5 repaso de_matrices
TRANSCRIPT
2
Elemento: aij
Tamaño: m × n
Matriz cuadrada: n × n
(orden n)
Elementos de la diagonal: ann
Matrices
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
na
a
a
2
1
)( 21 naaa
Vector columna(matriz n x 1)
Vector fila(matriz 1 x n)
3
−
−=
−−
−=
211
539
874
,
5106
640
312
BA
−−
−=
+−−++−+++−++−+
=+395
1179
566
25)1(1016
563490
)8(37142
BA
Suma:
nmij
mnmm
n
n
ak
kakaka
kakaka
kakaka
k ×=
= )(
21
22221
11211
A
Multiplicación por un escalar:
4
Si A, B, C son matrices m×n, k1 y k2 son escalares:
(i) A + B = B + A(ii) A + (B + C) = (A + B) + C (iii) (k1k2) A = k1(k2A)
(iv) 1 A = A (v) k1(A + B) = k1A + k1B
(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A
5
(a)
(b)
Nota: En general, AB ≠ BA
−
=
=
86
29,
53
74BA
=
+−++−+
=3457
4878
65)2(36593
87)2(46794
........
AB
−−
=
=
02
34,
72
01
85
BA
−−−
−−=
+−+−+−+−+−+−
=66
34
154
07)3(227)4(2
00)3(120)4(1
08)3(528)4(5
............
AB
Multiplicación:
6
=
mnnn
m
m
T
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
A
Transpuesta de una matriz A:
(i) (AT)T = A(ii) (A + B)T = AT + BT (iii) (AB)T = BTAT
(iv) (kA)T = kAT
Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT (ABC)T = CTBTAT
7
=
=
=
00
00
00
,00
00,
0
0000
Matriz cero
A + 0 = AA + (–A) = 0
inferior Triangularsuperior Triangular143215
02111
00398
00061
00002
1000
9800
7650
4321
−
Matrices triangulares
8
Matriz cuadrada n × n, i ≠ j, aij = 0
100
00
007
21
Matriz diagonal:
=
10
015
50
05
A: m × n, entonces
Im A = A In = A
Matriz identidad:
1000
0010
0001
10
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++=+++
2211
22222121
11212111
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
11
2x1 + 6x2 + x3 = 7 x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9
−
−−
−−− ⇒
9475
7162
1121
9475
1121
716212R
−
−−
−
−−
⇒⇒+−+−
14130
10
1121
14130
9320
1121
29
23
52
221
3121
RRRRR
−−
−−
⇒⇒+
5100
10
1121
00
10
1121
29
23
255
211
29
23
3 3112
32 RRR
529
23
12
3
32
321
=
=+
−=−+
x
xx
xxx
x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10
12
Resolver mediante el método de Gauss-Jordan
x1 + 3x2 – 2x3 = – 7
4x1 + x2 + 3x3 = 5
2x1 – 5x2 + 7x3 = 19
−−
−−−−−−
−−
−−
−
−−
⇒⇒
⇒
+−+−
−−
+−+−
0000
3110
2101
3110
3110
7231
3311110
3311110
7231
19752
5314
7231
3212
3111
2111
3121
3
24
RRRR
RR
RRRR
Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2
Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.
13
Resolver: x1 + x2 = 14x1 − x2 = −62x1 – 3x2 = 8
−
−−− ⇒
1600
210
101
832
614
111
0 + 0 = 16 !! ⇒ No tiene soluciones.
14
Vectores fila:
u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn)
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
A
=
=
=
mn
n
n
n
mm a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 ,,, vvv
Vectores columna: El rango de una matriz A m × n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes.
−−
−
−−−
−
−−
−= ⇒⇒
−+
+−+−
0000
210
3111
1420
2840
3111
8753
8622
3111
21
32
241
3221
31
21R
RRRRRR
A
⇒rang A = 2.
15
AX = 0
Siempre hay soluciones
(consistente)
Solución única X = 0
(solución trivial)
rang(A) = n
Infinitas soluciones
Rang(A) < n
n – r parámetros
16
AX = B, B≠0
Inconsistente
rang(A) < rang(A│B)
Consistente
rang(A) = rang(A│B)
Solución única
rang(A) = nInfinitas soluciones
rang(A) < n
n – r parámetros
17
211222112221
1211det aaaaaa
aa−==A
.
det
332112322311
312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−
−++=
=A
Determinantes
3231
222113
3331
232112
3332
232211det
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa +
−+=A
Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.
18
3231
222113
3331
232112
3332
232211 aa
aaC
aa
aaC
aa
aaC =−==
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
=A
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
El cofactor de aij es Cij = (–1)i+ j Mij
donde Mij se llama menor.
... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33
Podemos expandir por filas o columnas.
19
=
351
306
742
A 131211 742
351
306
742
det CCC ++==A
35
30)1(
351
306
742
)1( 111111
++ −=−=C
31
36)1(
351
306
742
)1( 212112
++ −=−=C
51
06)1(
351
306
742
)1( 313113
++ −=−=C
20
120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[2
51
06)1(7
31
36)1(4
35
30)1(2det 312111
=−+−−−=
−+−+−= +++A
131211 742
351
306
742
det CCC ++==A
120)6(3)23(6
51
42)1(3
35
74)1(6
306det
3221
232221
=−−−=
−+−=
++=
++
CCCA
Más corto desarrollando por la segunda fila...
21
238)]2(5)4(6[7
42
56)1)(7(
042
781
056
)1)(7(
0)7(0
042
781
056
det
3232
332313
=−−=
−−−=
−−−=
+−+=−
−−=
++
CCCA
−−−=042
781
056
A
22
det AT = det A
4143
75det −=
−=A 41
47
35det −=
−=TA
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.
=
229
224
226
A 0
229
224
226
det ==A
23
Si todos los elementos de una fila (columna) de una
matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.
Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces:
det B = −det A
AB det
312
706
914
914
706
312
det −=−
−=−
=
24
Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:
det B = k det A
A
B
A
det)(
det
fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión
2211
2211
kCaCaCak
CkaCkaCka
i
ininiiii
ininiiii
=+++=+++=
80)21(8012
11285
24
1185
164
815
1620
85
−=−==
==
..
.
25
Si A y B son matrices n × n, entonces
det AB = det A ⋅ det B.
−
−=
−=
53
43,
11
62BA
−−
=96
2212AB
det AB = −24, det A = −8, det B = 3,
det AB = det A ⋅ det B.
26
det A = 45 = det B = 45.
BA =
−−−
−= ⇒
+−
2411
703
215
414
703
215313 RR
Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A
27
=
333231
2221
11
0
00
aaa
aa
a
A
33221132332211
3332
2211
).0(
0det
aaaaaaa
aa
aa
=−
==A
−−
=
2427
0495
0062
0003
A
144)2(.)4(.6.3
2427
0495
0062
0003
det
=−−
=
−−
=A
−=
400
060
003
A 7246)3(
400
060
003
det −=−=−
= ..A
matriz diagonal
matriz triangular inferior
28
Supongamos que A es una matriz n × n.
Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima
fila, entonces:
ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i ≠ k
Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces:
a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j ≠ k
29
DemostraciónSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila:
bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn
B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:
kninkiki
knknkkkk
CaCaCa
CaCaCa
+++=+++==
2211
2211det0 B
30
−−=
842
234
726
A
0)10(7)40(2)25(6
34
267
24
762
23
726
331332123111
=−+−+=−−
+
−
−+−
=
++ CaCaCa
31
Inversa de un matrizSea A una matriz n × n. Si existe una matriz n × n B tal que
AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n × n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.
Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A (ii) (AB)-1 = B-1A-1 (iii) (AT)-1 = (A-1)T
32
Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:
se llama adjunta de A y se denota por adj A.
=
nnnn
n
nT
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
CCC
CCC
CCC
21
22212
12111
21
22221
11211
Matriz adjunta
33
AA
A adjdet
11
=−
=
=
A
A
A
AA
det00
0det0
00det
)adj(
332313
322212
312111
333231
232221
131211
CCC
CCC
CCC
aaa
aaa
aaa
Encontrar la matriz inversa:
Sea A una matriz n × n. Si det A ≠ 0, entonces:
Para n =3:
34
=
102
41A
−
−=
−
−=−
21
1
1
25
12
410
21
A
=
+−−+−−
=
−
−
=−
10
01
541010
2245
1
25
102
41
21
1AA
=
+−+−−−
=
−
−=−
10
01
5411
202045
102
41
1
25
21
1AA
35
−=
103
112
022
A
612
222
12
022
11
02
603
222
13
022
10
02
303
125
13
121
10
11
333231
232221
131211
=−
=−=−
−===
=−===−=−=
−=−
−==−
−===
CCC
CCC
CCC
−−
−=
−−
−=−
21
21
41
61
61
125
61
61
121
1
663
225
221
121
A
36
−−=
655
432
102
A
−−
−−
++
⇒
⇒
1050
011530
0001
100655
010432
0001
100655
010432
001102
25
217
21
21
52
21
21
3121
121
RRRR
R
=
100
010
001
)|(
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
IA
37
−
−
⇒
⇒
⇒
+−
6105100
010
0001
00
010
0001
010
010
0001
31
31
35
21
21
30
51
31
61
301
31
31
35
21
21
51
21
1017
31
31
35
21
21
3
32
351
231
R
RR
RR
−−−−−+−
+−
⇒6105100
10178010
352001233
5132
1
RRRR
−−−−−
=−
6105
10178
3521A
38
−
−−=
306
542
211
A
−−
−−
−
−−
+−
⇒100306
012960
001211
100306
010542
001211
212 RR
−−−
−−
−−
−−
+−
+−
⇒
⇒
114000
012960
001211
106960
012960
001211
32
316
RR
RR
Singular
39
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++=+++
2211
22222121
11212111
,
21
22221
11211
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A ,2
1
=
nx
x
x
X
=
mb
b
b
2
1
B
AX = B
Si m = n, y A es no singular, entonces:
X = A-1B
40
1663
1592
21
21
=+=−
xx
xx
=
−
16
15
63
92
2
1
x
x
03963
92≠=
−
−=
− −
23
96
391
63
92 1
−=
−=
−=
316
13
234
391
16
15
23
96
391
2
1
x
x
3/1,6 21 −== xx
41
4432
1655
22
321
321
31
=++−−=++
=+
xxx
xxx
xx
−−=
655
432
102
A
−=
−
−−−−−
=
−
−−=
−
36
62
19
1
4
2
6105
10178
352
1
4
2
655
432
102 1
3
2
1
x
x
x
36,62,19 321 −=== xxx
42
+++
++++++
=
==
nnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
cbCbCb
cbCbCb
cbCbCb
b
b
b
CCC
CCC
CCC
2211
2222121
1212111
2
1
21
22212
12111
det1
det1
A
ABAX 1-
AA
A
detdet
det2211
k
nknkkk
CbCbCbx
=
+++= Regla
deCramer
43
0
0
0
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular.
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.
44
Problemas de autovalores
Sea A una matriz n × n. Un número λ se dice
que es un autovalor de A si existe una solución
vector K, distinto de cero para:AK = λK
El vector solución K es el autovector
correspondiente al autovalor λ.
DEFINICIÓNAutovalores y autovectores
Los autovalores de una matriz triangular, inferior o superior, o de una matriz diagonal son los elementos de la diagonal.
45
Verifica que es el autovector de la matriz:
Solución
−=
1
1
1
K
−
−−=
112
332
310
A
KAK )2(
1
1
1
)2(
2
2
2
1
1
1
112
332
310
−=
−−=
−
−=
−
−
−−=
Autovalor
46
• Podemos escribir AK = λK como:
(A – λI)K = 0
Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Si queremos que K sea una solución distinta de cero, debería ocurrir que:
det (A – λI) = 0
Observa que det (A – λI) nos proporcionará un polinomio de grado n, que llamaremos ecuación característica.
47
Encuentra los autovalores y autovectores de:
−−−−=
121
016
121
A
0
121
016
121
)det( =−−−−
−−−
=−λ
λλ
λIA
–λ3 – λ2 + 12λ = 0
λ (λ + 4) (λ – 3) = 0
λ = 0, −4, 3.
Ahora encontraremos los autovectores para cada autovalor.
(A – λI)K = 0
48
(i) λ1 = 0
−−
−−−−=+
+−−
++−
⇒⇒
⇒
0000
010
001
0000
010
0121
0000
06130
0121
0121
0016
0121
)|0(
136
131
2
136
6
122131
3121
RRR
RRRR
0IA
3231 136
,131
kkkk −=−=
Tomando k3 = −13
−=
13
6
1
1K
(A – λ1I)K = 0
49
(ii) λ2 = −4
−−
−
−
−−=+
+−+−−
⇒⇒01680
01890
0321
0125
0036
0321
0321
0036
0125
)|4(
3121
133
56
RRRR
RR
0IA
−
−−− +−
+−−−
⇒⇒0000
0210
0101
0210
0210
03213212
381
291
22
RRRR
RR
k1 = −k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1:
−=
1
2
1
2K
(A – λ2I)K = 0
50
(iii) λ3 = 3
−−−−
−=− ⇒
0000
010
0101
0421
0046
0122
)|3( 230IA
−=
2
3
2
3K
k1 = – k3, k2 = –(3/2) k3. Y tomando k3 = –2,
(A – λ3I)K = 0
51
λ1 = λ2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2.A partir de (A – 5I|0), tenemos:
−
=71
43A
0)5(71
43)det( 2 =−=
−−−
=− λλ
λλIA
02
042
21
21
=+−=+−
kk
kk
Encuentra los autovalores y autovectores de:
Tomando k2 = 1, tenemos
k1 = 2, y entonces
=1
21K
52
λ1 = 11, λ2 = λ3 = 8 (multiplicidad 2).
=
911
191
119
A
0)8)(11(
911
191
119
)det( 2 =−−−=−
−−
=− λλλ
λλ
λIA
Encuentra los autovalores
y autovectores de:
53
(i) λ1 = 11, por el método de Gauss-Jordan:
−−
−−
−=− ⇒
0000
0110
0101
0211
0121
0112
)|11( 0IA
=
1
1
1
1K
k1 = k3, k2 = k3. Si k3 = 1, entonces:
54
(ii) λ2 = 8,
=− ⇒
0000
0000
0111
0111
0111
0111
)|8( 30IA
,
0
1
1
2
−=K
−=
1
0
1
3K
k1 + k2 + k3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera arbitraria. Tomemos k2 = 1, k3 = 0:
Y k2 = 0, k3 = 1:
55
AK = λK,
Sea A una matriz cuadrada de elementos reales.
Si λ = α + iβ, β ≠ 0, es un autovalor complejo de A,
entonces su conjugado es también un
autovalor de A.
Si K es un autovector correspondiente a λ, entonces
el autovector conjugado es un autovector
correspondiente a .
Autovalores y autovectores complejos
βαλ i−=
Kλ
,KKA λ= KKA λ=Demostración:
56
λ1 = 5 + 2i
−
=45
16A
0291045
16)det( 2 =+−=
−−−
=− λλλ
λλIA
ii 25,25 121 −==+= λλλ
0)21(5
0)21(
21
21
=+−=−−
kik
kki
Encuentra los autovalores
y autovectores de:
k2 = (1 – 2i) k1, tomando k1 = 1:
−=
i21
11K
+==
i21
112 KK,2512 i−== λλ
(A – λ1I)K = 0
57
Potencias de una matriz
Sea A, una matriz n × n. Definimos la
potencia m-ésima de A como:
factores m
m AAAAA =
58
Teorema de Cayley-Hamilton
0IAAA =++++− −− 01
11)1( ccc n
nnn
0)1( 011
1 =++++− −− ccc n
nnn λλλ
Una matriz A satisface su propia ecuación característica:
Ecuación característica: det (A – λI) = 0
59
−−
=31
42A
Observa que entonces: A2 = A + 2I y λ2 = λ + 2 Y podemos escribir las sucesivas potencias de A como: A3 = AA2 = A(A+ 2I ) = A2 + 2A = 3A + 2I
A4 = AA3 = A (3A+2I) = 3A2+2A = 5A+ 6I A5 = 11A + 10I A6 = 21A + 22I... Am = c1A + c0I ... λm = c1λ + c0
λ2 − λ – 2 = 0.Y por el teorema de Cayley-Hamilton:
A2 − A – 2I = 0
Comprobarlo con:
60
O sea que podemos escribir:
Am = c1A + c0I y λm = c1 λ + c0 λ2 − λ – 2 = 0; λ1 = −1 , λ2 = 2:
+=
−+=−
)2(2
)1()1(
10
10
cc
ccm
m
])1(2[1/3],)1(22[1/3 10mmmm cc −−=−+=
−−−−−
−−−+−= + ])1(2[])1(2[
])1(2[])1(42[2
31
31
34
31
mmmm
mmmmmA
61
Am = c0I + c1A + c2A2 +…+ cn–1An–1
λm = c0 + c1 λ + c2 λ 2 +…+ cn–1 λ n–1
donde los ck (k = 0, 1,…, n–1), dependen de m.
Y en general, para una matriz de orden n:
62
Soluciónλ3 + 2 λ2 + λ – 2 = 0, λ= –1, 1, 2. Am = c0I + c1A +c2A2
λm = c0 + c1λ + c2 λ2
Con λ1 = –1, λ2 = 1, λ3 = 2, obtenemos:
(–1)m = c0 – c1 + c2
1 = c0 + c1 + c2 2m = c0 +2c1 + 4c2
−−
−=
110
121
211
ACalcula Am para:
]2)1(3[
],)1(1[2
],2)1(3[
16
12
1
31
0
++−+−=
−−=
−−+=
mm
m
mm
c
c
c
63
Puesto que Am = c0I + c1A +c2A2, tenemos:
−++−−−−−−−−
−++−−−−−−=
++
++
])1(723[])1(2[])1(23[
12221
])1(729[])1(2[])1(29[
16
13
116
1
16
13
116
1
mmmmmm
mmm
mmmmmm
mA
−−−
=342341341
102310241023
34134134010A
Por ejemplo, para m = 10
64
Por el teorema de Cayley-Hamilton: A2 – A – 2I = 0, I = (1/2)A2 – (1/2)A,
Multiplicando a ambos lados por A–1 podemos encontrar la inversa:
A–1 = (1/2)A – (1/2)I
−−
=31
42A
−−
=
−
−−
=
−− −
1
2
10
01
21
31
42
21
31
42
21
231
65
Una matriz A n × n es simétrica si A=AT
Si A es simétrica con elementos reales, entonces los autovalores de A son reales.
AK = λK, ,KKA λ= KKA λ=
KKAKK TT λ=Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:
KKT)(0 λλ −=
0)||||||( 222
21 ≠+++= n
T kkk KK
real. es 0 λλλ ⇒=−⇒
66
Al igual que definimos el producto escalar entre vectores:
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
podemos definirlo con matrices (vectores fila o columna):
X ⋅ Y ≡ XT Y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
222
21|||| n
T xxx +++=≡ XXX
Autovectores ortogonales
Veamos que si A es una matriz n × n simétrica, los autovectores correspondientes a distintos (diferentes) autovalores son ortogonales.
67
DemostraciónSean λ1,, λ2 dos autovalores distintos correspondientes a los autovectores K1 y K2.
AK1 = λ1K1 , AK2 = λ2K2
(AK1)T = K1TAT = K1
TA = λ1K1T
K1TAK2 = λ1K1
TK2 AK2 = λ2K2, K1
TAK2 = λ2K1TK2
0 = λ1K1TK2 − λ2K1
TK2
0 = (λ1 − λ2) K1TK2
Como λ1 ≠ λ2, entonces K1TK2 = 0.
68
λ = 0, 1, −2 y
−−−
=010
111
010
A,
1
0
1
1
=K ,
1
1
1
2
−=K
−=
1
2
1
3K
0)1(12011
1
2
1
)101(
0)1(110)1(1
1
1
1
)101(
31
21
=−++=
−=
=−++−=
−=
...
...
KK
KK
T
T
0)1(1211)1(
1
2
1
)111(32 =−++−=
−−= ...KKT
69
Matriz ortogonal:
Una matriz A n × n no singular es ortogonal si: A-1 = AT
A es ortogonal si ATA = I.
=
100
010
001
I ITI = II = I
−
−=
32
31
32
31
32
32
32
32
31
A
IAA =
=
−
−
−
−=
100
010
001
32
31
32
31
32
32
32
32
31
32
31
32
31
32
32
32
32
31
T
70
=
=
100
010
001
21
22212
12111
nTn
Tn
Tn
nTTT
nTTT
T
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
AA
Una matriz A n × n es ortogonal si y solo si sus vectores columnas X1, X2, …, Xn forman un conjunto ortonormal.
Es decir si: XiTXj = 0, i ≠ j , i, j =1, 2, …, n
XiTXi = 1, i =1, 2, …, n
Los Xi forman un conjunto ortonormal.
71
,
32
32
31
1
−=X ,
31
32
32
2
−=X ,
32
31
32
3
=X
−
−=
32
31
32
31
32
32
32
32
31
A
092
92
94
)(
094
92
92
)(
092
94
92
)(
32
31
32
31
32
32
32
32
31
32
32
32
31
31
31
32
32
32
32
31
21
=++−=
−=
=−+=
−=
=−+−=
−−=
XX
XX
XX
T
T
T
72
Y los vectores son unitarios, ortonormales:
194
91
94
)(
191
94
94
)(
194
94
91
)(
32
31
32
32
31
32
33
31
32
32
31
32
32
22
32
32
31
32
32
31
11
=++=
−=
=++=
−−=
=++=
−−=
XX
XX
XX
T
T
T
73
,
1
0
1
1
=K ,
1
1
1
2
−=K
−=
1
2
1
3K
,2|||| 111 == KKK T
,3|||| 222 == KKK T
6|||| 333 == KKK T
,
21
0
21
,
313
13
1
−
−6
16
26
1
−
−
=
61
31
21
62
31
0
61
31
21
P
Verifica que PT = P-1.
−−−
=010
111
010
AVimos
74
Autovalor dominanteSean los autovalores de una matriz A n × n. El autovalor se llama autovalor dominante de A si:
Un autovector asociado se denomina
autovector dominante de A.
nk λλλλ ,,,,, 21
kλ
niik ,,3,2,1,|||| => λλ
kλ
−=
40
04A
2,2 21 =−= λλ
500
150
002
=A
5,2 321 === λλλ
75
Método de las potencias,3,2,1,1 == − iii AXX
01
02
12
01
XAAXX
XAAXX
AXX
mmm ==
==
=
−
Supongamos que A tiene un autovalor dominante.
Vector n ×1
Supongamos que |λ1| > |λ2| ≥ … ≥ |λn| con K1, K2, …, Kn
autovectores asociados linealmente independientes. Entonces:
nnccc KKKX +++= 22110
Como AKi = λiKi , entonces:
AX0 = c1AK1 + c2AK2 + … + cnAKn
nnccc KKKAX n2221110 λλλ +++=
76
Multiplicando por A sucesivamente:
nnn
nn
ccc
ccc
KKK
AKAKAKXA2
22221
211
n22211102
λλλ
λλλ
+++=
+++=
nmnn
mmm ccc KKKXA λλλ +++= 2221110
++
+= n
m
nn
mm ccc KKK
1
2
1
22111 λ
λλλλ
1110 KXA cmm λ≈
Como |λ1| > |λi|, i = 2, 3, …, n; cuando m → ∞, podemos aproximar:
(...)
77
Observemos que un autovector multiplicado por una constante sigue siendo un autovector. De modo que podemos escribir:
Am X0 = Xm
De modo que Xm será una aproximación al autovector dominante. Puesto que AK = λK, AK⋅K= λK⋅K
que nos da una aproximación al autovalor dominante.
KK
KAK
⋅⋅=λ
mm
mm
XX
XAX
⋅⋅≈1λ
1110 KXA cmm λ≈
Cociente de Rayleigh.
78
−=
13
24A
=1
10X
=
−==
=
−==
16
28
2
6
13
24
2
6
1
1
13
24
12
01
AXX
AXX
6
Xi
7543i
68
144
364
712
1772
3576
8956
17848
44588
89304
=
4933.0
1893047X
1110 KXA cmm λ≈
79
=
−=
5007.2
9986.4
4993.0
1
13
247AX
2493.14993.0
1
4993.0
1
2472.64993.0
1
5007.2
9986.4
77
77
=
=
=
=
T
T
XX
XAX
.
.
0006.52493.12472.6
77
771 ==≈
XXXAX
..λ
,2,5 21 −== λλ
−
=
=
3
1,
5.0
121 KK
80
Si existe una matriz P, tal que P-1AP = D sea diagonal, entonces decimos que A es diagonalizable.
Si A es una matriz n × n que tiene n autovectores
K1, K2, …, Kn linealmente independientes, entonces
A es diagonalizable.
TEOREMA
Condición suficiente de diagonalizabilidad
Matriz diagonalizable
81
Demostración
• Puesto que P = (K1, K2, K3) es no singular, entonces existe P-1 y
Así que P-1AP = D.
PDKKK
KKKAKAKAKAP
=
=
==
3
2
1
321
332211321
00
00
00
)(
)()(
λλ
λλλλ
82
Si A es una matriz n × n con n autovalores
distintos, entonces es diagonalizable.
Condición suficiente de diagonalización
−=
71
43A
=
1
21KTenemos que λ = 5, 5.
Y solo podemos encontrar un autovector.
La matriz no puede diagonalizarse.
83
−−
=106
95A
)4)(1(45106
95)det( 2 −−=+−=
−−−−−
=− λλλλλ
λλIA
,2
31
=K
=1
12K
,12
13)( 21
== KKP
−
−=−
32
111P
DAPP =
=
−−
−
−=−
40
01
12
13
106
95
32
111
Diagonaliza:
λ = 1, 4.
84
−−−−=
121
016
121
A
−=
−=
−=
=−==
2
3
2
,
1
2
1
,
13
6
1
,3,4,0
321
321
KKK
λλλ
−−
−==
2113
326
211
)( 321 KKKP
−
−−=−
212
71
218
283
72
289
121
121
1
0
P
D
APP
=
−=
−−
−
−−−−
−
−−=−
300
040
000
2113
326
211
121
016
1210
212
71
218
283
72
289
121
121
1
85
=
100
001
010
A
−=
0
1
1
1K
−
−
−=− ⇒
000
000
011
000
011
011
)|( 0IA
λ = −1, 1, 1. λ = −1
λ = 1
,
0
1
1
2
=K
=
1
0
0
3K
−=
100
011
011
P
−=
100
010
001
D
junto con K1, forman tres vectores linealmente independientes. Luego la matriz es diagonalizable.
P-1AP = D
86
• Si existe una matriz P ortogonal que puede diagonalizar a A, decimos que A es ortogonalmente diagonalizable.
• Una matriz A n x n es ortogonalmente diagonalizable si y solo si es simétrica.
P diagonaliza a A: P-1AP = D, A = PDP-1.P es ortogonal: P-1 = PT, entonces:
A = PDPT. AT = (PDPT)T = PDTPT = PDPT = A Luego A es simétrica.