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Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie

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5 Fourier-Reihen 5.1 Schwingungsüberlagerung

5.2 "Oberschwingungen" f0 : ……………………………………………………. (engl.: fundamental frequency) : ……………………………………………………. (engl.: first harmonic frequency)

Jede ganzzahlige (n) vielfache Frequenz von f0 nennt man die "n-fache harmonische Schwingung" Bsp.: f = 2 · f0 : …………………………………………… : ……………………………………………

Bsp.: f = 3 · f0 : ……………………………………………

: …………………………………………… u.s.w.


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5.3 Reelle Fourier-Reihen

Jean Baptist Fourier (1807): "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Über-

lagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Die Frequenzen der harmonischen Einzel-Schwingungen sind dabei ganzzahlige Vielfache der periodischen Grundfrequenz."


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5.4 Beispiel: Darstellung der Dreiecksfunktion

aus Tabellen: reelle Fourier-Koeffizienten:

für

n = ungerade für n = gerade

Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: ergibt eine Dreieckfunktion:


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x̂

5.5 Beispiel: Darstellung der Rechteckfunktion

aus Tabellen:

reelle Fourier-Koeffizienten:

für n = ungerade

für n = gerade Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: ergibt eine (miserable) Rechteckfunktion:

Überschwingen an Ecken: - genannt "Gibbs-Phänomen" - bei senkrechten Flanken: Überschwingen = konstant 9 % von - wird geringer wenn Flanken nicht senkrecht sondern flacher sind


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5.6 Darstellung von Standard-Funktionen Um eine beliebige periodische Zeitfunktion f (t) mittels Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen, ist allein die Kenntnis der 3 (reellen) Fourier-Koeffizienten a0, an und bn notwendig. Standard-Funktionen und deren reelle Fourier-Koeffizienten:


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5.7 Konvergenz Wann konvergiert eine Fouriere Reihe? D.h. wie viele Terme sind nötig, um eine f (t) mittels Fourier-Reihenüberlagerung korrekt darzustellen? - bei Dreieck-Fkt: rel. flache Flanken = relativ "langsame" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt vor allem niedrige Frequenzen - bei Recheck-Fkt: steile Flanken = "schnelle" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt viele hohe Frequenzen (benötigt viele Terme der Fourier-Reihe für eine Konvergenz Konvergenzkriterium: Typischerweise bricht man die Fourier-Reihe ab, wenn die Amplitude einer Harmonischen ………….. der Amplitude der Grundschwingung beträgt (und somit nur noch unwesentlich zur Signaldarstellung beiträgt). Für Dreiecke (schnelle Konvergenz): fmax = 5 · f0 (3 Terme: n = 1, 3, 5) Für Rechtecke (langsame Konvergenz): fmax = 20 · f0 (11 Terme: n = 1, 3, 5, … 21)


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5.8 Darstellung beliebiger Signalformen Fourier: "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Überlagerung von

harmonischen Schwingungen dargestellt werden." Beispiele:


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∫⋅=T

tfT

a0

0 dt )( 1

∫ ⋅⋅⋅⋅=T

tntfT

a0

n dt ) ( cos )( 2 ω

∫ ⋅⋅⋅⋅=T

tntfT

b0

n dt ) (sin )( 2 ω

∫ ⋅⋅⋅⋅=2

0n dt ) ( cos )( 4

T

tntfT

a ω

∫ ⋅⋅⋅⋅=2

0n dt ) (sin )( 4

T

tntfT

b ω

5.9 Bestimmung der reellen Fourier – Koeffizienten Sind die Fourier-Koeffizienten einer f (t) nicht bekannt, so können sie bestimmt werden. Allgemein gilt:

Zusätzlich gelten folgende Vereinfachungen: a) Ist f (t) eine "gerade" Funktion: dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur cos-Terme (bn = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (T/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln

b) Ist f (t) eine "ungerade" Funktion: . dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur sin-Terme (an = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (T/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln

c) Besitzt f (t) „Halbwellen-Symmetrie“: dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur ungerade harmonische Terme d.h. nur ungerade n-Terme (alle gerade n-Terme = 0)


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5.10 Das Spektrum eines Signals (auch: Frequenz-Spektrum oder Amplituden-Spektrum) Die Aufzeichnung der Amplituden ( ) aller harmonischen Schwingungen über n ,bzw. über f oder ω, nennt man das Spektrum eines Signals (oder auch ein Frequenz-Spektrum / Amplituden-Spektrum). Je geringer die Amplitude einer Harmonischen, desto weniger trägt diese Harmonische zur Signaldarstellung bei. Bsp.-1: Bsp.-2: f (t) : Rechteckimpulsfolge:

x̂


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2 )( cos

tjtj eet⋅−⋅ +

=⋅ωω

ω

jeet

tjtj

2 )( sin

⋅−⋅ −=⋅

ωωω

5.11 Komplexe Fourier-Reihen Die Darstellung von Signalen mit Hilfe von komplexen Fourier-Reihen ist schlicht eine andere Form der Signaldarstellung. a) Überführung reelle Form komplexe Form reelle Form der Fourier-Reihe: Für die Überführung in die komplexe Form wird die Euler'sche-Formel benutzt: Mit Euler'scher Formel: Substitution aller sin- und cos-Terme in der Fourier-Reihe: Nun: Klammern ausmultiplizieren:


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Nun: ordnen nach Exponenten-Ordnung: Mit den C-Koeffizienten geschrieben:

und zusammengefasst: Darstellung einer Fourier-Reihe in komplexer Form:

mit den komplexen Fourier-Koeffizienten: C0 und Cn Vorteile: - es werden nur zwei Fourier-Koeffizienten benötigt: C0 und Cn - pro Frequenzanteil ist nur eine Rechenoperation notwendig Nachteil: komplexe Fourier-Reihen benötigen zur Signaldarstellung auch das negative

Komplementär einer jeden beteiligten Frequenz.


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b) negative Frequenzen Mit der Einführung der komplexen Fourier-Reihe wird das Amplitudenspektrum formal auf negative Frequenzen ausgedehnt. c) Beispiel: für Rechteckimpulsfolge mit T/Ti = 2 komplexes Amplitudenspektrum:


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d) Umrechnungen von gegebenen reellen Koeffizienten von gegebenen komplexen Koeffizienten nach komplexe Koeffizienten: nach reelle Koeffizienten: e) Bestimmung der komplexen Fourier-Koeffizienten Sind weder die reellen, noch die komplexen Fourier-Koeffizienten bekannt, so können die komplexen Fourier-Koeffizienten folgendermaßen berechnet werden (in Analogie zur Bestimmung der reellen Fourier-Koeffizienten, siehe 5.9.) : 5.12 Darstellung aperiodischer Signale als komplexe Fourier-Reihe Die vorherigen Kapitel befassten sich ausschließlich mit der Darstellung von periodischen Signalen mittels Fourier-Reihen Überlagerung. Wie viele Frequenzanteile sind nötig, um periodische Signale darzustellen ? - theoretisch: ∞ viele Frequenzen - praktisch: Frequenzanteile begrenzt durch Konvergenzkriterium es wird zur Signaldarstellung eine diskrete Anzahl von Frequenzen benötigt diese Frequenzen waren ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f0 Lassen sich auch aperiodische Signale durch eine Fourier-Reihenüberlagerung darstellen? z.B. ein einzelner Impuls ?


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s 4 T s, 2 T 1, x̂ i ===

s 12 T s, 2 T 1, x̂ i ===

s 32 T s, 2 T 1, x̂ i ===

Beispiel: Rechteckimpulsfolge 1.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 2

2.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 6

3.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 16

Schlußfolgerung: Steigt das Verhältnis T/Ti , so werden mehr und mehr Frequenzen benötigt, um

dieses Signal durch eine Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen.


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∑∞+

∞

⋅⋅⋅=

-

tn jn e )( ωCtf

d e )(j )( lim

-

t j

∫∞+

∞

⋅

∞→⋅= ωω ωFtf

T

Im Grenzfall T ∞ (d.h. nur noch ein einzelner Impuls) geht die diskrete Anzahl notwendiger Frequenzen in eine kontinuierliche Frequenz-Verteilung (eine sog. Amplituden-Dichteverteilung) über.

1 Impuls im Zeitbereich: komplexes Amplitudenspektrum (im Frequenzbereich):

Zusammenfassung: Für periodische Signale ergab sich die Darstellung als Fourier-Reihe als eine diskrete Summe aller benötigten Frequenzanteile: Im Grenzfall T ∞ geht diese Summe in ein Integral über:

mit ∆ω dω

Man sagt: die diskrete Amplitudenverteilung Cn geht in die Amplitudendichte F (jω) über.

Für die Darstellung aperiodischer Signale werden alle Frequenzen benötigt.

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