5. parabola.docx

7/23/2019 5. Parabola.docx

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GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA PARÁBOLA

CONTENIDO

1. Ecuación de la parábola horion!al con "#r!ice en el ori$en

1.1 Análi%i% de la ecuación1.& E'ercicio%

&. Ecuación de la parábola "er!ical con "#r!ice en el ori$en

&.1 E'ercicio%

Ecuación de la parábola horion!al con "#r!ice (uera del ori$en

Ecuación de la parábola "er!ical con "#r!ice (uera del ori$en

)or*a $eneral de la% ecuacione% de la parábola horion!al + "er!ical con "#r!ice (uera ori$en

E'ercicio%

Po%ición $eneral de la parábola + %u ecuación

E%!a cónica lla*ada parábola, %e de%cribe $eo*#!rica*en!e co*o la cur"a -ue re%ul!ain!ercep!ar un cono rec!o circular + un plano paralelo a la $enera!ri del cono. er )i$ura 1

Figura 1

5. LA PARÁBOLA AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS




De(inición/ La parábola e% el lu$ar $eo*#!rico de !odo% lo% pun!o% de un plano -ue par!icipde la propiedad de e-uidi%!ar de un pun!o (i'o lla*ado (oco + de una rec!a (i'a, -ue no pa%a el pun!o, lla*ada direc!ri.

Ele*en!o% de la parábola/ Al pun!o (i'o lla*ado (oco lo repre%en!are*o% con ), a la rec!a(i'a lla*adadirec!ri con . La di%!ancia en!re el (oco + la direc!ri lo repre%en!a*o% por p,donde p0. El "#r!ice de la parábola con

La rec!a perpendicular a la direc!ri + -ue pa%a por el (oco + por el pun!o de la paráblla*ado "#r!ice 23, %e lla*a e'e de la parábola. La po%ición del e'e de!er*ina la po%ición deparábola. La parábola %ie*pre e% %i*#!rica con re%pec!o a %u propio e'e.

De acuerdo a la de(inición de la parábola, el pun!o *edio en!re la direc!ri + el (oco per!eneal lu$ar $eo*#!rico + %e lla*a "#r!ice.

Direc!ri de la parábola e% la rec!a perpendicular al e'e de la parábola + e%!á a la *i%di%!ancia del "#r!ice -ue el "#r!ice del (oco.

1 Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen.

E*peare*o% haciendo -ue el vértice coincida con el origen del %i%!e*a decoordenada% + -ue el eje de la paráo!a %ea el e'e de la% x. er Figura " .




Puesto que la distancia de ladirectrizalfocoesp , las coordenadas delfocoson )0,2

p(F

y la ecuación de ladirectrizes2

p-=x

( Figura 2 . Consideramos un punto) M(x,y) del lugar geométrico, trazamos una

recta MQ perpendicular a ladirectriz,lasdeejealparalela x lasquelopor,

coordenadas deQ son )y,2

p-( ; después

se traza la rectaFM .

acuerdoDe a la defnición de laparábola , la condición de movimiento deM es

MQ=FM ()

!plicando la "órmula de la distancia entre dos puntos


p & &

4 ) 5 2 6 7 3 8 + &

9 de acuerdo a la Figura " /

: 4 5 R 4 8 : R

En donde/

R 4 5 6

p : R 5

: 4 5 6 8&

;u%!i!u+endo en (1) e%!o% "alore%, %e !iene/

2 6 7 p 3 & 8 + & 5 6 8p

& &

Ele"ando al cuadrado + de%arrollando/

&


&

Por lo -ue/

p




6 7 p & 8 + & 5 6 8 p &

& &

& &

6 & 7 p 6 8p 8 + & 5 6 & 8 p 6 8

p

< <;i*pli(icando + de%pe'ando a y2/

y 2 2 ! x .....................................................................................................................(I)

1.1. A"#$%&%& ' $ *+*%,".

Con%iderando !o!al*en!e de%conocida la (or*a de la cur"a, a%= co*o %u po%ición + %carac!er=%!ica% principale% debe*o% analiar la ecuación (I), para ob!ener e%e conoci*ien!o.con"iene de%pe'ar a cada una de la% "ariable% de la ecuación, por lo -ue/

y # 2 ! x ............................................................................................................($)

+ 2

x .......................................................................................................................(%) 2 !

El "#$%&%& de la ecuacióncon%!a de la% %i$uien!e% (a%e%/

P%/ S/ %i la cur"a e% #i$étrica o a#i$étrica. La ecuación ($) de*ue%!ra -ue lacur"a e% #i$étrica con relación al e'e de la% a#ci#a#, por-ue para un "alor de x%e ob!ienen do% "alore% de y i$uale% + de %i$no% con!rario%. En ca*bio, la cur"a

e% a#i$étrica con relación al e'e de la% or%ena%a#, por-ue %e$>n la ecuación(%), para cada "alor de y %ólo %e ob!iene un "alor de x.

S0+"'/ %" lo% pun!o% de inter#ecci&n de la cur"a con lo% e'e% de coordenada%.;i

x, re%ul!a y, lo cual %i$ni(ica -ueel >nico pun!o co*>n de la cur"a con

lo% e'e%e% el ori$en del %i%!e*ade coordenada%.

T*/ %" la% ona%donde e'i#te + donde de'a de e6i%!ir la cur"a. La ecuación ($) per*i!e "er

-ue cuando el pará*e!ro p e% po#itivo, la "ariable x %ólodebe recibir "alore% po#itivo# por-ue de o!ro *odo lo% de y re%ul!an

i$aginario#. E%!o %i$ni(ica -ue, cuando p() , la cur"a %ola*en!ee'i#te a la %erec*a del ori$en del %i%!e*a + la re$ión i+,uier%a e% onai$aginaria de la paráo!a. En ca*bio, %i p-) , la ecuación %ola*en!e e'i#te a la i+,uier%a del ori$del %i%!e*a.





C+/ I"&%0 %i la cur"a e% aierta o cerra%a. La *i%*a ecuación ($) 'u%!i(ica -ue lacur"a e% aierta, por-ue %i x au*en!a inde(inida*en!e, !a*bi#n y au*en!a en la*i%*a condición.

En &6"&%&, la paráo!a !iene la (or*a apro6i*ada -ue %e *ue%!ra en la Figura ..

En a*bo% ca%o% la ecuación e% de la (or*a (I) + %e dice -ue la parábola e% *ori+onta!

vértice en el origen.

LAO RECTO

;e lla*a "*78 98*$ o $+& *+ de la paráo!a, la *a$ni!ud del %e$*en!o de reperpendicular al eje de la paráo!a -ue pa%a por el /oco. Para calcularlo %e hacen

p & %i*ul!ánea% la ecuación 6 5 con la ecuación de la paráo!a + 5 & p 6 , ob!eni#ndo%e a%= -ue/ &

+& & &pp

& p&

& E6!ra+endo ra= cuadrada en a*bo% *ie*bro%/

y &#!

Por lo !an!o/

A"*78 98*$ o $'8 *8 : :' 2! A la di%!ancia -ue ha+ en!re el (oco de una parábola + cual-uier pun!o de la *i%*a, %ella*a radio (ocal.

1.& E'ercicio%

1. Encon!rar la% coordenada% del (oco + la ecuación de la direc!ri para la parábola cuecuación e% + & 5 ? 6 .

;OL@CIN

Co*parando con la ecuación 2I3, !ene*o%/

& p 5 ? p 5 5 <p < 5 5 && &


: :'



*


En!once%, la% coordenada% del (oco %on/

) 2 & , 3

9 la ecuación de la direc!ri e%/

!x - - 2 2

2. E"*8" la% coordenada% del /oco + la ecuación de la %irectri+ para la paráo!a con ecuació

2 - 1; x .

SOLUCIÓ

Co*parando la ecuación dada con la ecuación (I), !ene*o%/

& p 5 7 1 !

5 7 5 - <

! 7 ? 5 5 - 4

2 & Co*o ! e% ne$a!i"o, en!once% la% ra*a% de la paráo!a %on hacia la i-uierda, por lo -uela% coordenada% del /oco %on/

F ( - 4 = )

9 la ecuación de la %irectri+ e%/

x 4

3. @na paráo!a horion!al con vértice en el origen pa%a por el pun!o A0 " 23 4. %"ecuación.

SOLUCIÓ

Dicha ecuación debe !ener la (or*a de la (ór*ula (I) + la% coordenada% del pun!o deb"eri(icarla, por lo -ue/




+

*


1 5 & p 2 7 & 3

& p 5 5 7 ?

! - 4 !

2 - 2

La ecuación de la paráo!a e%/

y 2 - < x

La $rá(ica %e *ue%!ra en laFigura 3.

! Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen.

Para encon!rar la ecuación de la paráo!a vertica! con vértice en el origen del %i%!e*a5 0 ) 2) 4, pre"ia*en!e nece%i!a*o% hacer con%!ar -ue la ecuación +a conocida y 2 2 ! x , !a*bi#npuede e6pre%ar de acuerdo con la Figura 6 /

9a %abe*o% -ue/+ & 5 & p 6

Pero de acuerdo a la Figura 6 !ene*o%/

2 B 4 3 & 5 & p A 4

;e ob%er"a en dicha Figura 6 -ue, B M repre%en!a la di%!ancia de un pun!o cual-uiera de cur"a a %u e'e de %i*e!r=a, en !an!o A M e% la di%!ancia del *i%*o pun!o cual-uiera a la perpendiculal e'e -ue pa%a por el vértice.

"ri#er #étodo.

E%!a *anera de e%cribir la

ecuación + lo% %i$ni(icado% de lo%%e$*en!o% B M + A M, no% per*i!irándeducir la ecuación de la paráo!avertica! con vértice en el origen + la%corre%pondien!e% a o!ra% po%icione%de la paráo!a.

Apo+ándono% en la Figura 7 +aplicando lo% concep!o% an!eriore%,para e%!e ca%o %e !iene/





2 : 43 & 5 & p R 4

Pero/

: 4 5 6 + R 4 5 +

;u%!i!u+endo en la e6pre%iónan!erior %e !iene/x 2 2 ! y (II)

Segundo #étodo.

Por o!ra par!e, ba%ándo%e en la Figura 7 + de acuerdo a la de(inición de la paráo!a, !ene* M N M F.....................................................................................................................(1)

Aplicando la e6pre%ión para de!er*inar la di%!ancia en!re do% pun!o%, ob!ene*o%/

4 N 5 2 6 7 6 3 & 8 2 + 8p 3 & 5 2 + 8

p3 &

& &

4 ) 5 2 6 7 3 & 8 2 + 7p 3 & 5 6 & 8 2 + 7

p3 &

& & ;u%!i!u+endo en la ecuación (1)/

2 + 8 p 3 & 5 6 & 8 2 + 7p

3 & & &

Ele"ando al cuadrado/

& &

2 + 8 p 3 & 5 6 & 8 2 + 7 p 3 & & &

De%arrollando/

2 + 8 p 3 & 5 6 & 8 2 + 7p

3 &

& &

+ & 8 & p + 8 p & 5 6 & 8 + & 7 & p + 8 p &

& < & <




2

p


;i*pli(icando/p + 5 6 & 7 p +

De%pe'ando a x2/x 2 2 ! y ..................................................................................................................(II)

Co*o %e "e, he*o% ob!enido la *i%*a ecuación (II) de la paráo!a vertica! con vérticeen el origen del %i%!e*a de e'e% car!e%iano%.

En donde !a*bi#n %e cu*ple -ue %i el pará*e!ro ! e% po#itivo, la conca"idad de la

cur"a e%!á diri$ida hacia arria +, %i e% negativo, hacia aajo, con vértice en 0 ) 2) 4, /oco en

0 ) 2 p 8"4 + ecuación de la %irectri+ y & .

!.1 E$ercicio%

1. E"*8" la% coordenada% del /oco + la ecuación de la %irectri+ para la paráo!a x 2 ; y.

SOLUCIÓ

Co*parando la ecuación dada con la (ór*ula (II), !ene*o% -ue/

& p 5 p

5 5

p

5

& & En!once%, la% coordenada% del /oco %on/

F = 3 2

9 la ecuación de la %irectri+ e%/




2

!-=y


2. E&*%/% la ecuación de la !#/8$ con /oco en F 0 ) 26 4 + cu+a ecuación de la %irectri+ e% y &

5 .

SOLUCIÓ

Co*o el /oco e%!á %obre el e'e y, indica -ue e% una paráo!a vertical con vértice enorigen, por lo -ue la (or*a de la ecuación e%!á dada por la (ór*ula (II).

p p Ade*á%, por de(inición e% la di%!ancia del vértice al /oco, por lo -ue 5 .

& &

Por !an!o, ! & 1 + 2! & 2 , lo -ue %u%!i!uido en la ecuación, %e !iene/

x & 2y

3. @na paráo!a de e'e vertica! , vértice en el origen, !iene %u /oco en el pun!o F 0)2"4. %%u ecuación.

SOLUCIÓ

La (or*a de la ecuación e% i$ual a la (ór*ula (I$). En e%!e proble*a, %e$>n da!o%/

p 5 &

& p 5 <

2 ! <

A%= -ue la ecuación e%/x 2 < y

&. Ecuación de la parábola horizontal con vértice 'uera del origen.

La% ecuacione% de la paráo!a "i%!a% an!erior*en!e, %on "álida% %ola*en!e en el ca%o d-ue el vértice e%!# en el origen + -ue el e'e de #i$etr9a de la paráo!a %ea el e'e x o el e'e y.

ea*o% el ca%o en -ue el vértice e%!á en un pun!o cual-uiera -ue no e% el ori$en + -ue ee'e de #i$etr9a de la paráo!a e% paralelo al e'e x.

5. LA PARÁBOLA 5 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS



!plicando la ecuación de la distanciaentre dos puntos, tenemos

&

)-+y()

p /(+0&12

3)

p +/(+0)y+y()

p +/(+0&42

5ustituyendoen () y elevandoalcuadrado am6os miem6ros

p

)-+y()

p /(+0&)

p +/(+0


"ri#er #étodo.

Para deducir la ecuación corre%pondien!e, no% apo+are*o% en la de(inición de la paráo!a.El vértice e%!á ahora en 5 0 *2 4 + la di%!ancia del vértice al /oco + del vértice a la %irectri+ %i$ue

!%iendo , co*o %e "e en la Figura ; / 2

De la Figura ; + de acuerdo a la de(inición, !ene*o% .

M N M F (1)

2 6 7 h 8 3 & 5 2 6 7 h 7p

3 & 8 2 + 7 3 &

& & De%arrollando/

& &

6& h& p &h6 &p 6 &ph & 6& h& p &h6 &p 6 &ph 2+ 3 &

& & & & & & ;i*pli(icando/

& & & 8 h & 8 p 7 & h 6 8 p 6 7 p h 5 6 & 8 h & 8 p 7 & h 6 7 p 6 8 p h 8 2 + 7 3 &

6< <




7tra "orma de o6tener la ecuaciónde la parábola"orizo#talcon $érticefuera del orige# es aplicando los

si8nifcados de los se8mentosM% y M&

vistos con anterioridad y que aplicados ala Figura ', tenemos

M% p2=)M( 2

5olamente que en laFigura 'se

tiene

/+0&9!+2!&29

-+y&CD+2D&2C

!s: que la ecuación es


Reduciendo !#r*ino% %e*e'an!e%/

&p6 &ph & 2+ 3 &

&p26 h3 & 2+ 3 &

)inal*en!e, rearre$lando la ecuación an!erior/

( y - @ ) 2 2 ! ( x - 7 ) .................................................................................................(III)

E% la ecuación de una paráo!a *ori+onta! con vértice en ( 7 = @ ) , /oco en

7 ! = @

2 ! ecuación de la %irectri+ x 7 - . 2

Segundo #étodo.

( y - @ ) 2 2 ! ( x - 7 ) .................................................................................................(III)

E% decir -ue, he*o% ob!enido la *i%*a ecuación ordinaria (III) de la paráo!a *ori+ontacon vértice en 5 0 *2 4.

( Ecuación de la parábola vertical con vértice 'uera del origen.

Ob!endre*o% ahora la ecuación de la paráo!a vertica! con vértice 9+ del origen,acuerdo a la %i$uien!e Figura </





"ri#er #étodo.

De la de(inición de la paráo!a, !ene*o% -ue/

M N M F.....................................................................................................................(1)

Aplicando la (ór*ula para la di%!ancia en!re do% pun!o%/

4 N 5 2 6 7 6 3 & 8

+ 7

7p&

& 5 8

+ 7

7

p&

& 5

+ 7

7p&

&

&

4 ) 5 2 6 7 h 3 & 8

+ 7

8p&

;u%!i!u+endo en (1)/

& &

+ 7 7 p& 5 2 6 7 h 3 & 8 + 7 8 p &

Ele"ando al cuadrado a*bo% *ie*bro% de la i$ualdad/

+ 7 8

p

& 5 2 6 7 h 3 & 8

+ 7 7p

&

& &

De%arrollando/

& &

+ & 8 & 8 p 7 & + 8 &

p + 7 &

p 5 2 6 7 h 3 & 8 + & 8 & 8

p 7 & + 7 &

p + 8 &

p




5implifcando

)/+0(&)-+y(p

)/+0(&-p+yp

-pyp+y-+)/+0(&-p+ypy-+

earre8lando la ecuación

) -y(p2=)"-x( 2 )*+(

la ecuación<sta es de una parábola

$ertical con $értice en ),(" , foco en

2

p ," y ecuación de ladirectriz

2

p- =y .


< & & < & &

Segundo #étodo.

De acuerdo a la Figura < + el %i$ni(icado de lo% %e$*en!o%+a "i%!o% + aplicado%.

En e%!e ca%o !ene*o% -ue la e6pre%ión x2 & 2!y , %e puede e%cribir de la %i$uien!e *anera/

C4& 5 &p B4...............................................................................................................(1) Pero/

C4 & D4 7 CD & 6 7 h B4 & A4 AB & +


(x 7)2 & 2!(y @) ................................................................................................... (I)

Co*o %e "e he*o% ob!enido la *i%*a ecuación (I).

En e%!o% do% >l!i*o% ca%o% %i$ue %iendo "erdad -ue del %i$no del pará*e!ro !, depende hadonde e%!á diri$ida la concavi%a% de la cur"a.

A%= *i%*o en lo% *+8 ca%o% !ra!ado%, la ecuación repre%en!a!i"a de la paráo!a %ola*econ!iene una de la% "ariable% a la %e$unda po!encia, pue% la o!ra aparece a la pri*era.

5 F8 0"$ ' $& *+*%8"& ' $ !#/8$ 78%8"$ y %*$ *8" D%* 9+'$ 8%0".


BM y AM




La% ecuacione% ordinaria% (III) + (I) -ue he*o% ob!enido de la paráo!a *ori+onta! +vertica! con vértice /uera de origen del %i%!e*a% car!e%iano, la% e6pre%are*o% cada una deella% en %u /or$a genera! , co*o %e "e en %e$uida.

De%arrollando la ecuación co*>n, de la paráo!a *ori+onta! !ene*o%/

2+ 3& & &p26 h3

+& &+ & & &p6 & ph

y2 2!x 2@y @2 2!7 & ....................................................................................(1)

La co*para*o% con la ecuación $eneral de %e$undo $rado.

A6& B6+ C+& D6 E+ ) &

Pode*o% ob%er"ar -ue/

A &

B &

C & 1

& & p

E & & F& & &ph

;u%!i!u+endo e%!o% "alore% en la ecuación (1) %e !iene/

y2 x Ey F & ................................................................................................... ()

:ue e% la /or$a genera! de la ecuación de la paráo!a *ori+onta! .

De la *i%*a (or*a para la paráo!a vertica! par!i*o% de/

26 h3& & &p2+ 3 ......................................................................................................(2)

De%arrollando/

6& &h6 &p+ h& &p &

Co*parando con la ecuación $eneral

A6& B6+ C+& D6 E+ ) &

;e !iene/

A & 1

B &

C & 1

& & h

E & &p

F & h& &ph

;u%!i!u+endo en la ecuación (2).

x2 x Ey F & ................................................................................................. (I)





:ue e% la /or$a genera! de la ecuación de la paráo!a vertica! .

). E$ercicio%

1. $$ el vértice, !a%o recto, /oco, ecuación de la %irectri+ + la $rá(ica de la paráo!a cecuación e%/ x 2 - 4 x - 4 y - 4 .

SOLUCIÓ

Co*ple!ando el !rino*iocuadrado per(ec!o en x paraencon!rar lo% ele*en!o%pedido%/

6 & 7 < 6 5 < + 8 <

2 6 & 7 < 6 8 < 7 < 3 5 < + 8 < &

2 6 7 & 3 5 < + 8 ?

( x - 2 ) 2 4 ( y 2 ) :ue e% la ecuación de una paráo!a vertica! con vértice(uera del origen, en la cual/

(2=2) $'8 *8 & 2!& 4

Por !an!o/

4 ! ! & & 2 + & 1

2 2

Por lo -ue la ecuación de la %irectri+ e%/

p

y 5 7 5 7 & 7 1 5 - 3 &

9 la% coordenada% del /oco %on/

)

h , 8p

F ) 2 & , 7 & 8 1 3 F F ( 2 = - 1 ) &




.2p &

.


La Figura 1) *ue%!ra $rá(ica*en!e lo% re%ul!ado% ob!enido%.

2. %" la ecuación de la paráo!a de e'e vertica! , con vértice en el pun!o 5 0 " 2" 4, %abien-ue pa%a por el pun!o A0 12 . 4.

SOLUCIÓ

La (or*a de la ecuación e% la dada por la (ór*ula (I). Co*o 7 & 2 + @ & 2, %e$>n da!o%del vértice 5 , !endre*o%/

2 6 8 & 3 & 5 & p 2 + 7 & 3

La% coordenada% del pun!o A deben %a!i%(acer la ecuación an!erior, e% decir/

2 1 8 & 3 & 5 & p 27 7 &3

G 5 & p 27 3

Por !an!o/

;u%!i!u+endo en la (ór*ula (I), %e ob!iene la ecuación de la paráo!a pedida/

( x 2 ) 2 - ( y - 2 )

3. +& -ue y 2 3 x 2 y - 4 e% la ecuación de una paráo!a. 6"& %u anc*o /oca! vértice, %u /oco + la ecuación de %u %irectri+ .

SOLUCIÓ

En la ecuación dada, ba%!a ob%er"ar -ue %ola*en!e una de la% "ariable% apareceele"ada a la %e$unda po!encia para a%e$urar -ue la ecuación %= repre%en!a una

paráo!a. ;in e*bar$o, para *a+or %e$uridad pode*o% lle"arla a la (or*a !ipo, -ueade*á% %er"irá para de!er*inar lo% ele*en!o% %olici!ado%.

Co*ple!ando el !rino*io cuadrado per(ec!o en y, %e !iene/+ & 7 & + 8 1 7 1 5 67 <

2 + 7 1 3 & 5 6 7 5 2 6 7

1 3




<n donde

&&

&&

,/

F1Foco

/

!

2

p

2

!p

%(,)1+értice

!2pfocal&#c"o

tantoPor

=a ecuación de ladirectrizes/

=x

=a Figura muestra 8r>fcamente losresultados o6tenidos.

2

!


4. La %irectri+ de una paráo!a e% el e'e de la% x + %u /oco e% el pun!o F 0 a2) 4. E"*8"ecuación.

SOLUCIÓ

La ecuación debe %er de la (or*a e6pre%ada en la (ór*ula (III), para la cual, %e$>n lo% da!%e !iene/

7 F @ F !

2 ;u%!i!u+endo en la (ór*ula (III), %e ob!iene la ecuación de la paráo!a pedida/

y 2 2

x -

2 5. Lo% pun!o% de una cur"a !ienen la %i$uien!e propiedad/ %u or%ena%a *á%

i$ual a %u %i#tancia al pun!o . %" -u# cla%e de cur"a e%.

SOLUCIÓ


1

A = -

2



2

!


;ea = 0 ' 2 > 4 un pun!o cual-uiera de la cur"a a de!er*inar. En!once%, de acuerdo con propiedade% e%!ablecida% con el enunciado, %e !iene/

&

+ 8 5 4 A 5 2 6 7 3 & 8

+ 81

&

Ele"ando al cuadrado a*bo%*ie*bro% de la ecuación/

+ & 8 + 8 56 & 8 + & 8 + 8

Reduciendo !#r*ino%%e*e'an!e%/

6 1 5 & + 8 <

)inal*en!e, rearre$lando laecuación, %e ob!iene/

( x - ) 2 2 ( y 1 )

Por la ecuación ob!enida, "e*o% -ue %e !ra!a de una paráo!a vertica! , con lo%%i$uien!e% ele*en!o%/

Lado Rec!o & Ancho )ocal & &p & 2#r!ice/ (=1) )oco/F(=1 2)

Ecuación de la Direc!ri / y &

La Figura 1" , *ue%!ra $rá(ica*en!e lo% re%ul!ado% ob!enido%.

;. P8/ -ue !oda paráo!a cu+o e'e de #i$etr9a e% el e'e de la% a#ci#a#, !iene una

ecuación de la (or*a x y 2 / . %" la ecuación par!icular de la paráo!a -ue

pa%a por lo% pun!o% P 0 .2" 4 + ? 0 " 2 1 4.

SOLUCIÓ

En %u (or*a !ipo la ecuación e%/+ & 5 &p 26 7 h3

1 p




!


De%arrollando + de%pe'ando a x, %e !iene/+ & 5 & p 6 7 & p h

& p 6 5 + & 8 & ph

x 5 1 + & 8 & p h 5

1y 2 7

& p & p 2 !

9 %i con"eni*o% en hacer/

1 5 + h 5 /

No% -ueda/

x y 2 /

La% coordenada% de lo% pun!o% P + ? deben "eri(icar e%!a ecuación/

Para P / 5 < a 8 b.......................................................................................................(1)

Para ? / 7 & 5 a 8 b .......................................................................................................(2)

Re%!ando (1) de (2) + de%pe'ando a , %e ob!iene/

a 5


11/ 5 7 7 5 -

3

;u%!i!u+endo lo% "alore% de + /= %e ob!iene la ecuación par!icular pedida/

6 5 + & 7 6 5 + & 7 11

+ & 5 6 8 11

+ & 5

6 8





)inal*en!e/

y 2 3 x 11 5 3

:ue e% la ecuación de la paráo!a -ue pa%a por lo% pun!o% P + ? .

>. P8/ -ue una paráo!a cu+o e'e e% para!e!o al de la% or%ena%a#, !iene una ecuación dela (or*a y A x 2 B x C + "*8" la ecuación de una paráo!a !al -ue pa%a por lo%pun!o%/ O 0 ) 2) 4, P 0 12) 4 + ? 0 .27 4.

SOLUCIÓ

De la (or*a co*>n de la ecuación de la paráo!a 2 6 7 h 3 & 5 & p 2 + 7 3 F de%arrollan

reduciendo !#r*ino% %e*e'an!e% + de%pe'ando a y, %e !iene/

6& &h6 h& & &p+ &p &p+ & 6& &h6 h& &p

1 & h h& & p + & 6 6

&p p & p

Al hacer/

1 5 A , 7 h 5 B + h & 8 & p 5 C & p p & p No% -ueda/

y A x 2 B x C

La% coordenada% de lo% !re% pun!o% dado% deben "eri(icar e%!a ecuación/

Para O / 5 C ...............................................................................................................(1) Para P / 5 A 8 B ..........................................................................................................(2) Para ? / 5 GA 8 B......................................................................................................(3)

De (2)/

B 5 7 A


GA 7 A 5 A 5 A 1




2

/2-


;u%!i!u+endo A en B/

B - 1

La ecuación %olici!ada e%/

y x 2

- x

<. %" lo% pun!o% donde la rec!a 2 y - x 4 cor!a a la paráo!a 2 y - x 2 2 .E"*8" lo% pun!o% donde la paráo!a cor!a a lo% e'e% de *88'"'&. C8!8/ lo% re%ul!ado% con%!ru+endo una 0#9%*.

SOLUCIÓ

De la% ecuacione% dada%/

& + 7 6 5 <.....................................................................................................................(1) & + 7 6 & 5 7 &.................................................................................................................(2)

Re%!ando (2) de (1)/

7 6 8 6 & 5 < 8 & 5

Rearre$lando la ecuación/

6 & 7 6 7 5

Re%ol"iendo la ecuación an!erior, %e !iene -ue la% ra=ce% %on/x 1 3 , x 2 -2

;e$>n la ecuación (1)/

6 8 <+ 5

& ;u%!i!u+endo lo% "alore% de x1 + x2, %e ob!iene/

3 4 >y 1 F y 2 1

2 2 Lo% pun!o% de inter#ecci&n de la rec!a + la paráo!a %on/




( )2,- % 2 ,!& y

??

5e8@n(2) Paray=0

2=x # tantoPor.+&0 +

=as i#ter3eccio#e3de laparábolacon el eje de lasx son

( ) ( )0,2 - 4 , 0,2

Cuandox=0, se8@n(2)

-=y tantoPor. 3&y

=a i#ter3ecci5# de la curva con el eje de lasy es el$értice


? > V ( 0 , - 1 )

Para hacer la $rá(ica 2Figura 1.3 apro6i*ada, le da*o% (or*a !ipo a la ecuación de paráo!a/

7 6 & 8 & + 8 & 5

Por !an!o/

(x )2 & 2(y 1)

?. @n arco !iene la (or*a de una paráo!a con el e'e vertica! , la a!tura de %u centro e% de 1) píes + !iene en %u a#e un claro de .) píes. 6"& %u $+ a la di%!ancia de 6 píes de un e6!re*o.

SOLUCIÓ

;e$>n el enunciado e6pre%a*o% lo% da!o% en la Figura 13.




2

/


;e$>n el enunciado+ ob%er"ando la Figura

13, %e puede decir -ue/

La ecuación de la cur"a e% de la(or*a/

6& & &p2+ 3

9 co*o 5 0 ) 21) 4, %u%!i!u+endo-ueda/

6 & 5 &p 2+ 7 13

La% coordenada% del pun!o A deben "eri(icar la ecuación.;u%!i!u+endo/

&& 5 & p 2 7 1 3

&& & p 5 7 5 7

1 La ecuación de(ini!i"a e%/

x 2 - ( y - 1 )

La% coordenada% del pun!o ? deben "eri(icarla !a*bi#n/

1 5 7 2 +' 7 1 3

7 5 +' 7 1

De%pe'ando a yH %e ob!iene la a!tura pedida, o %ea/

y' ?? 5 ? ?




De acuerdo a laFigura , sa6emos

que

M6p2=MQ 2 ()

!plicando la "órmula para la distanciade un punto a una recta dada, se tiene

;

m

6+0m+y&2

m

6+0m+y&2A

!l sustituir en () o6tenemoslaecuación de laparábola correspondiente aesta posición 8eneral

m


*. "o%ición general de la parábola + %u ecuación.

&

?

+7.*16 b1 & &p

+ *&6 b& .......................................................................... (

?? 1*1& ?

De%pu#% de e(ec!uar !oda% la% !ran%(or*acione% del ca%o, %e puede e6pre%ar e%!a

ecuación en la %i$uien!e /or$a genera! /

A x 2 B x y C y 2 x E y F

La in!er"ención del lla*ado tér$ino rectangu!ar xy, e% %=n!o*a %e$uro de -ue el e'e#i$etr9a de la paráo!a e%!á inc!ina%o con relación a lo% e'e% del %i%!e*a de coordenada%.

EJEMPLO/ 6"& la ecuación de la paráo!a -ue !iene por vértice el pun!o 5 0 12" 4, por e'ede #i$etr9a la rec!a y x 1 + -ue pa%a por el pun!o P 0 .2; 4.

SOLUCIÓ

Haciendo la $rá(ica 2Figura 17 3 %e !iene %e$>n da!o%/

La ecuación de la perpendicular al e'e de #i$etr9a -ue pa%a por el vértice, e% de la (or*a/y - y 1 ( x - x 1 ), por lo -ue para nue%!ro ca%o par!icular, !ene*o%/

+ 7 & 5 7 2 6 7 1 3 5 7 68 1

Por !an!o/

+ & 6




Bna vez que conocemos la ecuación anterior, sa6emos que

M6p2=MQ 2 ()

Pero

+0y&2 ;

+0+y&2A

5ustituimos en() estos valores

??

?

+0yp&

)+0+y(

=as coordenadas del punto7 de6everifcarla


5 & p

Por !an!o/

&p &

La ecuación e%/

2 + 7 6 7 1 3 & 5 G & ?? + 8 6 7

& 1< ? &

Haciendo operacione% para %i*pli(icar/

2 + 7 6 7 1 3 & 5 G 2 + 8 6 7 3

De%arrollando/

+ & 8 6 & 8 7 1< 6 + 7 1<+ 8 1< 6 5 G+ 8 G 6 7 &

Reduciendo !#r*ino% %e*e'an!e%/





> x 2 - 14 x y > y 2 5 x - 23 y 34

:ue e% la ecuación e6pre%ada en %u /or$a genera! .

Nombre de archivo: parabola

Directorio: C:\Geometria_analiticaPlantilla: C:\!ND"#\$pplication Data\%icro&o't\Plantilla&\Normaldot*t+lo: V$&+nto:$+tor: Pablo +ente& amo&Palabra& clave:Comentario&:echa de creaci.n: 0/002 01:12 P%Cambio n3mero: 41G+ardado el: 250402 06:0/ P%G+ardado por: Pablo +ente& amo&iempo de edici.n: 2,/ min+to&

!mpre&o el: 250402 06:04 P%7ltima impre&i.n completa N3mero de p89ina&: 2 N3mero de palabra&: ,2 (apro;) N3mero de caractere&: 1<,/4 (apro;)

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