดานสองดานคอ a และ b

ตองการค านวณหาความยาวดาน c และมม A , B โดยใชสตร Cbcbac cos222

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

3.5 ก าหนดมมสองมม หรอสามมม และดานหนงดาน

รปท 20 ก าหนดมมสองมม หรอสามมม และดานหนงดาน

เมอก าหนดมมสองหรอสามมม และความยาวดานหนงดาน เพอตองการหาคามมและดานทเหลอ โดยใชสตร A + B + C = 180 และกฎของไซน

สวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย

สวนแรก



รปท 19 (ค) ก าหนดดาน a, b และมม C ดานสองดาน และมมระหวางดาน


31

สวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคาความยาวดานหนงดาน เพอน ามาใชในการ

ค านวณหาดาน และมมทเหลอ โดยใชกฎของไซน ตามสตรดงน C

c

B

b

A

a

sinsinsin

การเปลยนดานทก าหนด สามารถท าไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะ

ปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ a หรอ b หรอ c ตามตองการ ดงรปท 21 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ในการก าหนดมมสองมม ผเรยนกจะสามารถหาคามมทสามไดจากคณสมบตมมภายในของสามเหลยม (A+B+C = 180) ดงนนในการค านวณหาคาความยาวดานตอไปนจะสมมตใหมการก าหนดสามมม ดงน (ก) การก าหนดดาน a และมม A, B, C

ตองการค านวณหาความยาวดาน b, c

โดยใชสตร A

Bab

sin

sin และ

A

Cac

sin

sin

(ข) การก าหนดดาน b และมม A, B, C ตองการค านวณหาความยาวดาน a, c

โดยใชสตร sin

sin

Aa b

B และ

A

Cac

sin

sin

(ค) การก าหนดดาน c และมม A, B, C ตองการค านวณหาความยาวดาน a, b

โดยใชสตร sin

sin

Aa c

C และ

C

Bcb

sin

sin

รปท 21 (ค) ก าหนดดาน c และมม A, B, C รปท 21 (ข) ก าหนดดาน b และมม A, B, C

รปท 21 (ก) ก าหนดดาน a และมม A, B, C


32


ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงการน ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตใชใน

การค านวณหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครงมมของสามเหลยม คาโคไซนของครงมม

ของสามเหลยม และการค านวณหาพนทสามเหลยมเมอทราบเฉพาะคาความยาวดานทงสาม

ตลอดจนการค านวณหาพนทสเหลยมทแนบในวงกลม

ซงประกอบดวย หนาตางตอไปน

1. พนทของรปสามเหลยม 2. ไซนของครงมมสามเหลยม 3. โคไซนของครงมมสามเหลยม 4. Heron’s Formula 5. การหาพนทจาก Heron’s Formula


4.1 พนทของรปสามเหลยม


รปท 22 (ก) พนทของรปสามเหลยม


33

สวนแรกคอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน

a, b, c ตามล าดบพรอมทงแสดงความสงของสามเหลยม โดยลากเสนตรงจากมม A ไปตงฉากกบ

ดานตรงขามมม A คอดาน BC ทจด HA

สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาพนท โดยใชสวนสงจากมมตางๆ โดยบรรทด

แรกจะแสดง “สวนสงจากจดยอด A B C” ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร A

หมายความวาขณะน สวนแรกไดแสดงความสงจากจดยอด A โดยลากเสนไปตงฉากกบดานตรง

ขามมม A ทจด HA พรอมสวนแสดงการค านวณหาพนทสามเหลยม ABC



สวนทส คอสวนการแสดงคาพนทของรปสามเหลยมในสวนแรก

ค าอธบายสวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย

ค าอธบายสวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคามมหนงมม เพอน ามาใชในการ

ค านวณหาคาพนทสามเหลยม ABC การเลอกเปลยนมมทก าหนด สามารถท าไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาส

จะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ A หรอ B หรอ C ตามตองการ ดงรปท 22 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการ จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม และคาพนท

สามเหลยมคอ 1 1 1sin sin sin

2 2 2bc A ac B ab C กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนคาของ

พนทสามเหลยมเดยวกน ดงน (ก) การก าหนดใหลากเสนตรงจากมม A ไปตงฉากกบดานตรงขามมม A ทจด HA

โดยการพจารณา (1) จาก ABHA จะไดวา sinAAH c B

(2) พนทสามเหลยม ABC = 1

2ฐานสง = 1

2ABC AH


34

เพราะฉะนนพนทสามเหลยม ABC = 1sin

2ac B

(ข) การก าหนดใหลากเสนความสงของสามเหลยมจากมม B ไปตงฉากกบดาน AC ทจด HB โดยการพจารณา (1) จาก BCHB จะไดวา sinBBH a C


2ฐานสง = 1

2BCA BH


2ab C

(ค) การก าหนดใหลากเสนความสงของสามเหลยมจากมม C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด HC โดยการพจารณา (1) จาก CAHc จะไดวา sincCH b A


2ฐาน สง = 1

2CAB CH


2bc A

รปท 22 (ก) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด A

รปท 22 (ข) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด B


35

4.2 ไซนของครงมมสามเหลยม ก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ มมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ถาเราทราบความยาวของดานทงสามของสามเหลยม (a, b, c) กจะสามารถหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 23 (ก) แสดงบทพสจนของการหาคา ไซนของครงมมของ

สามเหลยม จากกฎของโคไซน ซงจะไดสตร ( )( )sin

2

A s a s c

bc

และ

ผเรยนอาจจะหาคาไซนของครงมมของสามเหลยม 2

sinB และ

2sin

C จากกฎของโคไซน ในท านองเดยวกน

ซงผเรยนสามารถทจะใชสอปฏสมพนธค านวณหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 23 (ข)

รปท 23 (ก) บทพสจนของไซนของครงมมของสามเหลยม

รปท 22 (ค) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด C

A

B

C a

b

c


36

รปท 23 (ข) ปฏสมพนธไซนของครงมมของสามเหลยม

ผเรยนสามารถค านวณหาคาไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน sin2

A , sin2

B , sin2

C

สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบ

ดาน a, b, c ตามล าดบ ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวน

แรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ

เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถาม

การเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม

เปลยนไปดวย

สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาหาคาไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน

sin2

A , sin2

B , sin2

C

สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจากการค านวณคาของมมในสวนแรก

สวนแรก สวนทสอง



37

4.3 โคไซนของครงมมสามเหลยม ก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ มมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ถาเราทราบความยาวของดานทงสามของสามเหลยม (a, b, c) กจะสามารถหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 24 (ก) แสดงบทพสจนของการหาคา โคไซนของครงมม

ของสามเหลยม ไดดงคอ 2

cosA และผเรยนอาจจะหาคาโคไซนของครงมม

ของสามเหลยม 2

cosB และ

2cos

C ไดในท านองเดยวกน ซงผเรยนสามารถท

จะใชสอปฏสมพนธค านวณจากคาโคไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 24 (ข)

รปท 24 (ก) บทพสจนของโคไซนของครงมมของสามเหลยม

รปท 24 (ข) ปฏสมพนธโคไซนของครงมมของสามเหลยม



A

B

C a

b

c


38

ผเรยนสามารถค านวณหาคาโคไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน cos2

A , cos2

B ,

cos2

C

สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบ

ดาน a, b, c ตามล าดบ ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวน

แรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ

เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถาม

การเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม

เปลยนไปดวย

สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาหาคาคาโคไซนของครงมมสามเหลยมทกมม

ดงน cos2

A , cos2

B , cos2

C

สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจากการค านวณคาของมมในสวนแรก

4.4 Heron’s Formula

Heron’s Formula หรอสตรของ Heron เปนสตรในการหาพนทสามเหลยม ABC ใดๆ จากความยาวดานทงสามดานคอ a, b และ c หนวย ซงแสดงบทพสจนตอไปน

รปท 25 Heron’s Formula

A

B

C a

b

c


39

จาก พนทสามเหลยม ABC = 1sin

2bc A

= 2

cos2

sin22

1 AAbc

= bc

ass

bc

csbsbc

)())(( เมอ 2

cbas

= 2)(

))()((

bc

csbsassbc

สรปไดวา พนทสามเหลยม ABC = ))()(( csbsass เมอ 2

cbas

4.5 การหาพนทจาก Heron’s Formula

หนาจอนจะแสดงการค านวณหาพนทสามเหลยม ABC โดยใชสตรของ Heron เมอทราบคาความยาวดานทงสามดาน

ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงของพนทของสามเหลยม ABC โดยในทนค านวณหาพนทสามเหลยม ABC ตามสตรของ Heron คอ

พนท = ))()(( csbsass เมอ 2

cbas

รปท 26 การหาพนทจาก Heron’s Formula




40


ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงพนทของรปสามเหลยม


1. แบบฝกหด (กฎของไซน) 2. แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต) 3. กฎของแทนเจนต 4. แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม) 5. แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม) 6. พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม


5.1 แบบฝกหด (กฎของไซน)

ให A, B, C เปนจดยอดของรปสามเหลยม ทม ความยาวของดานซงอยตรงขาม มม A, B, C เทากบ a, b, c ตามล าดบ การพสจนแบบฝกหดนจะใชคณสมบตทไดเรยนมาแลวดงน


รปท 27 แบบฝกหด (กฎของไซน)

A

B

C a

b

c


41

= AbcCabBac sin2

1sin

2

1sin

2

1

2. สตรของ Heron คอ พนทรปสามเหลยม = ))()(( csbsass

เมอ 2

cbas

3. กฎของไซน RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

เมอ R เปนรศมวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม

ในทนจะแบงการพสจนออกเปน 4 ขนตอนคอ

ขนท 1 จะแสดงวา ))()((2sin csbsass

abc

A

a

จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Abc sin2

1

ดงนน))()((2sin

1

csbsass

bc

A

นนคอ ))()((2sin csbsass

abc

A

a

ขนท 2 แสดงวา ))()((2sin csbsass

abc

B

b

จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Bac sin2

1


1

csbsass

ac

B


abc

B

b

ขนท 3 แสดงวา ))()((2sin csbsass

abc

C

c

จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Cabsin2

1


1

csbsass

ab

C


abc

C

c


42

ขนท 4 แสดงวา RA

a2

sin เมอ R เปนรศมวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม

ให O เปนจดศนยกลางของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม ABC ม R เปนรศมของวงกลม ลากเสนตรง OB และ OC ซงทงสองเสนนมความยาวเปนรศมของวงกลม จะไดวามม BOC เปนสองเทาของมม BAC ลากเสนตรงจากจด O มาตงฉากกบเสนตรง BC ทจด D จะไดวามม DOC มคาเทากบมม BAC = A

เนองจาก sin( ) sin( )2

DC aA DOC

R R

ดงนน RA

a2

)sin(

5.2 แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต)

การพสจนกฎของแทนเจนตนจะใชคณสมบตของตรโกณมตดงน

(ก) กฎของไซน kC

c

B

b

A

a

sinsinsin

ซงท าใหไดวา CBAka sinkc ,sinkb ,sin

(ข) เนองจาก

2sin

2cos2sinsin

BABABA

และ

2cos

2sin2sinsin

BABABA

รปท 28 แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต)

A

B

C a

b

c R R

D

O


43

ในทนจะแบงการพสจนออกเปน 3 ขนดงน

ขนท 1 จะแสดงการพสจน )(

2

1tan

)(2

1tan

BA

BA

ba

ba

พจารณาจาก (1) กฎของไซน จะไดวา

BA

BA

BkAk

BkAk

ba

ba

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

2cos

2sin2

2sin

2cos2

BABA

BABA

ba

ba (จาก (ข))

สรปไดวา )(

2

1tan

)(2

1tan

BA

BA

ba

ba


2

1tan

)(2

1tan

CB

CB

cb

cb

พจารณาจาก (ก) กฎของไซน จะไดวา

CB

CB

CkBk

CkBk

cb

cb

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

2cos sin2 2

2sin cos2 2

B C B C

b c

B C B Cb c

(จาก (ข))


2

1tan

)(2

1tan

CB

CB

cb

cb


2

1tan

)(2

1tan

CA

CA

ca

ca

พจารณาจาก (ก) กฎของไซน จะไดวา

CA

CA

CkAk

CkAk

ca

ca

sinsin

sinsin

sinsin

sinsin

2cos sin2 2

2sin cos2 2

A C A C

a c

A C A Ca c

(จาก (ข))


44


2

1tan

)(2

1tan

CA

CA

ca

ca

5.3 กฎของแทนเจนต

ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงคาของ ท าผเรยนไดเหนถงกฎของแทนเจนตทงสามดงน

(1) )(

2

1tan

)(2

1tan

BA

BA

ba

ba

(2) )(

2

1tan

)(2

1tan

CB

CB

cb

cb

(3) )(

2

1tan

)(2

1tan

CA

CA

ca

ca

5.4 แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม)

รปท 29 กฎของแทนเจนต


45

จงหาดานและมมทเหลอของรปสามเหลยม ABC เมอก าหนดดานและมมดงแตละขอตอไปน 1. a = 4, b = 5, c = 6

ตองการหาคามม A, B, C ดงน

จากสตร bc

acbA

2cos

222 = 0.75

ac

bcaB

2cos

222 = 0.563

ab

cbaC

2cos

222 = 0.125

และหาพนทของสามเหลยมจากสตรของ Heron

พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2

cbas

จะไดวา s = 7.5 และ พนท ABC = 7.5 3.5 2.5 1.5 9.922

2. a = 3, b = 5, C = 60

ตองการหาคามม A, B และความยาวดาน c ดงน

หาความยาวดาน c จากสตร Cabbac cos222

4.359

bc

acbA

2cos

222 = 0.803

รปท 30 แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม)

A

B C 4

5 6

A

B C 3

5

60


46

ac

bcaB

2cos

222 = 0.115

และหาพนทสามเหลยมไดจากสตร พนท ABC = Cabsin2

1

ดงนน พนท ABC = 13 5 sin(60 )

2

6.495

3. a = 4, b = 7, C = 120

ตองการหาคาความยาวดาน c และมม A, B

หาความยาวดาน c จากสตร Cabbac cos222

ดงนน c = 9.644

bc

acbA

2cos

222 = 0.933

ac

bcaB

2cos

222 = 0.778

จากสตร พนท ABC = Cabsin2

1

ดงนนพนท ABC = 14 7 sin(120 )

2

12.124

4. a = 5, B = 60, C = 45

ตองการหาคาความยาวดาน b, c และ มม A A = 180 – 60 – 45 = 75

b = sin

sin

Ba

A = 4.483

c = A

Ca

sin

sin = 3.66

A

B C 5 60 45

A

B C 4

7

120


47

จากสตรของ Heron พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2

cbas

จะไดวา s = 6.572 และ พนท ABC = 6.572 1.572 2.089 2.912

7.928

5. a = 6, B = 120, C = 30

A = 180 – 120 – 30 = 30

b = C

Ba

sin

sin = 10.392

c = A

Ca

sin

sin = 6

จากสตรของ Heron พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2

cbas

จะไดวา s = 11.196 และ พนท ABC = 11.196 5.196 0.084 5.196

5.039

5.5 แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม)

รปท 31 แบบฝกหดหาพนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม

จงหาพนทรปสเหลยมทแนบในวงกลม ABCD ถาสเหลยมนมความยาวดานเปน a, b, c, d

A

B

C 6

120 30

A

B

C

D

a

b c

d


48

ในทนจะใชสตรของ Heron ทใชส าหรบรปสามเหลยมใดๆ พจารณารปสามเหลยม ABD และ CBD

โดยกฎของโคไซน จะได 2 2 22 cosa d ad A BD

2 2 2 cosb c bc C (1)

สงเกตวา ˆ ˆ 180A C นนคอ cos cosC A

จาก (1) จะได 2 2 2 2

cos2 2

a d b cA

ad bc

พนทสเหลยม ABCD = พนทสามเหลยม ABD + พนทสามเหลยม CBD

= 1 1sin sin

2 2ad A bc C

= 1 ( )sin2ad bc A

= 1 ( ) (1 cos )(1 cos )2ad bc A A

= 2 2 2 2 2 2 2 21

( ) 1 12 2 2 2 2

a d b c a d b cad bc

ad bc ad bc

= 2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( )

4b c a d a d b c

= 1 ( )( )( )4a b c d a b c d a d b c a d b c

เมอให 2

a b c ds จะได พนท ( )( )( )( )ABCD s a s b s c s d ตามตองการ

5.6 แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม)

A

B

C

D

a

b c

d


49

ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสเหลยม ABCD ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C, D และความยาวดาน a, b, c, d เปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงคาของพนทของสเหลยม ABCD ตามสตร

พนทสเหลยมทแนบในวงกลม = ))()()(( dscsbsass

เมอ 2

dcbas


50

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร

จ านวน 92 ตอน


51

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ

(การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


52


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


53


การนบและความนาจะเปน

.

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

54 ตรีโกณมิติ...

Documents

b b c c

b abc c

cos c c

sin b sin c c ba c

b c ccba

sin ca b c

b c cos cos

ac cos b c