Dvodimenzionalno (2D)

Ravansko

strujanje

Ravansko strujanje nestiljivog

fluida

Ukoliko je slika strujanja ista (ili skoro ista) u

svim ravnima koje su paralelne nekoj

osnovnoj ravni ravansko strujanje

u prirodi ne postoje ovakva strujanja

Ukoliko se za osnovnu ravninu uzme ravan

Oxy , za ravansko strujanje vrijedi

, vjvivv zyx 0

Uslov vz=0 nije dovoljan da strujanje postaneravansko, jer se fluid moe kretati u paralelnimslojevima razliitim brzinama.

Zbog toga sve veliine koje se odnose naravansko strujanje treba da budu nezavisne odpromjenjive z, tj. /z =0

Jednaina kontinuiteta je sada

a rotor brzine

y

v

x

vvdiv

yx 0

ky

v

x

vvrot x

y

)(

Gradijent bilo koje funkcije U

Strujna funkcija

Diferencijalna jednaina strujnica pri ravanskom

strujanju dx/vx=dy/vy ili

vxdy-vydx=0 (1)

jy

Ui

x

UgradU

Jednaina (1) se moe integrirati kada se lijevastrana dovede do potpunog diferencijala dneke funkcije .

Ako je jednaina (1) egzaktna, onda njena lijevastrana predstavlja potpun diferencijal; usuprotnom lijevu stranu jednaine trebapomnoiti nekim integralnim faktorom i time sedovela do potpunog diferencijala.

Kada je jednaina egzaktna vrijedi

d =vxdy-vydx

d =vxdy-vydx

S druge strane

Jednakost drugih izvoda 2 / x y i 2 / y x

funkcije moe postojati samo kada je

dy y

dxx

d

x

vy

v yx

y

v

x

v yx )(

to je upravo uslov da bi jednaina (1) bila

egzaktna

Ovaj uslov je uvijek ispunjen pri strujanjunestiljivog fluida, jer se poklapa sa jednainomkontinuiteta koja se mora zadovoljiti.

Diferencijalna jednaina strujnica se svodi nad =0, tako da se poslije integriranja dobija

(x,y,t)=C=const.

Za odreenu vrijednost konstante C ovajednaina predstavlja krivu liniju u ravni Oxy,koja se tokom vremena moe mijenjati, odnosnocilindarsku povrinu u prostoru.

y

v

x

v yx )(

Za proizvoljne vrijednosti C dobija se sistem krivih u

ravni. Ustvari je to skup strujnica, odnosno sistem

strujnih povrina. Funkcija se naziva strujna funkcija.

Za ustaljeno strujanje funkcija ne zavisi od vremena,

tako da se strujnice poklapaju sa putanjama fluidnih

djelia.

Za rot v=0, funkcija mora zadovoljiti Laplasovu

jednainu

yx

02

2

2

2

Strujna funkcija moe posluiti i za izraunavanjeprotoka kroz neku krivu AB, kao razlika strujnih funkcija

u krajnjim takama krive

Protok kroz zatvorenu krivu liniju, koja ne obuhvata

izvore ili ponore, jednak je nuli jer je A = B

dQ AB

B

A

Potencijalno strujanje

Ako ravansko strujanje ima potencijal brzine

bie

vx= / x, vy= / y

Pomou ovih jednaina moe se uspostaviti

veza izmeu strujne funkcije i funkcije

potencijala, tako da se dobija

xyyx

,Koi-Rimanove

jednaine (Cauchy-

Riemann

Koi-Rimanove jednaine pokazuju da su

strujnice ( =const.) i ekvipotencijalne linije

( =const.) meusobno ortogonalne linije u

ravni.

Svaka od funkcija i zadovoljava Laplasovu

jednainu. Ovo se moe za funkciju pokazati

primjenom jednaine kontinuiteta:

a za funkciju iz uslova da u potencijalnom

strujanju nema vrtloga, tj. iz

yxy

v

x

v yx 02

2

2

2

yxy

v

x

vxy 0

2

2

2

2

Slijedi da, ako postoji kretanje potencijala

i strujne funkcije , onda moe postojati

i kretanje potencijala - i strujne funkcije

.

Jedna od funkcija se nee primjenom Laplasove

jednaine, a druga iz Koi-Rimanovih jednaina.

Koi-Rimanove jednaine u polarnim

koordinatama

rr

vrr

vr1

,1