5. värmeöverföring heat transferusers.abo.fi/rzevenho/ptg kap5-aug2013.pdf · dt/dx ger fouriers...

Åbo Akademi University 424101 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven

5-1

5. Värmeöverföring Heat transfer Heat was defined in chapter 3 as transfer of energy as a result of a temperature difference or a temperature gradient. The two physical mechanisms behind it are conduction, which involves the micro-scale motion of matter, and radiation, which involves electromagnetic waves. A third mechanism is convection, which is a combination of conduction heat transfer to or from a moving medium and the transfer of the heat energy to another location by this medium. See also cartoon Fig. 5.1. While often one of these mechanisms is the most important and rate-determining one, in many situations all three must be considered.

5.1 Heat conduction

5.1.1 Fourier’s law In a non-moving medium (i.e. a solid or stagnant fluid), in the presence of a temperature gradient heat is transferred from high to low temperature as a result of molecular movement; this is referred to as heat conduction. Molecules or atoms with a higher temperature will transfer more thermal (i.e. kinetic) energy to molecules or atoms with a lower temperature than vice versa, which gives a net transfer of heat energy to lower temperatures. (Refer also to the Second Law of Thermo-dynamics, section 3.6). For a one-dimensional temperature gradient ∆T/∆x or, on a smaller scale, dT/dx, Fourier’s Law gives the conductive heat transfer rate Q (W) through a cross-sectional area A (m2), giving heat flux "Q (W/m2). If the so-called heat

Värme definierades i kapitel 3 som energiöverföring p.g.a. en temperatur-skillnad eller en temperaturgradient. De två fysikaliska mekanismerna bakom det är konduktion, som involverar materias rörelse på mikroskala, och strålning som involverar elektromagnetiska vågor. En tredje mekanism är konvektion, som är en kombination av konduktiv värmeöverföring till eller från ett medium i rörelse och transporten av värmeenergi med detta medium. Se också serieteckningen i Fig. 5.1. Trots att en av dessa tre mekanismer ofta är av större betydelse än de andra, och således hastighetsbestämmande, måste ofta alla tre tas i beaktande.

5.1 Värmekonduktion 5.1.1 Fouriers lag

I ett stillastående medium (dvs. ett fast ämne eller en stagnant vätska), gör en temperaturgradient att värme överförs som en följd av molekylernas rörelse. Detta kallas värmekonduktion. Molekyler eller atomer med en högre temperatur överför mera termisk (dvs. kinetisk) energi till molekyler eller atomer med lägre temperatur än vice versa, vilket resulterar i att värmeenergi strömmar till lägre temperaturer. (Se också Termo-dynamikens andra grundlag, avsnitt 3.6). För en endimensionell temperatur-gradient ∆T/∆x eller, på en mindre skala, dT/dx ger Fouriers lag att den konduktiva värmeöverföringshastigheten Q (W) genom en tvärsnittsarea A (m2), resulterar i ett värmeflöde "Q (W/m2). Om den så kallade värmekonduktiviteten eller

Fig. 5.1 Mekanismer för värmeöverföring Mechanisms for heat transfer (REF!) o Konduktion / Conduction o Konvektion / Convection o Strålning / Radiation (BÖ88)

5. Värmeöverföring v. 2012/13

Heat transfer

5-2

conductivity, or thermal conductivity, λ,1 (unit: W/m·K) is a constant (i.e. can be assumed independent of temperature and location in the medium), Fourier’s Law for in one dimension, x, is: as further illustrated by Fig. 5.2.

For a general case with a 3-dimensional temperature gradient T = (∂T/∂x,∂T/∂y,∂T/∂z) 2 Fourier’s Law gives, for constant λ, the heat fluxes as a vector

"Q Tλ . The temperature field inside

the medium can then be written as T = T(t, x) with time t and 3-dimensional location vector x. For stationary heat transfer, the time derivative ∂T/∂t = 0 at each position.

1 Quite often symbol k is used for this – see for example KJ05, T06 2 The vector operator gives the gradient (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) in three Cartesian (x,y,z) dimensions.

termiska konduktiviteten, λ,3 (enhet W/ m·K) är konstant (dvs. kan antas vara oberoende av temperatur och position i mediet), är Fouriers lag för en dimension, x:

vilket vidare illustreras av Fig 5.2.

För det allmänna fallet med en 3-dimensionell temperaturgradient T= (∂T/∂x,∂T/∂y,∂T/∂z) 4 ger Fouriers lag värmeflödena, med konstant λ, som en vektor "Q Tλ .Temperaturfältet i

mediet kan då beskrivas som T = T(t, x), med tiden t och den 3-dimensionella positionsvektorn x. För stationär värmeöverföring är tidsderivatan ∂T/∂t = 0

3 Ofta används k som symbol för detta - se t.ex. KJ05, T06 4 Vektoroperatorn ger gradienten (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) i tre kartesiska (x,y,z) dimensioner.

Fig. 5.2 Fourier’s Lag i en dimension Fourier’s Law in one dimension (T06)

Fig. 5.3 Värmeledning i två dimensioner (T1 > T2) Heat conduction in two dimensions (T1 > T2) (KJ05)

)(W/m (W) 2

dx

dT

A

QQ

dx

dTAQ

" (5-1)


5-3

As shown in Fig. 5.3 the heat transfer vector is perpendicular to the isothermal surfaces, (i.e., Q is a vector with direction

T ). The material property λ is in fact a function of temperature: more accurately

TTQ )(" . Often the temperature-dependence λ(T) can be simplified by an averaged, constant value. For materials ranging from gases to metallic solids, typical values for thermal conductivity λ, ranging from 0.01 to 500 W/(m·K) are given in Fig. 5.4.

Note that there is no such thing as a “temperature balance” and it should always be remembered that energy transfer is being described. More correct notation would involve the use of “heat concentration” ρ·cp·T (unit: J/m3), with density ρ and specific heat cp.

This defines the thermal diffusivity, a (unit: m2/s), typical values for a (which, like ρ, λ and cp is temperature dependent!) are 2×10-5 m2/s for gases,10-7 m2/s for liquids,10-6 m2/s for non-metallic solids and 5 ~ 50×10-6 m2/s for metals. Fourier’s Law can be interpreted as one example of a general transport equation of the type: flow or current = driving force /resistance. A heat resistance can be formulated as Rheat = Q/T∆ (unit:

överallt. Enligt Fig. 5.3 är värmeöverföringen vinkelrät mot de isotermiska ytorna (dvs. Q är en vektor med riktningen T ). Materialegenskapen λ är de facto en funktion av temperaturen, närmare bestämt TTQ )(" . Temperatur-beroendet λ(T) kan ofta förenklas med ett konstant medelvärde. Den termiska konduktiviteten, för material från gaser till metaller, sträcker sig från 0,01 till 500 W/(m·K), vilket demonstreras av Fig 5.4.

Observera att något koncept som “temperaturbalans” inte existerar och att man alltid bör minnas att det är fråga om energiöverföring. En mera korrekt benämning kunde vara “värme-koncentration” ρ·cp·T (enhet: J/m3), med densitet ρ och specifik värmekapacitet cp.

Detta definierar den termiska diffusiviteten, a (enhet: m2/s). Typiska värden för a (som i likhet med ρ, λ och cp är temperaturberoende!) är 2×10-5 m2/s för gaser, 10-7 m2/s för vätskor, 10-6 m2/s för fasta icke-metaller och 5 ~ 50×10-6 m2/s för metaller. Fouriers lag kan tolkas som ett exempel på en allmän transportekvation av typen: flöde eller ström = drivande kraft/resistans. Värmeresistans kan

Fig. 5.4 Typiska värden för termisk konduktivitet för olika material. Typical values for thermal conductivity for various materials (T06)

/s)(m a etdiffusivit termisk medy/ diffusivit thermal with

)(W/m )(

)(

"

2

2

p

pp

p

c

dx

Tcda

dx

Tcd

cQ

(5-2)


Heat transfer

5-4

L

dT)T("QdT)T(dx"Q

eller/orL

)(T)L(T"QdTdx"Q

)L(T

)(T)L(T

)(T

L

)L(T

)(T

L

0

00

00

0

K/W or ºC/W), whilst a heat conductance

can be defined as Gheat = 1/Rheat = T∆/Q

(unit: W/K or W/ºC). For a plane material with thickness L, surface A and conductivity λ, Gheat = 1/Rheat = λ·A/L. 5.1.2 One-dimensional, steady-state

heat conduction For stationary 1-dimensional heat conduction through a plane wall with thickness L depending on whether λ=constant or λ=λ(T), Fourier’s Law gives With, for example, a simple linear temperature dependence λ(T)=λ0·(1+αT) the second expression gives

The heat flux "Q through a layered planar wall composed of material layers with thickness di and conductivity λi is found by considering the material as a series of heat resistances di/λi, as illustrated by Fig. 5.5. Note that for a steady-state situation

"Q is the same for every location, so that for a two-layer material:

formuleras som Rvärme = Q/T∆ (enhet: K/W eller °C/W), medan värmekonduktans kan definieras som Gvärme = 1/Rvärme =

T∆/Q (enhet: W/K or W/°C). För ett plant material med tjockleken L, ytarea A och konduktivitet λ, Gvärme = 1/Rvärme = λ·A/L. 5.1.2 Endimensionell steady-state värmekonduktion För stationär värmekonduktion i en dimension genom en plan vägg med tjockleken L, beroende på om λ = konstant eller λ=λ(T), Fouriers lag ger

Med t.ex. ett linjärt temperaturberoende λ(T)=λ0·(1+αT) ger det andra uttrycket

Värmeöverföringen "Q genom en plan vägg med flera skikt, av tjockleken di och konduktiviteten λi, fås genom att betrakta materialet som en serie värmeresistanser di/λi, i likhet med Fig. 5.5. Observera att i

fortfarighetstillstånd är "Q samma oberoende av läget, så att för ett material i två skikt:

L

TLTTLTQdTTdxQ

LT

T

L22

0)(

)0(0

0

)0()(½)0()(" )1("

T1T0=Tin T2=Tout

λ1 λ2Tin Tout

QQ””

d1 d2

x

.T1T0=Tin T2=Tout

λ1 λ2Tin Tout

QQ””

d1 d2

x

.

Fig. 5.5 Värmeledning genom ett skiktmaterial Heat conduction through a plane layered material

2

22

1

11" constant;

x

T

x

TQ

x

T

(5-3a) (5-3b)

(5-5)

(5-4)


5-5

totalaverage

total

N

N

iiii

i

Tddddd

Q

dQTT

ddQ

Td

QTd

Q

TTd

QTTd

Q

TTTd

Q

...."

""

""

" "

"

3

3

2

2

1

1

21

2120

2

2

1

1

21

10

2

2

212

210

1

1

1

Thus, for each layer: For two layers ”1” and ”2”, the (maybe unknown) temperature T1 can be eliminated: where λ1+2 gives an average value for thickness d1+d2. Similarly, for N plane-parallel layers, defining an average conductivity λaverage:

For one-dimensional stationary conduction in the radial direction in cylindrical or spherical geometries, as shown in Fig. 5.6, the heat transfer area A becomes a function of distance, r, from the centre, A(r). Fourier’s Law becomes:

Here, the heat resistance Rheat = Q/T∆ of a cylindrical or spherical section [din, dout] with thickness din-dout equals

Således, För två skikt ”1” och ”2”, kan (den eventuellt obekanta) tempera-turen T1 elimineras: där λ1+2 ger ett medelvärde för tjockleken d1 + d2. På samma sätt definieras den genomsnittliga konduktiviteten λaverage för N parallella plana, skikt:

För endimensionell, stationär konduktion i den radiella riktningen för cylindriska eller sfäriska system, se Fig. 5.6, blir värmeöverföringsarean A en funktion av avståndet, r, från centrum, A(r). Fouriers lag antar formen:

Här är värmemotståndet Rvärme = Q/T∆ för ett cylindriskt eller sfäriskt avsnitt [din, dout] med tjockleken din-dout lika med

sphärisk)spherical/ D-(1 )(m

sk)l/cylindricylindrica D-(1 )(m

with/med (W)

2

2

24

2

rA(r)

rLA(r)

dr

dT)r(A)r(Q

Fig. 5.6 Geometri för cylindriska och sfäriska system Geometry for cylindrical and spherical systems (T06)

)medelvärde trisktmean/geome (geometric d with/me22

)medelvärde itmisktmean/logaric (logarithm ln

ed with/m2

ln

2

2

lnln

inoutgeomoutin

inout

geom

inoutspherical

in

out

inoutin

out

inoutlcylindrica

ddddλπd

-dd

λπd

-dd R

dd-dd

dλπL

dd

λπLd

-dd R

(5-6)

(5-7) (5-8)

(5-9)

(5-10) (5-11) (5-12)

(5-13, 5-14)


Heat transfer

5-6

(W) TAhQ

Transient or time-dependent heat conduction, and heat conduction in two or three dimensions are briefly addressed in section 5.6 and in more detail in ÅA course Transport processes 424508.

5.2 Convective heat transfer

In convection or convective heat transfer, heat is entrained with a moving (conducting) medium. The medium flow may be the result of external forces, referred to as forced convection – see Fig. 5.7 – or the result of density differences caused by temperature (or species concentration) differences, which is referred to as free, or natural convection. Forced convection is usually much more important than natural convection.

The general rate expression for heat transfer by convection is for a heat exchange surface A (m2), temperature difference ∆T (K,°C) between the media or materials, and heat transfer coefficient h, unit: W/(m2·K).5 In fact, the heat is conducted away from the heat transfer surface (or towards this surface) to (or from) the flowing medium by heat conduction, as described by Fourier’s Law (see section 5.1). As will be discussed below, the convective heat transfer resistance is confined to a thin (0.01 ~ 1 mm) layer of the flowing medium at the heat transfer surface, which is referred to as the (heat transfer) boundary layer - see also chapter 6. 5 Do not confuse the symbol h with its common use for enthalpy! In some literature the symbol α is used for a heat transfer coefficient in order to avoid confusion, for example ÖS96.

Transient, eller tidsberoende, värmekonduktion, och värmekonduktion i två eller tre dimensioner beaktas flyktigt i avsnitt 5.6 och mera detaljerat i ÅA kursen Transportprocesser 424508. 5.2 Konvektiv värmeöverföring Vid konvektion, eller konvektiv värmeöverföring, fångas värme upp (konduktivt) av ett medium i rörelse. Mediets strömning kan vara resultatet av externa krafter, s.k. påtvingad konvektion – se Fig. 5.7 – eller av densitetsskillnader orsakade av skillnader i temperatur eller koncentration, vilket kallas naturlig konvektion. Påtvingad konvektion är vanligtvis av större betydelse än naturlig konvektion.

Det allmänna hastighetsuttrycket för konvektiv värmeöverföring är

för en värmeöverföringsyta A (m2), temperaturskillnad ∆T (K,°C) mellan medierna eller materialen, samt värme-överföringskoefficienten h, med enhet: W/(m2·K). 6 I själva verket leds värme bort från värmeöverföringsytan (eller till ytan) genom konduktion till (eller från) det strömmande mediet, i enlighet med Fouriers lag (se avsnitt 5.1). Enligt vad som diskuteras nedan, är den konvektiva värmeresistansen begränsad till ett tunt skikt (0,01 ~ 1 mm) i det strömmande mediet, kallat (värmeöverföringens) gränsskikt – se också kapitel 6. 6 Blanda inte ihop symbolen h med entalpi, som den också används för! I en del litteratur används symbolen α för värmeöverförings-koefficienten för att undvika missförstånd, se t.ex. ÖS96.

Fig. 5.7 Convective heat transfer Konvektiv värmeöverföring (T06)

(5-15)


5-7

With heat transfer Q at the surface (say, y=0), and conductivity λBL for the boundary layer medium, and h is then defined as It can be stated that the heat transfer coefficient h, which is based on empirical understanding, contains “all we do not know” about the convective heat transfer process. The heat transfer coefficient depends on the geometry flow velocity (or velocities, if both

media are fluids) type of flowing media (gas, liquid) temperatures of the two media. Thus, for a certain situation the system geometry, flow velocities and physical properties of the media (grouped in a few dimensionless groups, as will be shown below) determine the value for h. As mentioned, heat convection that results from a forced fluid flow must be distinguished from natural (or free) heat convection that is caused by fluid flow that results from density differences that, in turn, can be the result of temperature differences – see Fig. 5.8.

As shown in Table 5.1, values for the heat transfer coefficient for forced convection are significantly higher than those for natural convection.

Med värmeöverföringen Q på ytan (t.ex. y=0) och konduktiviteten λBL för gräns-skiktets medium är

och h definieras som

Det kan påpekas att värmeöverförings-koefficienten h, som är baserad på empiri, innehåller ”allt det vi inte vet” om den konvektiva värmeöverföringsprocessen. Värmeöverföringskoefficienten beror på bägge mediers geometri flödeshastighet (eller hastigheter, om

båda är fluider) typ av fluid (gas, vätska) temperaturer. Värdet på h bestäms således, för en given situation, av systemets geometri, flödes-hastigheter och mediernas fysikaliska egenskaper (grupperade i några dimensionslösa grupper, enligt vad som visas nedan). Som redan nämndes, måste man skilja på värmekonvektion som resultat av påtvingat flöde och på naturlig värmekonvektion, härstammande från flöden orsakade av densitetsskillnader, som i sin tur kan vara orsakade av temperaturskillnader – se Fig. 5.8.

Värden för värmeöverföringskoefficienten för påtvingad konvektion är betydligt högre än motsvarande för naturlig konvektion, vilket framgår av tabell 5.1.

h

0

0

T

dydT

dy

dTAQ

yBL

yBL

Fig. 5.8 Forced (a) and natural (b) convection heat transfer Påtvingad (a) och naturlig (b) konvektiv värmeöverföring (KJ05)

Tab. 5.1 Typical values for forced and natural convection heat transfer Typiska värden för påtvingad och naturlig konvektiv värmeöverföring (KJ05)

(5-16) (5-17)


Heat transfer

5-8

5.2.1 Boundary layers, fluid flow, viscosity, Prandtl number

Because forced convective heat transfer is largely determined by the fluid dynamics of the flow that carries the heat to/from a surface, some concepts of fluid dynamics must be introduced here – see Chapter 6 for more detail on this subject. An important feature of fluid flow is that depending on the structure or object it flows around, or the tube it flows in, it shows a profile of differing velocities. This velocity profile is the result of zero velocity (“no slip”) with an object or other material at a contact surface, and interactions (momentum transfer) between fluid segments with different velocities. This is illustrated by the boundary layer flow in Fig. 5.9.

At low velocities a fluid flow can be visualised as layers (“lamina”), each with a certain velocity, that interact via so-called shear stresses that (besides compressive forces) deform them. Viscous forces between such layers imply maintaining this layered structure while dampening oscillations. With increasing velocities the shear forces cannot prevent that oscillations result in rotations and swirl occurs – see Fig. 5.10: so-called turbulent eddies are produced.

Fluid viscosity – to be discussed in more detail in section 6.2 – is the fluid material property that determines the transition

5.2.1 Gränsskikt, flöden, viskositet, Prandtls tal

Eftersom påtvingad konvektiv värmeöver-föring långt bestäms av flödesdynamiken hos den ström som för värme från/till en yta måste vissa flödesdynamiska koncept introduceras här – se kapitel 6 för en mera ingående beskrivning av ämnet. En viktig egenskap hos fluida flöden är att, beroende på strukturen på det föremål fluiden strömmar runt, eller det rör den strömmar igenom, uppvisar den en icke-uniform hastighetsprofil. Denna hastighetsprofil är ett resultat av att flödeshastigheten är noll (sk. ”no slip”) vid en kontaktyta, och att flödessegment med olika hastigheter interagerar (överföring av rörelsemängd) sinsemellan. Detta illustre-ras av gränsskiktströmningen i Fig. 5.9.

Vid låga hastigheter kan ett fluidflöde visualiseras som skikt (”lamina”) med olika hastigheter som interagerar via så kallade skjuvspänningar, vilka (utöver kompri-merande krafter) deformerar dem. Viskösa krafter mellan dylika skikt håller ihop den skiktade (laminära) strukturen, medan de dämpar oscillationer. När hastigheterna ökar kan inte skjuvkrafterna längre hindra att oscillationerna resulterar i rotationer och virvlar uppstår - se Fig. 5.10, turbulenta virvlar bildas.

Viskositet – diskuteras mera detaljerat i avsnitt 6.2 – är den materialegenskap hos en fluid som avgör övergången från

Fig. 5.9 Bounday layer flow with velocity profile. Gränsskiktströmning med hastighetsprofil (KJ05)

Fig. 5.10 Fluid elements deformation and rotation Fluidumelementets deformering och rotation


5-9

from laminar flow to turbulent flow, together with the velocity v (note: a vector) of the flow, a length dimension L of the flow (for example, tube diameter) and the density ρ of the flow. It was observed by O. Reynolds in 1883 in a well-known dye-streak experiment (see Chapter 6) that the flow of fluid in a circular tube changes from laminar to turbulent at Reynolds’ number Re ~ 2300 (being fully turbulent at Re = 4000), where the dimensionless Reynolds number is defined as where η is the dynamic viscosity (unit: Pa·s). For a volume flow V (m3/s) through a cross section A (m2), the velocity |v| can be taken to be the cross-sectional average velocity <v> = V /A (m/s) in the direction of the flow. Viscosity, a material property for a fluid, is a measure for a fluid’s resistance to flow. It determines the internal friction of a moving fluid (which eventually results in lower velocities or pressure drop). Also widely used besides dynamic viscosity η is the kinematic viscosity ν = η/ρ (unit: m2/s). Likewise, for flow along a plane surface such as shown in Fig. 5.9 the boundary layer becomes turbulent for Rex = ρ·V∞·x/η = 5×105, with distance x (m) along the surface, and velocity of the undisturbed flow V∞ (m/s). This is illustrated by Fig. 5.11.

Indicated in Figs. 5.9 and 5.11 is also that the thickness, δ (m) of the (here: hydrodynamic) boundary layer is typically taken as the position where the flow

laminärt till turbulent flöde, tillsammans med flödeshastigheten v (obs: en vektor), en längddimension för flödet (t.ex. rördiameter) och flödets densitet. O. Reynolds observerade 1883, utgående från ett välkänt bläckstråleexperiment (se kapitel 6), att ett fluidflöde i ett rör ändrar från laminärt flöde till turbulent vid Reynolds tal Re ~ 2300 (och fullständigt turbulent vid Re = 4000). Det dimensions-lösa Reynolds tal definieras som

där η är den dynamiska viskositeten (enhet: Pa·s). För ett volymflöde V (m3/s) genom en tvärsnittyta A (m2), kan hastigheten |v| antas vara tvärsnittets medelhastighet <v> = V /A (m/s) i flödets riktning. Viskositet, en materialegenskap, är ett mått på fluidens flödesmotstånd. Den avgör den interna friktionen hos en ström-mande fluid (vilket leder till lägre hastighet eller tryckfall). Vid sidan om dynamisk viskositet η används också ofta kinematisk viskositet ν = η/ρ (enhet: m2/s). På samma sätt blir för ett flöde längs en plan yta, illustrerat i Fig. 5.9, gränsskiktet turbulent då Rex = ρ·V∞·x/η = 5×105, för avståndet x (m) längs ytan och det ostörda flödets hastighet längs ytan V∞ (m/s). Detta illustreras av Fig. 5.11.

Figurerna 5.9 och 5.11 indikerar också att tjockleken, δ (m), på (här: hydro-dynamiska) gränsskiktet räknas vanligen från det läge där flödeshastigheten är 99%

Fig. 5.11 A laminar + turbulent boundary layer Ett läminärt + turbulent gränsskikt (KJ05)

aft)(viskös kr

raft)(tröghetskv

force viscous

force inertial L ~

Lv Re

(5-18)


Heat transfer

5-10

velocity is 99% of that of the undisturbed flow: v(x) / V∞ = 0.99. Forced convective heat transfer is strongly controlled by the thickness of the boundary layer, which varies with the position at the heat transfer surface and is therefore often determined as an average value for the surface. The heat transfer resistance can be considered to be confined to a thermal boundary layer, as shown in Fig. 5.12.

There is, however, a detail that must be taken into account: the thicknesses the of the hydrodynamic (δ) and thermal boundary (δT) layer are not the same. The simple reason for this that the physical mechanisms for the diffusion of heat given by a = λ/ρ·cp (m2/s) and momentum as determined by ν = η/ρ (m2/s) are different. This is quantified for by the dimensionless group named after L. Prandtl: Typical values for Prandtl numbers are given in Fig. 5.13. For a simple di-atomic gas Pr ~ 0.7 and Pr1/3 ~ 0.9.

av det ostörda flödets hastighet: v(x) / V∞ = 0.99. Påtvingad konvektiv värmeöverföring är starkt kontrollerad av gränsskiktets tjocklek, som varierar med läget på värmeöverföringsytan och är därför ofta representerat av ett medelvärde för ytan. Värmeöverföringsmotståndet kan antas vara begränsat till ett termiskt gränsskikt, enligt Fig. 5.12.

Det bör noteras att det hydrodynamiska (δ) och det termiska (δT) gränskikten tjocklekar inte är de samma. Den enkla orsaken för detta är att de fysikaliska mekanismerna för värme-diffusion, som bestäms av a = λ/ρ·cp (m2/s), och rörelsemängd, som bestäms av ν = η/ρ (m2/s), är olika. Detta kvantifieras av den dimensionslösa storhet som namngetts efter L. Prandtl: Typiska värden för Prandtls tal ges i Fig. 5.13. För en enkel diatomisk gas är Pr ~ 0.7 och Pr1/3 ~ 0.9.

Fig. 5.12 Thermal bounday layer with temperature profile. Termiskt gränsskikt med temperaturprofil (KJ05)

3

13

13

1

3

1

Pr)/(

rate diffusion thermal

rate diffusion viscousPr

a

cc

a

pp

T

Fig. 5.13 Prandtl numbers for typical liquids and gases. Prandtl-tal för typiska vätskor or gaser (KJ05)

(5-19a) (5-19b)


5-11

Note that the parameters in Pr all vary with temperature (and pressure); it is common practice use average values for ρ, η, λ, cp for boundary layer (“film”) temperature Tfilm = ½·(Ts + T∞) for Fig. 5.7. In many cases the heat conductivity of the (flowing) fluid medium is (much) lower than that of the surface material. The very thin fluid layer is then the largest heat transfer resistance and heat transfer limitations on the side of the object or other medium can be neglected (see also section 5.3). For the thermal boundary layer, two heat balances hold, which gives some insight into the heat transfer coefficient showing that thin boundary layers promote heat transfer. 5.2.2 Nusselt number In the previous section it was shown that the convective heat transfer coefficient can be related to the thickness δT of the thermal boundary layer. Unfortunately, it is complicated and often impossible to determine (local) values for δT, and therefore another procedure is followed, based on a dimensionless group named after W. Nusselt. The Nusselt number Nu, follows from comparing the convective heat transfer to the heat transfer through a thermal boundary layer This shows that for an idealised laminar boundary (as in Fig. 5.9), Nu = 1. In more general geometries (which may be quite complicated, with fluid flow velocities depending on position, around or in complex structures or channels) the boundary layer thickness varies strongly with position. For those cases a Nusselt number is produced likewise, base on a

Observera att alla parametrar i Pr beror på temperatur (och tryck). Det är praxis att använda medelvärden för ρ, η, λ, cp vid gränsskikt (”film”) temperaturen Tfilm = ½·(Ts + T∞) för Fig. 5.7. I många fall är det strömmande mediets värmekonduktivitet (mycket) lägre än ytmaterialets. Det mycket tunna fluidskiktet bidrar då med det största värmeöverföringsmotståndet och värme-överföringsbegränsningar från föremålets eller det andra mediums sida är negligerbara (se också avsnitt 5.3). För det termiska gränsskiktet gäller två värmebalanser, vilka ger en insikt i värmeöverföringskoefficientens natur

som visar att ett tunt gränsskikt gynnar värmeöverföringen. 5.2.2 Nusselts tal I föregående avsnitt visades det att den konvektiva värmeöverföringskoefficienten kan relateras till det termiska gränsskiktets tjocklek δT. Tyvärr är det svårt, ofta omöjligt, att bestämma (lokala) värden för δT och därför följs ofta en annan metod, baserad på en dimensionslös grupp uppkallad efter W. Nusselt. Nusselts tal, Nu, fås genom att jämföra den konvektiva värmeöverföringen med värmeöver-föringen genom ett termiskt gränsskikt.

Enligt detta, för ett idealt laminärt gränsskikt (som i Fig. 5.9), är Nu = 1. I mera allmänna geometrier (som kan bli ganska komplicerade, med flödes-hastigheter beroende på läge, omkring eller i komplicerade strukturer eller kanaler), gränsskiktstjockleket varierar kraftigt med läget. I sådana fall bildas Nusselts tal på liknande sätt, baserat på

TTT h

y with/med

)("

fluidfluid

surfacefluid

surfacefluidfluidsurface

TTh

y

T

dy

dTThTTh

A

QQ

Nuh

Q

Q

TA

dy

dTAQTATAhQ

fluid

T

cond

conv

fluidfluidcondfluid

conv

TT

(5-20)

(5-21, 5-22, 5-23)


Heat transfer

5-12

length scale, say, L (m) of the geometry, the value for the heat transfer coefficient is determined using This relates Nu to the fluid flow via Re and to the properties of the boundary layer via Pr. In some cases other parameters enter the expressions for Nu, via other dimensionless groups – see below. The relation between Nu, Re and Pr can also be produced using a procedure known as dimensional analysis – for more detail see ÅA course Mass transfer and separation technology 424302, Z13, or textbook Z06. In short, this procedure aims at producing a general expression for the heat transfer coefficient, using a list of relevant process parameters with flow velocity v, length scale L, and conductivity, viscosity, density and heat capacity of the fluid medium. According to the so-called PI theorem by Buckingham (B14), this problem of 7 variables, with 4 base units (m, s, kg, K) – see section 1.2 – results in 3 dimensionless groups, i.e. Nu, Re and Pr. A set of experiments can then generate the coefficients a,b,c of an empirical expression of the type Nu = a·Reb·Prc. (Since the expression is dimensionless the necessary experiments can be done at another scale (size) than what would be a final design objective, saving time, money and resources. A pre-requirement for this is that the values for the dimensionless groups are similar for the experimenting and the final design. As said – more detail is given elsewhere and cannot be included in the material for this course.) 5.2.3 Expressions for heat transfer

coefficient and Nusselt number Several geometries are of great importance in technical applications and for these convective heat transfer and Nu numbers are well defined. One example is an flow over an

en längdskala, t.ex. L (m), för geometrin, och värmeöverföringskoefficientens värde bestäms med hjälp av

Detta relaterar nu till fluidflödet genom Re och till gränsskiktets egenskaper genom Pr. I vissa fall fås uttryck för Nu som är beroende också av andra parametrar, genom andra dimensionslösa grupper – se nedan. Förhållandet mellan Nu, Re och Pr kan också fås genom en metod som kallas dimensionsanalys – för en djupare insikt, se ÅA kursen Massöverföring och separationsteknik 424302, Z13, eller i textboken Z06. I korthet strävar denna metod efter att producera ett allmänt uttryck för värmeöverföringskoefficienten utgående från en mängd relevanta processparametrar

med flödeshastigheten, v, längdskala, L, samt det fluida mediets konduktivitet, viskositet, densitet och värmekapacitet. Enligt Buckinghams pi-teorem (B14), resulterar detta problem, med 7 variabler och 4 basenheter (m, s, kg, K), – se avsnitt 1.2 – i 3 dimensionslösa grupper, Nu, Re och Pr. En uppsättning experiment kan generera koefficienterna a, b, c för ett empiriskt uttryck av typen Nu = a·Reb·Prc. (Eftersom uttrycket är dimensionslöst, kan de nödvändiga experimenten utföras på en annan skala än den slutliga designen och på så sätt spara tid, pengar och resurser. Ett krav för detta är att värdena på de dimensionslösa grupperna är av samma storleksordning för både experiment och slutlig design. Som sagt, en detaljrikare förklaring ges annanstans och kan inte inkluderas i materialet för denna kurs.) 5.2.2 Uttryck för värmeöverförings-

koefficienten och Nusselts tal Flertalet geometrier är av stor betydelse i tekniska sammanhang och för dessa är konvektiv värmeöverföring och Nusselts tal väldefinerade.

),f(ing)(värmeledn

ektion)(värmekonvh

fluid

PrRe conduction heat

convection heat L Nu

)c,,,L,f(v,h p

(5-24)

(5-25)


5-13

isothermal flat plate, as in Fig. 5.14. Three cases can be considered, depending on whether the boundary layer shows a transition from laminar to turbulent. This occurs at the position x where Rex = v·x·ρ/η ≈ 5×105. a. The boundary layer is laminar over the entire plate. b. The boundary layer is for a large part turbulent. c. The turbulent boundary layer extends over almost the entire plate.

Indicated in the Figs. is also the average value ReL for length x = [0,L], defined as Nusselt numbers for this geometry are given in Table 5.2, for an isothermal plate.

Ett exempel är flöde över en iso-termisk plan yta som i Fig. 5.14. Tre fall kan beaktas, beroende på om gränsskiktet visar en övergång från laminärt till turbulent flöde. Detta sker vid det läge x där Rex = v·x·ρ/η ≈ 5×105. a. Gränsskiktet är laminärt över hela ytan. b. Gränsskiktet är till stor del turbulent. c. Det turbulenta gränsskiktet sträcker sig över nästan hela ytan.

I figurerna indikeras också medelvärdet ReL för längden x = [0,L], definierat som

Nusselts tal för en isotermisk plan yta ges i tabell 5.2.

L

xL dxReL

Re0

1

60 Pr 0.6 10Re for PrRe037.0

60 Pr 0.6 10 Re 105 for Pr)871Re037.0(

0.6 Pr 105Re for PrRe664.0

: / numbers Nusselt L length over averaged

60 Pr 0.6 105Re for PrRe0296.0

0.6 Pr 105Re for PrRe332.0

: / numbers Nusselt local

8L

3/15/4

8L

53/15/4

5L

3/12/1

5x

3/15/4

5x

3/12/1

/ förLh

Nu

/ förLh

Nu

/ förLh

Nu

gden Lal för län Nusselt-tmedelvärde

/ förxh

Nu

/ förxh

Nu

selt-tallokala Nus

LL

LL

LL

xx

x

xx

x

Tab. 5.2 Nusselt numbers for heat transfer to/from an isothermal flat plate Nusselt-tal för värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05)

Fig. 5.14 Heat transfer to/from an isothermal flat plate Värmeöverföring till/från en plan yta (KJ05)

(5-26)

(5-27)

(5-28)

(5-29)

(5-30)

(5-31)


Heat transfer

5-14

The expressions in Table 5.2 can also be used for the somewhat different situation of a constant heat flux "Q . For the local Nux the constants 0.332 and 0.0296 become 0.453 and 0.0308, respectively; for the averaged values NuL there is no significant difference with the isothermal case. Flow situations can be divided into two important geometries or situation types: Flow along an (outside) surface or

around an obstacle, external flow Flow inside a channel (most

importantly tube flow), internal flow A generalised expression for flow around obstacles (with characteristic size or diameter D) is with values for C and m (as function of ReD) and n ~ ⅓ (as function of Pr) taken from tables. A correction factor for Tsurface << Tflow or Tsurface >> Tflow can be added, since ρ=ρ(T), η=η(T), cp=cp(T), λ=λ(T). For convection over a spherical surface (diameter D): where the last factor is a (viscosity) correction for Tsurface << Tflow or Tsurface >> Tflow with ηs = η(Tsurface) at the surface.

For convection over a cylindrical surface (diameter D), in crossflow: where again the last term is a correction for Tsurface << Tflow or Tsurface >> Tflow. The values for the parameters C, m and n are given in Table 5.3.

Uttrycken i Tabell 5.2 kan också användas för den aningen annorlunda situationen,

då värmeflödet "Q är konstant. Konstanterna för de lokala värdena på Nux 0,332 och 0,0296 blir då 0,453 och 0,0308. För de genomsnittliga värdena NuL är situationen i praktiken oförändrad från det isotermiska fallet.

Omständigheterna för ett flöde kan delas in i två viktiga geometrier eller situationer: Flöde längs (utsidan) av en yta eller

runt ett föremål, externt flöde Flöde inuti en kanal (framförallt

rörströmning), internt flöde Ett allmänt uttryck för flöde runt ett föremål (med karakteristisk storlek eller diameter D) kan ges som

med värden för C och m (som funktion av ReD) och n ~ ⅓ (som funktion av Pr) tagna ur tabeller. En korrektionsfaktor för Tyta << Tflöde eller Tyta >> Tflöde kan tilläggas, eftersom ρ=ρ(T), η=η(T), cp=cp(T), λ=λ(T). För konvektion över en sfärisk yta (med diametern D):

där den sista faktorn är en (viskositets-) korrigering för Tyta << Tflöde eller Tyta >> Tflöde, med ηs = η(Tyta) vid ytan. För konvektion vinkelrätt över en cylindrisk yta (med diametern D): där den sista faktorn igen är en korrigering för Tyta << Tflöde eller Tyta >> Tflöde. Värdena för parametrarna C, m och n finns givna i Tabell 5.3.

500 Pr 0.7 ,10 Re 1 ; PrReCλ

Dh Nu 6nm

D

380Pr0.7 and/och 80000Re3.5 for/för

)(Pr)Re06.0Re4.0(2Nu

D

4/14.03/22/1

s

DDDhD

4/1)Pr

Pr(PrReNu

surface

nmDD C

hD

Tab. 5.3 Parameters for Nu for crossflow over a cylinder Parametrar för Nu för strömning vinkelrätt mot en cylinder (T06)

(5-32)

(5-33)

(5-34)


5-15

Also very important are flows in tubes. For laminar flow in a tube (ReD < 2100...2300) with diameter D, for constant wall temperature: NuD = h·D/λ = 3.66; for constant heat flux: NuD = h·D/λ = 4.36. For turbulent flows in pipes (with diameter D and length L) the following expression is used: For turbulent pipe flows (with diameter D) where the temperature differences between wall and flow are large (Twall >> Tflow, or Twall << Tflow) a better result is obtained with the following expression: where the last factor, correcting for the effect of a large difference in viscosity, is known as the Sieder-Tate correction. Obviously, not all tube or channel flows involve round tubes: for other geometries a so-called hydraulic diameter is used for diameter D – see section 6.4.

An aspect that must be noted for relatively short tubes is the entrance effect as illustrated in Fig. 5.15. Clearly, some distance from the entrance is needed for the boundary layers to build up so-called developed flow. In the entrance region the heat transfer rate is higher as a result of thinner boundary layers present there. For laminar flow this can be account-ted for by the dimensionless Graetz number, defined as

Flöden i rör är också av särskild betydelse. För laminärt flöde i ett rör (ReD < 2100 ...2300) med diameter D, för konstant väggtemperatur: NuD = h·D/λ = 3,66. För konstant värmeflöde: NuD = h·D/λ = 4,36. För turbulent flöde i rör (med diametern D och längden L) används följande uttryck: För turbulent flöde i ett rör (med diameter D) med stora temperaturskillnader mellan väggen och strömningen (Tvägg >> Tflöde

eller Tvägg << Tflöde) fås ett bättre resultat med följande uttryck: där den sista faktorn, som korrigerar för stora skillnader i viskositeten, kallas Sieder-Tates korrigering. Självklart sker all rörströmning inte i runda rör. För andra geometrier används en så kallad hydraulisk diameter istället för diametern D – se avsnitt 6.4.

En aspekt som måste noteras för relativt korta rör, är inträdeseffekten illustrerad i Fig. 5.15. Det krävs ett visst avstånd från öppningen innan gränsskikten bildat ett så kallat utvecklat flöde. I inträdesområdet är värmeöverföringen högre p.g.a. tunnare gränsskikt där. För laminärt flöde kan detta representeras av det dimensionslösa Graetz-talet, definierat som

0,4n :T T ; 0,3n :T T för /och for and

10 L/D 160,Pr0.7 10000,Re for/för

Nu

flow wallflow wall

D

n,DD PrRe, 800230

0,4n :T T ; 0,3n :T T för /och for and

10 L/D 16700,Pr0.7 10000,Re for/för

Nu

flow wallflow wall

D

140

800270 .wall

n,DD )

(PrRe,

Fig. 5.15 Velocity (a) and thermal (b) boundary layer in the entrance region of a channel. Hastighets- (a) och termiskt (b) gränsskikt i inträdesområdet för rörströmning (KJ05)

xa

Dv

x

D

2PrRe

Gz

(5-36)

(5-35)

(5-37)


Heat transfer

5-16

for a length section x from the entrance of a tube with diameter D. 7 For the entrance region Gz > 20, for developed flow Gz < 5. For circular tube flow with constant wall temperature the following expression can be used for laminar flow:

For turbulent tube flow this can be

corrected for by a factor for tube length L, diameter D. Many other system geometries are possible, like tube bundles, clouds or swarms of droplets, bubbles or solid particles, packed or fluidised beds, etc. etc. – a very useful source for Nu numbers and heat transfer coefficients is the Wärmeatlas of the German VDI. A special case, important for technical applications occurs for a tube flow where the temperature of the wall is constant over the whole length – see Fig 5.16.

For this case the expression for a heat exchanger – see Chapter 4.1 – can be used with temperature differences ∆Ti at inlet position ”i” and ∆Te at exit position ”e”, heat exchange surface A (m2) and overall heat transfer coefficient U (W/(m2·K). The logarithmic-mean temperature ∆Tlm is defined as (see also Eq. (4-6)):

7 In some literature defined as 1/Gz = Re·Pr·D/x – for example BMH99, SSJ84

för en längdsektion x från öppningen till röret, med diametern D.8 För ett inträdes-område är Gz > 20, för utvecklat flöde är Gz < 5. För ett laminärt flöde i ett cirkulärt rör, med konstant väggtemperatur, kan följande uttryck användas:

För ett turbulent flöde kan detta korrigeras med en faktor

med rörlängden L och diametern D. Många andra geometrier är möjliga, som t.ex. rörknippen, moln av droppar, bubblor eller fasta partiklar, packade eller fluidiserade bäddar etc. – en mycket användbar källa för värden Nu och värmeöverföringskoefficienter det tyska VDIs Wärmeatlas. Ett viktigt specialfall för tekniska applikationer gäller för strömning i rör, där väggtemperaturen är konstant över hela längden – se Fig. 5.16.

I det fallet kan uttrycket för en värmeväxlare användas – se kapitel 4.1 med temperaturskillnaden ∆Ti vid inloppet ”i” och ∆Te vid utloppet ”e”, värmeöverföringsytan A (m2) och värmegenomgångstalet U (W/(m2·K). Den logaritmiska medeltemperaturen ∆Tlm defineras som (se även ekv. (4-6)):

8 Definieras i viss litteratur som 1/Gz = Re·Pr·D/x – t.ex. BMH99, SSJ84

4000 Re , )(1Nu Nu 7.0

L

D

Fig. 5.16 Convective heat transfer in tube flow with constant wall temperature. Konvektiv värmeöverföring för rörströmning med konstant väggtemperatur (KJ05)

lm

e

i

eiiepflow TAU

TT

TTAUTTcmQ

ln

)(

e

i

eilm

T

T

TTT

ln

2300 Re , 04.01

0183.01NuNu

3/2

Gz

Gz (5-38a)

(5-38b)

(5-39)

(5-40)


5-17

A diagram that gives the logarithmic mean temperature ∆Tlm as function of two temperature differences ∆TL and ∆T0 is added to this chapter as an Appendix. 5.2.4 Overall heat transfer coefficient The overall heat transfer coefficient U follows from the resistances, in series, of convective heat transfer at the inside, hin, and outside, hout, and the conductive resistances for material layers with thickness di and conductivities λi:

This is illustrated by Fig. 5.17 for a heat flux "Q (W/m2) from fluid (flow) 1 through a wall (and dirt layer) to fluid (flow) 2 equal to "Q = U·(<T1> – <T2>) with (average) temperatures <T1> and <T2>.

The overall resistance 1/U equals the sum of resistances: Note that if the interface surfaces are curved, A1 ≠ A2 ≠ A3, this must be taken into account:

Ett diagram, ur vilket den logaritmiska medeltemperaturen ∆Tlm fås som funktion av två temperaturskillnader ∆TL och ∆T0, finns som bilaga till detta kapitel. 5.2.4 Värmegenomgångstal Värmegenomgångstalet U (äv. total värmeöverföringskoefficient) fås av in-sidans och utsidans konvektiva värmemot-stånd hin respektive hout, samt de konduktiva motstånden för de olika materialskikten, med tjocklek di och konduktivitet λi, i serie efter varandra:

Detta illustreras av Fig. 5.17 för ett

värmeflöde "Q (W/m2) från en fluid (-ström) 1, till en vägg (med ett smutslager), till en fluid (-ström) 2. Värmeflödet

"Q = U·(<T1> – <T2>) med (medel-) temperaturerna <T1> och <T2>.

Det totala motståndet 1/U är lika med summan av alla resistanser: Notera att om gränssnittsytornas areor är böjda, dvs A1 ≠ A2 ≠ A3, måste skillnaden i area tas i beaktande:

outi i

i

in h

d

hU

111

total heattotal heat

21

111

G

AAR

h

dd

hU d

d

w

w

dw

davgd

d

wavgw

w

ddd

dd

ddd

dd

ARA

A

hA

Ad

A

Ad

A

A

hU

22

21

davg,11

21

wavg,21

total heat22,,11

A

A ,

A

A ,AA Awith/med

111

Fig. 5.17 Overall heat transfer resistance composed of convective and conductive resistances Totala värmeöverföringsresistansen uppbyggd av konvektiva och konduktiva resistanser

(BMH99)

A1 A2 A3

(5-41)

(5-42)

(5-43) (5-44)


Heat transfer

5-18

More on combining convective and conductive heat transfer will follow in section 5.3. 5.2.3 Natural (or free) convection Relatively small velocities but noticeable motion occurs in an a medium as a result of density (or concentration) differences, where material with lower density will move upwards with respect to more dense material. This can give rise to natural, or free, convective heat transfer that may be neglected for most technical applications. Nonetheless this heat transfer mechanism can become an important (side-) effect that must be controlled or can be beneficial and for that reason it must be well understood. Similar to forced convection a heat transfer coefficient can be calculated, again making use of a Nusselt number but the expressions are somewhat different. If at the same time also forced convection occurs then the value for the Re number for the forced allows for assessing whether natural convection, forced convection or both must be considered. The phenomenon of natural convection is illustrated in Fig. 5.18, showing again a heat transfer boundary layer with thickness δh (= δT).

A hot (or cold) surface can cause a temperature gradient in a surrounding medium, and the resulting density differences ∆ρ induce convection. Also, the convection can be induced by

Mera om att kombinera konvektiv och konduktiv värmeöverföring följer i avsnitt 5.3. 5.2.3 Naturlig konvektion, eller

egenkonvektion Relativt små hastigheter men observerbar rörelse förekommer i ett medium som en konsekvens av densitetsskillnader (eller koncentrationsskillnader), där ämnet med lägre densitet förflyttas uppåt i förhållande till det tätare ämnet. Detta kan ge upphov till naturlig (ibland kallad egen- eller fri) konvektion, som kan bortses från i de flesta tekniska sammanhang. Trots det kan denna värmeöver-föringsmekanism komma att vara en betydelsefull (sido-) effekt som måste kontrolleras, eller kan dras nytta av, och måste därför vara bekant. Precis som vid påtvingad konvektion kan en värmeöver-föringskoefficient beräknas, även här med hjälp av Nusselts tal, men med ett litet avvikande uttryck för Nu. Då påtvingad konvektion förekommer samtidigt, kan värdet på Re för det påtvingade flödet användas för att avgöra huruvida naturlig konvektion, påtvingad konvektion eller båda måste beaktas. Fenomenet naturlig konvektion illustreras i Fig. 5.18, där ett gränsskikt för värmeöverföringen, med tjockleken δh, (= δT) igen förekommer.

En het (eller kall) yta kan orsaka en temperaturgradient i ett omgivande medium, där de resulterande densitets-skillnaderna ∆ρ ger upphov till konvektion. Konvektion kan också orsakas av

Fig. 5.18 Natural convection as a result of temperature differences in a medium Naturlig konvektion som ett resultat av temperaturskillnader i ett medium (BMH99)


5-19

concentration differences that are the result of a chemical reaction taking place, for example at or near a catalyst surface (see also ÅA course Mass transfer and separation technology 424302). For natural convection (usually laminar) along a surface as a result of a temperature difference ∆T = Twall (at the surface) – T∞ (in the undisturbed medium), the Nu number for heat transfer i a function of Gravity, g, and Coefficient of expansion of volume V

of the medium β = (1/V)·(∂V/∂T)p=const taken for T=T∞. Note that for an ideal gas at temperature T, β = 1/T; T in K.

The effect of ∆T and β on density is taken as the combination β·∆T = ∆ρ/ρwall, showing the density difference that occurs. Similar to forced convection, a dimensional analysis produces the relation between the relevant parameters as a set of dimensionless groups: where g is the gravity acceleration and Gr is a dimensionless number named after F. Grashof. For a number of geometries the values for Nu are given in Table 5.4.

In Table 5.4 the combination Gr·Pr is seen in all expressions: it is also known as the dimensionless group Ra named after lord Rayleigh. Also, values of Ra = Gr·Pr ~107...108 separate laminar from turbulent natural convection, therefore two expressions for most cases.

koncentrationsskillnader som uppstått till följd av en kemisk reaktion, t.ex. invid ytan på en katalysatorpartikel (se också ÅA-kursen Massöverföring och separationsteknik 424302).

Nu talet för värmeöverföring vid naturlig konvektion, (vanligtvis laminär) längs en yta, orsakats av en temperaturskillnad ∆T = Tvägg (vid ytan) – T∞ (i det ostörda mediet), är en funktion av Gravitation, g, och Mediets volymetriska expansions-

koefficient β = (1/V)·(∂V/∂T)p=konst vid T=T∞. Notera att för en idealgas vid temperaturen T, β = 1/T där T ges i K.

Effekten av ∆T och β på densiteten kan antas vara β·∆T = ∆ρ/ρwall och påvisar således den densitetsskillnad som förekommer. På samma sätt som vid påtvingad konvektion, ger en dimensionsanalys förhållandet mellan de relevanta parametrarna som en mängd dimensionslösa grupper:

där g är gravitationsaccelerationen och Gr ett dimensionslöst tal uppkallat efter F. Grashof. Nu för ett antal geometrier ges i tabell 5.4.

I tabell 5.4 finns kombinationen Gr·Pr i samtliga uttryck: den är också känd som den dimensionslösa gruppen Ra, efter lord Rayleigh. Värden på Ra = Gr·Pr ~107...108 åtskiljer också laminär från turbulent naturlig konvektion. Därför behövs två uttryck i de flesta fall.

23

p

)(L Gr /medwith

Pr)f(Gr,Nu

)c,,,L,g, T,f(h

gT

Vertical plates or cylinders Nu = 0.59·(Gr·Pr)1/4 103<Gr·Pr<108 Nu = 0.13·(Gr·Pr)1/3 Gr·Pr>108 Horizontal cylinders Nu = 0.53·(Gr·Pr) 1/4 103<Gr·Pr<108 Nu = 0.13·(Gr·Pr)1/3 Gr·Pr>108 Horizontal plate Nu = 0.54·(Gr·Pr) 1/4 105<Gr·Pr<2·107 (above heated or below cooled) Nu = 0.17·(Gr·Pr)1/3 Gr·Pr>2·107 Horizontal plate Nu = 0.27·(Gr·Pr) 1/4 Gr·Pr>3·105 (below heated or above cooled)

Table. 5.4 Expressions for Nu number for natural convection Uttryck för Nu talet för naturlig konvektion

(5-45)

(5-46) (5-47) (5-48) (5-49) (5-50) (5-51) (5-52)


Heat transfer

5-20

Finally, natural convection is more important than forced convection if Re2 << Gr (and vice versa). If Re² ~ Gr then both natural and free convection most be considered. When Nuforced convection and Nunatural convection are known, they can be combined (as parallel resistances ~ 1/Nu): and the overall value for the heat transfer coefficient is determined from Nutotal. For a range of applications, values for local (h) and total (U) heat transfer coefficients are tabelised in Table 5.5

5.3 Combined conduction and

convection heat transfer; the lumped system approximation

In circumstances where one thermal resistance is much larger than another (or more others), important simplifications can be made. For example, in a two-layer structure of rubber (λ = 0.13 W/m·K) and copper (λ = 400 W/m·K), both with thickness 2 cm, the thermal resistances (per m2) are 0.154 K/W and 0.00005 K/W, respectively – see Fig. 5.19. As a result here is a negligible temperature gradient across one of the materials and that heat transfer resistance may be neglected.

Slutligen, naturlig konvektion är av större betydelse än påtvingad konvektion om Re2 << Gr (och vice versa). Om Re2 ~ Gr måste både naturlig och påtvingad konvektion tas i beaktande. När både Nupåtvingad konvektion och Nunaturlig konvektion är kända kan de kombineras (som parallella motstånd ~ 1/Nu):

och det totala värdet på värmeöver-föringskoefficienten bestäms av Nutotal.

Tabell 5.5 ger värden på lokala (h) och totala (U) värmeöverförings-koefficienter för en rad tillämpningar.

5.3 Kombinerad konduktiv och

konvektiv värmeöverföring; sk. lumped system approximering

I fall där ett värmemotstånd är mycket större än ett annat (eller andra) kan viktiga förenklingar göras. T.ex. för en struktur i två skikt bestående av gummi (λ = 0,13 W/m·K) och koppar (λ = 400 W/m·K), båda av tjockleken 2 cm, är värmemotstånden (per m2) 0,154 K/W, respektive 0,00005 K/W – se Fig. 5.19. Följaktligen är temperaturgradienten negligerbar över det ena materialet och kan således bortses från.

konv.)(naturlig onv.)(tvungen k conv. natural conv. forcedtotal Nu

1

Nu

1

Nu

1

Fig. 5.19 Heat conduction in a layered copper / rubber material Värmeledning i ett skiktmaterial kopper/gummi (KJ05)

Table. 5.5 Typical values for local and total heat transfer coefficients Typiska värden för lokala och totala värmeöverföringskoefficienter (BMH99)

(5-53)


5-21

Very often conductive heat

resistances are much smaller than convective heat resistances. The cool down (or heat-up) of a body that is suddenly immersed in a colder (or hotter) fluid – see Fig. 5.20 – depends on how fast heat is transferred to/from the interface surface at both sides of it.

Besides heat transfer resistances on the fluid side, heat conductivity inside the immersed body may become limiting. But the object can also be a bubble or droplet where internal mixing significantly increases heat transfer! The time it takes for the centre of the immersed body to reach the same temperature as its surface depends on the ratio between the resistances for convective and conductive heat transfer, Rheat cond and Rheat conv. In transient situations, temperatures are a function of time and position, but the so-called lumped system approach can be used when variations with position (inside a material) can be ignored. For a body with a characteristic size Lchar = volume /surface = V/A, thermal conductivity λ and interface heat transfer coefficient h, these resistances and their ratio are equal to

Konduktiva värmemotstånd är väldigt ofta mycket mindre än de konvektiva. Nedkylning (eller upphettning) av ett kropp som nedsänks i en kallare (eller varmare) vätska – se Fig. 5.20 – beror på hur snabbt värme överförs till/från gränsytorna på båda sidorna.

Förutom värmeöverföringsmotstånd på vätskans sida, kan också konduktiviteten inuti kroppen vara begränsande. Objektet i fråga kan också vara en bubbla eller droppe, där intern omblandning märkbart påskyndar värmeöverföringen! Tiden det tar för det nedsänkta objektets mitt att uppnå samma temperatur som dess yta, beror på förhållandet mellan de konvektiva och konduktiva värmeöverförings-motstånden, Rheat cond

and Rheat conv. I tidsberoende situationer är temperaturerna funktioner av tid och position en s.k. lumped system metod kan användas i de fall där variationer med positionen inuti materialet kan ignoreras. För en kropp, med karakteristisk storlek Lchar = volym/area = V/A, värme-konduktivitet λ och gränsskiktets värmeöverföringskoefficient h, är dessa motstånd och deras förhållanden lika med

BihL

R

R

A

LR

hAR

object

char

object

char conv heat

cond heatcond heatconv heat ; ;

1

Fig. 5.19 Heat conduction in a layered copper / rubber material Värmeledning i ett skiktmaterial koppar/gummi (KJ05)

Fig. 5.20 Heat transfer from a submerged hot object in a cold fluid Värmeöverföring från ett varmt objekt nedsänkt i en kall vätska (KJ05)

(5-54,5-55,5-56)


Heat transfer

5-22

Dimensionless ratio hLchar/λ is known as dimensionless number Bi = internal resistance / outside boundary resistance, named after J.-B. Biot. The expression is similar to that for Nusselt number Nu, except that Nu contains the conductivity λ of the surrounding (moving) medium. In general, if Bi < 0.1 there is little temperature variation inside the immersed body and it can be considered to have a uniform temperature. Cases where Bi > 0.1 are considerably more complicated as will be briefly addressed in section 5.6. 5.4 Convective heat transfer with condensation or boiling Phase transitions such as boiling and condensation involve rather large amounts of heat, large density changes and high heat transfer rates. Condensation occurs when the temperature of a surface is lower than the condensation (i.e. saturation) temperature of a vapour, or Tsurf <Tcondens = Tsat,vapour (for a given pressure) – see section 4.5. Depending on if the liquid can wet the surface (depending on surface tension) either film condensation or droplet condensation occurs, as in Fig. 5.21.

Film condensation covers the whole surface, while droplet condensation leaves much of the surface exposed to vapour. Condensation (and also boiling) can occur On horizontal or vertical surfaces,

which has an effect on how liquid is removed (by gravity);

On the inside or outside of tubes.

Det dimensionslösa förhållandet hLchar/λ brukar benämnas Bi = inre motstånd / yttre gränsskiktsmotstånd, efter J-B Biot. Uttrycket liknar Nusselts tal Nu, med den skillnaden att Nu beror av konduktiviteten λ hos det omgivande (strömmande) mediet. Allmänt taget kan det sägas, att om Bi < 0,1 finns det mycket små temperatur-variationer inuti den nedsänkta kroppen, och den kan antas ha en jämn temperatur. Fall där Bi > 0,1 är betydligt mera komplex och kommer att behandlas i korthet i avsnitt 5.6. 5.4 Konvektiv värmeöverföring med kondensation eller förångning Fasövergångar som förångning eller kondensation innebär förhållandevis stora mängder värme, stora densitets-förändringar och höga värmeöverförings-hastigheter.

Kondensering sker när kontaktytans temperatur är lägre än kondenserings- (dvs. mättnings-) temperaturen för en gas, Tsurf < Tcondens = Tsat,vapour (vid ett givet tryck) – se avsnitt 4.5. Beroende på om vätskan kan väta ytan (beror på ytspänningen) sker antingen film- eller droppkondensation, som i Fig. 5.21.

Filmkondensation täcker hela ytan, medan droppkondensation lämnar en stor del av ytan exponerad mot ångan. Kondensation (och även förångning) kan förekomma På horisontala och vertikala ytor, vilket

påverkar hur vätskan förflyttas (gravitation)

På insidan eller utsidan av rör.

Fig. 5.21 Droplet condensation (←) and film condenation (→) of steam on a copper plate (also shown is a 1.7 mm thermo-couple) Droppkondensation (←) och filmkondensation (→) av vattenånga på en kopparplatta (på bilden syns även ett termoelement) (H89)


5-23

Heat transfer rates for droplet condensation are ~10x higher than for film condensation. For droplet condensation, heat transfer coefficients as high as 170 – 290 kW/(m2·K) have been reported. For steam, typical heat transfer coefficients are (ÖS96): hfilm condensation ~ 11000 W/(m2K), and hdroplet condensation ~ 45000 W/(m2K).

It is important to realise that the heat transfer rate Q for a surface area A is equal to since (condensing) material has cooled from Tvapour to Tsaturated vapour before the condensation occurs. If on the other hand the temperature difference Tsaturated vapour – Tvapour is small compared to Tvapour - Tsurface then it may be that “dry” heat convection may be more important, but it must always be noted that h”dry” convection ≠ hcondensation ! Some typical values for condensation heat transfer are given in Table 5.6.

Non-condensable gases in the vapour can greatly reduce the rate of condensation. These gases will accumulate at the condenser surface and lower the vapour pressure of the condensing vapour. (When designing a condenser, arrangements for purging inert gases should therefore be included.) If 0.01 < pinert / ptotal < 0.4 this can be taken into account by the empirical correction factor

as also presented in Fig. 5.22. For example, 20% air in a condensing vapour decreases the heat transfer by a factor of 4! On the other hand, if pinert / ptotal > 0.4

Värmeöverföringshastigheter för dropp-kondensation är ~10x högre än för film-kondensation. Värmeöverföringskoeffi-cien-terna för droppkondensation har rapporterats vara så höga som 170 – 290 kW/(m2·K). Typiska värmeöverförings-koefficienter för ånga är (ÖS96): hfilmkondensation ~ 11000 W/(m2K), och hdroppkondensation ~ 45000 W/(m2K).

Det är viktigt att inse att värmeöver-

föringshastigheten Q för en yta A är eftersom (det kondenserande) ämnet har kylts ned från Tånga till Tmätad ånga innan kondensationen sker. Om å andra sidan är temperaturskillnaden Tmättad ånga – Tånga liten i jämförelse med Tånga - Tyta kan det hända att ”torr” värmekonvektion är av större betydelse, men det bör alltid noteras att h”torr” konvektion ≠ hkondensation ! Några typiska värden för värmeöverföring vid kondensation ges i Tabell 5.6.

Icke-kondenserande gaser i ångan kan minska kondensationshastigheten avsevärt. Dessa gaser ackumuleras vid kondenseringsytan och sänker den kondenserade gasens ångtryck. (Därför bör man inkludera arrangemang för rensning av inerta gaser, vid design av en kondensor). Om 0,01 < pinert / ptotal < 0,4 kan man inkludera en empirisk korrigeringsfaktor enligt

vilket också presenteras i Fig. 5.22. T.ex., 20 % luft i kondenserande ånga säker värmeöverföringen med en faktor på 4! Å andra sidan, om pinert / ptotal > 0.4 kan

)()( surfvapousurfvapou sat TTAhTTAhQ rr

Table. 5.6 Approximate values for condensation heat transfer coefficients, at 100 kPa Ungefärliga värden för värmeöverföringskoefficienten vid kondensation, vid 100 kPa (H89)

inert

total

p

p

h

h1.0

vapour pure

gases econdensabl-non withmixture

(5-57)

(5-58)


Heat transfer

5-24

the heat transfer coefficient can be based on gas cooling without condensation. Boiling occurs when the temperature of a surface is higher than the condensation (i.e. saturation) temperature of a liquid, or Tsurf > Tcondens = Tsat,liquid (for a given pressure) Eight situations can be distinguished, based on the following possibilities: The hot surface is horizontal, or

vertical The liquid is undercooled (local

boiling) or saturated (bulk boiling) The boiling liquid is flowing, or

stagnant Similar to condensation, it is important to realise that the heat transfer rate Q for a surface area A is equal to

since (boiling) material has been heated from Tliquid to Tsaturated liquid before boiling occurs.

värmeöverföringskoefficienten baseras på nedkylning utan kondensation. Förångning sker när ytans temperatur överstiger kondenseringstemperaturen (dvs. mättningstemperaturen) för en vätska, eller Tyta > Tkondens = Tmättn, vätska (för ett givet tryck). Man kan skilja på åtta situationer, baserat på följande omständigheter: • Ytan är horisontal, eller vertikal • Vätskan är underkyld, eller mättad

(kokande) • Den kokande vätskan strömmar, eller

är stillastående På samma sätt som vid kondensation, är det viktigt att inse att värmeöver-föringshastigheten för en ytas area A är lika med

eftersom (det kokande) ämnet har upphettats från Tvätska to Tmättad vätska innan förångningen sker.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1pinert / ptotal (-)

hm

ixtu

re /

hpure

vap

our

Fig. 5.22 Correction factor for non-condensing gases during condensation Korrigeringsfaktor för icke-kondenserade gaser vid kondensation

)TT(Ah)TT(AhQ liquidsurfliquid satsurf )(!

Fig. 5.23 Six regimes for boiling heat transfer Sex mekanismer för värmeöverföring vid kokning (H89)

(5-59)


5-25

Thus, the boiling process of a liquid depends primarily on the temperature difference ∆T = Tsurface – Tsat, liquid, for which Fig. 5.23 gives six different boiling regimes: (I) free convection, overheating; (II + III) nucleation boiling (bubbles formation); (IV + V) film boiling (closed vapour blanket); (VI) film boiling with thermal radiation. The differences between these regimes are made visible in Fig. 5.24.

Typical numbers for heat transfer coefficients in pipe evaporators (typically vertical heated by condensing steam on the outside) are h = 2000 - 5000 W/(m2·K) for dilute aqueous solutions, h = 500 -1000 W/(m2·K) for hydrocarbons. For boiling water: h = 5000 - 17000 W/(m2·K) (ÖS96). Some typical values for boiling heat transfer are given in Table 5.7, for water.

5.5 Radiation heat transfer 5.5.1 Heat radiation, thermal radiation Radiative heat transfer involves the transfer of heat between surfaces of different temperature separated by a transparent (”diathermal”) medium, by electromagnetic waves. Radiant energy can be exchanged without any intervening medium and across (very) long distances.

Således beror förångningsprocessen för en vätska främst på temperaturskillnaden ∆T = Tyta – Tmättad vätska, för vilken Fig. 5.23 ger sex olika mekanismer för förångning: (I) naturlig konvektion, överhettning (II + III) nukleation (bubblor bildas); (IV + V) filmförångning (sluten ånghinna); (VI) film-förångning med värmestrålning. Skillnaden mellan dessa mekanismer framgår av Fig. 5.24.

Typiska värden för värmeöverförings-koefficienter i rörvärmeväxlare (vanligen vertikala, uppvärmda av kondenserande ånga på utsidan) är h = 2000 – 5000 W/(m2·K) för utspädda vattenlösningar, h = 500 – 1000 W/(m2·K) för kolväten. För kokande vatten är h = 5000 – 17000 W/(m2K) (ÖS96). Några typiska värden för värmeöverföring vid förångning av vatten ges i Tabell 5.7.

5.5 Värmeöverföring vid strålning 5.5.1 Värmestrålning, termisk strålning Värmeöverföring vid strålning involverar överföring av värme mellan två ytor vid olika temperatur, åtskilda av ett genomskinligt (”diatermiskt”) medium, via elektromagnetiska vågor. Strålningsenergi kan transporteras utan inblandning av utomstående medier över (mycket) långa

Fig. 5.24 Boiling (of methanol) on a copper tube / Kokning (av metanol) på ett koppar-rör (a) nucleate boiling 243 kW/m2, ∆T = 37°C; (b) transition boling 218 kW/m2, ∆T = 62°C; (c) film boling 41 kW/m2, ∆T = 82°C; (H89)

Table. 5.7 Approximate values for boiling heat transfer coefficients for water, at 100 kPa Ungefärliga värden för värmeöverföringskoefficienten vid förångning av vatten, vid 100 kPa (H89)


Heat transfer

5-26

For radiation heat transfer, most important is the wavelength range 0.3 ≤ λ≤ 100 µm (300 ≤ λ≤ 105 nm), primarily the infrared region. As illustrated by Fig. 5.25, this region is bounded by ultraviolet (UV), visible light (0.4 – 0.8 µm) and microwave wavelengths.

An alternative description involves the transfer of photons 9 that are released/absorbed when electrons in atoms jump energy bands in atoms or molecules. Inside most solids or liquids these photons won’t travel far but in gases and vacuum very long distances are covered: solar radiation reaches us from the sun, at ~ 5800 K after travelling through vacuum, 3 – 4 K space. Thus, heat transfer by radiation, or thermal radiation in practice implies the transfer of energy between surfaces of objects through vacuum or gases that have little or no interaction with the radiation. So-called participating gases do, however, have absorption bands in the infrared region, with water and carbon dioxide as important examples. (This is responsible for the greenhouse effect that controls the temperature of Earth.) In this

9 Petela (P10) refers to photons as zero-mass matter

sträckor. Av största betydelse för värmestrålning är väglängder inom intervallet 0.3 ≤ λ≤ 100 µm (300 ≤ λ≤ 105 nm), främst det infra-röda området. Detta område avgränsas av det ultraviolet (UV), synliga ljusets (0.4 – 0.8 µm) och mikrovågornas våglängder, vilket visualiseras i Fig. 5.25.

En alternativ beskrivning innefattar överföring av fotoner 10 som avges/ absorberas när atomernas elektroner hoppar mellan olika energinivåer i atomer eller molekyler. Inuti de flesta fasta material eller vätskor kan inte dessa fotoner färdas långt, men nog i gaser och vakuum. Solens strålning, vid ~5800 K, når oss efter att ha färdats genom vakuum vid 3 – 4 K. Således syftar värmestrålning i praktiken på energiöverföring mellan föremåls ytor, genom vakuum eller gaser, som påverkar strålningen väldigt litet, eller inte över huvudtaget. Vissa gaser påverkar dock värmestrålningen, i och med att de har absorptionsband i det infraröda området: vatten och koldioxid är viktiga exempel här. (Detta är orsaken till växthuseffekten som reglerar jordens temperatur.) Detta fenomen kommer inte

10 Petela (P10) hänvisar till fotoner som materia utan massa

Fig. 5.25 The electromagnetic spectrum with infra-red and visible light wavelengths Det elektromagnetiska spektret med våglängder för infrarött och synligt ljus (T06)


5-27

introductory chapter participating gases won’t be considered - see ÅA course 424304 Process engineering thermodynamics for more detail. A complicating factor is that radiant energy and also radiant properties of materials are dependent on wavelength λ and may be direction-dependent as well. Moreover, material properties are temperature-dependent. Important simplifications are so-called blackbody and gray body radiation.

The own radiation (besides reflected incoming radiation, see below) Q R (W) from a surface with emissivity ε (-) surface A (m2) and temperature T(in K !!) equals

with Stefan-Boltzmann coefficient σ = 5.67×10-8 W/m2K4. Eb (W/m2) gives the blackbody radiation heat flux, where a blackbody is characterised by: ε =1 in the Stefan-Boltzmann Law all incident radiation is absorbed radiation is maximum for its

temperature at each wavelength the intensity of the emitted radiation is

independent of direction: it is a diffuse emitter

A diffuse surface radiates as a blackbody – see Fig. 5.26 – but weakened by emission factor ε.

The spectral distribution of thermal radiation emitted by a blackbody is described by Planck’s radiation law: where ħ = h/2π, h = Planck’s constant 6.626×10-34 J·s , c0= vacuum speed of light 2.998×108 m/s, kB = Boltzmann’s constant 1.381 ×10-23 J/K, T = temperature K, λ = wavelength in m.

att behandlas i detta introducerande kapitel – se ÅA kursen 424304 Process Engineering Thermodynamics för mera information i ämnet. En försvårande faktor är att strålningsenergi och också ett materials strålningsegenskaper beror på våglängden λ och kan även vara beroende av riktning. Dessutom är materialegenskaperna temperatur-beroende. Viktiga förenklingar är så kallad svartkropps- och grå kroppsstrålning. Den egna strålningen (bortsett från reflekterad inkommande strålning, se nedan) Q R (W) från en yta med emissivi-teten ε (-), arean A (m2) och temperaturen T (i K !!) är där Stefan-Boltzmanns konstant σ = 5.67×10-8 W/m2K4. Eb (W/m2) är svartkroppsstrålningens värmeflöde, där en svartkropp karakteriseras av: • ε = 1 i Stefan-Boltzmanns lag • all inkommande strålning absorberas • maximal strålning för varje våglängd,

med avseende på temperaturen • den emitterade strålningen är

oberoende av riktningen: s.k. diffus emission

En diffus yta sänder ut strålning som en svartkropp – se Fig.5.26 – men begränsas av emissiviteten ε.

Spektralfördelningen för värmestrålning utsänd av en svartkropp beskrivs av Plancks lag: där ħ = h/2π, h = Plancks konstant 6.626×10-34 J·s , c0= ljusets hastighet i vakuum 2.998×108 m/s, kB = Boltzmanns konstant 1.381 ×10-23 J/K, T = temperatur K, λ = våglängd i m.

44 TEEATAQ bb with

Fig. 5.26 A diffuse emitter En diffus emitter (T06)

1

2)(),(

0

5

20

Tk

cbb

Be

cTETE

(5-60)

(5-61)


Heat transfer

5-28

This profile is shown in Fig. 5.27 for 2000 K and 1000 K, respectively. The area under the curve integrates to the blackbody radiation flux Eb:

For a blackbody, the wavelength λmax for which the intensity is maximal is related to temperature T by which is known as Wien’s displacement law. For example, λmax = 10 µm @ T = 300 K, λmax = 0.5 µm @ T = 6000 K. The emissivity of a real surface is defined as for so-called hemi-spherical emissivity ε, or ε(T) – see Fig. 5.27. For a specific wavelength, the spectral hemi-spherical emissivity is ελ or ελ(T). For what is known as a gray body, there is no effect of wavelength, nor of direction: Thus, a gray body is diffuse (like a blackbody).

Profilerna för 2000 K och 1000 K beskrivs i Fig. 5.27. Arean under kurvan motsvarar svartkroppsstrålningens flöde Eb:

För en svartkropp relaterar den maximala våglängden λmax till temperaturen T enligt vilket är känt under namnet Wiens lag. T.ex., λmax = 10 µm @ T = 300 K, λmax = 0,5 µm @ T = 6000 K. Emissiviteten för en verklig yta definieras som för s.k. halv-sfäriska emissiviteten ε, eller ε(T) – se Fig. 5.27. För en viss våglängd är spektrala halv-sfäriska emissiviteten ελ eller ελ(T). För en s.k. grå kropp spelar varken våglängd eller riktning någon roll: I den bemärkelsen är en grå kropp diffus (i likhet med en svartkropp).

)( )(0

4 TETdTE bb

Fig. 5.27 Emissive spectrum for radiation from blackbodies and gray bodies Det emissiva spektret för strålning från svartkropp och ”gråa kropp” (T06)

µm·K·T = λ 2898max

)(

),(),( /with

)()(),(),( 4

0 0

TE

TETmed

TTdTETdTE

b

b

)()()( fTfT

(5-62)

(5-63)

(5-64) (5-65)

(5-66)


5-29

Before continuing, it is noted that although thermal radiation depends on T4 it is a common misconception that it becomes relevant first at temperatures of a few 100°C. Especially if other heat transfer mechanisms are weak there can still be a significant heat transfer effect that arises from radiation. 5.5.2 Emissivity, transmittance, reflectance, absorptivity Typical gray body values are given for a wide range of materials in Table 5.8. Clearly, “white” as a colour doesn’t mean a low value for emissivity ε: a typical value for most materials is ε = 0.85 .. 0.90. Of great importance is surface roughness. Absorption of radiation of a certain wavelength (band) can give a material a colour.

The interaction of incoming thermal radiation with a real, a gray body and a blackbody is illustrated by Fig. 5.28.

Innan vi fortsätter bör vi notera att, trots att värmestrålningen beror av T4, är det ett vanligt missförstånd att den är relevant först vid några 100°C. Framförallt i de fall då andra värmeöverförings-mekanismer är svaga, kan strålningen spela en stor roll. 5.5.2 Emissivitet, transmittans, reflektion, absorptivitet Typiska värden för gråa kroppar, för en mängd material ges i Tabell 5.8. Det är tydligt att ”vit”, som färg, inte innebär låg emissivitet ε: ett typiskt värde för de flesta material är ε = 0,85 ... 0,90. Ytskrovlighet är av stor betydelse. Absorption av strålning inom vissa våglängdsband kan ge ett material dess färg.

Interaktionen mellan inkommande värmestrålning och ett verkligt objekt, en grå kropp och en svartkropp illustreras av

Fig. 5.28 Interaction of (a) real and (b) blackbody surfaces with incoming radiation. (KJ05) Interaktion av (a) en verklig yta och (b) en svart kropps yta med inkommande strålning

Table. 5.8 Typical values for gray body emissivity of materials Typiska värd för ”grå kropp” emissivitet för material (KJ05)


Heat transfer

5-30

As said, one important feature for a blackbody is that all incoming radiation is absorbed while none is reflected. As further illustrated by Fig. 5.29 incoming radiation may also partly pass a medium if the material has sufficient transmittance.

Reflectivity ρ (-), absorptivity α (-) and transmittance τ (-) are defined as adding up to =1 as a result of an energy balance. For an opaque material τ = 0, and as a result ρ + α = 1. More exactly, for incident angle θ, temperature T and wavelength λ: ρ = ρ(λ,θ,T), α = α(λ,θ,T), τ = τ(λ,θ,T), as also ε = ε(λ,θ,T). Kirchoff (also known from electrical network theory) showed that for all surfaces This is known as Kirchoff’s Law, in practice accurate for ε > 0.5.

Fig. 5.28. Som sagt är en viktig aspekt hos en svartkropp att all inkommande strålning absorberas, medan inget reflekteras. Fig. 5.29 illustrerar vidare hur strålning kan passera igenom ett medium om mediet har tillräcklig transmittans.

Reflektion ρ (-), absorption α (-) och transmittans τ (-) definieras som och summan av dem är alltid 1. För ett ogenomskinligt (”opak”) material är τ = 0, vilket leder till att ρ + α = 1. För att vara exakt, gäller för infallsvinkeln θ, temperaturen T och våglängden λ: ρ = ρ(λ,θ,T), α = α(λ,θ,T), τ = τ(λ,θ,T), liksom för ε = ε(λ,θ,T). Kirchoff (även känd från teori om elektriska kretsar) visade att för alla ytor gäller vilket går under namnet Kirchoffs lag och är speciellt exakt då ε > 0,5.

Fig. 5.29 Reflection, absorption and transmittance of incoming thermal radiation. (KJ05) Reflektion, absorption och transmittans av inkommande termisk strålning

1 /

energy incident

energy dtransmitte

; energy incident

energy absorbed ;

energy incident

energy reflected

medwith

e energi)(instrålad

)ade energi(transmitt


de energi)(absorbera


ad energi)(reflekter

);,,(),,( TT

Fig. 5.30 A small gray object in a blackbody wall furnace (KJ05) Ett litet objekt i en ugn med en svart kropp som vägg

Incident angleθ with respectto normal

(5-67, 5-68) (5-69) (5-70)

(5-71)


5-31

An exception to this law would mean a violation of the Second Law of Thermodynamics, since it would allow heat transfer from cold to hot. This can be seen when considering a situation as in Fig. 5.30: a small, gray, diffuse body with surface A at temperature T1 in an evacuated oven with black walls at temperature T2, and T2 > T1. The object receives radiation from the walls: Q ”= α·σ·T2

4 (W/m2) and after some time its temperature has risen to T2. It will emit radiation which is then at a rate Q ”= ε·σ·T2

4 (W/m2). Thus α = ε, but strictly speaking only if the two surfaces that exchange the radiation are at the same temperature (because the value for absorptivity α depends on the temperature of the emitting source). In practice the error is small for ∆T up to a few 100 °C. 5.5.3 Radiation heat transfer between

surfaces; radiosity The radiant heat transfer of a surface with temperature T (K) and emissivity ε with the surroundings at Tsur can be expressed as if it can be assumed that: the surface and the surroundings are

isothermal the whole surface A is incident with the

surroundings the surroundings behave as a

blackbody or the area of the surroundings >> A

the surface is a diffusive emitter and reflector.

As for the intensity of the radiation, there is a correction factor for the effect of an incident angle θ with respect to the normal to the surface which is also known as Lambert’s cosine law: If the incoming radiation has an angle θ with respect to the perpendicular to the receiving surface the result will be that a larger surface is covered. (Likewise, shadows are longer when the sun is closer to the horizon.)

Ett undantag från denna lag, skulle innebära ett brott mot termodynamikens andra huvudsats, eftersom det skulle tillåta värmeöverföring från kallt till varmt. Detta åskådliggörs av Fig. 5.30: ett litet, grått, diffust objekt med ytan A och temperaturen T1 i en tom ugn med svarta väggar, vid temperaturen T2, och där T2 > T1. Objektet mottar strålning från väggarna:Q ”= α·σ·T2

4 (W/m2) och efter en tid har dess temperatur stigit till T2. Det utsänder då strålning enligt Q ”= ε·σ·T2

4 (W/m2). Enligt det måste α = ε gälla, men strikt taget endast om de två ytorna har samma temperatur (eftersom absorp-tiviteten α beror på strålningskällans temperatur). I praktiken är felet litet för ∆T upp emot några 100 °C. 5.5.3 Värmeöverföring genom strålning mellan ytor, radiositet Strålningsvärmeöverföring från en yta med temperaturen T (K) och emissivitet ε till omgivningen Tomg kan uttryckas som ifall det kan antas att: • ytan och dess omgivning är

isotermiska • hela ytan A infaller mot omgivningen • omgivningen beter sig som en

svartkropp eller har en yta som är >> A

• ytan är en diffus emitter och reflektor Gällande strålningsintensiteten, tas infallsvinkeln θ, i förhållande till ytans normal, i beaktande i form av en korrektionsfaktor, kallad Lamberts cosinuslag: Om den inkommande strålningens infallsvinkel avviker med θ från den lodräta infallsvinkeln mot ytan, resulterar det i att en större yta täcks av samma strålning. (På samma sätt som en skugga blir längre ju närmare horisonten solen är.)

)( 4/

4omgsurR TTAQ

)cos()0()( RR QQ

(5-72)

(5-73)


Heat transfer

5-32

For a non-blackbody surface, the energy balance for the surface states that the net leaving radiation flux Q ”R,out,net equals the own emission ε·Eb = ε·σ·T4 minus the absorbed incoming radiation. Or, ε·Eb plus the reflected incoming radiation ρ·Q ”R,in, for an opaque gray material (τ = 0, α=ε=1-ρ) – see Fig. 5.31:

where Eb is used for blackbody emission and G represents the incoming radiation. Thus, an energy balance gives with α=ε. This defines the so-called radiosity, J, as all the radiation leaving a surface, i.e. emitted and reflected radiation. An energy balance then gives for the net radiation from the surface The last expression defines a radiation heat transfer resistance, RR; for a blackbody RR = 0. 5.5.4 View factors At this point it is necessary to have a better look at up to what extent surfaces can actually “see each other” and exchange heat via thermal radiation. The

För en yta där svartkroppsantagandet inte gäller, följer från energibalansen för ytan att det totala strålningsflödet Q ”R,out,net måste vara lika med den emitterade strålningen ε·Eb = ε·σ·T4 minus den absorberade inkommande strålningen. Eller, annars sagt, ε·Eb plus den reflekterade inkommande strålningen ρ·Q ”R,in, för ett ogenomskinligt grått material (τ = 0 α=ε=1-ρ) – se Fig. 5.31:

där Eb är svartkroppsstrålning och G representerar den inkommande strål-ningen. En energibalans ger med α = ε. Detta definierar den så kallade radiositeten, J, som all strålning som lämnar en yta, dvs. emitterad och reflekterad strålning. En energibalans för den totala strålningen från en yta ger då Det sista uttrycket definierar ett värmestrålningsmotstånd, RR. För en svartkropp är RR = 0. 5.5.4 Vinkelfaktorer I detta skede är det nödvändigt att få en bättre insikt i hur olika ytor kan ”se varandra” och utbyta värme genom termisk strålning. Vinkelfaktorerna Fi→j

Fig. 5.31 Radiation to and from a gray diffuse surface (KJ05) Strålning till och från en grå diffus yta

ARmedwith

R

JEJEAQ

JEQ

GEGGEGJ

QQQ

RR

bbnetoutR

bnetoutR

bb

inRoutRnetoutR

1 / ,

)()(

1

)(1

" : G av geliminerin efter G/ geliminatin after

)1(

"""

,,

,,

,,,,

GEJelleror

QQQQQ

b

inRownoutRinRownoutRoutR

)1( /

")1("""" ,,,,,,,

(5-74)

(5-75) (5-76)


5-33

view factors Fi→j (also referred to as configuration factors, shape factors, or angle factors) quantify how much (i.e. what fraction) of the radiation from surface ”i” reaches other surface ”j”, (by a straight-line path) as determined by Lambert’s cosine law, and vice versa – see Fig. 5.32.

For any two surfaces Ai and Aj in any geometrical arrangement where 0 ≤ Fi→j ≤ 1, and for a system with many (N) surfaces For any geometry, Fi→j is defined as with the variables defined in Fig. 5.32. Two examples in Fig. 5.33 further illustrate the concept.

kvantifierar hur mycket (dvs. vilken fraktion) av strålningen från ytan ”i” som träffar ytan ”j” (via en rak linje) enligt Lamberts cosinuslag, och vice versa – se Fig. 5.32.

För två ytor Ai och Aj oberoende av geometriskt upplägg gäller där 0 ≤ Fi→j ≤ 1, och för ett system med många (N) ytor För alla geometrier definieras Fi→j som med variablerna definierade i Fig. 5.32. Två exempel i Fig. 5.33 illustrerar konceptet ytterligare

jijiji AFAF

Fig. 5.32 Geometric factors that determine a view factor (KJ05) Geometriska faktorer som bestämmer vinkelfaktorn

11

N

jjiF

ij

Ai Aj

ji

iji dAdA

SAF 2

coscos1

Fig. 5.33 Views factors: two examples (KJ05) Vinkelfaktorer: två exempel

Fi→j = 0, Fj→i = 0 Fi→j = 1, Fj→i = ½ Ai = πR2, Aj = 2πR2

(5-77)

(5-78)

(5-79)


Heat transfer

5-34

5.5.5 Radiation heat transfer between black or gray surfaces

For two black surfaces, some of the radiation form surface ”1” strikes surface ”2” and vice versa – see Fig. 5.34a.

For two black surfaces with different temperatures, the net radiative heat transfer Q 12 = radiation leaving surface “1” radiation leaving ”1” and arriving at ”2” minus radiation leaving ”2” and arriving at ”1” equals

In analogy with radiation between blackbodies, using J instead of Eb, Q 12 equals as in Fig. 5.34b, which demonstrates the usefulness of the radiosity concept. This can also be written as Thus, there are three transfer resistances: This is further illustrated for a general geometry in Fig. 5.35.

5.5.5 Strålning mellan svarta och gråa ytor För två svarta ytor, träffar en del av strålningen från yta ”1” yta ”2” och tvärtom – se Fig. 5.34a.

För två svarta ytor med olika temperaturer är den totala värmestrålningen Q 12 = strålning som lämnar yta ”1” och träffar yta ”2” minus strålning som lämnar yta ”2” och träffar yta ”1” är lika med Analogt med strålning mellan svartkroppar, med J istället för Eb, blir Q 12 som i Fig. 5.34b, vilket demonstrerar användbarheten av konceptet radiositet. Detta kan också skrivas som således finns det tre överföringsmotstånd: Detta illustreras vidare för en allmän geometri i Fig. 5.35.

Fig. 5.34 Thermal radiation between (a,←) two blackbodies, (b,→) two gray bodies (KJ05) Värmestrålning mellan (a,←) två svarta kroppar, (b,→) två gråa kroppar

)()(

/ with4

24

12112121112

1222111222211112

TTFAEEFAQ

FAFAmedFAEFAEQ

bb

bb

)( )(! )(

/ with4

24

12112121112

1222111222211112

TTFAJJFAQ

FAFAmedFAJFAJQ

2112-1

21

2112

1R / with

)(

FA

medR

JJQ

1-2122211

2-12

22

1

11 R

11R ;

-1 ;

-1

FAFAAR

AR

(5-80)

(5-81)

(5-82)

(5-83, 5-84, 5-85)


5-35

For a few very important geometries this results in the expressions as in Fig. 5.36.

5.5.6 Heat transfer coefficient for radiation As a final point for this discussion a heat transfer coefficient for thermal radiation will be derived. The purpose of this is to

Fig. 5.36 ger uttryck för några mycket viktiga specialfall av geometrier.

5.5.6 Värmeöverföringskoefficienter för strålning Som ett sista tema i denna diskussion ska värmeöverföringskoefficienten för termisk strålning härledas. Avsikten med detta är

Surface A1

at temperature T1

with emissivity ε1

Surface A2

at temperature T2

with emissivity ε2

F1→2 = view factor A1 → A2

Radiative heat transferSurface A1 → surface A2

εε

AA

Fεε

)TT(Aσ

εAε

FAεAε

)TT(σQ

and similar for Q2→1

Fig. 5.35 Thermal radiation between gray bodies (Z11) Värmestrålning mellan gråa kroppar

Fig. 5.36 Examples for thermal radiation between gray bodies (KJ05) Några exempel för värmestrålning mellan gråa kroppar

(5-86)

(5-87) (5-88) (5-89) (5-90)


Heat transfer

5-36

produce expressions similar to those for conductive and convective heat transfer, with a linear driving force ∆T, or gradient ∆T/ ∆x. If the temperature difference ∆T = T1 – T2 of a thermal radiation process is small compared to T1 and T2, a radiative heat transfer coefficient hR can be defined by (for the radiation from surface ”1”): Thus can also be simplified to Thus, radiative heat transfer resistance is defined as similar to conductive and convective heat transfer. Combined with the above this gives:

Because the physical mechanisms behind thermal radiation are very different from that of heat conduction or convection, it is, however, not straightforward to combine them in a set of expressions or model equations that describe all at the same time. Preferably, a solution is found by iterating between solutions for separate model descriptions for radiation, and for conduction and convection, respectively.

More detail is given in ÅA course 424304 Process engineering thermo-dynamics (Z13a) and in the literature: BS06, IdWBL07, HSM11). 5.6 Non-stationary (transient) conductive heat transfer (a short introduction) The heat transfer processes addressed in this chapter so far were 1-dimensional and

att producera uttryck som liknar de för konduktiv och konvektiv värmeöverföring, med en linjär drivande kraft ∆T, eller gradient ∆T/ ∆x. Om temperaturskillnaden ∆T = T1 – T2 för en termisk strålningsprocess är liten i jämförelse med T1 och T2 kan en värmekoefficient för strålningen (från ytan ”1”) definieras som: Detta kan också förenklas till Strålningens värmeöverföringsmotstånd definieras således som på samma sätt som vid konduktiv och konvektiv värmeöverföring. Kombinerat med ovanstående ger detta: Eftersom de fysikaliska mekanismerna bakom termisk strålning skiljer sig drastiskt från de bakom konduktion och konvektion är det, trots det, inte helt enkelt att kombinera dem i uttryck eller modeller som beskriver dem alla på en gång. Företrädesvis hittas en lösning genom att iterera mellan lösningar för de enskilda modellbeskrivningarna för strålning, respektive konduktion och konvektion. En mera detaljerad beskrivning ges i ÅA kursen 424304 Process Engineering Thermodynamics (Z13a) och i litteraturen: BS06, IdWBL07, HSM11. 5.6 Icke-stationär (transient) konduktiv värmeöverföring (en kort introduktion) Värmeöverföringsprocesserna beaktade så här långt i detta kapitel har varit 1-

)y(xy)x(y)(x)y(x)y-(x)y-(x with/

)T(T)T·(T· )T-(T

)T-·(T· h

)(W/m )T-·(T· / AQ T·h Q”

22222244

2122

211

21

42

411

R

242

4111RRR

med

)T(T)T(TT4 2

TTT with/

T4·ε h

2122

21

321

3

1R

med

Ah

1

·AQ”

T

Q

T R

RRRR heat,

T4·ε)T(T)T(T·ε hT

Q” 3

12122

211R

R

(5-91) (5-92)

(5-93)

(5-94)

(5-95)


5-37

mostly steady-state cases. Equally important are non-stationary, transient situations and/or cases where more than one dimension must be considered. An in-depth assessment of this, including cases where fluid flows and heat transfer occur simultaneously, is given in ÅA course 424508 Transport processes – here a brief introduction is given. Non-steady or transient heat conduction through a stagnant medium depends not only on heat conductivity λ but also on heat capacity c (or cp, cv). A general energy balance for mass m gives where in principle the heat transfer rate Q

is a 3-dimensional vector Q that creates

(or is the result of !) a vector temperature gradient (in Cartesian coordinates): This is illustrated in Fig. 5.37 (for 3-dimensional heat transfer in general).

5.6.1 One-dimensional transient heat

conduction For a 1-dimensional situation as in Fig. 5.38

dimensionella och i allmänhet steady-state. Lika viktiga är icke-stationära, tidsvarianta situationer och/eller fall där flera än en dimension måste tas i beaktande. En djupgående utredning, inkluderande fall där fluidflöden och värmeöverföring sker sida vid sida, ges i kursen 424508 Transportprocesser - här ges en kort introduktion. Tidsvariant (i motsats till steady state) värmekonduktion genom ett stagnant medium beror inte endast på konduktiviteten λ utan också på värme-kapaciteten c (eller cp, cv). En allmän energibalans för massan m ger

där värmeöverföringshastigheten i princip är en 3-dimensionell vektor som ger upphov till (eller är ett resultat av!) en vektoriell temperaturgradient (i kartesiska koordinater):

Detta illustreras i Fig. 5.37 (för 3-dimensionell värmeöverföring i allmänhet).

5.6.1 En-dimensionell tidsvariant (transient) värmekonduktion För en 1-dimensionell situation som i Fig. 5.38,

t

TcmQQ outin

z

T

y

T

x

TT ,,

Fig. 5.37 Heat transfer in three dimensions (ÖS96) Värmetransport i tre dimensioner

Fig. 5.38 Transient heat conduction in one dimension Tidsvariant värmeledning i en dimension

(5-96)

(5-97)


Heat transfer

5-38

the energy (heat) balance for a thin balance volume dV with mass dm = ρ·dV = ρ·A·dx for area A gives: which is commonly known as the “diffusion equation”.11 The initial (t=0) and boundary conditions determine a heat transfer process, with the three most important cases being: Case 1 is a bit more elaborated on here – see Fig. 5.39.

11 It can be directly applied to diffusion of matter by replacing temperature T by concentration c (kg/m3, or mol/m3), and molecular diffusion coefficient Đ (m2/s) instead of a – see also ÅA course 424302 Mass transfer and separation technology.

ger energibalansen (eller värme-) för en tunn balansvolym dV med massan dm = ρ·dV = ρ·A·dx med ytan A: vilket vanligtvis kallas ”diffusions-ekvationen”.12 Start- (t=0) och rand-villkoren avgör vilken värmeöverförings-process som råder. De tre viktigaste fallen är: Vi går litet djupare in på fall 1 här - se Fig. 5.39.

12 Kan direkt användas för diffusion av material genom att ersätta temperatur T med koncentration c (kg/m3 eller mol/m3), och molär diffusionskoefficient Đ (m2/s) istället för a - se också ÅA kursen 424302 Massöverföring och separationsprocesser.

2

2

2

2

-

-Q Law / sFourier' / with

A ρdm/dx / with

x

Ta

t

T

x

TA

xx

TA

t

TAc

x

TALagFourier's med

x

Q

t

TcAmed

dxx

Q

t

TcdmQQ outin

0 t / for t))T(0,- (Th x

t)T(0,- / and 0 t / for T T(x,0) :0t / at h 0

ktionsfluxvärmekonve ytanspå ändring Plötslig / convection surface of change Sudden 3.

0t / for Q x

t)T(0,- / and 0 t / for T T(x,0) : / 0t at Q 0

ngsfluxvärmeledni ytanspå ändring Plötsligflux / heat surface of change Sudden 2.

0t / for Tt)T(0, / and 0 t / for T T(x,0) :0t / at T T

temperatur ytanspå ändring Plötslig / etemperatur surface of change Sudden 1.

surr0

"0x0

"0x

1010

förochförvid

föroch förvid

föroch förvid

Fig. 5.39 Temperature profiles during transient heat conduction (1-D) (BMH99) Temperaturprofiler under tidsvariant värmeledning (1-D)

(5-98) (5-99) (5-100)

(5-101) (5-102) (5-103)


5-39

Assume a material with flat boundary at x=0, infinite length in x-direction, with T=T0 at all x. At time t ≥ 0 the temperature at x=0 is increased to T=T1 and heat starts to enter (diffuse into) the material. At x→∞, T stays at T0. With these boundary / initial conditions the diffusion equation solves to the time-dependent temperature profile that shows how the heat penetrates the object. Introducing dimensionless variables θ = (T-T0)/(T1-T0) and ξ = x/(4at)½ the following solution is found: where erf(x) is known as the “error function”, illustrated by and tabelised in Fig. 5.40. An approximate expression for the error function is given in ÖS96: erf(x) ≈ 1 - exp(- 1.128x - 0.655x2 - 0.063x3).

The resulting temperature profile is shown in Fig. 5.41, for increasing time t.

Antag ett material med en platt sida vid x = 0, oändlig längd i x-riktningen, med T = T0 för alla x. Vid tiden t ≥ 0 höjs temperaturen vid x = 0 till T = T1 och värme börja tränga (diffundera) in i materialet. Vid x→∞, hålls T vid T0. Med dessa rand-/startvillkor löser diffusionsekvationen den tidsberoende temperaturprofilen som visar hur värmen penetrerar objektet. Följande lösning hittas då de dimensionslösa variablerna θ = (T-T0)/(T1-T0) and ξ = x/(4at)½ introduceras: där erf(x) är den s.k. ”felfunktionen”, illustrerad av och tabelliserad i Fig. 5.40. Ett approximativt uttryck för felfunktionen ges i ÖS 96: : erf(x) ≈ 1 - exp(- 1.128x - 0.655x2 - 0.063x3).

Den resulterande temperaturprofilen visas i Fig. 5.41, för ökande tid t.

)(2

/ with2

10

4

001

1 22

yerfdemeddeTT

TTyat

x

Fig. 5.40 The error-function Error-funktionen

Fig. 5.41 Penetration depth during transient heat conduction (1-D) (BMH99) Genomträngningsdjupet under tidsvariant värmeledning (1-D)

(5-104)


Heat transfer

5-40

A so-called penetration depth δ is found by taking the slope of the temperature profile lines at x=0 in Fig. 5.41, which gives What is known as the “penetration theory” can be applied if object sizes L are large or times t are sufficiently short so that the other side or boundary of the object is not affected by the developing temperature profile (and vice versa). The penetration depth concept is valid for Fo < 0.1, where Fo is the dimensionless Fourier number named after J. Fourier. Fo is (for heat transfer) defined as

for a medium with thickness d; it gives the ratio between time t and the penetration time L2/a . Depending on how long the conduction process goes on, the medium can be considered semi-infinite if the other side doesn’t notice any change: Fo < 0.1. If the penetration depth ~ medium dimensions, i.e. for Fo > 0.1 the medium is finite and the penetration theory cannot be used. For many finite media, however, temperature profile symmetry can be assumed and results of the type for half-size R can be obtained for a sudden object surface temperature increase T0 → T1 at t=0 – see Fig. 5.42.

Ett så kallat genomträngningsdjup δ hittas genom att ta lutningen på temperaturprofilen vid x =0 i Fig. 5.41, vilket ger Det som kallas ”genomträngnings-teori” kan användas om objektens storlek L är stora eller tiderna t är tillräckligt korta, så att objektets motsatta sida eller gränskikt inte påverkas av den temperaturprofil som utvecklas (och vice versa).

Konceptet genomträngningsdjup gäller för Fo < 0,1, där Fo är det dimensionslösas Fouriertalet, uppkallat efter J. Fourier. Fo (för värmeöverföring) definieras som

för ett medium med tjockleken d. Det ger ett förhållande mellan tiden t och genomträngningstiden L2/a. Beroende på hur länge genom-trängningsprocessen pågår, kan mediet anses vara semi-oändligt, om den motsatta sidan inte påverkas: Fo < 0,1. Om genomträngningsdjupet ~ mediets längd, dvs. för Fo > 0,1, är mediet ändligt och genomträngningsteorin kan inte användas. För många ändliga media kan en symmetrisk temperaturprofil antas och man får resultat av typen för den halva storleken R, vid en plötslig ökning av yttemperaturen T0 → T1 vid t = 0 - se Fig. 5.42.

ta / with01

0

medTT

x

T

x

aL

t

L

taFo

22

2

L R för / for ),()( 21

01

0

R

xftf

TT

TT

Fig. 5.42 Temperature profiles during transient heat conduction (1-D): Fo > 0.1 (BMH99) Temperaturprofiler under tidsvariant värmeledning (1-D): Fo > 0.1

(5-105)

(5-106)

(5-107)


5-41

For simple geometries, diagrams can be used to find average <T> or centre temperatures Tm, such as given in Fig. 5.43 for flat plates, cylinders or spheres.

In section 5.3 the Biot number Bi was introduced in connection to the lumped system approach, stating that when heat transfer at the medium surface is slow compared to conduction inside the medium, Bi << 1 and the temperature profile in the medium can be assumed uniform. For Bi > ~ 0.1 a time-dependent temperature profile inside the object must be considered (and maybe calculated) – see Fig. 5.44 for a plane wall geometry.

För enkla geometrier kan diagram användas för att finna medel- <T> eller mittemperaturer Tm, såsom i Fig. 5.43 för platta föremål, cylindrar eller sfärer.

I avsnitt 5.3 introducerades Biot-talet Bi i samband med lumped system-metoden, och det påvisades att när värmeöverföringen vid mediets yta är långsam i jämförelse med konduktionen inuti mediet, Bi << 1 och temperatur-profilen inne i mediet kan antas vara uniform. För Bi > ~ 0,1 måste en tids-beroende temperaturprofil inuti objektet beaktas (och kanske beräknas) - se Fig. 5.44 för ett fall med en plan vägg.

Fig. 5.43 Mean (←) and centre (→) temperature of bodies: non-stationary heat conduction Medel- (←) och mitt- (→) temperatur för objekt: tidsvariant värmeledning (BMH99)

Fig. 5.44 Convective cooling of a plane wall: Bi << 1 (←) or Bi > ~ 1 (→) Konvektiv kylning av en plan vägg: Bi << 1 (←) eller Bi > ~ 1 (→) (KJ05)


Heat transfer

5-42

For a plane wall at initial temperature Ti, a sudden convective heat transfer with surrounding temperature Tf and heat transfer coefficient h – as in Fig. 5.44 – can be described as Using dimensionless variables a solution is found that is in the form of an infinite series, which for Bi < 0.1 gives the same result as for the lumped system approximation: This is further illustrated in Fig. 5.45, which shows the temperature profile for this case as a function of Bi-1.

För en plan vägg med starttemperaturen Ti, en plötslig konvektiv värmeöverföring, med omgivande temperaturen Tf och värmeöverföringskoefficienten h - se Fig. 5.44 - kan beskrivas som Genom att använda dimensionslösa variabler hittar man en lösning i form av en oändlig serie, vilken för Bi < 0,1 ger samma resultat som för lumped system-approximationen: Detta illustreras vidare i Fig. 5.45, som visar temperaturprofilen för detta fall som en funktion av Bi-1.

L x / for T)hA(Tx

TλA- L; x / for )ThA(T

x

TλA-

0;T / for TT(x,0)

/ conditionsboundary & initial with

x

Ta

x

T

ff

i

2

2

förför

för

kor& randvillmed start

1X for/ θBiX

θ 0,τ / for 1θ / with

X

θ

τ

θ

λ

hL Bi Fo,

L

atτ ,

L

xX ,

T-T

T-Tθ

2

2

2fi

f

förförmed

10/ expexp .för BiforFoBitcm

Ahθ

p

Fig. 5.45 Convective cooling of a plane wall: Bi << 1 (←) or Bi > ~ 1 (→): result Konvektiv kylning av en plan vägg: Bi << 1 (←) eller Bi > ~ 1 (→): resultat (KJ05)

(5-108) (5-109)

(5-110)

(5-111)


5-43

5.6.2 Final remarks For 3-dimensional transient heat conduction in a balance volume dV with mass dm = ρ·dV = ρ·dx·dy·dz the temperature gradient vector and energy balance equations are With the appropriate initial- and boundary conditions this can be solved, usually requiring a numerical method. Often, during / at the same time as a heat transfer process, heat may be generated (or taken up), for example as a result of an exothermic (or endothermic) chemical or nuclear reaction. This can be taken into account by including it into the balance equations: As a final remark: the contact between two media or materials is typically not perfect and a contact resistance should be taken into account based on surface roughness etc., giving small gaps of typically 0.5 – 50 µm – see Fig. 5.46. Tabelised data is used for calculating a heat transfer resistance.

5.6.2 Slutliga anmärkningar För 3-dimensionell tidsvariant värme-konduktion i en balansvolym dV, med massan dm = ρ·dV = ρ·dx·dy·dz är temperaturgradientvektorn och energi-balansen Med lämpliga start- och randvillkor kan detta lösas, vanligen med någon numerisk metod. Ofta, vid sidan om en värme-överföringsprocess kan värme genereras (eller upptas), t.ex. som en följd av kemisk eller kärnreaktion. Detta kan beaktas genom inkludering i balansekvationerna: Som en sista anmärkning: Kontakten mellan två media eller material är vanligtvis inte perfekt och ett kontaktmotstånd bör tas i beaktande, baserat på ytskrovlighet etc., vilket ger upphov till små mellanrum av storleken 0,5 - 50 µm - se Fig. 5.46. Tabellerad data används för att beräkna värme-överföringsmotstånd.

Taz

T

y

T

x

Ta

t

Toch

z

T

y

T

x

TT 2

2

2

2

2

2

2

/ and ,,

)(W/m / q production heat for

3

2

2

2

2

2

2

n q roduktioneför värmep

qz

T

y

T

x

T

t

Tc

Fig. 5.46 Material contact resistance Kontaktmotstånd hos ett material (KJ05)

(5-112)

(5-113)


Heat transfer

5-44

5.7 Exercises 1 An oven wall consists in succession of a layer of firebricks with λf = 1.21 W/(m·K), a layer of insulation material with λi = 0.08 W/(m·K) and a layer of outside bricks with λb = 0.69 W/(m·K). Each layer is 10 cm thick. Inside the oven the temperature Tin = 872°C, outside the temperature is Tout = 32°C. The surface area of the wall is 42 m2. a. Calculate the heat loss by conduction every 24 h. b. Calculate the centre temperature Tm in the middle of the layer of insulation. (answer: a. 23.88 kW×24 h = 2063 MJ, b. 469°C) 2 A 19 mm outside diameter copper tube for hot water is insulated with a 18 mm thick layer of insulation material with thermal conductivity λ = 0.067

W/(m·K). The temperature profile through the insulation layer is given by the equation (see also the graph): a. Calculate the heat transfer rate per unit length Q ’=Q /L (W/m), and b. calculate the heat fluxes Q ” at r = ri and at r = r0 (W/m2) (answer: a. 17.8 W/m; b, 298 W/m2, 103 W/m2). 3 A computer chip is cooled by a flow of air at T= 20°C, p = 1 bar, with velocity 3.4 m/s. If the maximum allowable temperature of the chip is 65°C, how much heat (in W) must then be removed by forced convection? Assume Pr = 0.71; η = 2×10-5 Pa.s and λ = 0.027 W/m·K for air. (answer: 0.93 W) 4 Birds fluff their feathers to stay warm during winter. Estimate the convective heat transfer Q from a

5.7 Övningar 1 En ugns vägg består av olika skikt: tegel med λf = 1.21 W/(m·K), isolering med λi =

0.08 W/(m·K) och ett yttre skikt med tegel λb = 0.69 W/(m·K). Alla lager är 10 cm tjocka. Inuti ugnen är temperaturen Tin = 872°C, utanför är temperaturen Tout = 32°C. Väggarean är 43 m2. a. Beräkna värmeförlusten

genom konduktion per 24 h. b. Beräkna temperaturen Tm i isoleringsskiktets mittpunkt. (svar: a. 23.88 kW×24 h = 2063 MJ, b. 469°C) 2 Ett kopparrör för vatten, med yttre diametern 19 mm, isoleras med ett 18 mm

tjockt skikt av isolerande material, med den termiska konduktiviteten λ = 0.067 W/(m·K). Temperaturprofilen genom isoleringsskiktet ges av ekvationen (se också grafen):

a. Beräkna värmeöverförings-hastigheten per längdenhet Q ’= Q /L (W/m), och

b. beräkna värmeflödet Q ” vid r = ri och r = r0 (W/m2) (svar: a. 17.8 W/m; b, 298 W/m2, 103 W/m2).

3 Ett datorchip kyls med ett luftflöde vid T= 20°C, p = 1 bar, med hastigheten 3,4 m/s. Hur mycket värme måste ledas bort (i W) genom påtvingad konvektion, ifall chippets

maxtemperatur inte får överstiga 65°C? Antag Pr = 0.71; η = 2×10-5 Pa.s och λ = 0.027 W/m·K för luft. (svar: 0.93 W)

4 Fåglar burrar upp sina fjädrar för att

hållas varma under vintern. Uppskatta den konvektiva värmeöverföringen Q från en liten fågel i v = 9 m/s blåst.


5-45

small bird in a v = 9 m/s wind, treating the bird as a d = 6 cm diameter sphere. Data: the surface temperature at the feathers is -7°C, the temperature of the surrounding air is -10°C, pressure is 1 bar. The convective heat transfer coefficient, h, is related to wind velocity v by:

for air viscosity η = 1.68×10-5 Pa.s; air density ρ = 1.33 kg/m3; air thermal conductivity λ = 0.024 W/(m·K). (answer: Nu = 110; Q = 1.49 W). 5 A solar collector is used to produce hot water. A d = 1.2 cm inner diameter copper tube is fixed to the back of a collector plate, which is held at 75°C by incident sunlight. Water enters the tube at Tin = 25°C at a mass flow rate ṁ = 0.0122 kg/s. Assuming that Ttube wall = 75°C also, calculate the length L of tube needed so that the water exit temperature will be 55°C. Neglect the heat transfer resistance in tube wall and on the outside. Data: water 25°C: ρ = 997 kg/m3; η = 8.72×10-4 Pa.s, λ = 0.611 W/m·K, cp = 4.178 kJ/kgK; water 55°C: ρ = 986 kg/; η = 4.21×10-4 Pa.s, λ = 0.648 W/m·K, cp = 4.179 kJ/kgK; (answer: Re = 2002, Pr = 4.29, Nu = 3.66, h = U = 192 W/(m2·K), ∆Tlm = 33°C, Q = 1.53 kW, A = 0.243 m2, L = 6.46 m.) 6 Compare the natural convection heat transfer coefficients, h, for a 2.5 m high wall for two situations: a. Air 22°C, wall 10°C; b. Air 22°C, wall 17°C Data for air (p = 1 bar) at 15 ~ 20°C: ρ = 1.21 kg/m3; η = 1.8×10-5 Pa.s; λ = 0.025 W/m·K; Pr = 0.71. Assume ideal gas. (answer: a. Gr = 2.03×1010, Nu = 355, h = 3.55 W/m2·K, b. Gr = 1.19×1010, Nu = 265, h =2.65 W/m2·K).

Behandla fågeln som en sfär med diametern d= 6 cm. Data: yttemperaturen för fjädrarna är -7°C, den omgivande luften har temperaturen -10°C, trycket är 1 bar. Den konvektiva värmeöverföringskoefficienten h beror av vindens hastighet enligt:

med luftens viskositet η = 1,68×10-5 Pa.s; luftens densitet ρ = 1,33 kg/m3; luftens värmekonduktivitet λ = 0,024 W/(m•K). (svar: Nu = 110; Q = 1,49 W). 5 En sol-kollektor används för att producera varmt vatten. Ett kopparrör med d = 1,2 cm är fäst på kollektorns baksida, som håller temperaturen 75°C med hjälp av infallande soljus. Vatten som träder in i

röret har temperaturen Tin = 25°C och massaflödet ṁ = 0.0122 kg/s. Antag att Ttube wall

= 75°C och beräkna den behövliga rörlängden L, för att vattnet ska uppnå temperaturen 55°C. Bortse från värmeöverförings-motståndet i rörväggen och

på utsidan. Data: vatten 25°C: ρ = 997 kg/m3; η = 8.72×10-4 Pa.s, λ = 0.611 W/m·K, cp = 4.178 kJ/kgK; vatten 55°C: ρ = 986 kg/; η = 4.21×10-4 Pa.s, λ = 0.648 W/m·K, cp = 4.179 kJ/kgK; (svar: Re = 2002, Pr = 4.29, Nu = 3.66, h = U = 192 W/(m2·K), ∆Tlm = 33°C,Q = 1.53 kW, A = 0.243 m2, L = 6.46 m.) 6 Jämför värmeöverföringskoefficienterna för naturlig konvektion, h, för en 2,5 m hög vägg under de två följande

omständigheterna: a. Luft 22°C, vägg 10°C b. Luft 22°C, vägg 17°C Data för luft (p = 1 bar) vid 15 ~ 20°C: ρ = 1.21 kg/m3; η = 1.8×10-5 Pa.s; λ = 0.025 W/m·K; Pr = 0.71. Antag

idealgas. (svar: a. Gr = 2.03×1010, Nu =

355, h = 3.55 W/m2·K, b. Gr = 1.19×1010, Nu = 265, h =2.65 W/m2·K).

0.55.0

0.53Re Nu :or/eller ; 53.0

vdhd


Heat transfer

5-46

7 A 2 cm × 2 cm × 0.3 cm computer chip is cooled by a forced air flow with heat transfer coefficient h = 152 W/(m2·K). The electronic component is located as a thin layer at the bottom surface of the chip, generating 1.6 W heat. Air temperature Tf is 20°C, for silicon, λ= 148 W/(m·K). Calculate the top and bottom surface temperatures of the chip T2 and T1, using either heat resistances, or directly using heat convection and conductivity. (answer: T2 = 46.32°C, T1 = 46.40°C) 8 A hot steel ball is annealed by dropping it in a cool oil bath. The ball is d = 0.5” in diameter, mass m = 0.018 lbm and its initial temperature is Ti = 400°F. If the heat transfer coefficient between ball and oil is h= 16 BTU/(h·ft²·°F), calculate how long it will take for the ball to cool to 150°F. Assume the oil bath temperature constant at Tf = 70°F. Use λsteel = 32.8 BTU/(h·ft·R); cp steel = 0.12 BTU/(lbm·R). Start with converting the data to SI units. (answer: Bi = 0.0034; T = 125 s). 9 Steam at 180°C, 280 kPa and velocity 15 m/s hits (in cross-flow) a 30 mm diameter round tube with temperature a) 140°C or b) 100°C. Calculate the heat transfer density "Q (W/m2) for these two cases. Steam data: viscosity η ≈ 1.45×10-5 Pa.s, conductivity λ ≈ 0.028 W/(mK), Pr ≈ 1.0 (answer: a: dry heat transfer, h = 136 W/(m2·K), "Q = 5458 W/m2, b. condensation at 131°C, ∆T = 31°C, h ~ 20000 W/(m2·K, "Q = 620 kW/m2) 10 Consider the sun as a blackbody radiator at 5800 K. The diameter of the sun is ~ 1.39×109 m, the diameter of earth is ~ 1.29×107 m; the distance between earth and sun is ~ 1.5×1011 m.

7 Ett 2 cm × 2 cm × 0.3 cm datorchip kyls genom ett påtvingat konvektivt luftflöde, med värmeöverförings-koefficienten h =

152 W/(m2·K). Den elektroniska komponenten har formen av ett tunt skikt på chippets undre sida, och genererar 1,6 W värme. Luftens temperatur Tf är 20°C, för kisel är λ= 148 W/(m·K).

Beräkna topp- och bottentemperaturerna för chippet T2 och T1, antingen med hjälp av värmemotstånd, eller direkt med hjälp av konvektion och

konduktivitet. (svar: T2 = 46.32°C, T1 = 46.40°C) 8 Ett hett stålklot anlöps genom att sänka

ner det i ett kylt oljebad. Klotet har diametern d = 0,5”, massan m = 0,018 lbm och dess initialtemperatur är Ti = 400 °F. Om värmeöverförings-koefficienten mellan klot och olja är h = 16 BTU/(h·ft²·°F), beräkna

hur lång tid det tar för klotet att svalna till 150 °F. Antag att oljebadets temperatur är konstant vid Tf = 70°F. Använd λstål = 32.8 BTU/(h·ft·R); cp stål = 0.12 BTU/(lbm·R). Börja med att konvertera till SI-enheter. (svar: Bi = 0.0034; T = 125 s). 9 Ånga vid 180°C, 280 kPa och hastigheten 15 m/s träffar ett runt rör (vinkelrätt mot flödet) med diametern 30 mm med temperaturen a) 140°C eller b) 100°C. Beräkna värmeöverföringstätheten (W/m2) för dessa två fall. Data för ånga: viskositet η ≈ 1.45×10-5 Pa.s, konduktivitet λ ≈ 0.028 W/(mK), Pr ≈ 1.0 (svar: a: torr värmeöverföring, h = 136 W/(m2·K), "Q = 5458 W/m2, b. kondensering vid 131°C, ∆T = 31°C, h ~ 20000 W/(m2·K, = 620 kW/m2)

10 Beakta solen som en svartkropp vid 5800 K. Solens diameter är ~ 1,39×109 m, jordens diameter är ~1,29×107 m. Avståndet mellan jorden och solen är ~ 1,5×1011 m. Beräkna


5-47

Calculate: a. The total energy emitted by the sun (W) b. The amount of the sun’s energy intercepted by earth (W) c. The solar radiation flux (W/m2) that strikes reaches the earth’s atmosphere at a right angle. Compare it with a measured solar flux of 720 W/m2 measured on a clear day in Colorado, USA. (answers: a. 3.89×1026 W, b. 1.80×1017 W, c. 1376 W/m2 is ~ 2× the Colorado value)

11 Radiation occurs between floor, walls and ceiling of a room as shown in the figure. Calculate the view factors from the end wall (1) to the other five surfaces (2...6) using the diagram given.

(answers: F1→2 ≈ 0.11, F1→3 = (1 - 0.11)/4 = 0.2225 = F1→4 = F1→5 = F1→6) 12 A tube that transports steam at 150°C runs along a long corridor as illustrated in the Figure. The temperature of all walls is 10°C and wall emissivity is 0.85. The temperature of the tube on the outside of the isolation at diameter 0.15 m is measured to be 25°C, at an emissivity of 0.85. a. Calculate the heat losses per meter tube length as a result of heat radiation, and b. By how much would the heat losses decrease if the isolation is painted with Al-paint with emissivity 0.42. (answers: a. 33.1 W/m (assuming A2 »A1 gives 33.5 W/m; b. 16.0 W/m is a reduction of 51.6%). 13 An asphalt layer of 6 cm is put on a road at temperature T = 35°C in stagnant air of 10°C. The temperature of the road the asphalt is put on is also 10°C. How

a. Den totala energin som solen sänder ut i form av strålning (W) b. Den mängd av solens energi som fångas upp av jorden (W). c. Strålningsflödet från solen (W/m2) som träffar jorden i en rät vinkel. Jämför det med ett uppmätt flöde på 720 W/m2 en solig dag i Colorado, USA. (svar: a. 3,89×1026 W, b. 1,80×1017 W, c. 1376 W/m2 är ~ 2× värdet i Colorado) 11 Strålning sker mellan golv, väggar och tak i ett rum, som i bilden. Beräkna vinkelfaktorerna från kortväggen (1) till de fem övriga ytorna (2...6) med hjälp av det bifogade diagrammet.

(svar: F1→2 ≈ 0,11; F1→3 = (1 – 0,11)/4 = 0,2225 = F1→4 = F1→5 = F1→6)

12 Ett rör som transporterar ånga vid 150°C löper längs en korridor enligt illustrationen i figuren. Alla väggar har temperaturen 10°C och emissiviteten 0,85. Rörets temperatur på isoleringens yttre sida, vid diametern 0,15 m, uppmäts till 25°C, med emissiviteten 0,85. a. Beräkna värmeförlusterna per meter rörlängd pga.

värmestrålning och b. hur mycket värmeförlusterna skulle minska om röret målades med aluminiumfärg med emissiviteten 0,42. (svar: a. 33.1 W/m (antagandet A2 »A1 ger 33.5 W/m; b. 16.0 W/m är en reducering på 51.6%). 13 Ett asfaltskikt på 6 cm med temperaturen T = 35°C läggs på en väg i stillastående luft vid 10°C. Temperaturen hos den väg som asfalten läggs på är också 10°C. Hur länge tar det för asfalten


Heat transfer

5-48

long does it take for the asphalt to reach an average temperature <T> of 15°C and what is the centre temperature Tm of the asphalt layer then? Assume that the temperature profile in the asphalt is symmetric. Data for the asphalt: ρ = 1000 kg/m3, cp = 920 J/(kgK), λ = 0.17 W/(mK). Use the diagrams in Fig 5.43. (answer: diagram: Fo = 0.15, 2919 s, 17.5°C)

Appendix Diagram for log-mean temperature ∆Tlm (BMH99)

att nå en medeltemperatur <T> på 15°C och vad är asfaltsskiktets mittemperatur då? Antag att temperaturprofilen i asfalten är symmetrisk. Data för asfalten: ρ = 1000 kg/m3, cp = 920 J/(kgK), λ=0.17 W/(mK). Använd diagrammen i Fig. 5. 43. (svar: diagram: Fo = 0.15, 2919 s, 17.5°C).

Appendix Diagram för logaritmisk medelvärdes- temperatur ∆Tlm (BMH99)

Litteratur References 5. BMH99: W.J. Beek, K.M.K. Muttzall, J.W. van Heuven “Transport phenomena” Wiley, 2nd ed. (1999) BS06: H.D. Baehr, K. Stephan, “Wärme- und Stoffübertragung”, Springer 5. ed., (2006) Chapter 5 B14: E. Buckingham ”On physically similar systems” Phys. Rev. 4 (1914) 345-376 BÖ88: Y. Bayazitoglu, M. Necati Özisik “Elements of heat transfer“ McGraw-Hill (1988) H89: J.P. Holman “Heat transfer” McGraw-Hill (1989) Chapter 9 HSM11: J.R. Howell, R. Siegel, M.P. Mengüç “Thermal radiation heat transfer” CRC Press (2011) IdWBL07: F.P. Incropera, D.P. DeWitt, T.L. Bergman, A.S. Lavine “Fundamentals of heat and mass transfer”, Wiley, 6th ed. (2007) Chapters 12 & 13 KJ05: D. Kaminski, M. Jensen “Introduction to Thermal and Fluids Engineering”, Wiley (2005) P10: R. Petela “Engineering thermodynamics of thermal radiation” McGraw-Hill (2010) SSJ84: J.M. Smith, E. Stammers, L.P.B.M. Janssen “Fysische Transportverschijnselen I” TU Delft / D.U.M. (1984) (in Dutch) T06: S.R. Turns “Thermal – Fluid Sciences”, Cambridge Univ. Press (2006) Z06: M. Zlokarnik, ”Scale-up in Chemical Engineering”, Wiley-VCH (2006) Z13: R. Zevenhoven “Massöverföring & separationsteknik” course 424302 material Åbo Akademi University (2013) (in Swedish) Z13a: R. Zevenhoven ”Process engineering thermodynamics” part 2a, course 424304 material Åbo Akademi University (2013) ÖS96: G. Öhman, H. Saxén ”Värmeteknikens grunder”, Åbo Akademi University (1996) p. 53-81 (chapters 5-8). (in Swedish)

Svensk text (2011): Thomas Björklöf

5. värmeöverföring heat transferusers.abo.fi/rzevenho/ptg kap5-aug2013.pdf · dt/dx ger fouriers...

Documents