5-1 nacrtna geometrija za i god alb - e-ucebnicie-ucebnici.mon.gov.mk/pdf/5-1 nacrtna geometrija za...

��. �-� ��

GJEOMETRIA DESKRIPTIVE

Për vitin I të profesionit të ndërtimtarisë dhe gjeodezisë

Prof Dr. Biljana KrsteskaProf. Vesna Hristovska

Autorë:Dr. Biljana Krsteska

profesor në “Fakultetin e shkencave matematikore”, Shkup

Inxh.dipl.ark. Vesna Hristovskaprofesor në SHMNGJ të qytetit të Shkupit “Zdravko Cvetkovski”, Shkup

Recensentë:Dr. Valentina Miovska

profesor në “Fakultetin e Shkencave Matematikore”, Shkup

Inxh.dipl.ark. Ruzhica Josifovskaprofesor në SHMNGJ të qytetit të Shkupit “Zdravko Cvetkovski”, Shkup

Inxh.dipl.ark Snezhana Trajkovskaprofesor në SHMQSH “Gjorgji Dimitrov”, Shkup

Përkthyes:Inxh.dipl. imat.-inf. Pranvera Xhaferi

profesor në SHMQSH “Zef Lush Marku”, Shkup

Redaktor profesional i botimit në gjuhën shqipe:Doc. dr. Abdyl Koleci

Lektor:Abdulla Mehmeti

Përpunimi kompjuterik dhe kopertona:Stoile Davçevski

Botuesi: Ministria e arsimit dhe shkencës e Republikës së Maqedonisë

Shtypi: Grafi cki centar dooel, Shkup

Tirazhi: 250

Me vendim të Ministrisë për arsim dhe shkencë ë Republikës së Maqedonisë Nr. 22-4678/1 prej datës 27.08.2010 lejohet përdorimi i këtij teksti shkollor.

CIP - Каталогизација во публикацијаНационална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје514 . 18 (075.3)КРСТЕСКА, БилјанаНацртна геометрија за прва година на градежно-геодетска струка / Билјана Крстеска, Весна Христовска. - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 142 стр. : цртежи ; 30 смБиблиографија: стр.140ISBN 978-608-226-191-1COBISS.MK-ID 84327690

3

Parathënie

Libri GJEOMETRIA DESKRIPTIVE për vitin e parë të arsimit katërvjeçar profesional është shkruar sipas programit arsimor për lëndën e detyrueshme në fjalë për vitin e parë të arsimit katërvjeçar profesional. Para së gjithash, sipas planit arsimor i dedikohet nxënësve të profesionit të ndërtimtarisë dhe gjeodezisë në profi let arsi-more teknik arkitektonik, teknik ndërtimor dhe te-knik gjeodezik.

Autorët u përpoqën ti përpunojnë përmbajtjet e parapara në pajtim me parimet didaktike –me-todike për realizimin e mësimit. Libri përbëhet prej shtatë tërësive tematike. Në suaza të secilës temë mësimore janë të përpunuara përmbajtjet të cilat, sipas rregullës, janë të ilustruara me shembuj të zgjidhur dhe vizatime. Në fund të secilës temë mësimore janë dhënë detyra për punë të pavarur në orë ose për detyrë shtëpie, të cilat paraqesin vazhdimin e punës në orë dhe ajo paraqet shkallën më të lartë të punës së pavarur të nxënësit.

Tema e parë mësimore “Hyrje në gjeometrinë deskriptive” ka për qëllim të bëj pasqyrë të shkurtër të zhvillimit historik të lëndës, qëllimeve dhe përmbajtjeve të gjeometrisë deskriptive.

Zotërimi i materialit të ekspozuar në temën mësimore të dytë “Bazat e projektimit ortogo-nal” jep mundësi për përvetësimin e njohurive dhe aftësive në lidhje me projektimin ortogonal të fi gurave të rrafshëta dhe trupave gjeometrik në dy apo tre rrafshe.

Tema e tretë mësimore “Projeksioni i pjer-rët” është e orientuar kah aplikimi (futja) e kon-ceptit projeksion i pjerrët, si dhe kah kryerja e projeksionit të pjerrët të fi gurave të rrafshëta dhe trupave gjeometrik. Vëmendje të veçantë i ësh-të kushtuar zbatimit të projeksionit të pjerrët në ndërtimtari dhe arkitekturë.

Me zotërimin e materialit që i referohet temës së katërt mësimore “Rrafshet” nxënësi do ti përvetësoj njohurit dhe aftësitë themelore në pjesën e rrafsheve paralele apo normale me rrafshe të projeksionit.

Parathënie

4

Në temën e pestë “Transformacionet” nxënësit udhëzohen në përvetësimin e meto-dave për transformimin e fi gurave gjeometrike dhe trupave gjeometrik, si dhe të trupave nga praktika.

Zotërimi i materialit të ekspozuar në temën e gjashtë:,,Rrafshi i përgjithshëm” mundëson zgjerimin e njohurive për hapësirën dhe para-qitjen e formave më të ndërlikuara me lidhjet e tyre reciproke.

Materiali i prezantuar në temën “Projek-sioni i kuotuar” mundëson njoftimin me meto-dat e projeksionit të kuotuar, si dhe zbatimin e tij në zgjidhjen e problemeve nga ndërtimtaria dhe arkitektura.

Gjatë realizimit të programit në këtë libër mësimdhënësi lehtë mund të insistoj në punën e pavarur të nxënësve.

Mirënjohje të veçantë i detyrohemi re-censentëve të këtij libri, sugjerimet dhe vërejtjet e të cilëve kontribuuan në përmirësimin e kual-itetit të tij.

Autorët, që më parë do të jenë mirënjohës për secilën kritikë qëllimmirë, apo vërejtje për përmirësimin e përmbajtjes, pasi që besojnë se ky libër do të kontribuojë që nxënësit e profesionit të ndërtimtarisë dhe gjeodezisë të njoftohen me përmbajtjet të cilat do të jenë të dobishme në përsosjen e tyre të mëtutjeshme profesionale.

Qershor, 2010

Autorët

Parathënie

Tërësia tematike

1. HYRJE NË GJEOMETRI DESKRIPTIVE

Në këtë tërësi tematike nxënësi mund

■ të njoftohet me qëllimet dhe përmbajtjet e lëndës, zhvillimin historik dhe zbatimin në lëndët tjera mësimore.

6

TËRËSIA TEMATIKE


1.1 Hyrje në gjeometri deskriptive

Hyrje në gjeometri deskriptive

7


1.1. HYRJE NË GJEOMETRI DESKRIPTIVE

,,Vizatimi është mjet i rëndësishëm për kuptimin e teknikës. Prandaj vizatimi llogaritet si gjuhë e inxhinierëve, ndërsa gjeometria deskriptive si gramatika e saj.”

Valter Bunderlih

Gjeometria deskriptive është dega e gjeom-etrisë e cila merret me studimin e metodave me të cilat mundësohet paraqitja e objekteve nga hapësira me ndihmën e vizatimit.

Mund të thuhet se gjeometria deskriptive është e vjetër sa është e vjetër edhe gjeometria. Por hovin e vet si disiplinë e veçantë e përjetoi në shekullin e XVIII, kur shumë matematikanë dhe inxhinierë intensivisht punuan në metodat e paraqitjes së objekteve nga hapësira. Për arritjet e veta në atë drejtim posaçërisht u veçua inxhin-ieri francez Gaspar Monzh i cili llogaritet si “ba-bai i gjeometrisë deskriptive”Ai kah fundi i shek-ullit të XVIII zhvilloi teknikat e veta për zgjidhjen e problemeve gjeometrike, përderisa punonte si raportues për fortifi kimet ushtarake. Ato zbulimet më vonë i publikonte në librin e tij “Gjeometria deskriptive”. Prej atëherë e deri më sot gjeome-tria deskriptive shënon zhvillim të shpejt dhe in-tensiv, posaçërisht në fushën e zbatimit të saj.

Me çka merret gjeometria deskriptive?

Gjeometria deskriptive është disiplinë shkencore e cila merret me studimin e me-todave me të cilat objektet hapësinore para-qiten me objektet gjegjëse në rrafsh.

Në atë mënyrë, me ndihmën e metodave të gjeometrisë deskriptive zgjidhja e problemit konkret në hapësirë identifi kohet me zgjidhjen e problemit përkatës në rrafsh. Të gjitha vetitë të cilat e mundësojnë lidhjen e problemit hapësi-nor dhe atij përkatës në rrafsh e karakterizojnë përmbajtjen e gjeometrisë deskriptive.

Gaspar Monzh (1746 - 1818)


8

Prandaj, qëllimi i mësimit të teknikave të gjeometrisë deskriptive është e dyfi shtë. Nga njëra anë ajo na mëson si ta vizatojmë ndonjë objekt të cilin e shikojmë ose e paramendojmë, ndërsa nga ana tjetër na zhvillon aftësinë që në bazë të vizatimit të fi tojmë paraqitjen hapësinore për objektin e vizatuar.

Vështirësia kryesore gjatë zgjidhjeve të problemeve në gjeometrinë deskriptive rrjedh nga fakti se objektet në hapësirë, ashtu si edhe vet hapësira që na rrethon ka tre dimensione, ndërsa objektet e rrafshëta, ashti si edhe viza-timi kanë dy dimensione. Për tejkalimin e kësaj vështirësie janë futur projeksionet gjeometrike n rrafsh, të cilat në esencë janë bazë e gjeom-etrisë deskriptive.

Metodat dhe teknikat e fi tuara janë me rëndë-si të madhe në jetën e përditshme dhe në prak-tikë, posaçërisht në inxhinieri, arkitekturë, dizajn dhe në art. Për ne, me rëndësi të veçantë është zbatimi i gjeometrisë deskriptive në ndërtimtari. Prej andej edhe nevoja edhe lidhja e gjeometrisë deskriptive me lëndët mësimore të cilat studiojnë temat nga lëmit:konstruksionet ndërtimore, viza-timi teknik, projektimi dhe urbanizmi etj.

Inxhinierët kanë nevojë të veçantë nga gjeometria deskriptive. Para së gjithash, është e nevojshme të vendosen në letër të gjitha idetë për ndonjë objekt me çka do të mundësohet re-alizimi i tij i planifi kuar.

Zhvillimi i aplikacioneve të shumta softuerike mundësojnë zbatimin e shpejt dhe efi kas të gjeometrisë deskriptive në të gjitha lëmit e jetës bashkëkohore.

Pyetje dhe detyra:

1. Ceki momentet më të rëndësishme në zhvil-limin historik të gjeometrisë deskriptive.2. Ç’është objekti i studimit të gjeometrisë deskriptive?3. Në cilat lëmenj të jetës së përditshme është i potencuar zbatimi i gjeometrisë deskriptive?4. Në cilat lëndë që i mëson zbatohet gjeometria deskriptive?


Tërësia tematike

2. BAZAT E PROJEKTIMIT ORTOGONAL

Në këtë tërësi tematike nxënësi mund:

■ të njoftohet me rrafshet e projeksionit dhe projektimin ortogonal të elementeve nga hapësira,

■ të mësoj t’i caktojë koordinatat, ■ të mësoj ta dalloj paraqitjen

hapësinore dhe ortogonale të elementeve mbi rrafshet e projeksionit,

■ ta mësoj projeksionin ortogonal të pikës dhe pikës në pozitë të veçantë,

■ ta mësoj projeksionin ortogonal të drejtëzës dhe segmentit,

■ ta mësojë projeksionin ortogonal të segmentit në pozitë të veçantë,

■ të mësoj t’i përcaktoj depërtimet e drejtëzës,

■ të mësoj ta përcaktoj madhësinë e vërtetë dhe këndet e pjerrësisë të segmentit,

■ të mësoj t’i vizatoj fi gurat gjeometrike në tre projeksione,

■ të përpunoj në mënyrë të pavarur modele të rrafsheve të projeksionit,

■ në mënyrë të pavarur të përpunojë modele të trupave të përbërë dhe ato gjeometrik.

10


TËRËSIA TEMATIKE2. BAZAT E PROJEKTIMIT ORTOGONAL

2.1. Paraqitja hapësinore dhe ortogonale e objekteve2.2. Projektimi dhe llojet e projeksioneve2.3. Projektimi ortogonal i pikës2.4. Projektimi ortogonal i pikës në pozitë të veçantë2.5. Kuadrantet. Koordinatat e pikave2.6. Projektimi ortogonal i segmentit2.7. Projektimi ortogonal i segmentit në pozitë të

veçantë2.8. Madhësia e vërtetë e segmentit dhe këndeve e

pjerrësisë2.9. Projektimi ortogonal i drejtëzës2.10. Depërtimet e drejtëzës dhe këndet e pjerrësisë2.11. Rrafshi i tretë i projeksionit. Projektimi ortogonal i

pikës.2.12. Projektimi ortogonal i fi gurave gjeometrike2.13. Projektimi ortogonal i trupave gjeometrik

11


2. BAZAT E PROJEKTIMIT ORTOGONAL

2.1. PARAQITJA HAPËSINORE DHE ORTOGONALE E OBJEKTEVE

Siç thamë edhe më herët njëra nga vësh-tirësitë e cila paraqitet në gjeometrinë deskrip-tive është fakti se objektet në hapësirë kanë tre dimensione: gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë, ndërsa fl eta në të cilën vizatojmë ka vetëm dy di-mensione. Prandaj është e nevojshme që objek-tet në fl etë të jenë të vizatuara në atë mënyrë që nga vizatimi të fi tohet paraqitja e drejtë e formës, dimensioneve dhe pozitës së objektit në hapë-sirë. Në gjeometrinë deskriptive ekzistojnë dy mënyra për paraqitjen e objekteve në fl etën për vizatim:

■ paraqitja hapësinore, dhe ■ paraqitja ortogonale e objekteve.Cilën mënyrë do ta zgjedhim varet nga ajo se

çfarë dëshirojmë të kuptojmë nga vizatimi. Athua nga vizatimi dëshirojmë ta vështrojmë objektin, formën dhe pozitën e tij në hapësirë apo ta sho-him madhësinë e tij të vërtetë.

Paraqitja hapësinore e objekteveParaqitja hapësinore e objekteve krijon para-

qitjen më të mirë për objektin që është paraqitur. Nga vizatimi drejtpërdrejt i vërejmë të tre dimen-sionet dhe pozitën e objektit të paraqitur. Por kjo mënyrë e paraqitjes së objekteve ka mangësinë e vet. Gjegjësisht, nga vizatimi nuk mundemi ta vërejmë madhësinë e vërtetë dhe formën e ob-jektit. Kjo është pasojë para së gjithash e faktit se kjo mënyrë e paraqitjes nuk i ruan këndet te objekti (për shembull, këndi i drejtë paraqitet si i ngushtë apo i gjerë)

Në vizatimin 2.1 në mënyrë hapësinore është paraqitur objekti. Nga vizatimi qartë shihen të tre dimensionet e objektit si dhe faqet anësore të tij. Por faqet anësore të objektit janë drejtkëndësha, të cilat këtu nuk janë të vizatuar si drejtkëndësha. Kjo rrjedh nga fakti se këndet mes teheve anë-sore janë kënde të drejtë, por në vizatim nuk janë të drejtë.

Vizatimi 2.1

12


Projeksioni ortogonal i objekteveMe qëllim që ti evitojmë mangësitë e para-

qitjes hapësinore, objektet mund ti paraqesim edhe në mënyrë tjetër.

Me paraqitjen ortogonale objektet paraqiten me vizatime për sipërfaqen anësore. Për këtë ar-sye objektin e vërejmë sipas drejtimeve të ndry-shme të cilat janë normale në sipërfaqen anë-sore. Më së shpeshti këtë e bëjmë nga lartë, nga përpara dhe nga anash. Për secilin drejtim fi tojmë vizatim të veçantë.

Në vizatimin 2.2 është treguar paraqitja or-togonale e objektit, në rast kur objektin e shiko-jmë normal në faqet e tij anësore, nga lartë, nga para dhe anash.

Kur objektin e shikojmë nga lartë (pamja I) faqet anësore S3 dhe S6 do të paraqiten në mad-hësi të vërtetë. Vëre pozitën e kulmit A. Ku gjen-det kulmi A në vizatim? Nga tre dimensionet e ob-jektit në madhësi të vërtetë do të shihen gjatësia (a) dhe gjerësia (b). Në këtë rast mungon infor-mata për madhësinë e lartësisë (c).

Kur objektin e shikojmë nga përpara (pam-ja II) faqet anësore S1 dhe S4 do të tregohen në madhësi të vërtetë. Ku gjendet kulmi A në viza-tim? Nga tre dimensionet e objektit në madhësi të vërtetë do te shihen gjatësia (a) dhe lartësia (c). Mungon informata për madhësinë e gjerësisë (b).

Kur objektin e shikojmë nga anash (pamja III) faqet anësore S2 dhe S5 do të paraqiten në madhësi të vërtetë. Ku gjendet kulmi A në viza-tim? Nga tre dimensionet e objektit në madhësi të vërtetë do te shihen gjerësia (b) dhe lartësia (c). Në këtë rast mungon informata për madhësinë e gjatësisë (a).

Që të mos i vizatojmë të tre pamjet e objektit kudo qoftë në fl etë ato i organizojmë si në viza-timin 2.3. Gjegjësisht, së pari e vizatojmë pamjen nga lartë (pamja I), mbi të me gjatësi të njëjtë (a) e vizatojmë pamjen nga përpara (pamja II), ndër-sa majtas nga ajo me lartësi të njëjtë (c) e vizato-jmë pamjen nga anash. Më tutje në këtë mënyrë do ti vizatojmë të gjitha objektet, ndërsa paraqitja hapësinore e objekteve do të jetë vetëm metoda ndihmëse për paraqitjen e tyre.

nga lartë

nga lartë (III)

nga përpara (II)

nga anash (I)

nga përpara

nga anash

Vizatimi 2.2

Vizatimi 2.3

13


Pyetje dhe detyra:

1. Në sa mënyra mund t’i paraqesim objektet në fl etën vizatuese?2. Numëro mangësitë e paraqitjes hapësinore të objekteve.3. Vizato bazën e klasës tënde, e pastaj vizato inventarin në bazë dhe futi dimensionet e bazës.4. Për objektin e vizatuar në pamjen hapësinore në vizatimin 2.4. vizato pamjet e tij nga lartë, nga përpara dhe nga anash, e pastaj në secilën prej atyre pamjeve cakto pozitën e pikës B.

2.2 PROJEKTIMI DHE LLOJET E PROJEKSIONEVE

Siç përmendëm më parë, baza teorike e gjeometrisë deskriptive dhe zbatimet e saj janë projeksionet. Në vazhdim do ti shqyrtojmë disa lloje të projeksioneve.

Projektimi qendrorNë vizatimin 2.5 është paraqitur burimi i dritës

S dhe rrafshi . Nga burimi i dritës, rrezet e dritës shpërndahen në të gjitha anët dhe e ndriçojnë rrafshin . Nëse ndërmjet burimit të dritës S dhe rrafshit paramendojmë pikën material T e cila është e jotejdukshme, ajo do ta ndaloj atë rreze të dritës e cila bie mbi të. Atëherë në rrafsh do të paraqitet pika e errët TC e cila faktikisht është hija e rënë nga pika T. Pika TC është ajo pikë në të cilën rrezja ST e ndaluar me pikën T do ta kishte depërtuar rrafshin nëse do ta kishim vazhduar deri te rrafshi.

Nëse ndërmjet burimit të dritës dhe rrafshit vendosim trekëndësh nga kartoni i jotejdukshëm, ai do ti ndaloj të gjitha rrezet të cilat bien mbi të. Atëherë në rrafshin do ta paraqitet trekëndëshi i errët ACBCCC i cili është hija e rënë nga ai trekëndësh. Pikat AC, BC dhe CC janë ato pika në të cilat rrezet SA, SB dhe SC të ndaluar me pikat A, B dhe C do ta kishin depërtuar rrafshin nëse do të ishin vazhduar deri te rrafshi.

Vizatimi 2.5

Vizatimi 2.4

14


Ta shqyrtojmë aspektin gjeometrik të ecurisë për fi timin e hijes së rënë në pikën T dhe trekëndëshin ABC.

Pikën e palëvizshme S e lidhëm më pikën T nga drejtëza ST dhe me këtë e depërtu-am rrafshin në pikën TC. Po ashtu, pikën e palëvizshme S e lidhëm me pikat A, B dhe C nga drejtëzat SA, SB dhe SC dhe me to e depërtuam rrafshin në pikat AC, BC dhe CC, me çka fi tuam kulmet e trekëndëshit ACBCCC.

Nëse pikën e palëvizshme S e lidhim me pikën T dhe e përcaktojmë depërtimin e drejtëzës së fi tuar me rrafshin e dhënë atëherë themi se pikën T e kemi projektuar nga pika S në rrafshin . Pika S quhet qendra e projektimit, drejtëza ST quhet drejtimi projektues, pika TC quhet projeksioni qendror i pikës T, ndërsa rrafshi quhet rrafshi i projeksionit qendror. Në të kuptim trekëndëshi ACBCCC është projeksioni qendror i trekëndëshit ABC nga pika S në rraf-shin ndërsa drejtëzat SA, SB dhe SC quhen drejtimet projektuese.

Mënyra e këtillë e përcaktimit të pasqyrës së një objekti quhet projektimi qendror, pasi që të gjitha pikat e objektit projektohen nga pika, e quajtur qendër, mbi ndonjë rrafsh .

Projektimi ortogonal Në vizatimin 2.6 është paraqitur rrafshi

mbi të cilin bien rrezet e diellit s nën këndin e drejtë. Për shkak të largësisë së madhe prej nga vijnë rrezet e diellit, mund të llogarisim se ato ndërmjet vete janë paralele. Nëse ndërmjet Diellit dhe rrafshit vendosim pikën materiale T dhe trekëndëshin të jotejdukshëm ABC, ato do të hedhin hije mbi rrafshin që do të jenë pika T’ dhe trekëndëshi A’B’C’.

Ta shqyrtojmë aspektin gjeometrik të ecur-isë për fi timin e hijes së hedhur në pikën T dhe në trekëndëshin ABC.

Nëpër pikën T lëshuam normalen në rraf-shin dhe e gjetëm rënzën e saj T’. Po ashtu, nëpër secilin kulm të trekëndëshit ABC lëshuam normale në rrafshin dhe i gjetëm rënëzat e tyre A’, B’, dhe C’, me çka fi tuam kulmet e trekëndës-hit A’B’C’.

Vizatimi 2.6

15


Nëse nga pika T lëshojmë normalen në rraf-shin e pastaj e caktojmë rënzën e saj T’, atëherë themi se pikën T e kemi projektuar në mënyrë ortogonale (normale) në rrafshin Drejtëza TT’ quhet drejtimi i projektimit ortogonal, ndërsa rrafshi quhet rrafshi i projektimit ortogonal. Në këtë kuptim trekëndëshi A’B’C’ është pro-jeksioni ortogonal i trekëndëshit ABC në rraf-shin

Mënyra e këtillë e përcaktimit të pasqyrës së një objekti quhet projektimi ortogonal, pasi që të gjitha pikat e objektit projektohen në mënyrë ortogonale mbi ndonjë rrafsh .

Projektimi i pjerrëtNë vizatimin 2.7 është paraqitur rrafshi

mbi të cilin bien rrezet e diellit s të cilat me rraf-shin formojnë këndin . Nëse përsëri ndërmjet Diellit dhe rrafshit vendosim pikën materiale T dhe trekëndësh të patejdukshëm ABC, ato do të hedhin hije mbi rrafshin që do të jenë pikat T dhe ABC.

Ta shqyrtojmë aspektin gjeometrik të ecur-isë për fi timin e hijes së hedhur në pikën T dhe trekëndëshin ABC.

Nëpër pikën T tërhoqëm drejtëz paralele me drejtimin projektues s dhe e gjetëm depërtimin e saj me rrafshin . Po ashtu, nëpër secilin kulm të trekëndëshit ABC tërhoqëm drejtëza paralele me drejtimin projektues s dhe gjetëm depër-timet e tyre A, B dhe C në rrafshin me çka fi tuam kulmet e trekëndëshit ABC.

Nëse nga pika T tërheqim drejtëz paralele me drejtimi projektues s dhe e gjejmë depërtimin e saj T me rrafshin atëherë themi se pikën T e kemi projektuar pjerrtas në rrafshin . Drejtë-za TT quhet drejtimi i projektimit të pjerrët, ndërsa rrafshi quhet rrafshi i projektimit të pjerrët. Në këtë kuptim trekëndëshi ABC ësh-të projeksioni i pjerrët i trekëndëshit ABC në rrafshin

Mënyra e këtillë e përcaktimit të pasqyrës së një objekti quhet projektimi i pjerrët, pasi që të gjitha pikat e objektit projektohen pjerrtas mbi ndonjë rrafsh .

Vizatimi 2.7

16


Në fund, të vërejmë se projektimi ortogonal dhe ai i pjerrët kanë veti të përbashkët, e ajo është se drejtimet projektuese janë paralele, për dallim nga projektimi qendror ku drejtimet pro-jektuese kalojnë nëpër një pikë. Prandaj projek-timi ortogonal dhe ai i pjerrët shpesh emërtohen si projektimet paralele.

Pyetje dhe detyra:

1. Cilat lloje të projektimeve i shqyrtuam?2. Sqaro ecurinë me të cilën fi tohet projeksioni i pikës së dhënë me:a) projektim qendror,b) projektim ortogonal,c) projektim të pjerrët.3. Paramendo se tavolina jote e punës është rrafshi i projektimit. Bëj model të drejtkëndëshit nga kartoni dhe vendose mbi tavolinën punuese. Sqaro çka do të jetë projeksioni i tij me projek-tim qendror me qendër në llambën elektrike të hapësirës në të cilën gjendet.4. Përpuno model të katrorit nga kartoni dhe vendose mbi tavolinën punuese. Sqaro çka do të jetë: a) projeksioni i tij ortogonal,b) projeksioni i tij i pjerrët.

2.3. PROJEKTIMI ORTOGONAL I PIKËS

Njëra nga metodat më të rëndësishme të gjeometrisë deskriptive është projektimi ortogo-nal i dy rrafsheve.

Le të jenë dhënë rrafshi horizontal 1 dhe pika A, e cila nuk shtrihet në të (vizatimi 2.8). Siç thamë më parë, pika A’ në të cilën normalja e tërhequr nga pika A e depërton rrafshin ësh-të projeksion ortogonal i pikës A mbi rrafshin 1. Pasi që nga pika A mund të lëshojmë normale të vetme në rrafshin 1 përfundojmë se secila pikë nga hapësira ka projeksion të vetëm ortog-onal në rrafshin 1.

Parashtrohet pyetja, më dhënien e pro-jeksionit ortogonal A’ të pikës A në rrafshin 1

Vizatimi 2.8

17


a është plotësisht e përcaktuar pozita e saj në hapësirë?

Përgjigja në këtë pyetje është negative, gjegjësisht nga projeksioni ortogonal A’ i pikës A mund të përfundojmë vetëm se ajo pikë shtrihet në normalen e ngritur nga pika A’, por nuk dimë se sa ajo pikë është e larguar nga rrafshi 1. Të gjitha pikat e asaj normales për projeksion or-togonal kanë pikën A.

Që ta përcaktojmë pozitën e pikës A në hapësirë fusim rrafshin vertikal 2, normal në rrafshin e dhënë 1. Pika A” është projeksion ortogonal i pikës A në rrafshin 2 (vizatimi 2.9).

Projeksioni ortogonal A’ i pikës A në rrafshin 1 quhet projeksioni i parë i pikës A, ndërsa projeksioni ortogonal A” i pikës A në rrafshin 2 quhet projeksioni i dytë i pikës A. Rrafshi hori-zontal 1 quhet rrafshi i parë i projeksionit, ndërsa rrafshi vertikal 2 quhet rrafshi i dytë i projeksionit. Drejtëza në të cilën priten rraf-shet e projeksionit quhet boshti-x.

Nëse nëpër drejtëzat AA’ dhe AA” vendosim rrafsh atëherë është e qartë se ai rrafsh do të jetë normal në rrafshe 1 dhe 2, po ashtu edhe në boshtin-x. Rrafshi i tillë, do ta pres rrafshin 1 në drejtëzën A’Ax, ndërsa rrafshin 2 në drejtëzën A”Ax. Katërkëndëshi AA’ AXA” është drejtëkëndësh, prandaj xA''A'AA � dhe

.A'A''AA x� Kjo do të thotë se largesa nga pika A deri te rrafshi horizontal 1 është e barabartë me largesën nga projeksioni i dytë i saj A” deri te boshti-x, ndërsa largesa nga pika A deri te rrafshi vertikal 2 është e barabartë me largesën nga projeksioni i parë i saj A’ deri te boshti-x.

Le të jetë dhënë së bashku me projeksionin e parë A’ të pikës A edhe projeksioni i dytë i saj A”. Që ta caktojmë pozitën e pikës A në hapë-sirë nga pika A’ ngrehim normalen në rrafshin 1, e pastaj nga pika A” ngrehim normale në 2. Atëherë pika A është në pikëprerjen e atyre nor-maleve. Prandaj pozita e një pike në hapësirë është plotësisht e përcaktuar me projeksionin e dytë të saj dhe projeksionin e parë të saj.

Në vizatimin 2.9 është paraqitur vendosja e rrafsheve 1 dhe 2 në hapësirë dhe projeksio-net A’ dhe A”. Parashtrohet pyetja: projeksionet

Vizatimi 2.9

18


dhe dy rrafshet si ti vizatojmë në rrafsh të njëjtë-në rrafshin e fl etës për vizatim. Këtë e arrijmë në atë mënyrë që rrafshin 1 e rrotullojmë rreth boshtit-x teposhtë për 90o ashtu që të përputhet më rrafshin 2 (vizatimi 2.10).

Pastaj rrafshet e përputhura në atë mënyrë i paramendojmë si fl etë për vizatim dhe fi tojmë vizatimin 2.11. Rrotullimin e këtillë të rrafshit deri te përputhja e dy rrafsheve do ta quajmë zbërthimi i rrafsheve të projeksionit.

Projeksioni i parë A’ dhe i dytë A” i pikës A në rrafshet e këtilla të zbërthyera quhen projek-sionet shoqëruese të pikës A. Segmentet A’Ax dhe A”Ax janë normale në boshtin-x, prandaj drejtëza A”A”, e quajtur ordinalja, është normal në boshtin-x.

Siç është me rëndësi të dijmë se si mund të vijmë deri te projeksionet shoqëruese të një pike në hapësirë, po ashtu me rëndësi është edhe të dimë si mund ta përcaktojmë pozitën e një pike në hapësirë nëse i dimë projeksionet e saja shoqëruese (vizatimi 2.11).

Nga pika A” ngrehim normale në rrafshin e vizatimit, e pastaj nga pika A” në normale bartim gjatësinë AxA’, pasi që 'AAA"A x� fi tojmë poz-itën e pikës A në hapësirë. Kështu:

Pozita e një pike në hapësirë është plotë-sisht e përcaktuar me projeksionet e saja shoqëruese.

Pyetje dhe detyra:

1. Emërto rrafshin e parë dhe të dytë të projek-sionit.2. Çka janë projeksionet shoqëruese të pikës?3. Sqaro pse pozita e një pike në të dhënë. 4. Përpuno një model të rrafsheve të projeksionit në mënyrë vijuese. Në karton të trashë vizato drejtkëndësh me gjatësi 26cm dhe gjerësi 15cm, e pastaj në mes vizato boshtin-x (vizatimi 2.12). Preje drejtkëndëshin, pastaj thyeje gjysmën e sipërme të tij nëpër boshtin-x ashtu që të

Vizatimi 2.11

Vizatimi 2.10

19


formoj kënd të drejtë me gjysmën e poshtme (vizatimi 2.13). Nëse tani pjesën e poshtme 1 e vendosish në rrafshin horizontal, pjesa e sipërme do të jetë në rrafshin vertikal.5. Shfrytëzo modelin e detyrës 3. Merr një topth prej tape dhe nëpër të kalo një gjilpërë. a) Gjilpërën ngule në mënyrë ortogonale në rrafshin horizontal. Nëse topthin e paramendoje si pikë në hapësirë, cilin projeksion të saj fi tove?b) Gjilpërën ngule në mënyrë ortogonale në rrafshin vertikal. Nëse topthin e paramendoje si pikë në hapësirë, cilin projeksion të saj fi tove?

2.4. PROJEKTIMI ORTOGONAL I PIKËS NË POZITË TË VEÇANTË

Pika të cilën duhet ta projektojmë në rast të veçantë mund të shtrihet në rrafshin horizontal apo në atë vertikal, ose në vet boshtin-x.Në vazhdim do ti shqyrtojmë raste të për-mendura.

Të paramendojmë se pikën e dhënë A e lëshojmë nëpër drejtëzën e parë projektuese AA’ kah rrafshi horizontal 1. Atëherë projeksioni i saj i dytë A” lëshohet kah boshti-x. Në momentin kur pika do të bie në rrafsh, projeksioni i saj i dytë do të bie në boshtin-x (vizatimi 2.14)

Nëse pika shtrihet në rrafshin e parë projektues 1, atëherë projeksioni i saj i parë është në pikën e njëjtë, ndërsa projeksioni i saj i dytë shtrihet në boshtin-x.

Nëse pikën e dhënë B e lëshojmë sipas drejtëzës së dytë projektuese BB” kah rrafshi vertikal 2 (vizatimi 2.14), atëherë projeksioni i saj i parë B’ lëshohet kah boshti-x. Në momen-tin kur pika bie në rrafsh, projeksioni i saj i parë do të bie në boshtin-x. Kështu:

Nëse pika shtrihet në rrafshin e dytë të projeksionit π2, atëherë projeksioni i saj i dytë është në pikën e njëjtë, ndërsa projek-sioni i saj i parë shtrihet në boshtin-x.

Vizatimi 2.12

Vizatimi 2.13

Vizatimi 2.14

20


Nëse pika C shtrihet në boshtin-x, atëherë projeksionet e saja shoqëruese do të puthiten me vet pikën, gjegjësisht

Nëse pika shtrihet në boshtin-x, atëherë projeksionet e saj shoqëruese shtrihen në boshtin-x.

Në vizatim 2.15 janë të paraqitur pika A e cila shtrihet në rrafshin horizontal 1, pika B e cila shtrihet në rrafshin vertikal 2 dhe pika C e cila shtrihet në boshtin-x.

Pyetje dhe detyra:

1. Shfrytëzo modelin nga detyra 4 dhe detyra 5, nga kapitulli 2.3.a) Topthin prej tape ngule në rrafshin horizontal. Nëse topthin e paramendojmë si pikë në hapë-sirë, përcakto projeksionet e saj në raport me rrafshet e projeksionit.b) Topthin prej tape ngule në rrafshin vertikal. Nëse topthin e paramendojmë si pikë në hapë-sirë, përcakto projeksionet e saj në raport me rrafshet e projeksionit.c) Topthin prej tape ngule në boshtin-x. Nëse topthin e paramendojmë si pikë në hapësirë, përcakto projeksionet e saj ortogonale.2. Numëro karakteristikat themelore të projek-sioneve shoqëruese të pikës e cila shtriheta) në 1, b) në 2, c) në boshtin-x.

Vizatimi 2.15

21


2.5. KUADRANTET. KOORDINATET E PIKAVE

Rrafshi vertikal dhe horizontal i projeksionit e ndajnë hapësirën në katër kuadrante: kuadranti i parë (I),, kuadranti i dytë (II), kuadranti i tretë (III) dhe kuadranti i katërt (IV) (vizatimi 2.16).

Nga vizatimi vërejmë se pika A është në kuad-rantin I dhe gjendet mbi 1 dhe para 2, pika B është në kuadrantin II dhe gjendet mbi 1 dhe prapa 2, pika C është në kuadrantin e III dhe gjendet nën 1 dhe prapa 2, ndërsa pika D është në kuadrantin e IV dhe gjendet nën 1 dhe para 2. Në vizatim 2.17 janë dhënë projeksionet e tyre shoqëruese.

Nëse i zbërthejmë rrafshet e projeksionit do ta fi tojmë vizatimin 2.17 në të cilin janë para-qitur projeksionet shoqëruese të secilës pikë nga paraqitja hapësinore në vizatimin 2.16, prej ku drejtpërdrejt përfundojmë se:

• Nëse pika është në kuadrantin e parë, atëherë projeksioni i saj i parë është nën boshtin-x, ndërsa projeksioni i saj i dytë është mbi boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e dytë, atëherë projeksioni i saj i parë dhe projeksio-ni i saj i dytë janë mbi boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e tretë, atëherë projeksioni i saj i parë është mbi boshtin-x, ndërsa projeksioni i saj i dytë është nën boshtin-x.

• Nëse pika është në kuadrantin e katërt, atëherë projeksioni i saj i parë dhe projeksio-ni i saj i dytë janë nën boshtin-x.

Në vizatimin 2.17 distanca OAx është 0,5cm, distanca AxA’ është 1,5cm, distanca AxA” është 2cm. Me këto tre numra plotësisht është e për-caktuar pozita e projeksioneve shoqëruese të pikës A, ndërsa nëpërmjet tyre edhe pozita e pikës A në hapësirë.

Pika O është cilado pikë e zgjedhur në bosh-tin-x, e quajtur fi llim koordinativ; distanca OAx quhet abshisa e pikës A, AxA’ quhet ordinata e pikës A, ndërsa distanca AxA” quhet aplikata e pikës A. Këto numra me emër të përbashkët

Vizatimi 2.17

Vizatimi 2.16

22


quhen koordinatat e pikës A në sistemin koor-dinativ kënddrejtë hapësinor Oxyz dhe shkruajmë A(0,5;2;1,5).

Nëse pika Ax është në anën e djathtë të pikës O marrim për abshisë të saj të jetë numri pozitiv, ndërsa nëse është në anën e majtë mar-rim për abshisë të saj të jetë numri negativ.

Nëse projeksioni i parë i pikës është nën boshtin-x marrim ordinata e saj të jetë numër pozitiv, ndërsa nëse është mbi boshtin-x marri or-dinata e saj të jetë numër negativ.

Nëse projeksioni i dytë i pikës është mbi boshtin-x marrim aplikata e saj të jetë numër poz-itiv, ndërsa nëse është nën boshtin-x marrim ap-likata e saj të jetë numër negativ.

Sipas kësaj marrëveshje për pikat në viza-timin 2.17 kemi:

A(0,5;2;1,5),B(2,5;-2,5;1), C(3;-1,5;-2) dhe D(1,5;1;-2,5).

Pyetje dhe detyra:

1. Ku shtrihen në hapësirë pikat për të cilat x=4?2. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të pikave të cilat janë në largesë të njëjtë (për shembull 2cm) nga dy rrafshe të projeksionit. Sa pika të këtillë ka? Në cilin kuadrant gjendet secila prej tyre?3. Vizato projeksionet shoqëruese të pikës A e cila ka abshisë 3cm dhe është e larguar 2 cm nga 1, ndërsa 4cm nga 2.4. Vizato projeksionet shoqëruese të pikave vijuese: A(2;1;5), B(3,5;2;4), C(–3;2;3), D(0;6;1), E(5,5;3;0), F(7;0;3), G(–1;2;0), H(–4;0;6), I(8;0;0), J(0;0;3), K(0;9;0), O(0;0;0).a) Cilat pika janë njëlloj të larguara nga 1, e cilat nga 2?b) Cilat pika shtrihen në 1, cilat në 2, e cilat në boshtin-x?5. Vizato projeksionet shoqëruese të pikave të dhënë dhe për secilën prej tyre cakto në cilin kuadrant gjendet:а) A(1;3;3); b) B(3,5;2;4); c) C(3;–2,5;–2,5); d) D(4;3;–3).

23


2.6. PROJEKTIMI ORTOGONAL I SEGMENTIT

Në vizatimin 2.18 është dhënë segmenti AB i cili është në pozitë të përgjithshme ndaj rrafsheve të projeksionit.

Projeksionet shoqëruese të segmentit AB i përcaktojmë në atë mënyrë që i përcaktojmë pro-jeksionet e para A’ dhe B’, e pastaj projeksionet e dyta A” dhe B”, të pikave të skajshme A dhe B. Me lidhjen e tyre fi tojmë projeksionin e parë A’B’ dhe projeksionin e dytë A”B” të segmentit AB. Prandaj:

Projeksionet shoqëruese të segmentit në pozitë të përgjithshme ndaj rrafsheve të pro-jeksionit janë segmente.

Gjatë zbërthimit të rrafsheve të projeksionit, i fi tojmë projeksionet shoqëruese (vizatimi 2.19). Që të dy projeksionet shoqëruese në këtë rast janë me madhësi më të vogël se segmenti AB, dhe nuk janë paralele me të.

Nëse pika C është pika e mesme e segmentit AB, atëherë projeksioni i saj i parë C’ është pika e mesme e projeksionit të parë të A’B’, ndërsa projeksioni i dytë C” është pika e mesme e pro-jeksionit të dytë A”B”. Prandaj:

Pika e mesme e segmentit projektohet në pikën e mesme të projeksioneve shoqëruese të segmentit.

Në vizatimin 2.19 janë vizatuar projeksio-net shoqëruese të segmentit AB, pikat e ska-jshme të të cilit kanë koordinata A(0,5;2;1,5) dhe B(3;2,5;2,2), që shkurtimisht shënohet me:

AB[A(0,5;2;1,5),B(3;2,5;2,2)].

Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqesin projeksionet shoqëruese të segmentit?2. Në çka projektohet pika e mesme e segmentit?3. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentit AB, i dhënë me AB[A(1;2,5;3,5),B(4;1,5;4)].Pastaj cakto projeksionet shoqëruese të pikës së mesme C të segmentit AB.

Vizatimi 2.19

Vizatimi 2.18

24


2.7. PROJEKTIMI ORTOGONAL I SEGMENTIT NË POZITË TË VEÇANTË

Në vazhdim do të shqyrtojmë disa pozita të veçanta të segmentit në lidhje me rrafshe të pro-jeksionit.

Segmenti AB në vizatim 2.20 është paralel me rrafshe të projeksionit 1 dhe 2. Atëherë pro-jeksionet e tij shoqëruese janë paralele me bosh-tin-x, i cili paraqet drejtëzën prerëse të rrafsheve.

Nga drejtkëndëshi ABB’A’ kemi se projeksioni i parë A’B’ i segmentit AB është paralel dhe i bara-bartë me të. Ngjashëm, nga drejtkëndëshi ABB”A” përfundojmë se projeksioni i dytë’ A”B” i segmentit AB është paralel dhe ka gjatësi të barabartë me gjatësinë e tij. Kështu:

Nëse segmenti është paralel me rrafshet e projeksionit, atëherë projeksionet e tij janë paralele me boshtin-x dhe kanë gjatësitë të barabartë me gjatësinë e segmentit.

Në vizatimin 2.21 janë vizatuar projeksionet e segmentit AB i cili është paralel me rrafshet e projeksionit, ka gjatësi 2,5cm, është i larguar 2cm nga 1, ndërsa 1,5cm nga 2.

Segmenti AB në vizatimin 2.22 është normal në rrafshin e projeksionit 1. Në atë rast projeksio-net shoqëruese A’ dhe B’ të pikave të skajshme A dhe B puthiten. Nga këtu rrjedh se edhe projek-sionet shoqëruese të pikave të tjera të segmentit puthiten, prandaj projeksioni i parë i segmentit AB është pika A’=B’.

Të vërejmë se segmenti AB është paralel me rrafshin e projeksionit 2. Nga drejtkëndëshi ABB”A” përfundojmë se A’’B’’ = AB, prandaj projeksioni i dytë A”B” i segmentit AB është normal në boshtin-x me gjatësi të barabartë me gjatësinë e tij. Kështu:

Nëse segmenti është normal në rrafshin e projeksionit 1, atëherë projeksioni i tij i parë është pikë, ndërsa projeksioni i tij i dytë ësh-të segment normal në boshtin-x m gjatësi të barabartë më gjatësinë e segmentit.

Segmenti CD në vizatimin 2.22 është nor-mal në rrafshin e projeksionit 2. Projeksionet e shoqëruara C” dhe D” të pikave të skajshme C

Vizatimi 2.20

Vizatimi 2.22

Vizatimi 2.21

25


dhe D puthiten. Prej këtu rrjedh se projeksio-net e shoqëruara të pikave të tjera të segmentit puthiten, prandaj projeksioni i dytë i segmentit CD është pika C”=D”, ndërsa projeksioni i parë C’D’ është segment normal në boshtin-x me gjatësi të barabartë me gjatësinë e segmentin CD.

Të vërejmë se segmenti është paralel me rraf-shin e projeksionit 1. Nga drejtkëndëshi CDD’C’ përfundojmë se projeksioni i parë C’D’ i segmentit CD është normal në boshtin-x me gjatësi të bara-bartë me gjatësinë e tij. Sipas kësaj:

Nëse segmenti është normal në rrafshin e projeksionit 2, atëherë projeksioni i tij i dytë është pika, ndërsa projeksioni i parë është segment normal në boshtin-x me gjatësi të barabartë me gjatësinë e segmentit.

Në vizatimin 2.23 janë vizatuar projeksionet shoqëruese të segmentit AB normal në 1, me gjatësi 1,5cm, të larguar 0,5cm nga 1 dhe 2cm nga 2, si dhe projeksionet shoqëruese të seg-mentit CD normal në 2, me gjatësi 1,5cm, të lar-guar 2cm nga 1 dhe 0,5cm nga 2.

• Segmenti AB në vizatimin 2.24 shtrihet në rrafshin e projeksionit 1. Projeksioni i tij i parë A’B’ puthitet me vet segmentin, ndërsa projeksioni i tij i dytë A”B” është në boshtin-x. (vizatimi 2.25).

Segmenti CD në vizatimin 2.24 shtrihet në rrafshin e projeksionit 2. Projeksioni i tij i parë C’D’ është në boshtin x, ndërsa projeksioni i tij i dytë C”D” puthitet me vet segmentin (vizatimi 2.25). Kështu:

Nëse segmenti shtrihet në rrafshin e pro-jeksionit 1, atëherë projeksioni i tij i parë ësh-të vet segmenti, ndërsa projeksioni i tij i dytë është në boshtin-x.

Nëse segmenti shtrihet në rrafshin e pro-jeksionit 2, atëherë projeksioni i tij i parë ësh-të në boshtin-x, ndërsa projeksioni i tij i dytë është vet segmenti.

Segmenti AB në vizatimin 2.26 është paralel me rrafshin e projeksionit 1 dhe është në pozitë të përgjithshme në lidhje me rrafshin e projeksionit 2.Vizatimi 2.25

Vizatimi 2.24

Vizatimi 2.23

26


Nga drejtkëndëshi ABB’A’ vlen se projeksioni i parë A’B’ është segment paralel dhe i barabartë sipas gjatësisë me segmentin AB, e pasi që pikat e skajshme A dhe B janë njëlloj të larguara nga 1, projeksionet e dyta të tyre janë njëlloj të larguar nga boshti-x, prandaj për shkak të kësaj projeksioni i dytë A”B” është segment paralel me boshtin-x.

Nëse segmenti është paralel me rrafshin e projeksionit 1, atëherë projeksioni i tij i parë është paralel me të dhe ka gjatësi të barabar-të me gjatësinë e tij, ndërsa projeksioni i dytë është paralel me boshtin-x dhe ka gjatësi më të vogël se gjatësia e tij.

Në vizatimin 2.27 janë vizatuar projeksionet shoqëruese të segmentit AB me gjatësi 2,5cm, pa-ralel me 1, të larguar 1,5cm nga ai, ndërsa me 2 formon kënd prej 300. Pika e tij e skajshme A është e larguar 2cm nga 2.

Segmenti AB në vizatimin 2.28 është paralel me rrafshin e projeksionit 2 dhe është në pozitë të përgjithshme me rrafshin e projeksionit 1.

Nga drejtkëndëshi ABB”A” kemi se projeksioni i dytë A”B” është segment paralel dhe i barabartë sipas gjatësisë me segmentin AB, e pasi që pikat e skajshme A dhe B të segmentit janë njëlloj të larguara nga 2, projeksionet e para të tyre A’ dhe B’ janë njëlloj të larguara nga boshti-x, prandaj projeksioni i parë A’B’ është segment paralel me boshtin-x.

Nëse segmenti është paralel me rrafshin e projeksionit π2, atëherë projeksioni i tij i parë është paralel me boshtin-x dhe ka gjatësi më të vogël se gjatësia e tij, ndërsa projeksioni i dytë i tij është paralel dhe me gjatësi të barabartë me gjatësinë e tij.

Në vizatimin 2.29 janë të vizatuar projeksionet shoqëruese të segmentit AB me gjatësi 3cm, pa-ralel me 2, të larguar 1,5cm nga ai, ndërsa me 1 formon kënd prej 30o. Pika e skajshme e tij A është e larguar 2,5cm nga 1.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit nga kartoni. Vendose lapsin tënd para modelit ashtu që ai:a) të jetë paralel me rrafshet 1 dhe 2;b) të jetë normal në rrafshin 1;

Vizatimi 2.28

Vizatimi 2.27

Vizatimi 2.26

27


c) të jetë normal në rrafshin 2;d) të shtrihet në rrafshin 1;e) të shtrihet në rrafshin 2;f) të jetë paralel me rrafshin 1;g) të jetë paralel me rrafshin 2.Nëse lapsin e paramendojmë si segment në hapë-sirë, cakto projeksionet për secilën prej pozitave prej a) deri g).2. Në cilin projeksion fi tohet madhësia e vërtetë e segmentit, nëse ai është:a) paralel me rrafshet 1 dhe 2;b) normal në rrafshin 1;c) normal në rrafshin 2;d) shtrihet në rrafshin 1;e) shtrihet në rrafshin 2;f) paralel me rrafshin 1;g) paralel me rrafshin 2.3. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentit AB i cili është i gjatë 3cm, paralel me 1, i larguar 3cm nga ai, ndërsa me rrafshin 2 formon kënd prej 45o. Pika e skajshme e tij A është e larguar 3cm nga 2.4. Vizato projeksionet shoqëruese të segmentit CD i cili është i gjatë 3,5cm, paralel me rrafshin 2 dhe i larguar 3cm nga ai, ndërsa me rrafshin 1 formon kënd prej 45o. Pika e skajshme e tij C është e larguar 4cm nga 1.

2.8. MADHËSIA E VËRTETË E SEGMENTIT DHE KËNDET E PJERRËSISË

Siç thamë më parë, projeksionet shoqëruese A’B’ dhe A”B” të segmentit AB në pozitë të përgjith-shme janë me gjatësi më të vogël se gjatësia e segmentit dhe nuk janë paralele me të. Në atë rast madhësinë e vërtetë të segmentit duhet ta përcak-tojmë vetë. Konstruksioni i madhësisë së vërtetë të segmentit të dhënë mund të kryhet në disa mënyra, por ne këtu do t’i shqyrtojmë dy prej tyre.

Metoda e trapezitNë vizatimin 2.30 është paraqitur segmenti

AB, në pozitë të përgjithshme, projeksioni i parë i tij A’B’ dhe projeksioni i dytë i tij A”B”. Në viza-tim janë hijezuar të dy katërkëndësha ABB’A’ dhe ABB”A”. Këto katërkëndësha janë trapeze dhe kanë brinjën e përbashkët AB. Secili prej tyre ka nga dy kënde të drejta, dy te kulmet A’ dhe B’, dhe dy te kulmet A” dhe B”.

Vizatimi 2.29

Vizatimi 2.30

28


Madhësinë e vërtetë të segmentit AB mund ta përcaktojmë nëse trapezin ABB’A’, të quajtur trapezi i parë projektues, e rrëzojmë në rrafshin 1 (e rrotullojmë për 90o rreth boshtit A’B’). Ngjas-hëm, madhësinë e vërtetë të segmentit AB mund ta përcaktojmë nëse trapezin ABB”A”, të quajtur trapezi i dytë projektues, e rrëzojmë në rrafshin 2 (e rrotullojmë për 90o rreth boshtit A”B”).

Nëse e vazhdojmë segmentin AB dhe projek-sionin e tij të parë A’B’ fi tojmë këndin mes tyre 1, të quajtur këndi i parë i pjerrësisë, ndërsa nëse e vazhdojmë segmentin AB dhe projeksionin e tij të dytë A”B” fi tojmë këndin mes tyre 2, të quajtur këndi i dytë i pjerrësisë.

Kur jepen gjatësitë e projeksioneve sho-qëruese të segmentit AB, atëherë i kemi të gjitha elementet e nevojshme për konstruksionin e tra-pezeve ABB’A’ dhe ABB”A”, pasi që për një trapez vlen ''AAA'A x� dhe ''BBB'B x� , ndërsa për tra-pezin tjetër kemi 'AAA''A x� dhe .'BBB''B x� .

Trapezat e rrëzuar i konstruktojmë në mënyrë vijuese: tërheqim normale në A’B’ në pikat A’ dhe B’ dhe në ato normale përkatësisht i bartim gjatësitë

''AAA'A x� dhe ''BBB'B x� .Kështu fi tuam trapezin A’B’B0A0 (vizatimi

2.31). Me gjetjen e segmentit A0B0 themi se kemi përcaktuar madhësinë e vërtetë të segmentit AB. Nëse i vazhdojmë segmentet AB dhe A0B0

atëherë këndi mes tyre është këndi i parë i pjer-rësisë i paraqitur në madhësi të vërtetë.

Ngjashëm, mund të tërheqim normale në A”B” në pikat A’ dhe B’ dhe në ato normale i bar-tim përkatësisht gjatësitë

'AAA''A x� dhe .'BBB''B x� Kështu fi tojmë trapezin A”B”B0A0 (vizatimi

2.32). Me gjetjen e segmentit A0B0 themi se kemi përcaktuar madhësinë e vërtetë të segmentit AB. Nëse i vazhdojmë segmentet AB dhe B0A0 atëherë këndi mes tyre është këndi i dytë i pjer-rësisë i paraqitur në madhësi të vërtetë.

Nëse konstruksionin e dy trapezave e kemi kryer në mënyrë të drejtë, atëherë duhet

.BABA 0000 �Prandaj, për gjetjen e madhësisë së vërtetë

të segmentit mjafton atë ta rrëzojmë vetëm një

Vizatimi 2.32

Vizatimi 2.31

29


herë (në 1 apo 2), , por, nëse duhet ti përcakto-jmë këndet e tij të pjerrësisë 1 dhe 2, atëherë atë duhet ta rrëzojmë edhe në 1 edhe në 2. Madhësia e vërtetë e segmentit vizatohet me vizë- pikë - vizë linje.

Metoda e trekëndëshit diferencialNë vizatimin 2.33 janë dhënë segmenti

AB dhe projeksione të tij shoqëruese A’B’ dhe A”B”. Nga pika B është tërhequr drejtëza BC paralele me A’B’, e pastaj nga pika A është tër-hequr drejtëza AD paralele me A”B”. Kështu i fi tojmë trekëndëshat kënddrejtë ABC, i quaj-tur trekëndëshi i parë diferencial, dhe ABD, i quajtur trekëndëshi i dytë diferencial. Ato kanë hipotenuzë të përbashkët AB. Për katete të trekëndëshit të parë diferencial kemi

CB = A’B’ dhe "BB"AAB'BA'ACA xx �� ,ndërsa për trekëndëshin e dytë diferencial

''A''BDA � dhe .'AA'BBA''AB"BDB xx ��

Sipas kësaj, nëse janë dhënë projeksionet shoqëruese të segmentit AB, atëherë i kemi të gjitha elementet të nevojshme për konstruktimin e dy trekëndëshave diferencial.

Si në vizatimin 2.34 së pari tërheqim drejtëzat paralele me boshtin-x në pikat A’ dhe B”, gjegjë-sisht nëpër ato pika të skajshme që kanë koor-dinatën më të vogël dhe fi tojmë pikat D’ dhe C”. Pastaj në pikën A’ tërheqim normale në segmen-tin A’B’ dhe në atë normale bartim ''A''CA'A 0 �. Nga puthitshmëria e trekëndëshave A’B’A0 dhe ABC rrjedh se me përcaktimin e segmentit A0B’ e kemi përcaktuar madhësinë e vërtetë të seg-mentit AB. Këndi mes A0B’ dhe A’B’ është këndi i parë i pjerrësisë 1. Ose, në pikën B” tërheqim normale në segmentin A”B” dhe në atë normale bartim .B''B 0 Nga puthitshmëria e trekëndëshave A”B”B0 dhe ADB rrjedh se me përcaktimin e segmentit A”B0 e kemi përcaktuar madhësinë e vërtetë të segmentit AB. Këndi mes A”B0 dhe A”B” është këndi i dytë i pjerrësisë 2. Pas kry-erjes së konstruktimeve fi tojmë B''A'BA 0

0 � . Pika T le ta ndajë segmentin AB në raport

të dhënë, gjegjësisht .kBT:AT �

� �

Zgjedhim pikën T0 në segmentin A0B’ e cila e ndan segmentin në raport të njëjtë, .kT'B:TA 000 �

� �

Nëse me ndihmën e pikës T0 i gjejmë projeksionet shoqëruese T’

Vizatimi 2.33

Vizatimi 2.34

30


dhe T” të pikës T, atëherë T’ dhe T” i ndajnë pro-jeksionet shoqëruese të segmentit AB në raport të njëjtë, gjegjësisht

.''T''B:''T''A'T'B:'T'AT'B:TA 000 ��

� �

Sipas kësaj kemi:

Nëse pika T e ndan segmentin AB në rap-ort të dhënë, atëherë projeksionet shoqëruese të pikës T i ndajnë projeksionet shoqëruese të segmentit AB në raport të njëjtë.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit nga kartoni për përcaktimin e madhësisë së vërtetë të segmentit me metodën e trapezit.2. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit AB me AB[(-1;4;6),B(3;1;2)] dhe gjeje mad-hësinë e tij të vërtetë me metodën e trapezit. Gjeje madhësinë e këndeve të pjerrësisë.3. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit CD të dhënë me CD[(1;2;0),D(5;5;2)] dhe gjeje madhësinë e tij të vërtetë me metodën e trekëndëshit. Gjeje madhësinë e këndeve të pjer-rësisë.4. Vizato projeksionin e parë dhe të dytë të seg-mentit EF të dhënë me EF [E(2;0;2),F(6;4;5)] dhe gjeji projeksionet shoqëruese të pikës T e cila është mesi i segmentit EF.

2.9 PROJEKTIMI ORTOGONAL I DREJTËZËS

Nëpër drejtëzën e [çfarëdoshme a tërheqim rrafshin 1, normal në rrafshin e projeksionit 1, dhe rrafshin 2 normal në rrafshin e projeksionit 2. Prerja e rrafsheve 1 dhe 1 është drejtëza a’ që është projeksioni i parë i drejtëzës a. Ngjas-hëm, prerja e rrafsheve 2 dhe 2 është drejtëza a” që është projeksioni i dytë i drejtëzës a. D.m.th:

Projeksionet shoqëruese a’ dhe a” të drejtëzës a janë drejtëza në rrafshe 1 dhe 2.

Në vizatim 2.35 janë dhënë projeksionet shoqëruese të drejtëzës a=(a’,a”) të përcaktuar

Vizatimi 2.35

31


me pikat A dhe B, gjegjësisht a=AB[A(0,5;1;1,5), B(3;2;2)]. Pika C shtrihet në drejtëzën a, pasi që projeksionet shoqëruese të saj shtrihen përkatë-sisht në projeksionet shoqëruese të drejtëzës, gjegjësisht C’a’ dhe C”a”. Pikat E dhe D nuk shtrihen në drejtëzën a, pasi që E’a’ dhe D”a”.

Në vazhdim do ti shqyrtojmë disa pozita të veçanta të drejtëzës në lidhje me rrafshet e pro-jeksionit.

Drejtëza b=(b’,b”) është paralele me rrafshet e projeksionit 1 dhe 2. Projeksionet shoqëruese të saj b’ dhe b” janë paralele me boshtin-x (viza-timi 2.36).

Drejtëza c=(c’,c”) është normale në rrafshin e projeksionit 1. Projeksioni i saj i parë c’ është pikë, ndërsa projeksioni i saj i dytë c” është nor-mal në boshtin-x (vizatimi 2.37).

Drejtëza d=(d’,d”) është normale në rrafshin e projeksionit 2. Projeksioni i saj i dytë d” është pikë, ndërsa projeksioni i saj i parë d’ është nor-mal në boshtin-x (vizatimi 2.37).

Drejtëza e=(e’,e”) shtrihet në rrafshin e pro-jeksionit 1. Projeksioni i saj i parë e’ puthitet me drejtëzën e, ndërsa projeksioni i saj i dytë e” është në boshtin-x (vizatimi 2.38).

Drejtëza f=(f’,f”) shtrihet në rrafshin e pro-jeksionit 2. Projeksioni i saj i dytë f” puthitet me drejtëzën f, ndërsa projeksioni i saj i parë f’ është në boshtin-x (vizatimi 2.38).

Drejtëza g=(g’,g”) është paralele me rrafshin e projeksionit 1. Projeksioni i saj i dytë g” është drejtëz paralele me boshtin-x (vizatimi 2.39). Drejtëzat me këtë pozitë quhen horizontale.

Drejtëza h=(h’,h”) është paralele me rraf-shin e projeksionit 2. Projeksioni i saj i parë h’ është drejtëz paralele me boshtin-x (vizatimi 2.39). Drejtëzat me këtë pozitë quhen frontale.

Detyra1. Në drejtëzën a=(a’,a”) të përcaktuar me pikat A dhe B, duhet të përcaktojmë pikën D e cila është në largësi d nga pika A (vizatimi 2.40).

Me metodën e trekëndëshit diferencial e për-caktojmë segmentin e rrëzuar A’B0 të segmentit AB.

Në drejtëzën e rrëzuar a0 në largesë d nga pika A’ gjendet pika D0. Pastaj vizatojmë normalen në a’. Pika e rrënzës D’ në normale është projek-sioni i parë i pikës D.

Vizatimi 2.36

Vizatimi 2.39

Vizatimi 2.38

Vizatimi 2.37

32


Projeksionin e dytë e gjejmë sipas ordinales, me kusht që D” të shtrihet në a”.

Me ecuri të ngjashme në drejtëzën a mund të përcaktojmë edhe pika tjera që plotësojnë kushte të caktuara. Për shembull, pika E është pikë e drejtëzës a që shtrihet jashtë segmentit AB.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit prej kartoni. Vendos shufër të gjatë para modelit ashtu që ajo:a) të jetë paralele me rrafshe 1 dhe 2;b) të jetë normale në rrafshin 1;c) të jetë normale në rrafshin 2;d) të shtrihet në rrafshin 1;e) të shtrihet në rrafshin 2;f) të jetë paralele me rrafshin 1;g) të jetë paralele me rrafshin 2.Nëse shufrën e paramendojmë si drejtëz në hapësirë, përcakto projeksionet për secilën prej pozitave prej a) deri g).2. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës m të dhënë me m=AB[a(0;3;2),B(7;4;6)] dhe përcak-to pozitën e saj në hapësirë.3. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës n e cila kalon nëpër pikën N(3;6;7) dhe: a) është paralele me rrafshe 1 dhe 2;b) është normale në rrafshin 1;c) është normale në rrafshin 2;d) shtrihet në rrafshin 1;e) shtrihet në rrafshin 2;f) është paralele me rrafshin 1;g) është paralele me rrafshin 2.

2.10. DEPËRTIMET E DREJTËZËS DHE KËNDET E PJERRËSISË

Në vizatimin 2.41 është dhënë drejtëza a=(a’,a”) e cila e depërton rrafshin 1 në pikën A1, ndërsa rrafshin 2 në pikën A2.

Pika A1 quhet gjurma e parë, ndërsa pika A2 gjurma e dytë e drejtëzës a.

Projeksioni i parë A1’ përputhet me pikën A1, ndërsa projeksioni i dytë i saj A1” është në bosh-tin-x. Ngjashëm, projeksioni i dytë A2” përputhet

Vizatimi 2.40

Vizatimi 2.41

33


me pikën A2, ndërsa projeksioni i saj i parë A2’ është në boshtin-x.

Këndi i ngushtë 1 të cilin e formon drejtëza a me projeksionin e parë a’ quhet këndi i parë i pjerrësisë, ndërsa këndi i ngushtë 2 të cilin e formon drejtëza a me projeksionin e dytë a” quhet këndi i dytë i pjerrësisë.

Detyra 1. Cakto projeksionet shoqëruese të gjurmëve dhe këndeve të pjerrësisë të drejtëzës a të dhënë me projeksionet e saja shoqëruese a’ dhe a” (vizatimi 2.42).

Në prerjen e projeksionit të dytë të drejtëzës a” dhe boshtit-x gjendet projeksioni i dytë A1” i gjurmës së parë A1. Nëse nëpër pikën A1” tërhe-qim ordinalen, ajo do ta pres projeksionin e parë të drejtëzës a’ në gjurmën A1 e cila përputhet me projeksionin e parë A1’.

Në prerjen e projeksionit të parë të drejtëzës a’ dhe boshtit-x gjendet projeksioni i parë A2’ i gjurmës së dytë A2. Nëse nëpër pikën A2’ tërhe-qim ordinalen, ajo do ta pres projeksionin e dytë të drejtëzës a” në gjurmën A2 e cila përputhet me projeksionin e dytë A2”.

Kur e shikojmë drejtëzën a në drejtim të pro-jektimit në 1, gjegjësisht nga lart do ta shikojmë vetëm pjesën e drejtëzës që është mbi 1. Pjesën e dukshme të drejtëzës e vizatojmë më vijën e plotë, ndërsa atë të padukshme me vijën e ndër-prerë. Sipas kësaj, me vijë të plotë vizatojmë pjesën majtas nga gjurma e parë A1, ndërsa me vijë të ndërprerë pjesën djathtas nga A1.

Nëse e vështrojmë drejtëzën a në drejtim të projektimit në 2, gjegjësisht nga përpara do ta shikojmë vetëm pjesën e drejtëzës që është përpara 2. Prandaj, me vijë të plotë vizatojmë pjesën djathtas nga gjurma e dytë A2, ndërsa me vijë të ndërprerë pjesën majtas nga A2.

Që t’i gjejmë madhësitë e këndeve të pjerrë-sisë 1 dhe 2 i rrëzojmë trekëndëshin kënddrejtë A1A2A2’ rreth kasetës A1A2’ në 1 dhe trekëndëshin kënddrejtë A1A2A1” rreth katetes A2A1” në 2. Prandaj nga pika A2’ tërheqim normale në a’ dhe në të bartim ,A'AA'A 22

022 � e pastaj e lidhim

pikën A20 me A1. Kështu fi tuam trekëndëshin

kënddrejtë A1A20A2’ në të cilin këndi i parë i pjerrë-

sisë 1 është në madhësi të vërtetë. Më tutje, nga

Vizatimi 2.42

34


pika A1” tërheqim normale në a” dhe në të bartim ,A"AA"A 11

011 � , e pastaj e lidhim pikën A1

0 me A2. Kështu fi tuam trekëndëshin kënddrejtë A1

0A2A1” në të cilin këndi i dytë i pjerrësisë 2 është në madhësi të vërtetë.

Gjatësia e segmentit A1A20 është e barabartë

me gjatësinë e segmentit A10A2 pasi që ato janë

të barabartë me gjatësinë e vërtetë të segmentit A1A2 të drejtëzës a e cila është e kufi zuar me pika depërtuese.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të rrafsheve të projeksionit nga kartoni për përcaktimin e pikave depërtuese të drejtëzës me rrafshin.2. Gjeji projeksionet shoqëruese të pikave depër-tuese të drejtëzës a=AB[A(1,3,1),B(6;1;4)] me rrafshet e projeksionit.3. Gjeji këndet e pjerrësisë 1 dhe 2 të drejtëzës p=AB[A(0;4;4),B(5;6;1)];4. Gjeje a) këndin e parë të pjerrësisë 1 të drejtëzës MN[M(1;2;4),N(3;2;2)];b) këndin e dytë të pjerrësisë 2 të drejtëzës k=LM[L(1;4;3),M(3;2;3)].

2.11. RRAFSHI I TRETË I PROJEKSIONIT. PROJEKTIMI ORTOGONAL I PIKËS

Kur rrafshi i një fi gure gjeometrike është nor-mal në boshtin-x, fi gura projektohet në segment edhe në projeksionin e parë edhe në atë të dytë, prandaj nga projeksionet e saj shoqëruese nuk mund të përcaktohet forma, madhësia dhe pozita e saj në hapësirë. Në atë rast është përshtatshëm që ajo të projektohet edhe në një, rrafsh të tretë, normal në rrafshet 1 dhe 2, i quajtur rrafshi i tretë i projeksionit, të cilin do ta shënojmë me 3 (vizatimi 2.43).

Rrafshet 1 2 dhe 3 priten në tri drejtëza re-ciprokisht normale x, y dhe z, të cilat quhen bosh-tet koordinative. Ato kanë pikë të përbashkët O, të quajtur fi llim koordinativ.

Projeksionin e tretë të pikës A do ta përcak-tojmë në mënyrë të njëjtë siç e përcaktonim pro-

Vizatimi 2.43

35


jeksionin e parë dhe të dytë. Nga pika A lëshojmë normale në rrafshin 3. Pika e rrënzës në nor-malen kah rrafshi 3 quhet projeksioni i tretë i pikës A, dhe to ta shënojmë me A’’’. Në vizatimin 2.43 është paraqitur pika A dhe projeksionet e saja A’, A” dhe A’” në rrafshet 1, 2 dhe 3.

Nga drejtkëndëshi AA’’’AzA” kemi A'''A z � .''AA Pasi që xA'A''AA � , kemi A'''A z � xA'A ,

gjegjësisht:

Projeksioni i tretë i pikës A është i larguar nga boshti-z për aq sa është i larguar projek-sioni i saj i parë nga boshti-x.

Nga drejtkëndëshi AA’’’AyA’ kemi A'''A y � .'AA Pasi që xA''A'AA � kemi ,A''AA'''A xy �

gjegjësisht:

Projeksioni i tretë i pikës A është i larguar nga boshti-y për aq sa është i larguar projek-sioni i saj i dytë nga boshti-x.

Tani bëhet pyetja si ti vizatojmë projeksionet dhe të tre rrafshet në një rrafsh të vetëm- rrafshin e fl etës për vizatim. Për këtë qëllim rrafshin 1 e rrotullojmë rreth boshtit-x teposhtë për 900 ashtu që të përputhet me rrafshin 2, ndërsa rrafshin 3 e rrotullojmë rreth boshtit-z në të majtë poshtë për 90o ashtu që të përputhet me rrafshin 2. Pastaj rrafshet e zbërthyera i paramendojmë si fl etë për vizatim dhe fi tojmë vizatimin 2.44, në të cilin është paraqitur si fi tohet projeksioni i tretë A’’’ i pikës A, nëse është dhënë projeksioni i parë A’ dhe projek-sioni i dyte A”. Vëre se mënyra më e thjeshtë e fi timit të projeksionit të tretë A’’’ të pikës A është të tërhiqet normalja në boshtin-z nëpër A”, e pastaj në të të bartet largesa A’Ax në të majtë nga boshti-z.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model nga kartoni të tri rrafsheve të projeksionit.2. Gjeje projeksionin e tretë të pikës:a) A(3;2;4), b) B(5;7;2).3. Gjeje projeksionin e tretë të pikës:a) M(0;2;4), b)N(4;0;2), c)K(5;7;0).

Vizatimi 2.44

36


2.12. PROJEKTIMI ORTOGONAL I FIGURAVE RAFSHORE

Në vizatimin 2.45 janë paraqitur tre rrafshe të projeksionit 1, 2 dhe 3, pastaj segmenti AB dhe tre projeksione të tij. Nëse A’’’ është projek-sioni i tretë i njërës, ndërsa B”’ është projeksioni i tretë i tjetrës pikë të skajshme të segmentit AB, atëherë segmenti A”’B”’ është projeksioni i tretë i segmentit AB.

Detyra 1. Janë dhënë projeksioni i parë dhe i dytë i segmentit AB. Gjeje projeksionin e tretë të segmentit AB.

Që ta gjejmë projeksionin e tretë të segmen-tit AB duhet ti gjejmë projeksione të treta A’’’ dhe B’’’ të pikave të skajshme të tij A dhe B.

Për këtë arsye tërheqim normale në boshtin-z nga A” e pastaj në të bartim largesën prej A’ deri Ax në të ,majtë nga boshti-z. Ngjashëm, tërheqim normale në boshtin-z nga B” e pastaj në të bartim largesën prej B’ deri Bx në të ,majtë nga boshti-z.

Projeksionin e tretë të segmentit AB do ta gjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta A’’’ dhe B’’’ të pikave të skajshme të tij A dhe B (vizatimi 2.46).

Detyra 2. Janë dhënë projeksioni i parë dhe i dytë të trekëndëshit ABC. Gjeje projeksionin e tretë të trekëndëshit ABC.

Projeksionin e tretë të trekëndëshit ABC do ta gjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta A’’’, B’’’ dhe C’’’ të kulmeve të tij A, B dhe C (vizatimi 2.47).

Siç përmendëm në fi llim, futja e projeksionit të tretë mundëson ta vërejmë formën, madhës-inë dhe pozitën e objektit në hapësirë, në rast kur kjo nuk është e mundshme të vërehet nga pro-jeksioni i parë dhe i dytë, Ta shqyrtojmë detyrën vijuese.

Detyra 3. Janë dhënë projeksioni i parë dhe i dytë i katërkëndëshit ABCD. Gjeje projeksionin e tretë të katërkëndëshit ABCD.

Projeksionin e tretë të katërkëndëshit ABCD do ta gjejmë me lidhjen e projeksioneve të treta A’’’, B’’’, C’’’ dhe D’’’ të kulmeve të tij A, B, C dhe D (vizatimi 2.48).

Vizatimi 2.47

Vizatimi 2.46

Vizatimi 2.45

37


Pyetje dhe detyra:

1. Përdore modelin e detyrës 1, nga kapitulli 2.11. Preje:a) trekëndëshin,b) katrori,c) gjashtëkëndëshin, nga kartoni dhe vendose para modelit. Çka paraqesin projeksionet e tyre ortogonale?2. Vizato projeksionin e tretë të trekëndëshit ABC, nëse A(3;2;3), B(6;4;5) dhe C(4;7;1).3. Vizato projeksionin e tretë të katërkëndëshit ABCD, nëse A(1;2;3), B(3;1;5), C(5;3;1) dhe D (7;1;5).

2.13. PROJEKTIMI ORTOGONAL I TRUPAVE GJEOMETRIK

Projeksionet ortogonale të trupit gjeometrik i fi tojmë me projektimin e sipërfaqeve që e kufi zo-jnë trupin mbi tre rrafshe të projeksionit (vizatimi 2.49).

Sipërfaqet që e kufi zojnë trupin janë të kufi -zuara me tehe ose lakore, prandaj projeksionet e tyre i fi tojmë me projektimin e teheve ose lakore-ve. Në veçanti, tehet i projektojmë me projektimin e kulmeve të tyre. D.m.th. nëse përcaktohen pro-jeksionet e të gjitha kulmeve të trupit, dhe nëse ato lidhen sipas radhitjes së njëjtë siç janë të ra-dhitur në hapësirë, fi tohen projeksionet e teheve dhe sipërfaqeve me të cilat trupi është kufi zuar.

Kur njërin trup gjeometrik e vërejmë në drej-timin projektues, njërën pjesë të trupit e shohim, ndërsa pjesën tjetër jo. Tehet apo lakoret që e ndajnë pjesën e dukshme prej asaj të padukshme formojnë konturën apo kufi rin e trupit në lidhje me drejtimin e zgjedhur projektues, ndërsa projeksio-net e atyre teheve apo lakoreve në rrafshin e pro-jeksionit e formojnë konturën apo kufi rin e trupit në lidhje me drejtimin e zgjedhur projektues.

Nëse e vërejmë trupin e paraqitur në viza-timin 2.49, në drejtimin projektues ortogonal në rrafshin 1, do t’i shohim vetëm drejtëkëndëshat EFGH dhe FIJG. Për atë drejtim projektues, shumëkëndëshi hapësinor EFIJGH është kufi ri,

Vizatimi 2.50

Vizatimi 2.49

Vizatimi 2.48

38


ndërsa projeksioni i parë E’F’I’J’G’H’ është kufi ri i projeksionit të parë të trupit.

Ngjashëm, nëse e vërejmë trupin në drejtimin projektues ortogonal në rrafshin 2, shumëkëndëshi ABIFE është kufi ri i trupi, ndërsa projeksioni i dytë A”B”I”F”E” është kufi ri i projek-sionit të dytë të trupit.

Në drejtimin projektues ortogonal në rrafshin 3, shumëkëndëshi hapësinor BCJGFI është kufi ri i trupi, ndërsa B’’’C’’’J’’’G’’’F’’’I’’’ është kufi ri i pro-jeksionit të tretë të trupit.

Në vizatimin 2.50 janë dhënë të tre projek-sione të trupit të paraqitur në 2.49.

Në vizatimin 2.51 janë dhënë të tre projek-sione të konit me bosht normal në rrafshin 1. Rrezja e bazës së tij r=1cm, qendra e bazës është në pikën S(1,5;1,5;0), ndërsa lartësia h=2,5cm.

Projeksioni i parë është rreth me rreze r=1cm dhe qendër në pikën S’. Në atë rreth projektohet edhe mbështjellësi i konit, ndërsa në qendër të rrethit është projeksioni i parë V’ i majës V, si dhe projeksioni i parë o’ i boshtit o. Rrezet e atij rrethi janë projeksionet e para të gjeneratrisave të konit. Të gjitha gjeneratrisa janë të dukshme në projek-sionin e parë.

Kufi ri i projeksionit të dytë të konit është trekëndëshi A”B”V”. Kjo në të vërtetë është pro-jeksioni i dytë i prerjes boshtore të konit që është paralel me rrafshin 2 dhe e ndan konin në dy pjesë, në pjesën e përparme dhe të pasme. Gjen-eratrisat AV dhe BV janë gjeneratrisa kufi tare të pjesës së përparme dhe të pasme, prandaj në projeksionin e dytë janë të dukshme.

Kufi ri i projeksionit të tretë të konit është trekëndëshi C’’’D’’’V’’’. Kjo është projeksioni i tretë i prerjes boshtore të konit që është paralel me rrafshin 3 dhe e ndan konin në dy pjesë, pjesë të majtë dhe të djathtë. Gjeneratrisat CV dhe DV janë gjeneratrisa kufi tare, prandaj në projeksionin e tretë janë të dukshme.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato të tre projeksione të trupit të dhënë në vizatimin 2.52a dhe 2.52b.2. Vizato të tre projeksione të trupit të dhënë në vizatimin 2.53a dhe 2.53b.

Vizatimi 2.53

Vizatimi 2.52

Vizatimi 2.51

Tërësia tematike

3. PROJEKSIONI I PJERRËT

Në këtë temë mësimore nxënësi mund

■ të mësojë objektet e dhënë në projeksionet ortogonale t’i paraqesë në projeksion të pjerrët

■ të mësoj këtë metodë ta zbatoj në lëndët tjera profesionale.

40

Projeksioni i pjerrët

TËRËSIA MËSIMORE


3.1. Koncepti për projeksionin e pjerrët3.2. Projeksioni i pjerrët i fi gurave gjeometrike dhe zbatimi3.3. Projeksioni i pjerrët i trupave gjeometrikë dhe zbatimi

41



3.1. KONCEPTI PËR PROJEKSIONIN E PJERRËT

Projeksioni i pjerrët i objekteve shpesh për-doret në arkitekturë dhe ndërtimtari, pasi që ,me ndihmën e tij fi tohet paraqitja e qartë e objektit dhe në mënyrë të lehtë vërehen raportet e caktu-ara hapësinore.

Nëse nga pika T (vizatim 3.1) në hapësirë tër-heqim drejtëz të pjerrët s dhe e gjejmë depërtimin T me rrafshin vertikal 2 atëherë themi se pikën T e kemi projektuar pjerrtas në rrafshin 2. Pika T quhet projeksioni i pjerrët i pikës T në rrafshin 2. Drejtëza s quhet drejtimi projektues, ndërsa rrafshi 2 quhet rrafshi i projektimit. Në pikën T priten drejtimi i projektimit s dhe projeksioni i tij ortogonal s” në 2.

Të vërejmë se gjatë projektimit ortogonal shfrytëzojmë dy apo tre rrafshe, ndërsa gjatë pro-jektimit të pjerrët shfrytëzojmë një rrafsh.

Në vizatimin 3.1 është vizatuar segmenti AB i cili është paralel me rrafshin 2. Segmenti A”B” është projeksioni i dytë i tij, ndërsa segmenti A B është projeksioni i pjerrët i segmentit AB. Nga paralelogrami AA BB rrjedh se segmenti A B është paralel me segmentin AB dhe ka gjatësi të barabartë me të. Në vizatimin e njëjtë është vizatuar trekëndëshi CDE që është paralel me rrafshin 2. Trekëndëshi C D E është projeksion i pjerrët i trekëndëshit CDE. Pasi që të gjitha brinjët e tij janë të puthitshëm me brinjët e trekëndëshit CDE, trekëndëshi C D E është i puthitshëm me CDE.

Prandaj: Projeksioni i pjerrët i fi gurës së rrafshët që është paralele me rrafshin e pro-jektimit është fi gurë e puthitshme dhe paralele me të.

Në vizatimin 3.2 janë vizatuar rrafshi 2 dhe dy segmente paralele me gjatësi të ndryshme: A B=4n dhe C D =3n. Segmenti A B është projek-sion i pjerrët i segmentit AB, ndërsa segmenti CD është projeksion i pjerrët i segmentit CD. Pasi që rrafshi nëpër AA BB është paralel me rrafshin C D DC, ato priten në rrafshin e projektimit 2 në drejtëza paralele. Kështu:

Vizatimi 3.1

Vizatimi 3.2

42


Segmentet paralele, projeksionet e pjer-rëta i kanë paralele dhe në raport të njëjtë të vazhduara, gjegjësisht të shkurtuara.

Nga kjo veti rrjedh:

Segmentet e barabartë dhe paralele kanë projeksionet e pjerrëta të barabartë dhe pa-ralele.

Në vizatimin 3.2 është vizatuar segmenti EF që është normal në rrafshin 2 dhe pika e tij e skajshme E shtrihet në 2. Projeksioni i pjerrët E i pikës E është në pikën e njëjtë. Janë vizatuar projeksionet e pjerrëta F1, F2 dhe F3 të pikës së dytë të skajshme F të atij segmenti kur drejtimet projektuese s1, s2 dhe s3 me rrafshin 2 formojnë kënde 1>45o, 2=45o dhe 3<45o, përkatësisht

Projeksioni i pjerrët i segmentit EF do të jetë EF1 ,EF2 ose EF3. Siç vërejmë projeksioni i pjerrët i segmentit EF mund të jetë më i vogël, i bara-bartë apo më i madh se ai, në varësi nga këndi që e formojnë drejtimet projektuese me rrafshin 2. Projeksioni do të jetë më i vogël se segmenti, nëse ai kënd është më i madh se 45o, do të jetë i barabartë me segmentin, nëse ai kënd është i barabartë me 45o, ndërsa projeksioni do të jetë më i madh se segmenti nëse ai kënd është më i madh se 45o. Prandaj:

Projeksioni i pjerrët i segmentit, i cili ësh-të normal në rrafshin e projektimit mund të jetë më i vogël, i barabartë apo më i madh se segmenti, në varësi nëse këndi që formohet nga drejtimi projektues me rrafshin 2 është më i madh, i barabartë apo më i vogël se 45o.

Në vizatimin 3.3 janë vizatuar projeksionet shoqëruese të pikës T e cila është e larguar nga rrafshet 1 dhe 2 për 2cm. Janë vizatuar edhe projeksionet shoqëruese s’ dhe s” të drejtimit projektues s i cili kalon nëpër pikën T dhe nuk është normal në asnjërin rrafsh 1 dhe 2. Nëse e gjejmë pikën e depërtimit të drejtimit projek-tues s me rrafshin 2 do ta fi tojmë projeksionin e pjerrët T të pikës T në rrafshin 2 gjatë drejtimit projektues s.

Në vizatimin e njëjtë janë dhënë projeksio-ni i parë dhe i dytë i kubit i cili është në pozitë frontale, tehu i të cilit është 1,5cm. Nëse nëpër

Vizatimi 3.3

43


kulmet A, B, C dhe E tërheqim drejtëza paralele me drejtimin e projektimit s dhe i gjejmë pikat e tyre depërtuese me rrafshin 2 do ti fi tojmë pro-jeksionet e tyre të pjerrëta A, B, C dhe E Nëse e bashkojmë pikën B me pikat A, C dhe E do ti fi tojmë projeksionet e pjerrëta BA, BC dhe BE të teheve BA, BC dhe BE të cilët kanë gjatësi të barabartë, përkatësisht. Projeksionet e pjerrëta të teheve tjera mund të gjinden në mënyrë të ngjashme.

Katrori i përparmë ABCD i kubit, si dhe ka-trori i tij i pasmë OEFG projektohen në katrorë të puthitshëm.

Tehet OA, EB, FC, dhe GD janë reciprokisht paralele dhe normale në rrafshin 2. Projeksionet e tyre të pjerrëta janë paralele, kanë gjatësi të barabartë dhe formojnë kënd me projeksionin e pjerrët OE të tehut OE, i cili është paralel me rrafshin e projektimit 2. Atëherë projeksionet e pjerrëta të atyre teheve mund të jenë më të vegjël, të barabartë apo më të mëdhenj se gjatë-sia e teheve në hapësirë. Zakonisht zgjidhet, te-het të cilat janë normale në rrafshin 2 të jenë me gjatësi 1/2, 2/3 apo 3/4 të gjatësisë së vërtet të tyre. Këto raporte shënohen me shkronjën q dhe quhen koefi cienti i shkurtesës. Nëse janë të njohur këndi dhe koefi cienti i shkurtesës q, atëherë plotësisht është i përcaktuar edhe drejtimi projektues s. Prandaj dhe q quhen të dhënat e projektimit të pjerrët.

Nga kulmi O në hapësirë bien tre tehe të ku-bit OE, OA dhe OG. Nëse ato tehe i vazhdojmë, fi tojmë tre drejtëza x, y dhe z, në drejtim të gjatë-sisë, gjerësisë dhe lartësisë së kubit, të cilat janë reciprokisht normale dhe përbëjnë sistemin koordinativ O(x,y,z) në të cilin është ndryshuar kubi. Projeksionet e pjerrëta x, y dhe z të drejtë-zave x, y dhe z quhen boshtet e projeksionit të pjerrët,ndërsa pika O fi llimi koordinativ.

Të gjitha tehet e objektit të cilët janë pa-ralel me boshtin-x, gjegjësisht boshtin-z vi-zatohen paralelisht me boshtin-x, gjegjësisht boshtin-z dhe atë me madhësi të vërtetë, ndërsa ato tehet të cilët janë paralel me bosh-tin-y, vizatohen në drejtim i cili me boshtin-x formon kënd , në raport q me madhësinë e vërtetë.

44


Për secilin objekt mund të vizatohet projek-sioni i pjerrët ashtu siç ai është bërë për kubin me teh me gjatësi 1,5cm për =30o dhe q=1/2 (vizatimi 3.4). Në vizatimin nën a) shikimi është prej lartë nga e djathta, pasi që në të janë të dukshëm baza e sipërme dhe faqja anësore e djathtë, ndërsa në vizatimin nën b) shikimi është prej lartë nga e majta, pasi që në të janë të dukshëm baza e sipërme dhe faqja anësore e majtë. Në vizatimin nën c) dhe d) shikimi është prej poshtë, dhe atë në c) nga e djathta, ndërsa në d) nga e majta.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqet projeksioni i pjerrët?2. Çfarë është pozita reciproke e projeksioneve të pjerrëta e segmenteve paralele?3. Numëro të dhënat e projeksionit të pjerrët?4. Trego rregullën për vizatim në projeksion të pjerrët në rrafshin 2 të objektit i cili është në pozitë frontale.5. Numëro faqet anësore të dukshme të kubit në vizatim 3.4 në secilin prej katër rasteve.

3.2. PROJEKSIONI I PJERRËT I FIGURAVE TË RRAFSHËTA DHE ZBATIMI

Detyra1. Vizato projeksion të pjerrët të pikës A(2;3;3,5) (vizatimi 3.5).

Në sistemin koordinativ kënddrejtë të dhënë O(x,y,z) kemi tre boshte koordinative x,y,z që janë reciprokisht normale dhe tre rraf-she koordinative 1=(x,y), 2=(x,z) dhe 3=(y,z) që po ashtu janë reciprokisht normal. Në vi-zatimin 3.5 janë vizatuar projeksionet e të tre boshteve koordinative dhe projeksionet e pikës ( ,cm2OAx � cm3'AAx � dhe "AAx =3,5cm). Që të mundemi të vizatojmë projeksionin e pjer-rët të pikës A duhet të zgjedhim kënd, koefi cient të shkurtesës q dhe shikimin të cilin dëshirojmë ta fi tojmë në atë sistem koordinativ me projek-sion të pjerrët. Le të jetë, për shembull =45o, q=1/2, shikimi është prej lartë dhe nga e djathta.

Vizatimi 3.5

Vizatimi 3.4

45


Nëse për rrafsh projektues marrim rrafshin koordinativ 2, atëherë projeksioni i pjerrët i boshteve x dhe z janë vet ato boshte, ndërsa projeksioni i pjerrët y i y me boshtin-x duhet të formoj kënd =45o.

Njësitë e boshteve x dhe y do të jenë në madhësi të vërtetë, ndërsa njësitë të boshtit y do të jenë sa gjysma e madhësisë së vërtetë, pasi që q=1/2. Sipas kësaj: xAO , do të jetë me gjatësi 2cm, pastaj ,y||'AAx 'AAx do të jetë i gjatë 1/23cm=1,5cm, z||A'A dhe A’A do të jetë e gjatë 3cm. Pika A’ është projeksioni i pjerrët i projeksionit të parë të pikës A në rrafshin 1, ndërsa pika A është projeksioni i pjerrët i pikës A.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët të trekëndëshit me kulme B(3;1;1), C(5;4;3,5) D(6;2;2,5).

Nëse supozojmë se trekëndëshi BCD gjen-det në sistemin e njëjtë koordinativ në të cilin gjendej pika A, atëherë konstruktimi i projek-sionit të pjerrët të kulmeve të trekëndëshit është i njëjtë me konstruktimin e projeksionit të pjerrët të pikës A. Trekëndëshi B’C’D’ është projeksioni i pjerrët i projeksionit të parë të trekëndëshit në rrafshin 2, ndërsa trekëndëshi BCD është pro-jeksioni i pjerrët i kërkuar (vizatimi 3.6). Prandaj:

Projeksioni i pjerrët i trekëndëshit, gjegjësisht shumëkëndëshit gjendet ashtu që konstruktohet projeksioni i pjerrët i pro-jeksionit të parë të tij, e pastaj prej secilit kulm të projeksionit të pjerrët të projeksionit të parë ngrihet drejtëza paralele me boshtin-z dhe barten aplikatet në atë kulm. Kështu fi tohet projeksioni i pjerrët i trekëndëshit, gjegjësisht shumëkëndëshit.

Në detyrën vijuese do të tregojmë si mundet praktikisht të thjeshtohet ecuria e mësipërme.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët të gjashtëkëndëshit të rregullt ABCDEF me brinjë 1,5cm dhe të dhënat =30o dhe q=1/2.

Vizatojmë gjashtëkëndëshin e rregullt në madhësi të vërtetë nën boshtin-x (A0B0C0

D0E0F0). Pastaj në boshtin-x zgjedhim pikë të çfarëdoshme T1. Nga Pika T1 tërheqim dy gjys-mëdrejtëza, njëra normale në boshtin-x dhe tjetra formon kënd prej =30o me boshtin-x. Në

Vizatimi 3.7

Vizatimi 3.6

46


gjysmëdrejtëzën e pjerrët bartim njësi të çfarë-doshme matëse, ndërsa në gjysmëdrejtëzën normale dy njësi matëse pasi që q=1/2 (vizatimi 3.7). Kështu i fi tojmë pikat T dhe T0 të cilat së bashku me pikën T1 janë kulme të trekëndëshit ndihmës T0T1T.

Më tutje, nga kulmet e gjashtëkëndëshit A0B0C0D0E0F0 tërheqim drejtëza paralele me T0T1 dhe fi tojmë pikat A1, B1, C1, D1, E1 dhe F1. Nga pikat A1, B1, C1, D1, E1 dhe F1 tërheqim gjys-mëdrejtëza paralele me T1T. Nga pikat A0, B0, C0, D0, E0 dhe Fo tërheqim gjysmëdrejtëza paralele T0T. Në prerjen e çdo dy gjysmëdrejtëzave për-katëse të tërhequr nga A1 dhe Ao, B1 dhe Bo, C1 dhe Co, D1 dhe Do, E1 dhe Eo, F1 dhe Fo, fi tojmë pikat A, B, C, D, E dhe F, me lidhjen e të cilave fi tojmë projeksionin e pjerrët A B C D E F të gjas-htëkëndëshit ABCDEF.

Detyra3. Vizato projeksion të pjerrët të rre-thit me rreze r dhe të dhëna =45o dhe q=1/2.

Vizatojmë rrethin me madhësi të vërtetë nën boshtin-x (vizatimi 3.8). Pastaj sipas të dhënave vizatojmë trekëndëshin ndihmës T0T1T.

Pasi që kufi ri i rrethit nuk ka pika të shquara, për përcaktimin e projeksionit të tij të pjerrët duhet të zgjedhim numër të caktuar të pikave të vijës rrethore (kufi rit të rrethit) dhe ti gjejmë pro-jeksionet e tyre të pjerrëta të cilat më tutje do ti lidhim në një vijë të lakuar. Sa më shumë pika projektojmë aq më saktë do ta përcaktojmë pro-jeksionin e pjerrët të rrethit.

Tërheqim diametrin AoBo, i cili është paralel me boshtin-x dhe e ndajmë në numër të çfarë-doshëm të pjesëve të barabartë, për shembull, katër pjesë të barabartë. Pastaj nëpër pika të skajshme Ao dhe Bo, si dhe nëpër tre pika të fi t-uara të ndarjes tërheqim normale në diametrin AoBo. Ata e presn vijën rrethore në pikat Co, Do, Eo, Fo, Go dhe Ho, ndërsa boshtin-x në pikat A1, C1=O1=D1, E1=F1, G1=H1 dhe B1.

Projektimin e pikave të fi tuara Ao, Bo, Co, Do, Eo, Fo, Go dhe Ho të vijës rrethore në rrafshin 2 e kryejmë ashtu që, nëpër pikat A1, C1=O1=D1, E1=F1, G1=H1 dhe B1 tërheqim gjysmëdrejtëza paralele me T1T, ndërsa nëpër pikat Ao, Bo, Co, Do, Eo, Fo, Go dhe Ho tërheqim gjysmëdrejtëza

Vizatimi 3.8

47


paralele me T0T. Në prerjen e secilit çift të gjys-mëdrejtëzave përkatëse nga të dy bashkësi të gjysmëdrejtëzave fi tojmë pika A, B, C, D, E, F, G dhe H me lidhjen e njëpasnjëshme të të cilave fi tojmë projeksionin e pjerrët të vijës rrethore, gjegjësisht rrethit. Të vërejmë se projeksioni i fi tuar i vijës rrethore është lakorja e mbyllur e cila quhet elips.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato projeksion të pjerrët të trekëndëshit barabrinjës ABC me brinjë 2cm dhe të dhënat =45o dhe q=1/2.2. Vizato projeksion të pjerrët të katrorit ABCD me brinjë 3cm dhe të dhënat =30o dhe q=3/4.3. Vizato në raport 1:10 për =45o dhe q=2/3 projeksionin e pjerrët të prerjes horizontale të shtyllës së betonit të paraqitur në vizatim 3.9 në raport 1:15.4. Vizato në raport 1:20 për =45o dhe q=1/2 projeksionin e pjerrët të kalldrëmit të betonit të paraqitur në vizatimin 3.10 në raport 1:40.

3.3. PROJEKSIONI I PJERRËT I TRUPAVE GJEOMETRIKË DHE ZBATIMI

Detyra 1. Vizato projeksion të pjerrët të ku-bit me teh 2cm dhe të dhënat =45o dhe q=1/2.

Kubi me bazën e poshtme le të shtrihet në rrafshin 1 para rrafshit vertikal 2, ashtu që dy faqet e tij anësore janë paralele me rrafshin 2 dhe janë në largësi të caktuar nga ai.

Vizatojmë bazën e poshtme të kubit, gjegjë-sisht katrorin AoBoCoDo, nën boshtin-x me mad-hësi të vërtetë dhe me një teh paralel me bosh-tin-x. Pastaj vizatojmë projeksionin e pjerrët të katrorit AoBoCoDo në rrafshin 2, sipas njërës nga dy mënyra të përshkruara më parë (e rekoman-dojmë mënyrën me trekëndësh ndihmës T0T1T). Kështu fi tojmë paralelogramin A B C D, i cili ësh-të projeksion i pjerrët i bazës së poshtme të ku-bit, më saktë i katrorit AoBoCoDo (vizatimi 3.11).

Tehet anësore të kubit janë paralel me rraf-shin 2, prandaj ato do të projektohen në seg-

Vizatimi 3.9

Vizatimi 3.10

Vizatimi 3.11

48


mente paralele me gjatësi të barabartë me ta. Që ti vizatojmë projeksionet e tyre mjafton nga pikat A, B, C, dhe D, të ngrehim normale në rraf-shin 2 dhe në to të bartim gjatësinë prej 2cm (sa kanë gjatësinë tehet anësore të kubit). Pikat e fi tuara E, F, G dhe H janë projeksione të pjerrëta të kulmeve të bazës së sipërme të kubit. Me lid-hjen e tyre fi tojmë projeksionin e pjerrët të bazës së sipërme të kubit, e me këtë fi tuam kubin në projeksion të pjerrët.

Projeksioni i pjerrët i kubit i vizatuar në këtë mënyrë lë përshtypje të ngjashme sikur kur atë e vështrojmë prej lartë dhe nga djathtas. Në këtë rast nëse faqet e kubit janë të jotejdukshme, mes teheve të tij do të ketë edhe të atillë të cilët nuk do ti shohim. Ato janë tehet AD, CD dhe CH, dhe ato i vizatojmë me vijë të ndërprerë, ndërsa tehet tjera –të dukshme pak i potencojmë.

Detyra 2. Vizato projeksion të pjerrët të pira-midës së drejtë të rregullt katërkëndore me teh të bazës 2cm dhe teh anësor 4cm, me të dhëna =30o dhe q=1/2.

Nën boshtin-x konstruktojmë bazën e pira-midës – katrorin AoBoCoDo me brinjë 2cm. Në të gjejmë qendrën Oo e vijës rrethore të jash-tëshkruar rreth katrorit si pikëprerje e diagonal-eve të katrorit. Pastaj konstruktojmë projeksion-in e pjerrët të katrorit së bashku me projeksionin e qendrës së tij (vizatimi 3.12).

Pasi që lartësia e piramidës nuk është dhënë, atë do ta caktojmë në mënyrë konstruk-tive. Lartësia e piramidës është normale në bazë (katror), prandaj, ajo është normale edhe me di-agonalet e katrorit. Kjo do të thotë se lartësia e piramidës dhe gjysma e diagonales së katrorit janë katete, ndërsa tehu anësor është hipotenu-za e trekëndëshit kënddrejtë. Me konstruktimin e trekëndëshit kënddrejtë mbi gjysmën e diago-nales së katrorit e fi tojmë lartësinë e kërkuar të piramidës OoS.

Tani nga pika O ngrehim normale në seg-mentin O S kah boshti-x, e cila me gjatësi është e barabartë me lartësinë OoS e piramidës. Pra, kështu e përcaktojmë projeksionin e pjerrët S të majës se piramidës. Në fund, duke e lidhur majën e piramidës S me kulmet A, B, C, dhe D,

Vizatimi 3.12

49


fi tojmë projeksionin e kërkuar të pjerrët të pira-midës.

Tehet e padukshme janë C D, A D dhe D S.Detyra 3. Vizato projeksion të pjerrët të cili-

ndrit të drejtë me rreze të bazës r=1,5cm dhe lartësi h=3cm, me të dhëna =30o dhe q=1/2.

Paramendojmë se cilindri me bazën e tij të poshtme shtrihet në rrafshin 1. Në atë rast ësh-të e qartë se lartësia dhe të gjitha gjeneratrisat e cilindrit do të jenë paralel me rrafshin 2, prandaj do të projektohen në të në madhësi të vërtetë (vizatimi 3.13).

Së pari do ta vizatojmë projeksionin e pjerrët të bazës së cilindrit, e cila paraqet rreth. Pastaj në secilën pikë të kufi rit të projeksioni të pjer-rët të kufi rit të bazës (vijës rrethore) së cilindrit, që është elips, ngrehim normale në boshtin-x, të cilat sipas gjatësisë janë të barabartë me gjener-atrisën, gjegjësisht me lartësinë e cilindrit. Pikat e skajshme të sipërme të atyre segmenteve, kur t’i bashkojmë një pas një, japin projeksionin e pjerrët të bazës së sipërme të cilindrit.

Prej të gjitha gjeneratrisave të ngritura i po-tencojmë vetëm dy, ato të cilat shtrihen në kon-turë. Në fund e përcaktojmë dukshmërinë. Shiki-mi është prej lartë dhe nga e djathta, prandaj elipsa nga baza e sipërme është tërësisht e duk-shme, ndërsa prej elipsës nga baza e poshtme është e dukshme vetëm pjesa e përparme mes konturave të gjeneratrisës.

Pyetje dhe detyra:

1. Kuadri me gjatësi 5cm, gjerësi 3cm dhe lartësi 2cm është vendosur në rrafshin 1, ashtu që dy tehet e tij të bazës janë paralele me boshtin-x, ndërsa ai më i afërt është i larguar nga ai për 1,5cm. Vizato projeksion të pjerrët të kuadrit me të dhëna:a) =30o dhe q=1/2 b) =60o dhe q=1/32. Vizato projeksion të pjerrët të prizmës së drejtë të rregullt gjashtëkëndore me teh të bazës 3,5cm dhe lartësi 4,5cm gjatë të dhënave:a) =45o dhe q=1/2; b) =30o dhe q=3/4.

Vizatimi 3.13

50


3. Vizato projeksion të pjerrët të tetraedrit të rregullt me teh të bazës 4cm gjatë të dhënave:a) =30o dhe q=1/2; b) =45o dhe q=2/3.4. Vizato projeksion të pjerrët të konit me për-masa:a) r=2cm, h=5cm; b) s=3cm, h=4,5cm; gjatë të dhënave =45o dhe q=1/2.5. Në raport 1:10 vizato projeksionin e pjerrët të gurit të gdhendur , nëse pozita e tij në sistemin koordinativ O(x,y,z) është si në vizatimin 3.14 në raport 1:15, gjatë të dhënave =45o dhe q=1/2.

Vizatimi 3.14

Tërësia tematike

4. RRAFSHET


■ Të mësoj t’i bart koordinatat e rrafshit■ T’i përcaktojë gjurmët e rrafsheve ■ Të përpunojë në mënyrë të pavarur model

të rrafsheve në pozitë të veçantë■ Të përpunojë në mënyrë të pavarur model

të fi gurës gjeometrike dhe trupave që me bazë shtrihen në rrafshet projektuese

■ Ta mësojë projeksionin e pikës, drejtëzës dhe fi gurës gjeometrike

■ Të mësojë ta rrëzojë rrafshin projektues■ Ta mësojë projeksionin e pikës, drejtëzës

dhe fi gurës gjeometrike që shtrihet në rrafshin projektues

■ Ta mësojë depërtimin e drejtëzës nëpër rrafshin projektues

■ Të mësojë të vizatojë trupa gjeometrikë të cilët me bazë shtrihen në rrafshin projektues

52

Rrafshet

TËRËSIA TEMATIKE

4. RRAFSHET

4.1. Gjurmët e rrafshit4.2. Koordinatat e rrafshit4.3. Rrafshe paralele me rrafshet e projeksionit 4.4. Figurat gjeometrike në rrafshe paralele me rrafshe të projeksionit4.5. Rrafshe normal në rrafshe të projeksionit4.6. Pika dhe drejtëza në rrafshin projektues4.7. Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin projektues4.8. Rrëzimi i rrafsheve projektuese4.9. Figurat gjeometrike që shtrihen në rrafshet projektuese4.10. Trupat gjeometrikë të cilët me bazë shtrihen në rrafshet projektuese

53

Rrafshet

4. RRAFSHET

4.1. GJURMAT E RRAFSHIT

Nga gjeometria na është e njohur se një rrafsh është i përcaktuar me dy drejtëza që priten. Praktike tregohet rrafshin ta përcaktojmë me dy drejtëzat e tij që priten dhe që janë në pozitë të veçantë. Ato janë dy drejtëza në të cilat rrafshi i pret rrafshet e projeksionit 1 dhe 2 (vizatimi 4.1). Ato drejtëza quhen gjurma të rrafshit dhe zakon-isht shënohen me shkronjë të vogël të alfabetit latin e cila i përgjigjet shkronjës greke me të cilën është shënuar rrafshi. Në atë kuptim e1 është gjurma e parë, e2 është gjurma e dytë e rrafshit , ndërsa d1 është gjurma e parë, d2 është gjur-ma e dytë e rrafshit . Gjurma të rrafshit priten në pikë e cila shtrihet në boshtin-x, pasi që ajo është pikë depërtuese e boshtit-x me rrafshin. Kështu gjurma të rrafshit priten në pikën Ex, gjurma të rrafshit priten në pikën Dx. Ato pika shënohen me shkronjë të madhe të alfabetit latin e cila kor-respondon me shkronjën greke me të cilën është shënuar rrafshi.

Zakonisht me vijë të plotë vizatohet ajo pjesë e gjurmës së parë e cila është para rrafshit 1, si dhe pjesa e gjurmës së dytë e cila është mbi rrafshin 2.

Pasi që gjurma e parë e rrafshit është në 1, ajo puthitet me projeksionin e vet të parë, ndërsa projeksioni i saj i dytë është në boshtin-x. Kësh-tu e1e1

’ dhe d1d1’, ndërsa e1” dhe d1” janë në

boshtin-x. Gjurma e dytë e rrafshit është në 2, prandaj ajo puthitet me projeksionin e vet të dytë, ndërsa projeksioni i saj i parë është në boshtin-x. Kështu e2e2” dhe d2d2”, ndërsa e2’ dhe d2’ janë në boshtin-x.

Rrafshet E dhe janë njëtrajtësisht të përcak-tuar me projeksionet e gjurmëve të tyre (vizatimi 4.2). Nëse rrafshin 1 me rrotullim rreth boshtit-x e sjellim në pozitë vertikale atëherë me drejtëzat e1 dhe e2, gjegjësisht d1 dhe d2 njëtrajtësisht janë të përcaktuara rrafshet E dhe . Secila pikë e gjur-mës së parë, për shembull, pika A ka projeksion të parë në vet atë pikë, ndërsa projeksion të dytë në boshtin-x, përderisa secila pikë e gjurmës së dytë,

Vizatimi 4.1

Vizatimi 4.2

54

Rrafshet

për shembull, pika B ka projeksion të dytë në vet atë pikë, ndërsa projeksion të parë në boshtin-x.

Rrafshet E dhe janë në pozitë të përgjith-shme, por megjithatë ato dallohen sipas asaj se gjurmë të rrafshi E janë nga ana e njëjtë e pikës Ex, përderisa gjurma të rrafshit janë në anë të ndryshme nga pika Dx. Për rrafshin E themi se ka gjurma konvergjente, ndërsa për rrafshin themi se ka gjurma divergjente. Të vërejmë se këndi të cilin e formojnë gjurma e1 dhe e2 të rraf-shit E është më i vogël se 90o, përderisa këndi δ të cilin e formojnë gjurma d1 dhe d2 të rrafshit është më i madh se 90o. D.m.th:

Rrafshi gjurmët e të cilit formojnë kënd më të vogël se 90o ka gjurma konvergjente, ndër-sa rrafshi gjurmët e të cilit formojnë kënd më të madh se 90o ka gjurma divergjente.

Të vërejmë, nëse rrafshi ka gjurma kon-vergjente, atëherë kur e shikojmë në drejtim projektues në 1 apo 2, e shikojmë anën e tij të sipërme. Nëse rrafshi ka gjurma divergjente, atëherë kur e shikojmë në drejtim projektues në 1, e shikojmë anën e tij të sipërme, ndërsa kur e shikojmë në drejtim projektues në 2 e shikojmë anën e tij të poshtme.

Në të ardhmen, projeksioneve të gjurmëve do ti vëmë vetëm shenjën për gjurmën e parë dhe të dytë, ndërsa do ti lëmë pas dore shenjat për pro-jeksionin e parë dhe të dytë të gjurmës së parë dhe të dytë.

Pyetje dhe detyra:

1.Çka janë gjurmët e rrafsheve?2. a) Cilat gjurmë të rrafshit quhen konvergjente, e cila divergjente?b) Çfarë kënd formojnë gjurma konvergjente, e çfarë gjurma divergjente?3. Përpuno model të dy rrafsheve të projeksionit nga kartoni dhe para tij vendos drejtkëndësh nga kartoni, nga njëra anë të ngjyrosur me ngjyrë të kaltër, ndërsa nga ana tjetër të ngjyrosur me ngjyrë të kuqe. Pjesën nga kartoni paramendoje si rrafsh në hapësirë. Ceki gjurmët e rrafshit dhe emërtoje ngjyrën e anës së fl etës të cilën e shikon, së pari

55

Rrafshet

në drejtim projektues në 1, e pastaj në drejtim projektues në 2, nëse rrafshi ka:a) gjurmë konvergjente; b) gjurmë divergjente.

4.2. KOORDINATET E RRAFSHIT

Gjatë projektimit të rrafshit E le të fusim rraf-shin e tretë të projeksionit 3. Drejtëza prerëse e3 e rrafshit E me rrafshin e tretë të projeksionit 3 quhet gjurma e tretë e rrafshit E (vizatimi 4.3).

Nëse janë dhënë gjurma e parë dhe e dytë e rrafshit E dhe pikat Ex, Ey dhe Ez të cilat janë pika depërtuese të boshteve koordinative x, y dhe z me rrafshin E, atëherë gjurma e tretë fi to-het me lidhjen e pikave Ey dhe Ez.

Nëse në rrafshin 2 i zbërthejmë rrafshet 1 dhe 3 do ti fi tojmë projeksionet e shqoërvese të gjurmëve e1, e2 dhe e3 (vizatimi 4.4).

Le të jenë Ex, Ey dhe Ez pikat depërtuese të boshteve koordinative x, y dhe z me rraf-shin E. Numrat matës të gjatësive të segmen-teve OEx, OEy dhe OEz quhen koordinatat e rrafshit E.

Koordinatat e rrafshit zakonisht shënohen me shkronja të vogla të alfabetit grek. Rrafshi E në vizatimin 4.4 ka koordinata:

=2,5cm =1,8cm dhe =2cm. Në atë rast shkruajmë E(2,5;1,8;2).Detyra 1. Vizato gjurmët e rrafshit (2;2,5;-

1,5) dhe (-1,5;-1;-2).T’i caktojmë pikat Dx (ODx = 2cm) dhe Dy

(ODy = 2cm) (vizatimi 4.5). Pasi që koordinata z në rrafshin ∆ është jonegative dhe është e bara-bartë me -1,5, pika Dz do të gjendet në pjesën negative të boshtit-z, nën pikën O, gjegjësisht ODz = -1,5 cm. Drejtëza d1=DxDy është gjurma e parë e rrafshit , përderisa drejtëza d2=DxDz ësh-të gjurma e saj e dytë. Me vijë të plotë e viza-tojmë atë pjesë të gjurmës së parë e cila është mbi boshtin-x, ndërsa pjesët tjera të gjurmëve i vizatojmë me vijë të ndërprerë apo fare nuk i vizatojmë.

Tri koordinata të rrafshit janë negativ, prandaj pika Sx do të jetë majtas nga fi llimi koor-

Vizatimi 4.5

Vizatimi 4.4

Vizatimi 4.3

56

Rrafshet

dinativ O, pika Sy do të jetë mbi O, ndërsa pika Sz nën O. Gjurma e saj e parë është drejtëza s1=SxSy, ndërsa gjurma e dytë është drejtëza s2=SxSz.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqet gjurma e tretë e një rrafshi?2. Cili është interpretimi gjeometrik i koordinatave të një rrafshi?3. Vizato tre gjurma të rrafshit:a) (3;2;4); b)T(3;7;5).4. Vizato gjurmën e parë dhe të dytë të rrafshit:a) (3;-2;-3); b) (-3,5;-4;2).

4.3. RRAFSHE PARALELE ME RRAFSHE TË PROJEKSIONIT

Rrafshi paralel me 1

Para modelit të tri rrafsheve të projeksionit nga kartoni vendosim pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, paralel me rrafshin 1. Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh në hapësirë, vërejmë se ai ka vetëm gjurmën e dytë dhe të tretë. Ai e pret boshtin-x dhe boshtin-y në pafundësi. Gjurma e dytë e tij është paralele me boshtin-x ndërsa gjurma e tretë është paralele me boshtin-y (vizatimi 4.6).

Rrafshi i cili është paralel me 1 ka gjurmë të dytë paralel me boshtin-x, ndërsa gjurmë të tretë paralel me boshtin-y.

Në vizatimin 4.7 janë vizatuar gjurma të rrafs-hit (;;1,7) paralel me rrafshin 1.


Përsëri, para modelit të tri rrafsheve të projek-sionit nga kartoni vendosim pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, por tani paralel me rraf-shin 2. Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh në hapësirë, vërejmë se ai ka vetëm gjur-mën e parë dhe të tretë. Ai e pret boshtin-x dhe boshtin-z në pafundësi. Gjurma e parë e tij është paralele me boshtin-x ndërsa gjurma e tretë është paralele me boshtin-z (vizatimi 4.8).

Vizatimi 4.8

Vizatimi 4.7

Vizatimi 4.6

57

Rrafshet

Rrafshi i cili është paralel me 2 ka gjurmë të parë paralel me boshtin-x, ndërsa gjurmë të tretë paralele me boshtin-z.

Në vizatimin 4.9 janë vizatuar gjurma të rraf-shit H(;1,5;) paralel me rrafshin 2.


Para modelit të tre rrafsheve të projek-sionit nga kartoni vendosim pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, paralel me rrafshin 3. Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh në hapësirë, vërejmë se ai ka vetëm gjurmën e parë dhe të dytë. Ajo e pret boshtin-y dhe boshtin-z në pafundësi. Gjurma e parë e tij është paralele me boshtin-y ndërsa gjurma e dytë është paralele me boshtin-z (vizatimi 4.10).

Rrafshi i cili është paralel me 3 ka gjurmë të parë paralel me boshtin y, ndërsa gjurmë të dytë paralel me boshtin z.

Në vizatimin 4.11 janë vizatuar gjurma të rrafshit H(2;;) paralel me rrafshin 3.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato gjurmë të rrafsheve vijuese:a) M(2,5;;); b) N(4;;);Çfarë është pozita e rrafsheve në lidhje me rraf-she të projeksionit?2. Vizato gjurmë të rrafsheve vijuese:a) T(;3;); b) K(;4;);Çfarë është pozita e rrafsheve në lidhje me rraf-she të projeksionit?3. Vizato gjurmë të rrafsheve vijuese:a) L(;;6); b) B(;;3,5);Çfarë është pozita e rrafsheve në lidhje me rraf-she të projeksionit?

4.4. FIGURA GJEOMETRIKE NË RRAFSHE PARALELE ME RRAFSHE TË

PROJEKSIONIT

Në këtë kapitull do të shqyrtojmë projeksionet ortogonale të fi gurave gjeometrike të cilat shtri-hen në rrafshe paralele me rrafshe të projeksionit.

Vizatimi 4.11

Vizatimi 4.10

Vizatimi 4.9

58

Rrafshet

Nëse pika e dhënë A shtrihet në rrafshin E paralel me 1, atëherë projeksioni i dytë i saj A” do të shtrihet në gjurmën e dytë e2 të rrafshit, ndërsa projeksioni i tretë i saj A’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë e3 të rrafshit (vizatimi 4.12).

Nëse pika e dhënë A shtrihet në rrafshin E paralel me 2, atëherë projeksioni i parë i saj A’ do të shtrihet në gjurmën e parë e1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i tretë i saj A’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë e3 të rrafshit.

Detyra 1. Vizato tre projeksione të pikës B(x;1,5;2,5) që shtrihet në rrafshin E(3;;).

Pika B shtrihet në rrafshin E i cili është pa-ralel me 3, prandaj projeksioni i saj i parë B’ do të shtrihet në gjurmën e parë e1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i saj i dytë B” do të shtrihet në gjurmën e dytë e2 të rrafshit. Sipas kësaj, koor-dinata e parë x=3 (vizatimi 4.13)

Nëse drejtëza e dhënë p shtrihet në rrafshin paralel me 1, atëherë projeksioni i saj i dytë p” do të shtrihet në gjurmën e dytë s2 të rrafshit, ndërsa projeksioni i saj i tretë p’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë s3 të rrafshit.

Detyra 2. Vizato tre projeksione të drejtëzës p=AB[A(2;y;1),B(3;y;1,5)] e cila shtrihet në rraf-shin (;3;).

Drejtëza p shtrihet në rrafshin i cili është paralel me 2, prandaj projeksioni i saj i parë p’ do të shtrihet në gjurmën e parë s1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i saj i tretë p’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë s3 të rrafshit (vizatimi 4.14). Sipas kësaj, koordinata e dytë e pikave A dhe B është y=3 (vizatimi 4.14).

Nëse drejtëza e dhënë p shtrihet në rrafshin paralel me 3, atëherë projeksioni i saj i parë p’ do të shtrihet në gjurmën e parë s1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i saj i dytë p” do të shtrihet në gjurmën e dytë s2 të rrafshit.

Detyra 3. Vizato tre projeksione të segmen-tit AB[A(0,5;1,5;z),B(2,5;0,5;z)] i cili shtrihet në rrafshin T(;;1,5).

Segmenti AB shtrihet në rrafshin T i cili ësh-të paralel me 1, prandaj projeksioni i tij i dytë A”B” do të shtrihet në gjurmën e dytë t2 të rraf-shit, ndërsa projeksioni i tij i tretë A’’’B’’’ do të

Vizatimi 4.14

Vizatimi 4.13

Vizatimi 4.12

59

Rrafshet

shtrihet në gjurmën e tretë t3 të rrafshit (vizatimi 4.15). Sipas kësaj, koordinata e tretë e pikave A dhe B është z=1,5. Në projeksionin e parë segmenti AB projektohet në madhësi të vërtetë, gjegjësisht në segment A’B’ me gjatësi të bara-bartë me AB.

Detyra 4. Vizato tre projeksione të trekëndës-hit ABC, i cili shtrihet në rrafshin: T(;1,5;), nëse A(1;y;1), B(2;y;0,5) dhe C(3;y;2).

Trekëndëshi ABC shtrihet në rrafshin T i cili është paralel me 2, prandaj projeksioni i tij i parë A’B’ do të shtrihet në gjurmën e parë t1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i tij i tretë A’’’B’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë t3 të rrafshit (vizatimi 4.16). Prandaj, koordinata e dytë e pikave A, B dhe C është y=1,5. Në projeksionin e dytë trekëndëshi ABC projektohet në madhësi të vërtetë.

Detyra 5. Vizato tre projeksione të rrethit me qendër në pikë S(x;1,5;2,5) dhe rreze r=1 i cili shtrihet në rrafshin T(1,5;;).

Rrethi shtrihet në rrafshin T i cili është pa-ralel me 3, prandaj projeksioni i tij i parë do të shtrihet në gjurmën e parë t1 të rrafshit, ndërsa projeksioni i tij i dytë do të shtrihet në gjurmën e dytë t2 të rrafshit (vizatimi 4.17). Prandaj, koor-dinata e parë e qendrës S është x=1,5. Në pro-jeksionin e tretë rrethi projektohet në madhësi të vërtetë. Vëre projeksionet shoqëruese të diam-etrave AB dhe CD.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të tre rrafsheve të projeksionit nga kartoni dhe para tij vendos një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, paralelisht me rrafshin:a) 1; b) 2; c) 3.

Pjesën nga kartoni paramendoje si rrafsh në hapësirë. Mbi rrafsh vendos pjesë nga kartoni në formë të gjashtëkëndëshit. Vëri në dukje të tre projeksione të gjashtëkëndëshit.2. Vizato tre projeksione të drejtëzës p= [M(4;2;z),N(7;5;z)] e cila shtrihet në rrafshin: (;;3).Vizatimi 4.17

Vizatimi 4.16

Vizatimi 4.15

60

Rrafshet

3. Vizato tre projeksione të trekëndëshit ABC, që shtrihet në rrafshin T(4;;) nëse: A(x;0,5;1), B(x;4;3,5) dhe C(x;2;2).4. Vizato tre projeksione të drejtkëndëshit ABCD, që shtrihet në rrafshin T(;2,5;), nëse: A(1;y;1), B(3;y;1) dhe C(3;y;7).

4.5. RRAFSHE NORMALE NË RRAFSHE TË PROJEKSIONIT

Rrafshe të cilët janë normal në rrafshe të projeksionit quhen rrafshe projektuese.

Rrafshi normal në 1

Para modelit të tre rrafsheve të projeksionit nga kartoni vendosim një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, normal në rrafshin 1. Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh, vërejmë se ai e pret boshtin-z në pafundësi, gjegjësisht gjurma e dytë dhe e tretë janë paralele me boshtin-z (vizatimi 4.18).

Rrafshi që është normal në rrafshin 1 quhet rrafshi i parë projektues.

Rrafshi i parë projektues ka gjurmën e dytë dhe të tretë paralel me boshtin-z.

Në vizatimin 4.19 janë vizatuar gjurmët e rrafshit të parë projektues P(2,5;1,5; ).


Para modelit të tri rrafsheve të projeksionit nga kartoni vendosim një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, normal në rrafshin 2.

Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh në hapsirë, vërejmë se ai e pret boshtin-y në pafundësi, gjegjësisht gjurma e parë dhe e tretë janë paralele me boshtin-y (vizatimi 4.20).

Rrafshi që është normal në rrafshin 2 quhet rrafshi i dytë projektues.

Rrafshi i dytë projektues ka gjurmën e parë dhe të tretë paralel me boshtin-y.

Në vizatimin 4.21 janë vizatuar gjurmët e rrafshit të dytë projektues (2;;1,5).

Vizatimi 4.20

Vizatimi 4.19

Vizatimi 4.18

61

Rrafshet


Para modelit të tre rrafsheve të projeksionit nga kartoni vendosim një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, normal në rrafshin 3.

Nëse pjesën nga kartoni e paramendojmë si rrafsh në hapsirë, vërejmë se ai e pret boshtin-x në pafundësi, gjegjësisht gjurma e parë dhe e dytë janë paralele me boshtin-x (vizatimi 4.22).

Rrafshi që është normal në rrafshin 3 quhet rrafshi i tretë projektues.

Rrafshi i tretë projektues ka gjurmën e dytë parë dhe të paralel me boshtin-x.

Në vizatimin 4.23 janë vizatuar gjurmët e rrafshit të tretë projektues T(;1;2).

Pyetje dhe detyra

1. Vizato gjurmët e rrafsheve vijuese:a) M(2,5;7;); b) N(3,5;3;).Çfarë është pozita e rrafsheve ndaj rrafsheve të projeksionit?2. Vizato gjurmët e rrafsheve vijuese:T(;3;2); b) K(;3;5,5).Çfarë është pozita e rrafsheve ndaj rrafsheve të projeksionit?3. Vizato gjurmët e rrafsheve vijuese:L(3;;6); b) B(2;;3,5).Çfarë është pozita e rrafsheve ndaj rrafsheve të projeksionit?

4.6. PIKA DHE DREJTËZA NË RRAFSHIN PROJEKTUES

Në këtë kapitull do t’i shqyrtojmë projeksio-net ortogonale të pikës dhe drejtëzës, në rast kur ato shtrihen në rrafshe projektuese.

Nëse pika e dhënë A shtrihet në rrafshin e parë projektues E, atëherë projeksioni i saj i parë A’ do të shtrihet në gjurmën e parë të rraf-shit e1.

Vizatimi 4.23

Vizatimi 4.22

Vizatimi 4.21

62

Rrafshet

Vlen e dhe e kundërta, nëse projeksioni i parë A’ i pikës së dhënë A shtrihet në gjurmën e parë e1 të rrafshit të parë projektues E, atëherë pika A shtrihet në rrafshin E (vizatimi 4.24).

Pas zbërthimit të rrafsheve të projeksionit fi t-ojmë vizatimin 4.25.

Pika B shtrihet në rrafshin e dytë projektues E, prandaj projeksioni i saj i dytë B” do të shtrihet në gjurmën e dytë e2 të rrafshit E (vizatimi 4.26). Vlen e dhe e kundërta, nëse projeksioni i dytë B” i pikës së dhënë B shtrihet në gjurmën e dytë e2 të rrafshit të dytë projektues E, atëherë pika B shtri-het në rrafshin E.

Nëse pika e dhënë C shtrihet në rrafshin E normal në 3,atëherë projeksioni i saj i tretë C’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë e3 të rrafshit. Vlen e dhe e kundërta, nëse projeksioni i tretë C’’’ i pikës së dhënë C shtrihet në gjurmën e tretë e3 të rraf-shit të tretë projektues E, atëherë pika C shtrihet në rrafshin E.

Nëse drejtëza e dhënë p shtrihet në rrafshin normal në 1, atëherë projeksioni i saj i parë p’ do të shtrihet në gjurmën e parë s1 të rrafshit (vizatim 4.27).

Në atë rast, drejtëza p i pret të gjitha drejtëza që shtrihen në rrafsh dhe nuk janë paralele me të. Sipas kësaj, ajo i pret të dy gjurmë s1 dhe s2 të rrafshit . Pikëprerjet në të vërtetë janë pikat depërtuese P1 dhe P2 të drejtëzës p me rrafshe të projeksionit 1 dhe 2, përkatësisht.

Vlen e dhe e kundërta, Nëse projeksioni i parë p’ i drejtëzës së dhënë p shtrihet në gjurmën e parë e1 të rrafshit të parë projektues , atëherë drejtëza p shtrihet në rrafshin .

Pas zbërthimit të rrafsheve të projeksionit fi t-ojmë vizatimin 4.28.

Detyra 1. Vizato të tre projeksione të drejtëzës p=AB[A(2;1;z), B(3;1,5;z)] e cila shtrihet në rraf-shin (4,5;;2).

Drejtëza e dhënë p shtrihet në rrafshin nor-mal në 2, prandaj projeksioni i saj i dytë p” do të shtrihet në gjurmën e dytë s2 të rrafshit. Kjo na mundëson ti përcaktojmë koordinatat e panjohura të pikave A dhe B, e me këtë edhe projeksionin e dytë p” të drejtëzës p.

Projeksioni i parë p’ është i përcaktuar me projeksionet e para A’ dhe B’ të pikave A dhe B.

Vizatimi 4.26

Vizatimi 4.

Vizatimi 4.24

63

Rrafshet

Nëse drejtëza e dhënë p shtrihet në rrafshin normal në 3, atëherë projeksioni i saj i tretë p’’’ do të shtrihet në gjurmën e tretë s3 të rrafshit.

Vlen edhe e kundërta, nëse projeksioni i tretë p’’’ i drejtëzës së dhënë p shtrihet në gjurmën e tretë s3 të rrafshit të tretë projektues , atëherë drejtëza p shtrihet në rrafshin .

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato tre projeksione të pikës A(2;3;z) që shtri-het në rrafshin E(5;;4).2. Vizato tre projeksione të pikës B(3;y;3) që shtri-het në rrafshin E(;5;6).3. Vizato tre projeksione të drejtëzës a=AB[A(1;1;z),B(4;3;z) që shtrihet në rrafshin (6;;4).4. Vizato tre projeksione të drejtëzës m=MN[M(2;y;1),N(6;y;4)] që shtrihet në rrafshin (;4;5).5. Trekëndëshi ABC[A(1;y;1),B(3;y;4),(5;y;2)] shtrihet në rrafshin (7;4;). Vizato projeksionet e tij shoqëruese.

4.7. DEPËRTIM I DREJTËZËS NËPËR RRAFSHIN PROJEKTUES

Në këtë kapitull do ta shqyrtojmë problemin e depërtimit të drejtëzës nëpër rrafshin projektues.

Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin e parë projektuesNë vizatimin 4.29 është paraqitur rrafshi

i parë projektues P me gjurmë r1 dhe r2, si dhe drejtëza a me projeksionet e saj shoqëruese a’ dhe a”. Depërtimi A është pika e përbashkët e rraf-shit P dhe drejtëzës a. Pasi që projeksioni i parë i të gjitha pikave të rrafshit P gjinden në gjurmën e tij të parë r1, projeksioni i parë A’ i depërtimit A do të shtrihet në r1. Nga ana tjetër, pika A shtrihet në drejtëzën a, prandaj projeksioni i saj i parë A’ duhet të gjendet në prerjen e drejtëzave r1 dhe a’. Në bazë të këtij diskutimi në vizatimin 4.30 janë përcaktuar projeksionet shoqëruese të depërtimit të rrafshit të parë projektues P dhe drejtëzës a.

Vizatimi 4.29

Vizatimi 4.28

Vizatimi 4.27

64

Rrafshet

Projeksioni i parë i depërtimit A’ është prerja e drejtëzave r1 dhe a’, ndërsa projeksioni i dytë A” është prerja e drejtëzës a” me ordinalen e tër-hequr nga pika A’.

Kur rrafshin P dhe drejtëzën a i shikojmë nga lartë, e shohim gjithë drejtëzën pasi që rrafshi P paraqitet sikur drejtëz r1, prandaj në vizatimin 4.30 projeksioni i parë i drejtëzës a është vizatu-ar me vijë të plotë. Nëse, nga ana tjetër, rrafshin P dhe drejtëzën a i shikojmë nga përpara, nuk e shohim atë pjesë të drejtëzës që është djathtas nga depërtimi A pasi që rrafshi e fsheh, prandaj për këtë arsye projeksioni i dytë në atë pjesë të drejtëzës është i vizatuar me vijë të ndërprerë.

Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin e dytë projektuesNë vizatimin 4.31 është paraqitur rrafshi i

dytë projektues me gjurma s1 dhe s2, drejtëza a me projeksione shoqëruese të saj a’ dhe a”, si dhe depërtimi A me projeksionet shoqëruese A’ dhe A”. Pasi që pika A shtrihet në rrafshin , pro-jeksioni i saj i dytë gjendet në gjurmën e dytë s2. Nga ana tjetër, pika A shtrihet edhe në drejtëzën a, prandaj projeksioni i saj i dytë A” duhet të shtri-het në projeksionin e dytë a” të drejtëzës a, për këtë arsye A” gjendet në prerjen e drejtëzave s2 dhe a”. Në bazë të këtij diskutimi në vizatimin 4.32 janë përcaktuar projeksionet shoqëruese të depërtimit të rrafshit të dytë projektues dhe drejtëzës a. Projeksioni i dytë i depërtimit A” është prerja e drejtëzave s2 dhe a”, ndërsa projeksioni i parë A’ është prerja e drejtëzës a’ me ordinalen e tërhequr nga pika A”.

Kur rrafshin dhe drejtëzën a i shikojmë nga lartë, nuk e shohim atë pjesë të drejtëzës që ësh-të majtas nga depërtimi A, prandaj në vizatimin 4.32 projeksioni i parë në atë pjesë të drejtëzës është i vizatuar me vijë të ndërprerë. Nëse, nga ana tjetër, rrafshin dhe drejtëzën a i shikojmë nga përpara , e shohim gjithë drejtëzën pasi që rrafshi paraqitet si drejtëz s2, prandaj projeksioni i dytë i drejtëzës a është vizatuar me vijë të plotë.

Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin e tretë projektuesNë vizatimin 4.33 janë paraqitur gjurma t1, t2

dhe t3 të rrafshit të tretë projektues T, projeksionet

Vizatimi 4.32

Vizatimi 4.31

Vizatimi 4.30

65

Rrafshet

shoqëruese A’, A’’ dhe a’’’ të drejtëzës a dhe pro-jeksionet shoqëruese A’, A” dhe A’’’ të depërtimit A. Për përcaktimin e projeksionit të tretë a’’’ të drejtëzës a do ta shfrytëzojmë projeksionin e tretë A1’’’ të depërtimit të saj të parë A1 dhe projeksionin e tretë B’’’ të cilës do pikë të saj B. Pasi që pika A shtrihet në rrafshin T, projeksioni i saj i tretë A’’’ gjendet në gjurmën e tretë t3.

Nga ana tjetër, pika A shtrihet edhe në drejtëzën a, prandaj projeksioni i saj i tretë A’’’ duhet të shtrihet në projeksionin e tretë a’’’ të drejtëzës a, për këtë arsye A’’’ gjendet në prerjen e drejtëzave t3 dhe a’’’. Në bazë të këtij diskutimi mund ti përcaktojmë projeksionet shoqëruese të depërtimit të rrafshit të tretë projektues T dhe drejtëzës a. Projeksioni i dytë i depërtimit A” ësh-të prerja e drejtëzës a” dhe ordinales së tërhequr nga A” normal në boshtin-z, ndërsa projeksioni i parë A’ është prerja e drejtëzës a’ me ordinalen e tërhequr nga pika A” normal në boshtin-x.

Kur rrafshin T dhe drejtëzën a i shikojmë nga lartë ose nga përpara, nuk e shohim atë pjesë të drejtëzës që është majtas nga depërtimi A, prandaj në vizatimin 4.33 projeksioni i parë dhe projeksioni i dytë në atë pjesë të drejtëzës janë të vizatuar me vijë të ndërprerë. Nëse, nga ana tjetër, rrafshin T dhe drejtëzën a i shikojmë në drejtim të projektimit në 3 e shohim gjithë drejtëzën pasi që rrafshi T paraqitet si drejtëz t3, prandaj projeksioni i tretë i drejtëzës a është vizatuar me vijë të plotë.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të tri rrafsheve të projeksionit nga kartoni dhe para tij vendos një pjesë nga kar-toni në formë të drejtkëndëshit normal në rrafshin:a) 1; b) 2; c) 3.

Pjesën nga kartoni paramendoje si rrafsh në hapë-sirë. Depërtoje rrafshin me tel të hollë. Vëre në dukje pikën depërtuese dhe sqaro dukshmërinë e drejtëzës.2. Gjeje depërtimin e drejtëzës a=AB[A(1;1;1), B(6;2;3)] me rrafshin T(5;3;).3. Gjeje depërtimin e drejtëzës m=MN[M(1;2;1), N(5;4;3)] me rrafshin E(5;;4).4. Gjeje depërtimin e drejtëzës r=PQ[P(1;1;1), Q(5;5;6)] me rrafshin T(;4;5).

Vizatimi 4.33

66

Rrafshet

4.8. RRËZIMI I RRAFSHEVE PROJEKTUESE

Që ta fi tojmë madhësinë e vërtetë të seg-mentit, këndit apo fi gurës rrafshore që shtrihet në rrafshin projektues, rrafshin e rrotullojmë rreth gjurmës së tij ashtu që të përputhet me njërin nga rrafshe të projeksionit.

Rrëzimi i rrafshit të parë projektuesNë vizatimin 4.34 dhe vizatimin 4.36 është

paraqitur rrafshi i parë projektues T. Atë mund ta rrëzojmë në 1 ose 2, në varësi nga ajo se a do ta rrotullojmë rreth gjurmës së parë apo asaj të dytë.

Së pari do të tregojmë si mund ta rrëzojmë rrafshin T në 1, duke e rrotulluar për 90o rreth gjurmës së parë t1 (vizatimi 4.34). Pasi që të dy gjurma t1 dhe t2 reciprokisht janë normale, ata edhe pas rrëzimit të rrafshit do të jenë reciprok-isht normale. Prandaj nga pika Tx tërheqim nor-male në t1 për ta fi tuar gjurmën e dytë në pozitë të rrëzuar t2

0. Me rrëzimin e rrafshit T, i rrëzojmë edhe të gjitha pika që shtrihen në të. Ta shëno-jmë me A0 pikën A në pozitë të rrëzuar. Pasi q`

0x A'A"AAAA �� pika Ao fi tohet nga projeksioni i parë A’ nëse normal në t1 e bartim koordinatën z të pikës A, gjegjësisht largesën "AAx (vizatimi 4.35). Ngjashëm fi tohen edhe pika tjera të cilat shtrihen në rrafshin T në pozitë të rrëzuar.

Në vizatimin 4.36 është paraqitur mënyra e dytë për rrëzimin e rrafshit T. Rrafshin T e rrotul-lojmë (zakonisht për kënd të gjerë ), rreth gjur-mës së dytë t2, e cila është normale në boshtin-x përderisa ai nuk përputhet me rrafshin e dytë të projeksionit 2. Pas rrëzimit, gjurma e dytë t2 mbetet normale në boshtin-x. Pika A, duke u rro-tulluar së bashku me rrafshin T, përshkruan hark rrethor i cili është në rrafsh paralel me 1 dhe normal në 2. Qendra e harkut rrethor gjendet në t2. Projeksioni i parë l’, i harkut rrethor l, do të jetë në madhësi të vërtetë, me rreze 'ATx dhe qendër Tx. Projeksioni i dytë l”, do të jetë seg-menti A”(A), paralel me boshtin-x. Prandaj, nga Tx me rreze 'ATx përshkruajmë hark deri te pre-rja e A’ me boshtin-x. Nga (A’) tërheqim normale në boshtin-x, ndërsa nga A” tërheqim drejtëz pa-

Vizatimi 4.36

Vizatimi 4.35

Vizatimi 4.34

67

Rrafshet

ralele me boshtin-x. Në prerjen e tyre e fi tojmë pikën A) (vizatimi 4.37).

Rrëzimi i rrafshit të dytë projektuesRrafshet e dyta projektuese rrëzohen në

mënyrë të ngjashme si edhe rrafshet e para projektuese, me atë ndryshim që rolet e projek-sioneve janë të ndryshuara. Në vizatimin 4.38 është paraqitur rrëzimi i rrafshit T në 2 me rrotul-lim rreth gjurmës së dytë t2, ndërsa në vizatimin 4.39 është paraqitur rrëzimi i rrafshit T në 1 me rrotullim rreth gjurmës së parë t1. Për ta rrëzuar rrafshin T në 2, nga Tx tërheqim normale në t2 dhe e fi tojmë gjurmën e parë t1

0 në pozitë të rrëzuar. Pikën A në pozitë të rrëzuar Ao e fi to-jmë nëse, nga pika A” tërheqim normale në t2, e pastaj e bartim koordinatën y në pikën A.

Pas rrëzimit të rrafshit T në 1, gjurma e dytë t2 përputhet me boshtin-x. Pika A në pozitë të rrëzuar (A) fi tohet nëse me rreze xT"A përshkru-ajmë hark rrethor me qendër në prej Tx deri te prerja me boshtin-x. Në prerje fi tohet pika (A”). Nga A’ tërheqim drejtëz paralele me boshtin-x, ndërsa prej (A”) tërheqim normale në boshtin-x. Në prerje e fi tojmë (A), gjegjësisht pikën A në pozitë të rrëzuar (vizatimi 4.39).

Rrëzimi i rrafshit të tretë projektuesNë vizatim 4.40 është paraqitur rrafshi i tretë

projektues T. Gjurmët t1 dhe t2, janë normal në rrafshin e tretë projektues 3, për këtë arsye janë normal edhe në gjurmën e tretë t3. Rrafshin T do ta rrëzojmë në 3, nëse e rrotullojmë për 90o rreth gjurmës së tretë t3. Kështu ai do të për-puthet me rrafshin 3.pasi që gjurmët t1 dhe t2 janë normal në gjurmën t3, ato edhe pas rrëzimit do të jenë normal në t3.

Sipas kësaj, nga Ty dhe Tz normal në t3 i tër-heqim pozita të rrëzuara t1

0 dhe t20, të gjurmëve

t1 dhe t2 (vizatimi 4.41). Harkun l të cilin e për-shkruan pika A gjatë rrotullimit rreth gjurmës t3 në projeksion të tretë projektohet si segment A’’’Ao normal në t3. Pozita e rrëzuar Ao e pikës A fi tohet nëse normal në gjurmën t3 nga A’’’ e bartim koor-dinatën x të pikës A, pasi që .OAA'"A'"AA x0 �� Në këtë mënyrë fi tohen pozita të rrëzuara edhe të pikave të tjera të cilat shtrihen në rrafshin T.

Vizatimi 4.39

Vizatimi 4.38

Vizatimi 4.37

68

Rrafshet

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të tre rrafsheve të projeksionit nga kartoni dhe para tij vendos një pjesë nga kar-toni në formë të drejtkëndëshit, normal në rrafshin:a) 1; b) 2; c) 3.

Pjesën nga kartoni paramendoje si rrafsh në hapësirë. Merr një top prej tape dhe nëpër të kalo një gjilpërë. Gjilpërën ngule në rrafsh. Para-mendoje topin si pikë në hapësirë, e pastaj kryeji ecuritë e përshkruara më lart për rrëzimin e rraf-shit. Vëzhgoje pozitën e pikës gjatë rrëzimit.2. Vizato pozitën e rrëzuar të pikës A(5;y;7) e cila shtrihet në rrafshin T(8;5;), me rrëzimin e rrafshit në: a) 1; b) 2.3. Vizato pozitën e rrëzuar të pikës B(5;7;z) e cila shtrihet në rrafshin T(6;;10), me rrëzimin e rrafshit në: a) 1; b) 2.

4.9. FIGURAT GJEOMETRIKE QË SHTRIHEN NË RRAFSHE PROJEKTUESE

Nëse dimë se si fi tohet projeksioni i rrëzuar i pikës që shtrihet në rrafshin projektues, atëherë lehtë mund të vizatojmë fi gura gjeometrike që shtrihen në rrafshe projektuese. Këtë do ta ilus-trojmë me disa shembuj.

Detyra 1. Vizato madhësinë e vërtetë të trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin T(8;6;), nëse A(5,5;y;2), B(3,5;y;4). C(2;y;0,5) (vizatimi 4.42).

Pasi që t’i vizatojmë gjurmët e rrafshit T, i bartim koordinatat e pikave ABC. Pasi që rraf-shi T është rrafshi i parë projektues, projeksioni i parë A’B’C’ i trekëndëshit ABC është në gjurmën t1. Prandaj, projeksionin e parë të trekëndëshit ABC do ta fi tojmë nëse nga A”. B” dhe C” tërhe-qim normale deri te prerja me gjurmën e parë t1.

Rrafshin T do ta rrëzojmë në 1. Nga pika Tx normal në t1 vizatojmë pozitën rrëzuese t2

0 të gjurmës së dytë t2. Pastaj nga projeksioni i parë A’, i kulmit A, normal në gjurmën e parë t1 e bar-

Vizatimi 4.42

Vizatimi 4.41

Vizatimi 4.40

69

Rrafshet

tim koordinatën z të pikës A. Kështu e fi tojmë pikën Ao, gjegjësisht pikën A në pozitë të rrëzuar. Në mënyrë të njëjtë do të veprojmë edhe për pikat B dhe C, me çka do ti fi tojmë pikat Bo dhe Co, gjegjësisht pikat B dhe C në pozitë të rrë-zuar. Me lidhjen e pikave Ao, Bo dhe Co e fi tojmë trekëndëshin AoBoCo, gjegjësisht trekëndëshin ABC në pozitë të rrëzuar.

Detyra 2. Pika A(1;y;1,5) është kulmi i ka-trorit ABCD i cili shtrihet në rrafshin T(4,5;4,5;). Vizato projeksionet shoqëruese të katrorit, nëse brinja AB është me gjatësi 3 njësi dhe është pa-ralele me 1 (vizatimi 4.43).

Pasi që ta rrëzojmë rrafshin T së bashku me pikën A, nga Ao paralel me t1 bartim gjatësi prej 3 njësive me çka e fi tojmë pikën Bo. Dimë se nëse drejtëza apo segmenti është paralel me 1, ajo në pozitë të rrëzuar do të jetë paralele me t1. Vizatojmë katrorin në madhësi të vërtetë, dhe i fi tojmë pikat Co dhe Do. Nga pikat Bo, Co dhe Do tërheqim normale kah gjurma t1. Në pre-rje me të i fi tojmë projeksionet e para A’, B’, C’ dhe D’, gjegjësisht projeksionin e parë të katrorit ABCD. Largesat nga pika Ao, Bo, Co dhe Do deri te gjurma t1, në të vërtetë janë koordinatat z të atyre pikave. Me bartjen përkatëse të koordina-tave z nga boshti-x e fi tojmë projeksionin e dytë A”B”C”D” të katrorit.

Detyra 3. Në rrafshin T(6,5; ;3,5) shtrihet drejtkëndëshi ABCD me kulme A(1,5;1,5;z), B(5;1,5;z), C(5;4;z) dhe D(1,5;4;z). Vizato drejtkëndësh në madhësi të vërtetë (vizatimi 4.44).

Nëse prej pikave A’, B’, C’ dhe D’ tërheqim normale në boshtin-x deri te prerja me gjurmën t2, o ta fi tojmë projeksionin e dytë A”B”C”D” të drejtkëndëshit. Rrafshin T e rrëzojmë në 2.

Nëse prej projeksioneve të dyta A”, B”, C” dhe D”, normal në gjurmën t2, i bartim y koordi-nata të pikave A, B, C dhe D, do ta fi tojmë poz-itën e rrëzuar AoBoCoDo të drejtkëndëshit ABCD, që është edhe madhësie e tij e vërtetë.

Detyra 4. Pesëkëndëshi i rregullt me brin-jë AB me gjatësi 3 njësi shtrihet në rrafshin T(5;;5). Vizato projeksionet shoqëruese të pesëkëndëshit , nëse brinja AB është paralele

Vizatimi 4.44

Vizatimi 4.43

70

Rrafshet

me gjurmën t1 dhe është e larguar nga ajo për 2 njësi (vizatimi 4.45).

Rrafshin T e rrotullojmë rreth gjurmës t1, ash-tu që të përputhet me rrafshin 1. Gjurma e dytë t2 në pozitë të rrëzuar do të përputhet me boshtin-x. Të gjitha pikat që shtrihen në rrafshin T, duke u rrotulluar rreth gjurmës t1, përshkruajnë harqe rrethore me qendra në gjurmën t1. Këto harqe në projeksionin e dytë projektohen në madhësi të vërtetë, përderisa në projeksionin e parë projek-tohen në segmente normale në gjurmën t1. Pasi që do ta vizatojmë pozitën e rrëzuar (A)(B) të brin-jës AB, vizatojmë pesëkëndëshin (A)(B)(C)(D)(E), gjegjësisht pesëkëndëshin ABCDE në mad-hësi të vërtetë. Se si fi tohen projeksionet e para A’B’C’D’E’ dhe të dyta A”B”C”D”E” të pesëkëndës-hit do të tregojmë nëpërmjet pikës A, pasi që edhe pika të tjera fi tohen në mënyrë të njëjtë.

Me rreze 2 njësi nga Tx vizatojmë harkun rrethor deri te prerja me gjurmën t2 dhe e fi tojmë pikën A”. Nga (A) tërheqim normale në gjurmën t1, ndërsa nga A” normale në boshtin-x. Në prerjen e dy normaleve fi tohet A’.

Detyra 5. Vija rrethore me rreze 3 njësi dhe qendër në pikën S(3;y;3) shtrihet në rrafshin T(6;5;). Vizato projeksionet shoqëruese të vijës rrethore (vizatim 4.46).

Rrafshin T e rrëzojmë në rrafshin 2, duke e rrotulluar rreth gjurmës t2. Atëherë gjurma t1 do të përputhet me boshtin-x. Së pari e gjejmë pikën (S), e pastaj me rreze të dhënë vizatojmë vijën rre-thore, me çka e fi tojmë vijën rrethore në pozitën e rrëzuar. Pastaj tërheqim dy diametra reciprokisht normal (A)(B) dhe (C)(D), ashtu që diametri (A)(B) është paralel me gjurmën t2, ndërsa diametri (C)(D) është normal me gjurmën t2. Këto diametra i kthejmë prapa në projeksionin e parë dhe të dytë në mënyrë të përshkruar më parë dhe i fi tojmë boshtet e elipsës.

Elipsën e vizatojmë me njërën nga konstruk-sionet e elipsës ose me kthim prapa të numrit mjaft të madh të pikave të elipsës.

Detyra 6. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtkëndëshit ABCD i cili shtrihet në rrafshin T(;5;6), nëse A(2,5;y;1), brinja AB është e gjatë 4 njësi dhe formon kënd 30o me gjurmën t3, ndër-sa brinja BC është e gjatë 3 njësi (vizatimi 4.37).

Vizatimi 4.46

Vizatimi 4.45

71

Rrafshet

Kur rrafshi është rrafsh i tretë projektues, siç është rasti me rrafshin T, rrafshin e rrëzojmë në 3. Pasi që ta fi tojmë pikën Ao, nga kushtet e dhënë në detyrë vizatojmë drejtkëndëshin AoBoCoDo në pozitë të rrëzuar, e pastaj e gjejmë projeksionin e parë A’B’C’D’ dhe projeksionin e dytë A”B”C”D” të drejtkëndëshit, në mënyrë të ngjashme siç është përshkruar në kapitullin paraprak, ku kemi shem-bull për rrëzimin e rrafshit të tretë projektues.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato madhësinë e vërtetë të trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin T(7;;6), nëse: A(0;4;z), B(2;1;z) dhe C(5;3;z).2. Pika A është kulm i pesëkëndëshit të rregullt ABCDE me brinjë 3cm, i cili shtrihet në rrafshin T(5;5;). Vizato projeksionet e pesëkëndëshit, nëse brinja AB është paralele me rrafshin 1.3. Pika M(4;y;4) është qendra e vijës rrethore të jashtëshkruar rreth gjashtëkëndëshit me brinjë 3cm. Vizato projeksionet e gjashtëkëndëshit, nëse ai shtrihet në rrafshin T(;8;8).4. Vizato projeksionet e vijës rrethore me qendër në pikën S(4;3;z) e cila shtrihet në rrafshin T(7;;6) dhe e takon 2.

4.10. TRUPAT GJEOEMTRIK TË CILAT ME BAZË SHTRIHEN NË RRAFSHET PROJEKTUESE

Në këtë kapitull do të vizatojmë projeksionet e trupave gjeometrik baza e të cilëve është në rrafshet projektuese. Me disa shembuj do ta ilus-trojmë ecurinë e zgjidhjes së detyrave të këtilla.

Detyra 1. Vizato projeksionet e piramidës së drejtë të rregullt, baza ABCD e së cilës shtrihet në rrafshin e parë projektues T dhe tehu i bazës AB me rrafshin 1 formon kënd prej 30o (vizatimi 4.48).

Nga pika Ao, nën kënd prej 30o kah gjurma t1 e bartim madhësinë e vërtetë të tehut të bazës AB dhe i fi tojmë AoBo. Konstruktojmë katrorin AoBoCoDo dhe i tërheqim diagonalet me çka e fi tojmë pikën So, e cila është rrënza e lartësisë së piramidës.

Vizatimi 4.47

72

Rrafshet

Pastaj vizatojmë projeksionin e parë A’B’C’D’ dhe projeksionin e dytë A”B”C”D” të bazës. Po ashtu, e gjejmë projeksionin e parë S’ dhe të dytë S” të pikës S, në mënyrë paraprakisht të përshkruar.

Pasi që lartësia është normal në bazë, ndër-sa baza shtrihet në rrafshin T, nga S’ normal në gjurmën t1 tërheqim normalen n’, ndërsa nga S” normal në t2 tërheqim normalen n”.

Lartësia e piramidës SV është paralel me 1, kështu në projeksionin e parë projektohet në madhësi të vërtetë. Prandaj nga S’ në n’ bartim gjatësinë e lartësisë SV dhe fi tojmë projeksionin e parë V’ të majës V. Projeksioni i dytë V” fi tohet kur nga V’ ngrehet normalja në boshtin-x deri te prerja me n”. Nëse V e lidhim me kulme tjera të bazës fi tojmë projeksionet e piramidës.

Në projeksion të parë do të jetë e dukshme kontura dhe tehu C’V’, pasi që pika C është më e lartë në drejtim të shikimit, ndërsa pika A është më e ulët, prandaj tehu A’V’ do të jetë i padukshëm.

Në projeksion të dytë do të jetë e dukshme kontura dhe tehu D”V”, ndërsa tehu B”V” do të jetë i padukshëm, pasi që pika B është më e lar-guar nga drejtimi i shikimit.

Detyra 2. Vizato projeksionet e prizmës së drejtë me tehe të bazës AB, CD dhe lartësi h, e cila me bazë shtrihet në rrafshin e parë projektues T, ndërsa tehu i bazës AB me rrafshin 2 formon kënd prej 30o (vizatimi 4.49).

Rrafshin T do ta rrëzojmë në 2 duke e rrotul-luar rreth gjurmës t2.

Nga pika (A) nën kënd prej 30o kah gjurma t2 e bartim tehun e bazës AB, e pastaj e vizatojmë drejtkëndëshin (A)(B)(C)(D), gjegjësisht madhës-inë e vërtetë të bazës. Pastaj e vizatojmë pro-jeksionin e parë A’B’C’D’ dhe projeksionin e dytë A”B”C”D” të bazës. Nga projeksioni i dytë i kul-meve të bazës vizatojmë normale kah gjurma t2, ndërsa nga projeksioni i parë i kulmeve të bazës vizatojmë normale kah gjurma t1. Lartësia në pro-jeksion të parë projektohet në madhësi të vërtetë, prandaj në normalet në projeksion të parë bartim lartësinë h, me çka i fi tojmë kulmet e bazës së sipërme të prizmit në projeksion të parë. Nëse nga ato ngrehim ordinale deri te prerja me nor-male përkatëse në projeksion të dytë, do ti fi to-Vizatimi 4.49

Vizatimi 4.48

73

Rrafshet

jmë projeksionet e dyta të kulmeve të bazës së sipërme të prizmit.

Në projeksion të parë do të jetë e dukshme kontura dhe tehu B’B1’, pasi që është më i lartë në drejtim të shikimit, ndërsa tehu D’D1’ nuk do të jetë i dukshëm pasi që është më i ulët në drejtim të shikimit.

Në projeksion të dytë do të jetë e dukshme kontura dhe tehu C”C1”. Pika më e largët në drejtim të shikimit është pika A, prandaj të gjitha tehet të cilat ajo i lidh janë të padukshëm.

Detyra 3. Vizato projeksionet e prizmit së drejtë të rregullt gjashtëkëndore me teh të bazës AB dhe lartësi H, i cili me bazë shtrihet në rraf-shin e dytë projektues T dhe pika S është qen-dra e vijës rrethore të jashtëshkruar rreth gjash-tëkëndëshit (vizatimi 4.50).

Rrafshin T e rrëzojmë në 2 dhe e fi tojmë pikën So. Pastaj vizatojmë njërën nga pozitat e mundshme të rrëzuara AoBoCoDoEoFo të gjash-tëkëndëshit ABCDEF, e pastaj këto kulme i kthe-jmë mbrapa në projeksionin e parë dhe të dytë, me çka fi tojmë projeksionin e parë A’B’C’D’E’F’ dhe të dytë A”B”C”D”E”F” të bazës së prizmit.

Në normalet e ngritura nga projeksionet e dyta të kulmeve në t2 bartim madhësinë e vërtetë të lartësisë, kështu fi tojmë projeksionet e dyta të kulmeve të bazës së sipërme të prizmit. Pastaj e gjejmë projeksionin e parë të bazës së sipërme.

Në projeksion të parë do të jetë e dukshme kontura dhe tehet të cilat i lidhin pikat C1’ dhe D1’ pasi që pikat C1 dhe D1 janë më të larta në drejtim të shikimit. Pikat A dhe F janë më të ulë-ta, kështu projeksionet e para të teheve të cilat ato i lidhin do të jenë të padukshme.

Në projeksion të dytë do të jetë e dukshme kontura dhe tehet E”E1” dhe F”F1”, pasi që janë më të afërta në drejtim të shikimit. Pikat B dhe C janë më të largëta në drejtim të shikimit, kështu projeksionet e teheve të cilat ato i lidhin do të jenë të padukshme.

Detyra 4. Vizato projeksionet e cilindrit të drejtë, me rreze të dhënë, lartësi dhe qendër të bazës S, e cila shtrihet në rrafshin e dytë projek-tues T (vizatimi 4.51).

Vizatimi 4.50

74

Rrafshet

Pasi që ta rrëzojmë rrafshin T, së bashku me pikën S, vizatojmë vijën rrethore me rreze të dhënë me qendër në (S). Tërheqim dy diametra të atillë që (A)(B) është paralel me gjurmën t1 dhe (C)(D) është normal në gjurmën t1. E gje-jmë projeksionin e parë A’B’ dhe C’D’ dhe pro-jeksionin e dytë A”B” dhe C”D”. Në projeksionin e parë e vizatojmë elipsën me ndonjë konstruk-sion të njohur ose me zgjedhje të një numri mjaft të madh të pikave të elipsës.

Pasi që lartësia në projeksionin e dytë pro-jektohet në madhësi të vërtetë, e bartim në nor-malen e ngritur nga S” dhe fi tojmë S1”. Projek-sioni i dytë i bazës së sipërme dhe poshtme janë segmente me gjatësi të barabartë me diametrin e rrethit, prej të cilëve i poshtmi do të shtrihet në gjurmën t2, ndërsa i sipërmi është paralel me të. Pastaj tërheqim gjeneratrisa të konturës C”C1” dhe D”D1”.

Pas vizatimit të projeksionit të parë të bazës së sipërme të cilindrit dhe tërheqjes së gjener-atrisave të konturës A’A1’ dhe B’B1’, do ta për-caktojmë dukshmërinë e cilindrit. Në projeksion të parë do të jetë e dukshme kontura dhe baza e sipërme e cilindrit. Kufi ri i sipërfaqes së duk-shme dhe të padukshme të cilindrit do të jenë gjeneratrisat A’A1’ dhe B’B1’.

Në projeksion të dytë kontura e cilindrit do të jetë e dukshme, ndërsa kufi ri i sipërfaqes së dukshme dhe të padukshme të cilindrit do të jenë gjeneratrisat C’’C1’’ dhe D’’D1’’.

Detyra 5. Vizato projeksionet e prizmës së drejtë të rregullt trefaqësore me lartësi h, nëse njëra bazë e saj ABC shtrihet në rrafshin e tretë projektues T (vizatimi 4.52).

Rrafshin T e rrëzojmë në 3. Pas vizatimit të pozitës së rrëzuar AoBoCo të bazës së prizmës e cila shtrihet në rrafshin T, këto pika i kthejmë mbrapa në projeksion të parë A’B’C’, projek-sion të dytë A”B”C” dhe në projeksion të tretë A’’’B’’’C’’’.

Pasi që tehet anësore janë normal në rraf-shin T, ato në projeksion të tretë do të projekto-hen në madhësi të vërtetë. Prandaj në normale të ngritura nga A’’’B’’’C’’’ në gjurmën t3 e bartim lartësinë e prizmës h me çka fi tohen projeksionet e treta të kulmeve të bazës së sipërme, e cila në

Vizatimi 4.52

Vizatimi 4.51

75

Rrafshet

projeksion të tretë do të projektohet si segment, ndërsa baza e poshtme do të jetë në t3.

Projeksioni i parë A1’B1’C1’ i bazës së sipërme të prizmës do të jetë në normale të tër-hequra nga A’B’C’ në gjurmën t1.

Projeksioni i dytë A1”B1”C1” i bazës së sipërme të prizmës do të jetë në normale të tër-hequra nga A”B’C” në gjurmën t2.

Në projeksion të parë kontura e prizmës do të jetë e dukshme, ndërsa tehet të cilat i lidh pika A’ do të jenë të padukshëm, pasi që pika A është më e ulët në drejtim të shikimit.

Në projeksion të dytë kontura e prizmës do të jetë e dukshme, ndërsa i padukshëm do të jetë tehu B”C”, pasi që tehu BC është më i lar-guar në drejtim të shikimit.

Në projeksion të tretë kontura e prizmës dhe tehu B’’’B1’’’ do të jenë të dukshëm, pasi që tehu B’B1’ është më i afërt në drejtim të shikimit.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato projeksionet e kubit me teh të bazës 3 njësi, nëse njëra faqe anësore e tij shtrihet në rrafshin e parë projektues T dhe tehu i bazës me rrafshin 1 formon kënd prej 45o.2. Vizato projeksionet e piramidës së drejtë me tehe të bazës AB, CD dhe lartësi h, e cila me bazë shtrihet në rrafshin e parë projektues T, ndërsa tehu i bazës AB me rrafshin 2 formon kënd prej 60o.3. Vizato projeksionet e piramidës së drejtë të rregullt gjashtëkëndore me teh të bazës 2 njësi dhe lartësi 5 njësi, baza e së cilës shtrihet në rrafshin e dytë projektues T. Pika S(8;6;7) është qendra e vijës rrethore të jashtëshkruar rreth gjashtëkëndëshit.4. Vizato projeksionet e cilindrit të drejtë barabrinjës me rreze 3 njësi dhe qendër të bazës S(7;6;5) me të cilën shtrihet në rrafshin e dytë projektues T.5. Vizato projeksionet e prizmit të drejtë të rreg-ullt katërkëndore me teh të bazës 3 njësi dhe lartësi 5 njësi, baza e së cilës shtrihet në rrafshin e tretë projektues T.

76

Rrafshet

Tërësia tematike

5. TRANSFORMIMI


■ ta mësojë transformimin e pikës, drejtëzës dhe trupave gjeometrikë

■ ta mësoj transformimin e trupave nga praktika

78

Transformimi

TËRËSIA TEMATIKE

5. TRANSFORMIMI

5.1. Koncepti për transformim5.2. Transformimi i pikës5.3. Transformimi i fi gurave gjeometrike5.4. Transformimi i trupave gjeometrikë

79

Transformimi

5. TRANSFORMIMI

5.1. KONCEPTI PËR TRANSFORMIM

Disa objekte janë të bëra ashtu që projeksio-ni i tyre i tretë më lehtë mund të vizatohet nëse rrafshi i projeksionit 3 nuk është normal në të dy rrafshe të projeksionit 1 dhe 2, por është nor-mal vetëm në rrafshin 1 ose vetëm në rrafshin 2. Rrafshi i tillë i projeksionit 3 i cili është i ven-dosur anash nga objekti quhet rrafshi i trans-formimit, ndërsa projeksioni normal i objektit në atë rrafsh quhet projeksioni i transformuar.

Procedura për futjen e rrafsheve të reja dhe përcaktimin e projeksioneve në to quhet trans-formim.

Me ndihmën e transformimit disa lëndë te-knike më lehtë mund ti vëmë në dukje. Po ashtu ka edhe detyra teknike të cilat më lehtë mund të zgjidhen nëse rrafsheve 1 dhe 2 i shtohet rraf-shi i projeksionit 3 i cili është normal vetëm në njërin prej tyre, e përpos kësaj ka ndonjë pozitë të veçantë ndaj disa elementeve të detyrës të cilën duhet ta zgjidhim.

5.2. TRANSFORMIMI I PIKËS

Te transformimi i pikës do ti shqyrtojmë de-tajisht tre raste në varësi nga pozita e rrafshit të transformimit.

Rrafshi i transformimit 3 le të jetë normal vetëm në rrafshin 1.

Në vizatim 5.1 janë paraqitur rrafshe të pro-jeksionit 1 dhe 2, pika A në hapësirë zë bashku me projeksionin e saj të parë A’ dhe atë të dytë A”. Rrafsheve 1 dhe 2 i është shtuar edhe rraf-shi i transformimit 3 i cili është normal në 1, ndërsa me 2 formon kënd 2. Ai e pret rrafshin 1 në drejtëz e cila është e shënuar me 1x3.

Nëse nga pika A tërheqim normale në rraf-shin e transformimit 3 atëherë rënza e saj A’’’ është projeksion i transformuar ose transformim i pikës A në rrafshin 3 i cili është normal vetëm në rrafshin 1. Rrafshin të cilin e përbëjnë normalet AA’ dhe AA’’’, të lëshuar nga pika A në 1 dhe në

Vizatimi 5.1

80

Transformimi

2 është normal në boshtin-1x3 në të cilin priten ato dy rrafshe. Nëse ai rrafsh e pret boshtin-1x3 në pikën K, atëherë segmentet A’K dhe A’’’K janë normal në atë bosht. Nga drejtkëndëshat AA’KA’’’ dhe AA’AxA” rrjedh ,"AAA'AKA x

III �� gjegjësisht ."AAKA x

III �

Largesa e projeksionit A’’’ të pikës A nga boshti-1x3 është e barabartë me largesën e projeksionit të dytë A” të pikës A me bosh-tin-x.

Nëse tani rrafshin e transformimit 3 e rrëzo-jmë rreth boshtit-1x3 në anën e majtë të rrafshit 1 atëherë pika A’’’ e rrafshit 3 përshkruan në drejtim të akrepave të orës çerekun e vijës rre-thore te e cila pika K është qendër dhe bie në 1 në pikën A’’’ e cila me pikën A’ është në normalen e tërhequr nga A’ kah boshti-1x3. Kështu fi tuam projeksionet e reja A’ dhe A’’’ të pikës A, siç ishin më parë A’ dhe A” projeksionet e pikës A.

Detyra 1. Janë dhënë projeksioni i parë A’ dhe projeksioni i dytë A” i pikës A. Vizato trans-formimin e pikës A nëse rrafshi i transformimit është normal në 1 ndërsa me rrafshin 2 formon kënd prej 60o (vizatimi 5.2).

Nga projeksioni i parë A’ i pikës A tërheqim normalen në boshtin e ri 1x3 i cili me boshtin-x formon kënd prej 60o. Në atë normale duhet ta jetë transformimi A’’’ i cili fi tohet nga kushti

.z"AAKA xIII �� Le të jetë rrafshi i transformimit 3 normal

vetëm në rrafshin 2. Në vizatimin 5.3 janë paraqitur rrafshe të

projeksionit 1 dhe 2, si dhe pika A me pro-jeksionet e veta A’ dhe A”. Përpos kësaj është dhënë rrafshi i transformimit 3 i cili është nor-mal në rrafshin 2, ndërsa me rrafshin 1 formon kënd 1. Drejtëza në të cilën priten rrafshet 2 dhe 3 është shënuar me 2x3. Rrëza e normales së lëshuar nga pika A në rrafshin 3 është pro-jeksioni i transformuar A’’’ i pikës A në rrafshin e transformimit 3 i cili është normal vetëm në 2. Rrafshi i normaleve AA” dhe AA’’’ të lëshuar nga A në 2 dhe në 3 është normal në boshtin-2x3 në të cilin priten ato dy rrafshe.

Nëse ai rrafsh e pret boshtin-2x3 në pikën L atëherë segmentet A”L dhe A’’’L janë normal

Vizatimi 5.3

Vizatimi 5.2

81

Transformimi

në atë bosht. Nga drejtkëndëshat AA”LA’’’ dhe AA’AxA” rrjedh ,AAA"ALA x

III �� gjegjësisht .AALA x

III �

Largesa e projeksionit A’’’ të pikës A nga boshti-2x3 është e barabartë me largesën e projeksionit të parë A’ të pikës A me boshtin-x.

Nëse tani rrafshin e transformimit 3 e rrëzo-jmë rreth boshtit-2x3 në anën e majtë të rrafshit 2 atëherë pika A’’’ e rrafshit 3 përshkruan në drejtim të akrepave të orës çerekun e vijës rre-thore te e cila pika L është qendër dhe bie në 2 në pikën A’’’ e cila me pikën A” është në nor-malen e tërhequr nga A” kah boshti-2x3.

Detyra 2. Janë dhënë projeksioni i parë A’ dhe projeksioni i dytë A” i pikës A. Vizato trans-formimin e pikës A, nëse rrafshi i transformimit është normal në 2 ndërsa me rrafshin 1 formon kënd prej 60o (vizatimi 5.4).

Nga projeksioni i dytë A” i pikës A tërheqim normalen në boshtin e ri 2x3 i cili me boshtin-x formon kënd prej 60o. Në atë normale duhet ta jetë transformimi A’’’ i cili fi tohet nga kushti

.y'AALA xIII �� Në vizatimin 5.2 dhe në vizatimin 5.4 rraf-

shi i rrëzuar i transformimit është kufi zuar me drejtkëndësh njëra brinjë e të cilit është në bosh-tin 1x3, gjegjësisht në boshtin-2x3.

Le të jetë rrafshi i transformimit 4 normal në rrafshin 3.

Në vizatimin 5.5 janë paraqitur rrafshe të projeksionit 1 dhe 2, pika A në hapësirë, si dhe projeksioni i saj i parë A’ dhe ai i dytë A”. Pastaj është paraqitur rrafshi i transformimit 3 i cili është normal në rrafshin 1 dhe projeksioni i transformuar A’’’ i pikës A në atë rrafsh. Në fund është paraqitur edhe rrafshi i transformimit 4 i cili është normal vetëm në 3 dhe atë e pret në boshtin-3x4. Rënza e normales së lëshuar nga pika A e rrafshit 4 është projeksion i transformu-ar AIV i pikës A. Rrafshi i përcaktuar me normalet AA’’’ dhe AAIV të lëshuar nga pika A në 3 dhe në 4 është normal në boshtin-3x4, prandaj seg-mentet A’’’J dhe AIVJ janë normal në atë bosht. Nga drejtkëndëshat AA””JAIV dhe AA’’’KA’ rrjedh

,'KAIA"AJAIV �� gjegj`sisht .'KAJAIV �

Vizatimi 5.5

Vizatimi 5.4

82

Transformimi

Largesa e projeksionit AIV të pikës A nga boshti-3x4 është e barabartë me largesën e projeksionit të parë A’ të pikës A me boshtin 1x3.

Nëse tani rrafshin e transformimit 4 e rrë-zojmë rreth boshtit-3x4 përpjetë në rrafshit 3 atëherë pika AIV e rrafshit 4 përshkruan në drejtim të akrepave të orës çerekun e vijës rre-thore te e cila pika J është qendër dhe bie në 3 në pikën AIV e cila me pikën A’’’ gjendet në drejtëz nëpër pikën A’’’ normal në boshtin-3x4. Në fund rrafshin e transformimit 3 së bashku me pikat A’’’ dhe AIV e rrëzojmë rreth boshtit-1x3 në anën e djathtë të rrafshit 1, si në vizatimin 5.1.

Detyra 3. Janë dhënë projeksioni i parë A’ dhe projeksioni i dytë A” i pikës A dhe boshtet 1x3 dhe 3x4. Vizato projeksionet e transformuar A’’’ dhe AIV të pikës A (vizatimi 5.6).

Së pari vizatohet transformimi A’’’ i asaj pike si në vizatimin 5.2, e pastaj nga pika A’’’ tërhiqet normalja në boshtin-3x4. Pastaj gjendet pika AIV, ashtu që .u'KAJAIV ��

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model nga kartoni të rrafsheve të pro-jeksionit. Preje një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit e cila do ta prezantojë rrafshin e transformimit. Merr një top prej tape dhe nëpër të kalo një gjilpërë. Gjilpërën ngule ortogonal në rrafshin e transformimit i cili është normal vetëm në: a) rrafshin horizontal, b) rrafshin vertikal, e pastaj rrëzoje. Nëse topin e paramendojmë si pikë në hapësirë, përcakto projeksionin e saj të transformuar.2. Vizato transformimin e pikës A, të dhënë me projeksionet shoqëruese A’ dhe A”, nëse rrafshi i transformimit është:a) normal në 1 ndërsa me 2 formon kënd prej 45o.b) normal në 2 ndërsa me 2 formon kënd prej 30o.

Vizatimi 5.6

83

Transformimi

5.3. TRANSFORMIMI I FIGURAVE GJEOMETRIKE

Në vizatimin 5.7 janë dhënë projeksionet e segmentit AB. Pastaj është vendosur boshti-1x3

në të cilin priten rrafshet 1 dhe rrafshi i trans-formimit 3 i cili është normal vetëm në rrafshin e projeksionit 1.

Konstruktimi i transformimit të segmentit kryhet në mënyrë të paraqitur në kapitullin para-prak për secilën pikë të skajshme të segmentit, për shembull, �’AIII� 1x3, "AAKA x

III � etj. Trans-formimi i segmentit AIIIBIII e fi tojmë me lidhjen e transformimeve AIII dhe BIII të pikave të ska-jshme.

Në veçanti, nëse rrafshi i transformimit ësh-të paralel me segmentin AB atëherë segmenti në projeksion të transformuar do të paraqite në madhësi të vërtetë.

Në vizatimin 5.8 janë dhënë projeksionet e drejtëzës a=AB. Është vendosur boshti-1x3 në të cilin priten rrafshet 1 dhe rrafshi i transformimit 3 i cili është normal vetëm në rrafshin e projek-sionit 1.

Konstruktimi i transformimit të drejtëzës kryhet me transformimin e dy pikave të çfarë-doshme A dhe B të drejtëzës, në mënyrë të paraqitur në kapitullin paraprak, për shembull, �’AIII� 1x3, "AAKA x

III � etj, Transformimin e drejtëzës a’’’ e fi tojmë me lidhjen e projeksion-eve të transformuar AIII dhe BIII të dy pikave të zgjedhura, gjegjësisht aIII=AIIIBIII.

Në veçanti, nëse rrafshi i transformimit ësh-të paralel me drejtëzën a=AB atëherë në projek-sion të transformuar mund të zgjidhim probleme të lidhura me largesën.

Në vizatim 5.9 janë dhënë projeksionet e trekëndëshit ABC i cili është paralel me rrafshin 1. Është vendosur boshti-2x3 në të cilin priten rrafshet 2 dhe rrafshi i transformimit 3 i cili ësh-të normal në rrafshin 2.

Konstruktimi i transformimit të trekëndëshit kryhet në mënyrë të paraqitur në kapitullin para-prak për secilin kulm të trekëndëshit, për shem-bull, �”AIII� 2x3, 'AALA x

III � etj.

Vizatimi 5.8

Vizatimi 5.7

84

Transformimi

Transformimin e trekëndëshit e AIIIBIIICIII fi to-jmë me lidhjen e projeksioneve të transformuar AIII, BIII dhe CIII të kulmeve të trekëndëshit.

Pyetje dhe detyra:

1. Me ndihmën e transformimit cakto madhësinë e vërtetë të segmenteve dhe këndet e tyre të pjerrësisë:a) AB[A(1;3;4),B(4;1;0)]b) CD[C(2;1;2),D(5;6;1)].2. Me ndihmën e transformimit cakto largesën e pikës A me segmentin BC, nëse:a) A(3;1;1), BC[B(1;5;1),C(5;2;5)]b) A(3;1;5), BC[B(0;1;2),C(4;5;2)].3. Me ndihmën e transformimit cakto largesën mes drejtëzave paralele a dhe b, nëse:a) a=AB[A(1;3;1),B(5;6;1)] b=CD[C(4;2;3),D(x;y;z)]b) a=AB[A(1;3;1),B(4;2;4)] b=CD[C(4;4;4),D(x;y;z)].4. Me ndihmën e transformimit cakto largesën mes drejtëzave shmangëse, a=AB dhe b=CD, për A (1;3;1), B(4;2;4), C(0;2;6), D(5;5;4).

5.4. TRANSFORMIMI I TRUPAVE GJEOMETRIKË

Në vizatimin 5.10 janë dhënë projeksionet e kubit i cili është në pozitë frontale, me bazë të poshtme ABCD dhe bazë të sipërme A1B1C1D1. Pastaj është vendosur boshti-1x3 në të cilin priten rrafshet 1 dhe rrafshi i transformimit 3 i cili ësh-të normal vetëm në rrafshin e projeksionit 1.

Konstruktimi i transformimit të kubit kry-het në mënyrë të paraqitur në kapitullin parap-rak, për shembull �’AIII� 1x3, "AAKA x

III � etj. Ai transformim do të ishte i njëjtë me projeksionin e dytë të kubit kur ai nuk do të gjendej në pozitë frontale. Kur kubi shikohet në drejtim të projek-timit normal në rrafshin 3 - projeksioni i parë në atë drejtim të projektimit në vizatim është shënu-ar me s3’ – atëherë gjatë atij transformimit shi-hen tehet AA1, BB1 dhe CC1, ndërsa nuk shihet tehu DD1. Nëse dëshirojmë të fi tojmë përfytyr-

Vizatimi 5.9

85

Transformimi

imin real të kubit do të përdorim edhe rrafshin e transformimit 4 i cili është normal në rrafshin e transformimit 3 dhe e pret në boshtin 3x4.

Nga secili kulm i projeksionit të transformuar të kubit, do të tërheqim normale në boshtin-3x4 dhe nga boshti-3x4 do ta bartim largesën e pro-jeksionit të parë të atij kulmi nga boshti-1x3, për shembull .K'AJAIV � etj. Nëse kubin e shiko-jmë në drejtim të projektimit normal në rrafshin 4 –projeksioni i tretë në drejtim të projektimit i shënuar në vizatim me s4’’’ – do ta shohim bazën e tij të poshtme ABCD dhe tehet BB1, CC1 dhe DD1, e nuk do ta shohim bazën e tij të sipërme A1B1C1D1 dhe tehun AA1. Projeksioni i katërt i ku-bit lë përshtypje se kubin e shikojmë nga poshtë dhe nga ana e tij e djathtë.

Nga shembulli paraprak vërejtëm se duhet të përdorim dy rrafshe të transformimit për të fi t-uar pasqyrën e kubit i cili është dhënë në pozitë

Vizatimi 5.10

86

Transformimi

frontale, ndërsa nga projeksioni i parë dhe i dytë i kubit që nuk është në pozitë frontale mundemi edhe me një rrafsh të transformimit ta fi tojmë pasqyrën e tij.

Kështu në vizatimin 5.11 në raport P=1:10 janë vizatuar projeksioni i parë dhe i dytë të trupit prizmatik i cili nuk është në pozitë frontale, prandaj edhe pasqyra e tij është konstruktuar vetëm me ndihmën e një rrafshi të transformimit. Rrafshi i transformimit 3 është vendosur normal në rraf-shin 1 dhe formon kënd prej 45o me rrafshin 2.

Konstruktimi i transformimit është kryer në mënyrë vijuese. Së pari kulmet e bazës së përparme në projeksion të parë dhe të dytë i shënojmë me numra prej 1 deri 7, pastaj nga projeksioni i parë dhe i dytë i secilit kulm e gje-jmë transformimin e tij. Për shembull, pika e caktuar 1’’’ është në ordinale prej 1’ normal në boshtin-1x3, e me ndihmën e relacionit 11’’’=1x1”.Kur ti lidhim transformimet e të gjitha atyre kul-meve me radhë fi tohet transformimi i bazës së përparme. Nga transformimi i bazës së pasme mjafton të përcaktojmë transformimin e një kulmi të tij. Është përcaktuar transformimi 8’’’ i pikës 8 e cila me pikën 1 formon tehun anësor 18, trans-formimi i të cilit është 1’’’8’’’. Pasi që të gjitha tehet anësore të trupit janë paralele dhe të bara-barta edhe transformimet e tyre duhet të jenë të barabartë dhe mes vete paralele. Pas vizatimit të transformimeve të të gjitha shtatë teheve anë-sore të bazës dhe pas lidhjes së pikave të tyre të skajshme me radhë do të fi tojmë transformimin e bazës së pasme.

Me zgjedhjen e atillë të pozitës së trupit dhe të pozitës së rrafshit të transformimit, transformi-mi krijon një përfytyrim hapësinor sikur trupin ta shikojmë prej lartë nga ana e tij e majtë.

Në vizatim 5.12 janë dhënë projeksionet e konit rrotullues baza e të cilit është paralel me rrafshin 1. Duhet të konstruktojmë transformim-in e konit në rrafshin 3 i cili është normal në rrafshin 2, i vendosur njëherë në anën e djathtë e herën e dytë në anën e majtë të konit.

Boshtet-2x3 reciprokisht janë paralele, e kjo do të thotë se në rrafshin 3 reciprokisht janë normale. Konstruktimi transformimit të pikave të

Vizatimi 5.11

87

Transformimi

caktuara të konit kryhet në mënyrë të paraqitur në kapitullin e para prak, për shembull VIIVIII2x3,

'BBKV xIII � dhe .'VVLV x

III � .Për ta fi tuar boshtin e vogël dhe të madh të

elipsës e cila është transformimi i vijës rrethore të bazës, projeksionet e dy diametrave të vijës rrethore i shënojmë me AB dhe CD, prej të cilëve diametri AB është paralel me 3, ndërsa diametri CD është normal në diametrin AB. Transformimi i diametrit AB është boshti i madh AIIIBIII, ndërsa transformimi i diametrit CD është boshti i vogël CIIIDIII i elipsës. Tangjentet e tërhequra nga VIII e elipsës e mbyllin transformimin e konit.

Duke pasur parasysh se rrafshet 3 janë reciprokisht paralel, konturat e atyre transformi-

Vizatimi 5.12

88

Transformimi

�� meve janë të puthitshëm, me atë ndryshim që në transformimin e konit në rrafshin 3 nga ana e djathtë e tij baza është e dukshme, ndërsa në transformimin e konit në rrafshin 3 nga ana e majtë e tij baza është e padukshme.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato transformimin e piramidës të paraqitur në vizatimin 5.13, nëse rrafshi i transformimit 3 është normal në rrafshin 2, ndërsa boshti-2x3 është vendosur paralel me A”V” dhe atë nga:a) ana e majtë e projeksionit të dytë të piramidës,b) ana e djathtë e projeksionit të dytë të pira-midës.2.Vizato transformimin e cilindrit rrotullues të paraqitur në vizatimin 5.14, nëse rrafshi i trans-formimit 3 është normal në rrafshin 2, ndërsa boshti-2x3 është vendosur paralel me S1”S2” dhe atë nga:a) ana e majtë e projeksionit të dytë të cilindrit,b) ana e djathtë e projeksionit të dytë të cilindrit.3. Në raport P=1:1 vizato projeksionin e parë të objektit të paraqitur në:a) Vizatimin 5.15a b) Vizatimin 5.15b c) Vizatimin 5.15c, nëse dy tehet e tij të bazës me boshtin-x for-mojnë kënd prej 30o. Pastaj konstrukto trans-formimin e tij, nëse rrafshi i transformimit 3 ësh-të normal në rrafshin 2, ndërsa boshti-2x3 me boshtin-x formon kënd prej 60o dhe gjendet nga ana e majtë e projeksionit të dytë të objektit.

Vizatimi 5.15 (b) Vizatimi 5.15 (c)Vizatimi 5.15 (a)

Vizatimi 5.14

Vizatimi 5.13

Tërësia tematike

6. RRAFSHI I PËRGJITHSHËM


■ t’i thellojë njohuritë e veta për hapësirën dhe paraqitjen e formave më të ndërlikuara hapësinore me lidhjet e tyre reciproke,

■ të mësojë këto metoda t’i zbatojë në formë praktike,

■ të mësojë ta përcaktojë prerjen e rrafsheve,

■ të mësojë ta përcaktojë depërtimin e drejtëzës në rrafsh,

■ të mësojë kur pika dhe drejtëza shtrihen në rrafshin e përgjithshëm,

■ t’i mësojë bashkë-gjurmët, ■ të mësojë t’i përcaktojë gjurmët e

rrafshit, ■ të mësojë ta rrëzojë rrafshin e

përgjithshëm. ■ t’i mësoj projeksionet e fi gurave të

rrafshëta që shtrihen në rrafshin e përgjithshëm

■ të mësoj për drejtëzën normale në rrafsh

■ të mësoj t’i vizatoj trupat me bazë në rrafshin e përgjithshëm

90

Rrafshi i përgjithshëm

TËRËSIA TEMATIKE


6.1. Pika dhe drejtëza në rrafshin e përgjithshëm6.2. Bashkë-gjurmët dhe zbatimi i tyre6.3. Përcaktimi i gjurmëve të rrafshit të dhënë me drejtëza dhe pika6.4. Prerja e dy rrafsheve6.5. Depërtimi i drejtëzës në rrafshin e përgjithshëm6.6. Normalja në rrafshin e përgjithshëm 6.7. Rrëzimi i rrafshit të përgjithshëm6.8. Figurat gjeometrike që shtrihen në rrafshin e përgjithshëm6.9. Trupat gjeometrik që me bazë shtrihen në rrafshin e përgjithshëm

91



6.1. PIKA DHE DREJTËZA NË RRAFSH TË PËRGJITHSHËM

Në vizatimin 6.1 është paraqitur rrafshi i përgjithshëm E dhe drejtëza a e cila shtrihet në të. Drejtëza a i pret gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E në pikën A1 dhe A2. Në atë rast pika A1është pika e parë depërtuese, ndërsa pika A2 është pika e dytë depërtuese e drejtëzës a. Secila drejtëz që shtri-het në rrafshin E i pret gjurmët e tij në pikat e veta depërtuese. Sipas kësaj,

drejtëza a shtrihet në rrafshin E nëse dhe vetëm nëse depërtimi i saj i parë shtrihet në gjurmën e parë, ndërsa depërtimi i saj i dytë shtrihet në gjurmën e dytë të rrafshit E.

Me ndihmën e pikave depërtuese në vizatimin 6.1 janë përcaktuar projeksionet shoqëruese a dhe a” të drejtëzës a. Përpos kësaj për pikën e çfarëdoshme T të drejtëza a janë vizatuar projek-sionet e saja shoqëruese T’ dhe T’.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë a’ i drejtëzës a. Vizato projeksionin e saj të dytë a” (vizatimi 6.2).

Projeksioni i parë a’ i drejtëzës a e pret gjur-mën e parë e1 në rrafshin E në depërtimin e parë A1 të drejtëzës a, ndërsa boshti-x në projeksionin e parë A2’ të depërtimit të dytë A2 të drejtëzës a. Pastaj me ndihmën e ordinaleve të pikave A1 dhe A2’ i gjejmë projeksionin e dytë A1” të depërtimit të parë A1 dhe depërtimin e dytë A2. Projeksioni i dytë i kërkuar a” i drejtëzës a është drejtëza A1”A2.

Në vizatimin 6.2 janë vizatuar edhe projeksio-net shoqëruese T’ dhe T” të pikës së çfarëdoshme T të drejtëzës a.

Vizatimi 6.2 mund të na shërbej edhe për vi-zatimin e detyrës vijuese.

Detyra 2. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë T’ i pikës T e cila shtrihet në rrafshin E. Vizato projeksioni i dytë T” të saj.

Nëse paramendojmë se nëpër pikën T kalon cilado drejtëz nga rrafshi E (vizatimi 6.1), atëherë a’ do të kaloj nëpër t’, ndërsa a” nëpër T’. Për këtë arsye nëpër pikën T’ tërheqim drejtëz të çfarë-

Vizatimi 6.1

Vizatimi 6.2

92


doshme a’ (vizatimi 6.2), e pastaj vizatojmë a”. Në fund nëpër pikën T’ tërheqim ordinalen, e cila e pret drejtëzën a” në projeksionin e dytë T” të pikës T.

Detyra 3. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i dytë a” i drejtëzës a. Vizato projeksionin e parë të saj a’ (vizatimi 6.3).

Projeksioni i dytë a” i drejtëzës a e pret bosh-tin –x në projeksionin e dytë A1” të depërtimit të parë A1 të drejtëzës a, ndërsa gjurma e dytë e2 e rrafshit E në depërtimin e dytë A2 të drejtëzës a. Pastaj me ndihmën e ordinaleve të tërhequra në pikat A2 dhe A1” i përcaktojmë depërtimin e parë A1 dhe projeksionin e parë A2’ të depërtimit të dytë A2. Projeksioni i kërkuar i parë a’ i drejtëzës a është drejtëza A1A2’.

Detyra 4. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i dytë T” i pikës T e cila shtrihet në rrafshin E. Vizato projeksionin e parë të saj T’.

Ngjashëm si në detyrën 2, nëse paramen-dojmë se nëpër pikën T kalon cilado drejtëz nga rrafshi E (vizatimi 6.1), atëherë a’ do të kaloj nëpër pikën T’, ndërsa a” nëpër T”. Prandaj nëpër pikën T” tërheqim drejtëz të çfarëdoshme a” (vizatimi 6.2). e pastaj vizatojmë a’. Në fund nëpër pikën T” tërheqim ordinalen, e cila e pret drejtëzën a’ në projeksionin e kërkuar të parë T’ të pikës T.

Detyra 5. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rraf-shit E dhe projeksioni i dytë A”B”C” i trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin E. Vizato projeksionin e dytë të trekëndëshit (vizatimi 6.4).

Nëse brinjët A”C” dhe A”B” të trekëndëshit A”B”C” i vazhdojmë, fi tojmë projeksionet e dyta b”=A”C” dhe c”=A”B” të dy drejtëzave ndihmëse b dhe c të cilat shtrihen në rrafshin E.

Pastaj, sikur te detyra 3 i përcaktojmë projek-sionet e para të tyre b’ dhe c’, ndërsa në fund me ndihmën e ordinaleve të tërhequra nga pikat A”, B” dhe C” dhe fi tojmë projeksionet e para A’, B’ dhe C’.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato projeksionin e dytë të drejtëzës a=AB [A(3;2,5;z),B(5;1;z)] e cila shtrihet në rrafshin E(10;7;8).2. Vizato projeksionin e parë të pikës T(5,y,2) e cila shtrihet në rrafshin E(4;4,5;4).

Vizatimi 6.4

Vizatimi 6.3

93


3. Vizato projeksionin e dytë të trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin E(7;4,5;5), nëse është dhënë projeksioni i tij i parë [A(2;2;z), B(3;0,5;z),C(5;1;z)].4. Vizato projeksionin e parë të trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin E(10;7;5) nëse është dhënë projeksioni i tij i dytë [A(1;y;3), B(2,5;y;4),C(5;y;2)].

6.2. BASHKËGJURMAT DHE ZBATIMI I TYRE

Secila drejtëz në rrafsh e cila është pa-ralele me njërën gjurmë të tij quhet bashkë-gjurma.

Dimë se një rrafsh ka tri gjurma, gjurma e parë, gjurma e dytë dhe gjurma e tretë. Prandaj dallojmë tre lloje të bashkë-gjurmëve, drejtëzat të cilat janë paralele me gjurmën e parë të rrafs-hit, drejtëzat të cilat janë paralele me gjurmën e dytë të rrafshit dhe drejtëzat të cilat janë paralele me gjurmën e tretë të rrafshit.

Veçmas do t’i shqyrtojmë dy llojet e para të bashkë-gjurmëve. Në fund do të ndalemi te zba-timin e tyre në zgjidhjen e detyrave praktike.

Secila drejtëz në rrafsh e cila është pa-ralele me gjurmën e tij të parë quhet horizon-tale.

Në një rrafsh ka pafund shumë horizontale. Në vizatimin 6.5 është paraqitur një horizontale m në rrafshin E. Depërtimi i saj i dytë M2 gjendet në gjurmën e dytë e2 të rrafshit, ndërsa depërtimi i saj i parë është pafundësisht larg në gjurmën e parë të rrafshit.

Pasi që horizontalja m është paralel me gjur-mën e parë e1, projeksioni i saj i parë m’ është paralel me e1, ndërsa projeksioni i saj i dytë m” është paralel me boshtin-x pasi që ajo është pa-ralele me rrafshin 1.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E. Vizato projeksionet shoqëruese të horizontales së çfarëdoshme m nga rrafshi E (vi-zatimi 6.6).

Tërheqim drejtëz të çfarëdoshme m’ paralel me gjurmën e parë e1, deri te prerja e saj me boshtin-x. Pastaj me radhë i shënojmë, projek-

Vizatimi 6.6

Vizatimi 6.5

94


sionin e parë M2’ të depërtimit të dytë M2 të hori-zontales dhe depërtimin e dytë M2.

Në fund nga pika M2 tërheqim drejtëz m” pa-ralel me boshtin-x.

Secila drejtëz në rrafsh e cila është pa-ralele me gjurmën e tij të dytë quhet frontale.

Në një rrafsh ka pafund shumë frontale. Në vizatimin 6.7 është paraqitur një frontale n në rrafshin E. Depërtimi i saj i parë N1 gjendet në gjurmën e parë e1 të rrafshit, ndërsa depërtimi i saj i dytë është pafundësisht larg në gjurmën e dytë të rrafshit.

Pasi që frontalja n është paralel me gjurmën e dytë e2, projeksioni i saj i dytë n” është paralel me e2, ndërsa projeksioni i saj i parë n’ është paralel me boshtin-x pasi që ajo është paralele me rrafshin 2.

Detyra 2. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E. Vizato projeksionet shoqëruese të frontales së çfarëdoshme n nga rrafshi E (viza-timi 6.8).

Tërheqim drejtëz të çfarëdoshme n” paralel me gjurmën e dytë e2, deri te prerja e saj me boshtin-x. Pastaj me radhë i shënojmë, projek-sionin e dytë N1” të depërtimit të parë N1 të fron-tales dhe depërtimin e parë N1. Në fund nga pika N1 tërheqim drejtëz n’ paralel me boshtin-x.

Detyra 3. Është dhënë projeksioni i parë A’ i pikës A të rrafshit T me gjurmë t1 dhe t2. Gjeje projeksionin e dytë të saj A” (vizatimi 6.9).

Nëpër pikën A’ vizatojmë projeksionin e parë h’ të horizontales h e cila shtrihet në rrafshin T (h’ është paralel me gjurmën e parë t1 të rrafshit T), deri te prerja e saj me boshti-x, ku e gjejmë projeksionin e parë H2’ të depërtimit të dytë H2. Nga pika H2’ tërheqim ordinalen deri të prerja me gjurmën e dytë t2 ku e gjejmë depërtimin H2. Nëpër H2 e vizatojmë projeksionin e dytë h” të horizontales h. Në fund nëpër pikën A’ tërheqim ordinalen, e cila e pret horizontalen h” në projek-sionin e dytë të kërkuar A” të pikës A.

Detyra 4. Është dhënë projeksioni i dytë A” i pikës A të rrafshit T me gjurmët t1 dhe t2. Gjeje projeksionin e parë të saj A’ (vizatimi 6.10).

Nëpër pikën A” vizatojmë projeksionin e dytë f” të frontales f e cila shtrihet në rrafshin T

Vizatimi 6.7

Vizatimi 6.9

Vizatimi 6.8

95


(f” është paralel me gjurmën e dytë t2 të rrafshit T), deri te prerja e saj me boshti-x, ku e gjejmë projeksionin e dytë F1” të depërtimit të parë F1. Nga pika F1” tërheqim ordinalen deri të prerja me gjurmën e parë t1 ku e gjejmë depërtimin F1. Nëpër F1 e vizatojmë projeksionin e parë f’ të frontales f. Në fund nëpër pikën A” tërheqim or-dinalen, e cila e pret frontalen f’ në projeksionin e parë të kërkuar A’ të pikës A.

Nëse është dhënë fi gura gjeometrike e cila shtrihet në rrafshin e dhënë, gjatë përcaktimit të projeksionit të saj, e përsërisim ecurinë e para-qitur më lartë për secilin kulm të saj. Prandaj kemi:

Nëse në një rrafsh të përgjithshëm të dhënë me gjurma të tij është dhënë njëri pro-jeksion i pikës ose fi gurës gjeometrike, pro-jeksioni tjetër i saj përcaktohet thjesht me për-dorimin e bashkëgjurmave.

Detyra 5. Është dhënë rrafshi T (9;7;6,5) dhe katërkëndëshi: ABCD [A(1;2;z), B(1;5;z), C(5;2,5;z), D(4;1;z)] i cili shtrihet në të. Gjeje pro-jeksionin e dytë të katërkëndëshit. (vizatimi 6.11)

Detyrën do ta zgjidhim me tërheqjen e fron-taleve nëpër projeksionet e para A’, B’, C’ dhe D’, të cilat i gjejmë nga koordinatat e dhëna të pikave A, B, C dhe D. Kështu, nëpër pikën A’ tër-heqim projeksionin e parë f të frontales deri te gjurma t1 ku gjendet depërtimi i parë F1. Nga pika F1 tërheqim ordinalen deri te prerja me boshtin-x ku e gjejmë projeksionin e dytë të saj F1”. Nga F1” tërheqim projeksionin e dytë f”, i cili me ordi-nalen e ngritur në pikën A’ pritet në projeksionin e kërkuar A” të pikës A. Ecurinë e përsërisim edhe për kulme tjera të katërkëndëshit.

Pyetje dhe detyra:

1.Cilat drejtëza i quajmë horizontale, e cilat fron-tale?2.Në rrafshin T(8:6:7) tërhiqe horizontalen e cila është 2cm, mbi 1 dhe frontalen f e cila është 1cm, para 2.3. Nëse në një rrafsh të përgjithshëm është dhënë njëri projeksion i pikës ose fi gurës gjeometrike, cila është metoda më i thjeshtë për përcaktimin e projeksionit tjetër?

Vizatimi 6.11

Vizatimi 6.10

96


4. Gjeje projeksionin e dytë të trekëndëshit ABC i cili shtrihet në rrafshin T(10;7;6), nëse A(3;1;z), B(2;5;z) dhe C(6;1;z).5. Gjeje projeksionin e dytë të katërkëndëshit ABCD i cili shtrihet në rrafshin T(11;7;6), nëse A(2;1;z), B(1;5;z), C(4;y;1) dhe D(6;y;2).

6.3. PËRCAKTIMI I GJURMAVE TË RRAFSHIT TË DHËNË ME PIKA DHE DREJTËZA

Nga gjeometria e kemi të njohur se rrafshi mund të jetë i përcaktuar me dy drejtëza që priten, me dy drejtëza paralele, me drejtëz dhe pikë e cila nuk shtrihet në të ose me tri pika jo-lineare.

Rrafshi i përcaktuar me dy drejtëza që priten ose dy drejtëza paraleleNë vizatimin 6.12 është paraqitur drejtëza a

me pikat depërtuese A1 dhe A2 dhe drejtëza b me pikat depërtuese B1 dhe B2. Drejtëzat e dhëna priten në pikën S dhe përcaktojnë rrafshin E. Dimë se pikat e para depërtuese të drejtëzave duhet të shtrihen në gjurmën e parë të rrafshit, ndërsa pikat e dyta depërtuese në gjurmën e dytë të rrafshit. Kështu, pikat depërtuese A1 dhe B1 e përcaktojnë gjurmën e parë e1, ndërsa pikat depërtuese A2 dhe B2 e përcaktojnë gjurmën e dytë depërtuese e2. Pasi që të tre rrafshe 1, 2 dhe E mund të kenë vetëm një pikë të përbashkët, gjurmët e1 dhe e2 e presin boshtin-x në pikën Ex.

Gjurmët e rrafshit E, i cili është dhënë me dy drejtëza që priten, i konstruktojmë ashtu që së pari i gjejmë pikat depërtuese të drejtëzave të dhëna, e pastaj nëpër depërtimet e përmendura e viza-tojmë gjurmën përkatëse. Sipas kësaj, gjurma e parë e1 kalon nëpër pikat e para depërtuese A1 dhe B1, ndërsa gjurma e dytë e2 kalon nëpër pikat e dyta depërtuese A2 dhe B2. Nëse konstruktimi është kryer drejtë, gjurmët e1, e2 dhe boshti-x- priten në një pikë të njëjtë (vizatimi 6.13).

Me ecuri analoge të konstruktohen gjurmët e rrafshit të dhënë me dy drejtëza paralele.

Rrafshi i përcaktuar me pikë dhe drejtëzEdhe në këtë rast përcaktimi i gjurmëve

të rrafshit të dhënë me drejtëz dhe pikë e cila

Vizatimi 6.13

Vizatimi 6.12

97


nuk shtrihet në drejtëz reduktohet në rastin paraprak, pasi që nëpër pikën e dhënë mund të tërhiqet drejtëz e cila e pret ose është paralele me drejtëzën e dhënë. Ecuria mjaft lehtësohet nëse shfrytëzojmë horizontalen apo frontalen e rrafshit gjurmët e të cilit i kërkojmë.

Detyra 1. Është dhënë drejtëza p-AC dhe pika B e cila nuk shtrihet në drejtëzën p. Kon-strukto gjurmët e rrafshit të përcaktuar me drejtëzën p dhe pikën B.

Në vizatimin 6.14 janë paraqitur projeksio-net ortogonale të drejtëzës p=Ac dhe pika B. Detyrën do ta zgjidhim me tërheqjen e horizon-tales nëpër pikën B.

Nëpër B” tërheqim projeksionin e dytë h” të horizontales h, i cili e pret projeksionin e dytë p” të drejtëzës p në pikën K”. Projeksionin e parë K’ e gjejmë në drejtëzën p’. Nëse i lidhim pikat K’ dhe B’ fi tojmë projeksionin e parë h’ të horizon-tales h, i cili e përcakton drejtimin e gjurmës së parë t1. Për ta vizuar gjurmën, përpos drejtimit të saj, na nevojitet edhe një pikë e saj. Për këtë arsye e gjejmë depërtimin e drejtëzës p me rraf-shin 1, gjegjësisht pikën P1. Pastaj nëpër P1 tër-heqim gjurmën t1 paralel me h’.

Gjurmën e dytë t2 të rrafshit T do ta përcak-tojmë pasi që ta gjejmë pikën e dytë depërtuese P2 të drejtëzës p dhe e lidhim me Tx (pikëprerja e t1 me boshtin-x).

Si kontroll i zgjidhjes do të na shërbejë pika depërtuese H2 e horizontales h me rrafshin 2.

Detyra mund të zgjidhet edhe me shfrytëz-imin e frontales.

Detyra 2. Janë dhënë drejtëza p=MN [M(9;4;7), N(6;1,5;4)] dhe pika A(14;5;3). Kon-strukto gjurmët e rrafshit T të përcaktuar me to.

Në vizatimin 6.15 është dhënë zgjidhja e detyrës. Domethënë, nëpër projeksionin e parë A’ të pikës A tërheqim projeksionin e parë f’ të frontales f e cila e pret projeksionin e parë p’ të drejtëzës p në pikën K’. Projeksionin e parë K” e gjejmë në drejtëzën p”. Nëse e lidhim pikën A” me K” fi tojmë projeksionin e dytë f” të fron-tale f, me çka u përcaktua drejtimi i gjurmës së dytë t2. Me ndihmën e depërtimeve P1, P2 F1 të drejtëzave p dhe f i vizatojmë gjurmët t1 dhe t2 te rrafshit T.

Vizatimi 6.15

Vizatimi 6.14

98


Rrafshi i përcaktuar me tri pika jokolineare (trekëndësh)Edhe ky rast mund të reduktohet në atë par-

aprak pasi që tre pika përcaktojnë dy drejtëza që priten, ose dy drejtëza paralele. Megjithatë, për përcaktimin e gjurmëve të rrafshit të dhënë në këtë mënyrë do të shfrytëzojmë horizontale dhe frontale për të cilat dimë se kanë drejtimet e gjurmëve të kërkuara.

Detyra 3. Konstrukto gjurmët e rrafshit T të përcaktuar me pikat A, B dhe C (vizatimi 6.16).

Nëpër projeksionin e dytë A” të pikës tërhe-qim projeksionin e dytë h” të horizontales h që e pret projeksionin e dytë B”C” të brinjës BC në pikën K”. Projeksioni i parë K’ gjendet në ordi-nalen e tërhequr nga pika K”, e në brinjën B’C’. Me lidhjen e pikave A’ dhe K’ fi tojmë projeksionin e parë h’ të horizontales h. Që ti vizatojmë pro-jeksionet shoqëruese të frontales f, nëpër B’ tër-heqim drejtëz paralele me boshtin-x, me çka e fi tojmë f’. Ajo pritet me brinjën A’C’ në pikën L’. Nga pika L’ tërheqim ordinale deri të prerja me brinjën A”C” me çka e fi tojmë L”. Drejtëza B”L” e paraqet projeksionin e dytë f” të frontales f. Pasi që gjurma e parë t1 është paralele me h’, ndërsa gjurma e dytë t2 është paralele me f”, ku t1 dhe t2 janë gjurmët e kërkuara të rrafshit të përcak-tuar me tre pika të dhëna, drejtimet e gjurmëve t1 dhe t2 janë plotësisht të përcaktuar. Por, që ti konstruktojmë gjurmët, përpos drejtimeve është e nevojshme edhe së paku një pikë e gjurmëve. Për këtë arsye i gjejmë depërtimet H2 dhe F1 dhe nëpër to i tërheqim gjurmët t1 dhe t2, gjegjësisht t1 kalon nëpër F1 dhe është paralele me h’, ndër-sa t2 kalon nëpër H2 dhe është paralel me f”.

Si kontroll për saktësinë e konstruktimit na shërben pika Tx në të cilën priten gjurmët t1, t2 dhe boshti-x.

Pyetje dhe detyra:

1. Në çfarë mënyra mund t’i përcaktojmë gjur-mët e një rrafshi të përgjithshëm kur nuk janë dhënë koordinatat e tij?2. Janë dhënë pikat A(7;2,5;2), B(10;1;5) dhe C(12;7;2). Konstrukto gjurmët e rrafshit të dhënë me to, me përcaktimin e:

Vizatimi 6.16

99


a. dy drejtëzave që priten;b. dy drejtëzave paralelec. drejtëza dhe pika e cila nuk shtrihet në të.3. Përcakto gjurmët e rrafshit T të dhënë me trekëndëshin ABC[A(4;1;0,5), B(7;3;4), C(3;5;2)].4. Përcakto gjurmët e rrafshit T të dhënë me drejtëzat a=AB[A(2;5;0), B(4;1;3)] dhe b=BC [B(4;1;3), C(;0;07)].

6.4. PRERJA E DY RRAFSHEVE

Dy rrafshe priten në drejtëz të cilën e qua-jmë prerëse dhe e cila i takon të dy rrafsheve. Në këtë kapitull do të shqyrtojmë tre raste të veçanta.

Prerja e dy rrafsheve projektueseNë vizatimin 6.17 është paraqitur prerja e dy

rrafsheve të para projektuese T dhe . Drejtëza e tyre prerëse p, pasi që i përket që të dy rraf-sheve, po ashtu, është normale në rrafshin 1.

Projeksioni i parë p’ i drejtëzës prerëse p projektohet në pikë, më saktësisht në pikëpre-rjen e gjurmëve t1 dhe s1. Projeksioni i dytë i saj p” është drejtëz paralele me gjurmët t2 dhe s2, gjegjësisht normale në boshtin-x (vizatimi 6.18).

Në vizatimin 6.19 është paraqitur prerja e rrafshit të parë projektues A dhe rrafshit të dytë projektues B.

Në këtë rast projeksioni i parë p’ i drejtëzës prerëse p puthitet me gjurmën e parë a1 të rraf-shit A, ndërsa projeksioni i dytë p” puthitet me gjurmën e dytë b2 ta rrafshit B (vizatimi 6.20).

Prerja e rrafshit projektues me rrafshin e përgjithshëmNë vizatimin 6.21 është paraqitur prerja

e rrafshit të parë projektues dhe rrafshit të përgjithshëm T.

Që të dy rrafshe janë dhënë me projeksionet ortogonale të gjurmëve të veta s1, s2 dhe t1, t2. Pasi që rrafshi është rrafshi i parë projektues, çdo gjë që shtrihet në të ka projeksion të parë në gjurmën e parë s1, sipas kësaj edhe projek-sionin e parë p’ e drejtëzës prerëse p shtrihet në

Vizatimi 6.19

Vizatimi 6.18

Vizatimi 6.17

100


s1. Projeksionin e parë p’ do ta përcaktojmë nga kushti drejtëza p të shtrihet në rrafshin T, gjegjë-sisht pikat depërtuese P1 dhe P2 të shtrihen për-katësisht në gjurmët e tij t1 dhe t2. Pastaj i gjejmë pikat P1” dhe P2, e me këtë edhe projeksionin e dytë p” të drejtëzës prerëse p (vizatimi 6.22).

Nëse kemi prerje të rrafshit të dytë projek-tues me rrafshin e përgjithshëm, atëherë projek-sioni i dytë i drejtëzës prerëse do të puthitet me gjurmën e dytë të rrafshit projektues.

Prandaj, mund të përfundojmë se:

gjatë prerjes së rrafshit projektues me rrafshin e përgjithshëm çdoherë njëri projek-sion i drejtëzës prerëse puthitet me gjurmën e rrafshit projektues në të cilin ajo projektohet.

Prerja e dy rrafsheve të përgjithshme Në vizatimin 6.23 janë paraqitur dy rrafshe

të përgjithshme E dhe të cilat priten në pre-rësen p.

Pasi që drejtëza p shtrihet në të dy rrafshe, depërtimi i saj i parë P1 i takon gjurmës së parë të njërit dhe tjetrit rrafsh, që do të thotë se është pikëprerja e tyre.

Prandaj, kur janë dhënë gjurmët e1, e2 dhe d1, d2 e rrafsheve E dhe janë përcaktuar edhe depërtimet P1 (pikëprerja e gjurmëve e1 dhe d1) dhe P2 (pikëprerja e gjurmëve e2 dhe d2) të drejtëzës prerëse p, e me këtë edhe vet drejtëza prerëse, pasi që secila drejtëz është përcaktuar me dy pika të saja.

Në vizatimin 6.24 është paraqitur kon-struktimi i drejtëzës prerëse p në të dy rrafshet e përgjithshme E dhe , gjurmët e të cilëve janë konvergjente. Së pari i gjejmë depërtimet P1 (pikëprerja e gjurmëve e1 dhe d1) dhe P2 (pikëprerja e gjurmëve e2 dhe d2). Në atë rast pikat P1” dhe P2’ shtrihen në boshtin-x.

Projeksioni i parë p’ kalon nëpër pikat P1 dhe P2’, ndërsa projeksioni i dytë p” kalon nëpër pikat P1” dhe P2.

Në vizatimin 6.25 është paraqitur konstruk-timi i projeksioneve të drejtëzës prerëse p në rrafshet e përgjithshme E dhe , në rast kur rraf-shi E ka gjurma konvergjente, ndërsa rrafshi

Vizatimi 6.22

Vizatimi 6.21

Vizatimi 6.20

101


ka gjurma divergjente. Ecuria është analoge me atë të paraqitur paraprakisht.

Detyra 1. Janë dhënë rrafshet T(-3;2;1) dhe R(5;3,5;-6). Gjeje prerësen e tyre.

Zgjidhja e detyrës është paraqitur në viza-timin 6.26. ecuria për zgjidhjen e saj fi llon me përcaktimi i projeksioneve të depërtimit P1 dhe P2. Atëherë projeksionin e parë p’ kalon nëpër pikat P1 dhe P2’, ndërsa projeksioni i dytë p” kalon nëpër pika P1” dhe P2.

Pyetje dhe detyra:

1. Sqaro ecurinë për gjetjen e prerjes së:a. dy rrafsheve projektuese,b. rrafshit projektues me rrafshin e përgjithshëm,c. dy rrafsheve të përgjithshme.2. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës prerëse p të rrafsheve T(7;∞;3) dhe R(3; ∞;-4).3. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës prerëse p të rrafsheve Σ(5;4;4,5) dhe ∆ (∞;2;2).4. Vizato projeksionet shoqëruese të drejtëzës prerëse p të rrafsheve: a) A(-3;2;1,5) dhe B(3;3;4),b) Γ(2;4;-4) dhe B(-4;-3;2).

Vizatimi 6.24

Vizatimi 6.23

Vizatimi 6.26

Vizatimi 6.25

102


6.5. DEPËRTIMI I DREJTËZËS NËPËR RRAFSHIN E PËRGJITHSHËM

Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin e përgjithshëm

Depërtimi A i cili është pika e përbashkët e rrafshit të përgjithshëm E dhe drejtëzës a mund ta gjejmë kur nëpër drejtëzën a do të shtrijmë cilin do rrafsh ndihmës dhe do ta përcaktojmë drejtëzën prerëse b të rrafsheve E dhe (vizatimi 6.27). Pasi që në drejtëzën prerëse b gjinden të gjitha pikat e përbashkëta të rrafsheve E dhe , në të do të shtrihet edhe depërtimi i kërkuar A. Prandaj, depërtimi A do të gjendet në prerjen e drejtëzës a dhe prerëses b.

Nëpër drejtëzën a mund të kalojnë pafundë-sisht shumë rrafshe, e mes tyre gjinden edhe rraf-she të projektimit. Gjatë përcaktimit të depërtimit shumë praktike është të shfrytëzohen rrafshet e projektimit, pasi që konstruktimi prerëses së rraf-shit me njërin prej rrafsheve të projektimit është më e thjeshtë, nga konstruktimi i prerëses së dy rrafsheve të projektimit.

Në vizatimin 6.28 është ilustruar ecuria për përcaktimin e depërtimit A të drejtëzës a në rraf-shin E, me ndihmën e rrafshit të parë projektues P, i cili kalon nëpër drejtëzën a. Gjatë kalimit të rrafshit të parë projektues nëpër drejtëz, gjurma e parë r1 e rrafshit P puthitet me projeksionin e parë a’ të drejtëzës a, ndërsa gjurma e dytë e tij r2 është normal në boshtin-x. Rrafshet E dhe P priten në drejtëzën b e cila kalon nëpër pikat B1 dhe B2, depërtimi i kërkuar është pikëprerja e drejtëzave a dhe b. Tani mund ta zgjedhim detyrën vijuese.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksionet a’ dhe a” të drejtëzës a. Vizato projeksionet e depërtimit A të drejtëzës a me rrafshin E.

a) Rrafshi E ka gjurma konvergjente.Gjurma e parë r1 e rrafshit P i cili kalon nëpër

drejtëzën a, puthitet me a’, ndërsa gjurma e dytë r2 është normal në boshtin-x. Projeksionet b’ dhe b” të prerëses b të rrafsheve E dhe P gjinden me ec-urinë për përcaktimin e prerëses së dy rrafsheve, të përshkruar në kapitullin e kaluar. Në prerjen e drejtëzave a” dhe b” është projeksioni i dytë A” i depërtimit të kërkuar A, ndërsa projeksioni i parë i tij gjendet në drejtëzën a’.Vizatimi 6.29

Vizatimi 6.28

Vizatimi 6.27

103


Depërtimi A është në pjesën e rrafshit E e cila është në kuadrantin e parë, e pasi që rrafshi ka gjurma konvergjente, e shohim pjesën e sipërme të atij rrafshi dhe depërtimin A, pa marrë parasysh se a i shikojmë nga lartë apo nga përpara. Nëse rrafshi E është i patejdukshëm, atëherë ai na e fsheh pjesën e drejtëzës a e cila është nën të, e kjo është ajo pjesë e drejtëzës majtas nga depërtimi A, prandaj projeksionet në atë pjesë të drejtëzës janë vizatuar me vija të ndërprera (vizatmi 6.29).

b)Rrafshi E ka gjurma divergjenteNëpër drejtëzën a e shtrijmë rrafshin e parë

projektues P dhe i gjejmë projeksionet e prerëses b të rrafsheve E dhe P. Gjurmët e para të rraf-sheve E dhe P priten në pikën B1 ndërsa gjurmët e tyre të dyta priten në pikën B2, e cila nuk është mbi boshtin-x si më parë, por është nën të. Pastaj në boshtin-x i gjejmë pikat B1” dhe B2’, kështu pro-jeksioni i parë b’ i prerëses b është drejtëza e për-caktuar me pikat B1 dhe B2’, ndërsa projeksioni i dytë b” i saj është drejtëza e përcaktuar me pikat B1” dhe B2. Projeksionet e depërtimit të kërkuar A janë pikëprerjet e drejtëzave a”, b” dhe a’, b’, për-katësisht.

Pasi që rrafshi E ka gjurma divergjente kur e shikojmë nga lartë e shohim pjesën e tij të sipërme, ndërsa kur e shikojmë nga përpara e shohim pjesën e tij të poshtme (vizatimi 6.30) Prandaj, kur shikojmë nga lartë rrafshi e fsheh atë pjesë të drejtëzës a e cila është nën të, gjegjë-sisht atë pjesë të drejtëzës e cila është majtas nga depërtimi A, prandaj projeksioni i parë në atë pjese është i vizatuar me vija të ndërprera. Nëse rraf-shin e shikojmë nga përpara, ai e fsheh atë pjesë të drejtëzës a e cila është prapa tij, gjegjësisht atë pjesë e cila është djathtas nga depërtimi A, prandaj projeksioni i dytë në atë pjesë të drejtëzës është vizatuar me vija të ndërprera.

Nëse nëpër drejtëzën a shtrihet rrafshi i dytë projektues , atëherë gjurma e dytë s2 e rrafshit puthitet me projeksionin e dytë a” të drejtëzës a, ndërsa gjurma e tij e parë s1 është normal në boshtin-x. Projeksionet b’ dhe b” të prerëses b të rrafsheve dhe E i gjejmë si në rastin kur shtrinim rrafshin e parë projektues, ndërsa projeksionet e depërtimit të kërkuar A janë pikëprerjet e drejtë-zave a’, b’ dhe a”, b” përkatësisht (vizatimi 6.31).

Vizatimi 6.31

Vizatimi 6.30

104


Depërtimi i drejtëzës nëpër trekëndëshSë pari vizatojmë projeksionet e tre kulmeve

të trekëndëshit dhe projeksionet e drejtëzës a (vi-zatimi 6.32).

Rrafshi ndihmës P të cilin e shtrijmë nëpër drejtëzën a le të jetë rrafshi i dytë projektues, që do të thotë se gjurma e tij e dytë r2 puthitet me pro-jeksionin e dytë a’’ të drejtëzës a, ndërsa gjurma e tij e parë r1 është normal në boshtin-x. Nga pozita e rrafshit ndihmës rrjedh se projeksioni i dytë p’’ i prerëses p puthitet me gjurmën e dytë r2. Duhet ta përcaktojmë edhe projeksionin e parë p’ të prerës-es p. Për këtë arsye marrim dy pika të ndryshme që shtrihen në brinjët e trekëndëshit. Me 1” do ta shënojmë pikëprerjen e drejtëzës p” me brinjën A”B”, ndërsa me 2” do ta shënojmë pikëprerjen e drejtëzës p” me brinjën B”C”. Projeksionet e para të tyre 1’ dhe 2’ do të shtrihen në brinjët përkatëse A’B’ dhe B’C’. Në këtë mënyrë është plotësuar kushti prerësja p ti takojë rrafshit të përcaktuar me trekëndësh. Pikëprerja e drejtëzave p’ dhe a’ është S’, e kjo është edhe projeksionin e parë i pikës depërtuese S të drejtëzës a nëpër rrafshin e trekëndëshit. Projeksionin i saj i dytë S” duhet të shtrihet në drejtëzën a”, gjegjësisht gjendet në prerjen e ordinales të tërhequr nga S’ dhe a”.

Dukshmëria përcaktohet me ndihmën e pikave përputhëse. Për këtë arsye në projeksion të parë zgjedhim dy pika përputhëse në prerjen e drejtëzës a’ me brinjën A’C’, dhe atë 3’ nga brinja A’C’ dhe 4’ nga drejtëza a’. Projeksionet e dyta të tyre shtrihen përkatësisht në brinjën A”C”, gjegjë-sisht në drejtëzën a”. Vërejmë se pika 3” është më lartë se 4”. Pasi që shikojmë nga lartë, pika 3 e mbulon pikën 4, që do të thotë se brinja AC në atë pjesë e fsheh projeksionin e parë të drejtëzës a i cili deri te projeksioni i parë i depërtimit S’ ësh-të i padukshëm. Pjesa tjetër e drejtëzës është mbi trekëndësh, prandaj ajo është e dukshme.

Në mënyrë analoge veprojmë gjatë përcak-timit të dukshmërisë kur shikojmë nga përpara.

Pyetje dhe detyra:

1. Gjeje depërtimin e drejtëzës a=AB [A(1;1,5;1), B(3;2,5;4)] nëpër rrafshin T(5;5;3).2. Gjeje depërtimin e drejtëzës

Vizatimi 6.32

105


c=CD [C(1;1,5;3), D(3;3;0,5)] nëpër rrafshin T(3;4;-2).3. Gjeje depërtimin e drejtëzës e=EF [E(3;5;5), F(7;1;1)] nëpër rrafshin e përcaktuar me pikat A(2;3;2), B(6;5;1) dhe C(8;2;5).4. Gjeje depërtimin e drejtëzës m=MN [M(0;7;1), N(10;0;4)] nëpër rrafshin e përcaktuar me paralel-ogramin ABCD [A(6;0;1), B(10;1;2), C(3;4;4), D]Udhëzim. Për përcaktimin e projeksioneve të pikës D shfrytëzo vetinë se drejtëzat paralele kanë projeksione paralele.

6.6. NORMALJA NË RRAFSHIN E PËRGJITHSHËM

Nga gjeometria është e njohur se nëse drejtë-za a është normale në rrafshin E, atëherë ajo ësh-të normale në secilën drejtëz të rrafshit. Prej këtu rrjedh se drejtëza a do të jetë normale në hori-zontalen m dhe në frontalen n të rrafshit të cilat kalojnë nëpër pikën depërtuese A të normales a (vizatimi 6.33).

Pasi që horizontalja m është paralele me 1, këndi i drejtë të cilin e formojnë horizontalja m dhe normalja a do të projektohet në kënd të drejtë në rrafshin 1. Prandaj, këndi mes projeksionit të parë a’ të normales a dhe projeksionit të parë m’ të horizontales m do të jetë kënd i drejtë. Pasi që drejtëza m’ është paralele me gjurmën e parë të rrafshit E edhe këndi mes projeksionit të parë a’ të normales a dhe gjurmës së parë e1 të rrafshit E do të jetë kënd i drejtë.

Ngjashëm, pasi që frontalja n është paralele me 2, këndi i drejtë të cilin e formojnë frontalja n dhe normalja a do të projektohet në kënd të drejtë në rrafshin 2. Prandaj, këndi mes projeksionit të dytë a” të normales a dhe projeksionit të dytë n” të frontales n do të jetë kënd i drejtë. Pasi që drejtëza n” është paralele me gjurmën e dytë të rrafshit E edhe këndi mes projeksionit të dytë a” të normales a dhe gjurmës së dytë e2 të rrafshit E do të jetë kënd i drejtë. Prandaj kemi:

nëse drejtëza është normale në rrafsh, atëherë projeksioni i parë i saj është normal në gjurmën e parë të rrafshit, ndërsa projek-sioni i dytë i saj është normal në gjurmën e dytë të rrafshit.

Vizatimi 6.33

106


Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksionet T’ dhe T” të pikës T. Vizato projeksionet a’ dhe a” të drejtëzës a e cila kalon nëpër pikën T dhe është normale në rraf-shin E (vizatimi 6.34).

Projeksioni i parë a’ i drejtëzës a duhet të ka-loj nëpër pikën T’ dhe duhet të jetë normal në gjur-mën e parë e1 të rrafshit E. Ngjashëm, projeksioni i dytë a” i drejtëzës a duhet të kaloj nëpër pikën T” dhe duhet të jetë normal në gjurmën e dytë e2 të rrafshit E.

Detyra 2. Janë dhënë projeksionet T’ dhe T” i pikës T dhe projeksionet a’ dhe a” e drejtëzës a. Vizato gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E që kalon nëpër pikën T dhe është normal në drejtëzën a (vizatimi 6.35).

Sipas rregullës së mësipërme, gjurma e parë e1 e rrafshit E duhet të jetë normale në drejtëzën a’, ndërsa gjurma e dytë e2 e rrafshit E duhet të jetë normale në drejtëzën a”. Pasi që i kemi të njo-hura drejtimet e gjurmëve mund ti vizatojmë pro-jeksionet e një horizontale apo frontale të rrafshit E i cili kalon nëpër pikën T. Projeksioni i parë m’ i horizontales m e cila kalon nëpër pikën T duhet të kaloj nëpër pikën T’ normal në a’, ndërsa pro-jeksioni i dytë i saj m” duhet të kaloj nëpër pikën T’’ paralel me boshtin-x. Nëse me ndihmën e m’ dhe m” e gjejmë pikën e dytë depërtuese M2 të horizontales m, atëherë kemi një pikë nga gjurma e dytë e2 të rrafshit të kërkuar E.

Nëpër pikën M2 kalon gjurma e dytë e2 normal në a” deri të pika Ex e boshtit-x, e nëpër Ex kalon edhe gjurma e parë e1 e rrafshit normal në a’.

Pyetje dhe detyra:

1. Nëpër pikën A(4;4;3) tërhiqe normalen kah rraf-shi T(6;4;∞).2. Nëpër pikën T(3;4;1) shtrije rrafshin E normal në drejtëzën p=AB[A(1;4;6),B(5;1;2)].3. Është dhënë segmenti AB[A(2;3;2),B(6;5;4)]. Nëpër pikën B shtrije rrafshin E normal në seg-mentin AB.4.Në rrafshin T(7;4;8] shtrihet pika A(3;y;4). Nga pika A ngrehe normalen në rrafshin T dhe në të cakto pikën D, ashtu që AD= 5cm.

Vizatimi 6.35

Vizatimi 6.34

107


6.7. RRËZIMI I RRAFSHIT TË PËRGJITHSHËM

Rrëzimi rreth gjurmës së parëNë vizatimin 6.36 janë paraqitur rrafshet 1

dhe 2, si dhe pjesa e rrafshit të përgjithshëm E, e cila gjendet ndërmjet gjurmëve të tij e1 dhe e2. Po ashtu është paraqitur pika A nga rrafshi E, drejtë-za p e cila është normale në gjurmën e parë e1 dhe kalon nëpër pikën A, depërtimi i saj i dytë P2 dhe projeksioni i parë p’.

Nëse rrafshin E e rrëzojmë rreth gjurmës së tij të parë e1 në 1, atëherë secila pikë e tij për-shkruan hark rrethor nga vija rrethore me qendër në e1 dhe normal në e1. Atëherë pika P2 përshkru-an hark P2(P2) nga vija rrethore me qendër në pikën depërtuese P1 të drejtëzës p e cila kalon nëpër P2, me rreze .PP 21 Pika A e cila shtrihet në drejtëzën p përshkrua n hark rrethor A(A) nga vija rrethore me qendër në P1 dhe rreze .AP1 Drejtëza p është normale në gjurmën e parë e1 dhe e pret e1 në pikën P1, prandaj drejtëza e rrëzuar (p) do të jetë normal në e1 dhe do të kaloj nëpër pikën P1. Pika e rrëzuar (P2) do të shtrihet në drejtëzën e rrëzuar (p), ndërsa gjatësia e segmentit P1(P2) do të jetë e barabartë me gjatësinë e segmentit P1P2. Po ashtu, pika e rrëzuar (A) do të shtrihet në drejtëzën e rrëzuar (p), ndërsa gjatësia e seg-mentit P1(A) do të jetë e barabartë me gjatësinë e segmentit P1A. Nëse pikën Ex në të cilën priten gjurmët e1 dhe e2 e lidhim me pikën (P2) fi tojmë drejtëzën (e2), gjegjësisht gjurmën e dytë të rraf-shit në pozitë të rrëzuar. Në bazë të diskutimit të mësipërm mund të zgjidhim detyrën vijuese.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë A’ i pikës A. Rrëzoji në rrafshin 1, rreth gjurmës së parë e1, gjurmën e dytë e2 të rrafshit dhe pikën A (vizatimi 6.37).

Së pari, e përcaktojmë projeksionin e dytë A” të pikës A me ndihmën e drejtëzës p nga rrafshi E që kalon nëpër pikën A dhe është normal në gjur-mën e tij të parë e1. Pastaj e vizatojmë drejtëzën e rrëzuar (p) të drejtëzës p e cila kalon nëpër pikën P1 dhe është normal në e1. Në drejtëzën (p) duhet të shtrihet pika e saj e dytë depërtuese (P2). Tani ta përcaktojmë largesën e pikës P2 nga gjurma e parë e1, gjegjësisht madhësinë e vërtetë të seg-mentit P1P2. Nëse P2’P2

0 është normal në p’ dhe

Vizatimi 6.37

Vizatimi 6.36

108


,P'PP'P 220

22 � atëherë .PPPP 210

21 � Nëse e bar-tim segmentin P1P2

0 nga P1 në (p) fi tojmë depërtimin e dytë të rrëzuar (P2) të drejtëzës p, prandaj drejtë-za Ex(P2) është gjurma e dytë e rrëzuar (e2).

Pikën e rrëzuar (A) do ta gjejmë nëse e viza-tojmë madhësinë e vërtetë P1Ao të segmentit P1A (nëse A’Ao është normal në p’ dhe ,"AAA'A x0 � atëherë )A(PAP 101 � ), prandaj duke fi lluar nga P1 e bartim në (p).

Rrëzimi rreth gjurmës së dytë Gjatë rrëzimit të rrafshit E rreth gjurmës së tij

të dytë e2, secila pikë e tij përshkruan hark rrethor nga vija rrethore me qendër në e2 dhe normal në e2. Rrezja e vijës rrethore është e barabartë me pjesën e drejtëzës q e cila shtrihet në rrafsh dhe është normal në gjurmën e dytë, e kufi zuar me pikën e saj të dytë depërtuese dhe pikën.

Detyra 2. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i dytë A” i pikës A. Rrë-zoji në rrafshin 2, rreth gjurmës së dytë e2, gjur-mën e parë e1 të rrafshit dhe pikën A.

Së pari e përcaktojmë projeksionin e dytë A” të pikës A me ndihmën e drejtëzës q nga rraf-shi E që kalon nëpër pikën A dhe është normal në gjurmën e tij të dytë e2. Pastaj e vizatojmë drejtëzën e rrëzuar (q) të drejtëzës q e cila kalon nëpër pikën Q2 dhe është normal në e2. Pastaj i përcaktojmë madhësitë e vërteta Q2Q1

0 dhe Q2A0

të segmenteve Q2Q1 dhe Q2A (Q1”Q10 normal në q”,

011

011 QQQ"Q � , A”A0 normal në q”, 'AAA"A x

0 � ). Nëse këto madhësi i bartim në drejtëzën (q) fi to-jmë pikat (Q1) dhe (A). Drejtëza Ex(Q1) është gjur-ma e parë e rrëzuar (e1), ndërsa pika (A) është rrëzimi i pikës A.

Pyetje dhe detyra:

1. Përpuno model të dy rrafsheve të projeksion-it nga kartoni dhe para tij vendos një pjesë nga kartoni në formë të drejtkëndëshit, të cilin do ta paramendosh si rrafsh në hapësirë. Merr një top prej tape dhe nëpër të kalon një gjilpërë. Gjilpërën ngule në rrafsh. Paramendoje topin si pikë në hapësirë, e pastaj vëzhgoje pozitën e pikës gjatë rrëzimit.

Vizatimi 6.38

109


2. Është dhënë rrafshi T(5;4;3) dhe në të pika A(1;2;z). Rrëzoji në rrafshin 1, rreth gjurmës së parë e1, gjurmën e dytë e2 të rrafshit dhe pikën A.3. Është dhënë rrafshi T(6;6;6) dhe në të pika A(3;y;1,5). Rrëzoji në rrafshin 1, rreth gjurmës së parë e1, gjurmën e dytë e2 të rrafshit dhe pikën A.4. Është dhënë rrafshi T(6;5;6) dhe në të pika A(1,5;1;z). Rrëzoji në rrafshin 2, rreth gjurmës së dytë e2, gjurmën e parë e1 të rrafshit dhe pikën A.

6.8. FIGURAT GJEOMETRIKE TË CILAT SHTRIHEN NË RRAFSHIN E PËRGJITHSHËM

Me rrëzimin e rrafshit të përgjithshëm mund të zgjidhim dy probleme, dhe atë:• të përcaktojmë madhësinë e vërtetë të fi gurës gjeometrike kur janë dhënë projeksionet e saj or-togonale, dhe • të vizatojmë projeksionet ortogonale të fi gurës gjeometrike kur është dhënë madhësia e saj e vërtetë.

Në të dy raste fi gura gjeometrike shtrihet në rrafshin e përcaktuar. Zgjidhjen e problemeve të përmendura do ta ilustrojmë me shembuj.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë A’B’C’ i trekëndës-hit ABC që shtrihet në të. Vizato trekëndëshin në madhësi të vërtetë (vizatimi 6.39).

Së pari me ndihmën horizontales m e cila kalon nëpër pikën A do ta përcaktojmë projek-sionin e dytë A” të pikës A. Pastaj me ndihmën e depërtimit të parë C1 të drejtëzës AB dhe depërtimit të parë B1 ta drejtëzës AC e gjejmë projeksionin e dytë të pikave B dhe C.

Më tutje e rrëzojmë pikën A rreth gjurmës e1 në 1 me ecurinë e paraqitur në kapitullin mësipërm. Gjegjësisht, e vizatojmë drejtëzën e rrëzuar (p) të drejtëzës p e cila kalon nëpër pikën A dhe është normale në e1. Atëherë p’ kalon nëpër A’ dhe ësh-të normale në e1. Nga A’ vizatojmë normale në p’ dhe në të bartim largesën nga Ax deri A”. Ashtu e fi tojmë pikën Ao. Pikën e rrëzuar (A) e gjejmë nga kushti .)A(PAP 101 �

Vizatimi 6.39

110


Që të mos i rrëzojmë pikat B dhe C me ecur-inë e njëjtë mjafton ta vërejmë këtë:

Gjatë rrëzimit të rrafshit E rreth gjurmës e1 secila pikë mbetet në vendin e vet. Prandaj edhe pikat C1 dhe B1 në të cilat drejtëzat te të cilat shtrihen brinjët e trekëndëshit priten me gjurmën e1 do të mbeten në vendin e vet. Kësh-tu segmenti C1(A), gjegjësisht B1(A) do të rrë-zohet në segmentin C1A, gjegjësisht B1A. Nëse tani nga B’ tërheqim normale në e1, ajo do ta pret segmentin C1(A) në pikën e kërkuar (B), ndërsa normalja e tërhequr nga C’ në e1’ do ta pret segmentin B1(A) ne pikën e kërkuar (C). Trekëndëshi (A)(B)(C) është madhësia e vërtetë e trekëndëshit ABC.

Detyra 2. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë A’B’ i segmentit i cili shtrihet në të. Vizato projeksionet e katrorit ABCD i cili shtrihet në rrafshin E (vizatimi 6.40).

Me ndihmën e horizontales m e cila kalon nëpër pikën A do ta përcaktojmë projeksionin e dytë A” të pikës A. Pastaj me ndihmën e depërtim-it të parë E1 të drejtëzës AB dhe projeksionit të dytë të saj E1”A” e përcaktojmë projeksionin e dytë B” të pikës B.

Pasi që projeksionet e katrorit nuk do të jenë katror, rrafshin E së bashku me segmentin AB duhet ti rrëzojmë rreth e1 ose e2. Pastaj me ndihmën e segmentit të rrëzuar do ta vizatojmë katrorin e rrëzuar, e me ndihmën e tij do ti vizato-jmë projeksionet e tij.

Segmentni e rrëzuar AB në 1 rreth gjurmës e1 do ta gjejmë me ndihmën e pikës së rrëzuar (A) dhe depërtimit të parë E1 të drejtëzës AB, e pastaj mbi brinjën (A)(B) do ta vizatojmë katrorin.

Pasi që mund të vizatojmë dy katrorë, njërin në njërën e tjetrin në anën tjetër, detyra ka dy zgjidhje. Në vizatim është vizatuar katrori (A)(B)(C)(D) i cili gjendet në anën e majtë të segmentit.

Për ta vizatuar projeksionin e parë D’ të kulmit D nëpër të tërheqim drejtëz a e cila shtri-het në rrafsh dhe është normale në gjurmën e1. Atëherë, projeksioni i parë i saj a’ dhe drejtëza e rrëzuar (a) rreth e1 në 1 puthiten me normalen e tërhequr nga (D) kah e1. Të gjitha drejtëzat që shtrihen në rrafshin E dhe janë normal në

Vizatimi 6.40

111


gjurmën e parë e1 formojnë kënd të njëjtë 1 me rrafshin 1, prandaj nëse nëpër F1 tërheqim drejtëz paralele me segmentin P1Ao do ta fi to-jmë drejtëzën ao e cila është drejtëza e rrëzuar e drejtëzës a në 1 rreth projeksionit të saj të parë a’. Nëse drejtëzën ao e presim me vijën rrethore me qendër në F1 të përshkruar nga pika (D), do ta fi tojmë pikën Do. Drejtëza e tërhequr nga Do normal në a’ e pret a’ në projeksionin e parë D’ të pikës D.

Për ta përcaktuar projeksionin e parë C’ të pikës C nëpër pikën (C) tërheqim normale në e1 pasi që në të duhet të shtrihet C’. Pastaj nëpër B’ vizatojmë drejtëz paralele me A’D’. Pasi që brin-jët paralele kanë projeksione paralele, në prerjen e këtyre dy drejtëzave gjendet pika C’. Projek-sioni i dytë C” i pikës C duhet të jetë në prerjen e ordinales të tërhequr nga C’ dhe drejtëzës së tërhequr nëpër pikën B” paralel me A”D”.

Nëse të gjitha konstruktimet janë kryer sak-tësisht, atëherë në fund duhet të jetë C’D’ paralel me A’B’ dhe C”D” paralel me A”B”.

Detyra 3. Vizato projeksionet e vijës rrethore e cila shtrihet në rrafshin E me gjurmë e1 dhe e2, me qendër në pikën S dhe rreze r (vizatimi 6.41).

Me rrëzimin e rrafshit E rreth gjurmës e1 në 1 do ta fi tojmë qendrën e rrëzuar (S) të pikës S. Përshkruajmë vijën rrethore (k) me qendër në (S) dhe rreze r. Kështu fi tojmë vijën e rrëzuar rre-thore të vijës rrethore të kërkuar.

Në vijën rrethore (k) vizatojmë dy diametra reciprokisht normal (A)(B) dhe (C)(D), prej të cilëve (A)(B) paralel me e1 dhe (C)(D) normal në e1. Atëherë për projeksionet e para të kë-tyre diametrave kemi se A’B’ është paralel me e1 dhe C’D’ është normal në e1. Kështu fi tojmë se ,r2)B)(A('B'A �� prej ku rrjedh se A’B’ është boshti i madh i elipsës, ndërsa C’D’ është boshti i vogël i elipsës.

Konstruktimin e elipsës e kryejmë me ndi-hmën e ndonjërës prej procedurave të njohura për konstruktimin e elipsës. Përndryshe elipsën mund ta konstruktojmë me gjetjen e projeksion-eve të numrit të mjaftueshëm të pikave të elip-sës.

Vizatimi 6.41

112


Pyetje dhe detyra:

1. Në rrafshin E(7;6;5) shtrihet paralelogrami:ABCD [A(0,5;3;z), B(2,5;3;z), C(3,5;1;z),D]Vizato projeksionin e dytë të tij, e pastaj gjeje madhësinë e tij të vërtetë me rrëzim në rrafshin E:a. rreth gjurmës së parë në 1,b. rreth gjurmës së dytë në 2.2. Në rrafshin E(4;5;-5) shtrihet paralelogrami:ABCD [A(2;y;2), B(5;y;3), C(6;y;5),D] Vizato projeksionin e parë të tij, e pastaj gjeje madhësinë e tij të vërtetë me rrëzim në rrafshin E:a. rreth gjurmës së parë në 1;b. rreth gjurmës së dytë në 2.3. Vizato projeksionet e gjashtëkëndëshit të rregullt i cili shtrihet në rrafshin: E(10;7;6), nëse pika S(3;2,5;z) është qendra e tij, ndërsa pika A(2,5;4;z) është një kulm i tij.4. Vizato projeksionet e vijës rrethore e cila shtri-het në rrafshin E, me qendër në pikën S(3;2,5;z) dhe rreze r=2,5.

6.9. TRUPAT GJEOMETRIK TË CILËT ME BAZË SHTRIHEN NË RRAFSHIN E PËRGJITHSHËM

Në këtë kapitull do të vizatojmë projeksionet e trupave gjeometrik baza e të cilëve është në rraf-shin e përgjithshëm. Me disa shembuj do ta ilus-trojmë ecurinë për zgjidhjen e detyrave të këtilla.

Detyra 1. Janë dhënë gjurmët e1 dhe e2 të rrafshit E dhe projeksioni i parë A’C’ i segmentit AC i cili shtrihet në të. Vizato projeksionet e prizmës së drejtë të rregullt katërfaqësore, baza e së cilës shtrihet në rrafshin E, nëse segmenti AC është di-agonalja e bazës, ndërsa lartësia h=3cm (vizatmi 6.42).

Që t’i vizatojmë projeksionet e bazës ABCD së pari do të vizatojmë horizontalen m e cila kalon nëpër pikën A me qëllim që ta përcaktojmë pro-jeksionin e dytë A’’ të pikës A. Pastaj e gjejmë projeksionin e dytë C” të pikës C me ndihmën e projeksionit të dytë A”F” të drejtëzës në të cilën shtrihet diagonalja AF me projeksionin e parë A’F’.

113


Më tutje e vizatojmë pozitën e rrëzuar (A)(C) të diagonales AC në rrafshin 1 rreth gjurmës së parë e1 të rrafshit E, prandaj me ndihmën e saj e vizato-jmë katrorin (A)(B)(C)(D) diagonalet e të cilit priten në pikën (S). Tani do ti përcaktojmë projeksionin e parë S’ dhe projeksionin e dytë S” të pikës S e cila është në diagonalen AC, kështu me ndihmën e projeksioneve të pikës S e gjejmë projeksionin e diagonales BD. Nëse drejtëza në të cilën shtri-het diagonalja (B)(D) e pret gjurmën e parë e1 në pikën G’, atëherë G’S’ është projeksioni i parë i drejtëzës në të cilën shtrihet ajo diagonale, ndërsa në të shtrihet projeksioni i parë B’ i pikës B dhe projeksioni i parë D’ i pikës D. Drejtëza G”S” është projeksioni i dytë i drejtëzës në të cilën shtrihet ajo diagonale, ndërsa në të shtrihen projeksionet e dyta B” i pikës B dhe projeksioni i dytë D” i pikës

Vizatimi 6.42

114


D. Në këtë mënyrë është përcaktuar projeksioni i parë dhe i dytë i bazës ABCD.

Pasi që tehu anësor a i cili i lidh kulmet A dhe A1 të prizmës është normal në rrafshin E, projek-sionet e tij a’ dhe a” do të jenë normal në gjurmët me emër të njëjtë të rrafshit.

Në vazhdim do të prezantojmë ecurinë për gjetjen e projeksionit të kulmit A1 të tehut a. Pasi që tehu a i cili i lidh kulmet A dhe A1 është nor-mal në rrafshin E, ai është normal në drejtëzën p e cila kalon nëpër pikën A dhe është normale në gjurmën e parë të rrafshit. Prandaj nëpër pikën A tërheqim normale në drejtëzën e rrëzuar po dhe bartim .cm3AAa 100 ��

Nëse nëpër pikën A10 tërheqim drejtëz pa-

ralele me segmentin AoA’, atëherë ajo do ta pret drejtëzën a’ në pikën A1’. Projeksionin e dytë A1” të kulmit A1 do ta fi tojmë në drejtëzën a” me ndihmën e ordinales së tërhequr nga pika A1’.

Pasi që tehet anësore të prizmës janë paralele dhe të barabartë, ato kanë projeksione paralele dhe të barabarta. Prandaj segmentet A’A1’, B’B1’, C’C1’ dhe D’D1’, si dhe segmentet A”A1”, B”B1”, C”C1” dhe D”D1” janë paralele dhe të barabarta.

Nëse tani ndërmjet veti i lidhim projeksionet e para, e pastaj projeksionet e dyta të pikave A1, B1, C1 dhe D1, do ti fi tojmë projeksionet e bazës së sipërme të prizmit.

Në fund duhet të përcaktojmë cilat tehe të prizmit janë të dukshme, e cilat të padukshme. Të gjitha tehet e prizmës të cilat i takojnë konturës së ndonjë projeksioni të prizmës janë të dukshme në atë projeksion. Prandaj me vijë të plotë i vizato-jmë konturat e të dy projeksioneve të prizmës, e pastaj e shqyrtojmë dukshmërinë e atyre kulmeve të prizmit projeksionet e të cilëve janë në brendinë e konturës së prizmit.

Pasi që në brendinë e konturës së projeksionit të parë të prizmit mbetën vetëm pikat C’ dhe A1’, duhet të hetojmë cila prej këtyre dy pikave C’ dhe A1’ është e dukshme. Pasi që projeksioni i dytë A1” i pikës A1 është mbi projeksionin e dytë C” të pikës C, përfundojmë se në projeksionin e parë pika A1 është e dukshme, ndërsa pika C nuk është e duk-shme. Prandaj, në projeksionin e parë shihen të gjitha ato tehe të cilat dalin nga projeksioni i dytë i kulmit A1, ndërsa nuk shihen të gjitha ato që dalin nga kulmi C.

115


Në konturën e projeksionit të dytë të prizmës gjinden pikat B” dhe D1”. Pasi që projeksioni i parë D1’ i pikës D1 është para projeksionit të parë B’ të pikës B, përfundojmë se në projeksionin e dytë pika D1 shihet, ndërsa pika B nuk shihet, kështu në projeksionin e dytë janë të dukshëm të gjitha ato tehet të cilat dalin nga kulmi D1, ndërsa të gjitha ato të cilët dalin nga kulmi B nuk janë të dukshëm.

Në fund, ato pjesë të gjurmëve të rrafshit E të cilët kanë mbetur nën projeksionin e prizmës duhet ti vizatojmë me vijë të ndërprerë.

Detyra 2. Vizato projeksionet e cilindrit të drejtë me bazë në rrafshin E(8;7;6), nëse qendra e bazës është S(2,5;2,5;z), rrezja e bazës është 3cm, ndërsa lartësia është h=5cm. (vizatimi 6.43).

Vizatimi 6.43

116


Së pari vizatojmë horizontalen m e cila kalon nëpër pikën S me qëllim që ta përcaktojmë pro-jeksionin e dytë S” të pikës S. Pastaj vizatojmë projeksionin e parë A’B’ dhe projeksionin e dytë A”B” të atij diametri AB të bazës së poshtme i cili shtrihet në horizontalen m, si dhe projeksionin e dytë C”D” dhe projeksionin e parë C’D’ të atij di-ametri CD të bazës së poshtme i cili shtrihet në frontalen n e cila kalon nëpër pikën S.

Për elipsën k’ e cila është projeksioni i parë i bazës së cilindrit e kemi boshtin e madh A’B’ dhe dy pika C’ dhe D’,ndërsa për elipsën k”e cila është projeksioni i dytë i bazës, segmenti C”D” është boshti i madh, ndërsa A” dhe B” janë dy pika të saj. Sipas kësaj mund ti vizatojmë elipsat k’ dhe k”.

Për t’i vizatuar projeksionet e bazës së sipërme të cilindrit, duhet t’i vizatojmë projeksio-net o’ dhe o” të boshteve të cilindrit dhe projek-sionet S1’ dhe S1” të qendrës S1 të asaj baze. Drejtëza o’ është normale në gjurmën e1, ndërsa drejtëza o” është normale në e2.

Ta përcjellim ecurinë për gjetjen e projek-sioneve S1’ dhe S1” të qendrës S1 të bazës së sipërme. Në projeksionet e boshtit të cilindrit i shënojmë projeksionet T’ dhe T” të pikës së çfarëdoshme T. Pastaj përcaktojmë madhësinë e vërtetë S’T0 të segmentit ST me ndihmën e trekëndëshit diferencial S’T’T0 (T’T0 është nor-mal në S’T’ dhe "NTT'T 0 � ). Tani nëpër boshtin e rrëzuar o0 i cili kalon nëpër pikat S’ dhe T0 e gjejmë pikën S1

0 ashtu që ,cm5hS'S 1 �� dhe pastaj me ndihmën pikës S1

0 e përcaktojmë pro-jeksionin e parë S1’ dhe projeksionin e dytë S1” të qendrës S1 të bazës së sipërme.

Projeksionet e bazës së sipërme të cilindrit janë elipsat k1’ dhe k1” të cilat janë të puthitshme edhe me projeksionet gjegjëse të bazës së poshtme. Gjeneratrisat AA1 dhe BB1 janë gjen-eratrisat e konturit të projeksionit të parë të cilin-drit, ndërsa gjeneratrisat CC1 dhe DD1 janë gjen-eratrisat e konturit të projeksionit të tij të dytë.

Rrafshi E ka gjurmë konvergjente dhe baza e poshtme e cilindrit është në rrafsh, ndërsa baza e sipërme është paralele me të. Prandaj, në pro-jeksionin e parë dhe të dytë do ta shohim anën e njëjtë të bazës së sipërme të cilindrit, ndërsa

117


bazën e tij të poshtme nuk do ta shikojmë. Nuk do ta shohim as atë pjesë të gjurmës së parë e1 e cila është nën cilindër, si dhe atë pjesë të gjur-mës së dytë e2 që ka mbetur mbrapa tij.

Pyetje dhe detyra:

1. Vizato projeksionet ku baza shtrihet në rraf-shin P(8;7;6), nëse qendra e asaj baze është S(2,5;2,5;z), ndërsa pika A(4;2;z) është një kulm i tij.2. Vizato projeksionet e piramidës së drejtë të rregullt gjashtëkëndore baza e së cilës shtrihet në rrafshin E(-10;8;10), nëse qendra e bazës është S(-3,5;3,z), pika A(-2;2,5;z) është një kulm i bazës, ndërsa lartësia e piramidës është h=6cm.3. Vizato projeksionet e cilindrit të drejtë me bazë në rrafshin E(10;7;6), nëse qendra e bazës është S(3,5;2,5;z), rrezja e bazës është 3cm, ndërsa lartësia është h=5cm.4. Vizato projeksionet e konit të drejtë me bazë në rrafshin E(-10;7;6), nëse qendra e bazës është S(-3,5;2,5;z), rrezja e bazës është 3cm, ndërsa lartësia është h=7cm.

118


Tërësia tematike

7. PROJEKSIONI I KUOTUAR

Në këtë tërësi tematike nxënësi mund: ■ të mësojë praktikisht ta zbatojë lëndën

gjatë incizimit në teren dhe paraqitjen e tij grafi ke

■ të mësojë t’i shfrytëzojë bazat gjeodezike për projeksionin e objekteve nga ndërtimi i ulët, ndërtimi i lartë dhe hidrondërtimi

■ të mësojë ta përcaktojë pikën, drejtëzën dhe rrafshin

■ të mësojë ta bëjë gradimin e drejtëzës ■ të mësojë ta përcaktojë intervalin dhe

pjerrësinë e drejtëzës ■ t’i mësojë drejtëzat në pozitë të veçantë

dhe pozitën reciproke të dy drejtëzave ■ të mësojë për rrafshin dhe prerjen e dy

rrafsheve ■ t’i mësojë sipërfaqet topografi ke -

terrenin ■ të mësojë ta zbatojë projeksionin e

kuotuar (gërmim dhe mbushje) ■ të mësojë për gërmim dhe mbushje

të platformës horizontale të rrafshit të pjerrët

■ të mësojë për rrugën me pjerrësi në teren të dhënë me izohipse

120

Projeksioni i kuotuar

TËRËSIA TEMATIKE


7.1. Projeksioni i kuotuar i pikës7.2. Projeksioni i kuotuar i drejtëzës dhe segmentit7.3. Pozita reciproke e dy drejtëzave7.4. Paraqitja e rrafshit7.5. Prerja e dy rrafsheve7.6. Paraqitja e sipërfaqeve topografi ke- terrenit7.7. Gërmimi (mihja) dhe mbushja7.8. Rruga me pjerrësi në rrafsh të pjerrët7.9. Rruga me pjerrësi në terren të dhënë me izohipse

121



7.1 PROJEKSIONI I KUOTUAR I PIKËS

Kemi konstatuar se secili objekt në hapësirë është plotësisht i përcaktuar me dy projeksione ortogonale. Por, nëse kemi projeksion ortogonal të objektit vetëm në një rrafsh të projeksionit dhe i dimë largesat e numrit të nevojshëm të pikave deri te rrafshi i projeksionit, objekti në hapësirë do të jetë plotësisht i përcaktuar. Për rrafsh të pro-jeksionit e zgjedhim rrafshin horizontal. Largesat e pikave në hapësirë deri te rrafshi i projeksionit i japim në metra dhe i thërrasim kuota. Prandaj ky metodë është i njohur si projektim i kuotuar, ndërsa projeksionin të cilin e fi tojmë si projek-sion i kuotuar.

Projeksioni i kuotuar ka zbatim më të shpes-htë gjatë paraqitjes së pjesëve të sipërfaqes së tokës, për shembull në hartografi , gjatë projek-timit të rrugëve, hekurudhave, pendëve, gjatë rregullimit të sipërfaqeve tokësore etj.

Siç thamë deri tani, te projeksioni i kuotuar marrim që rrafshi i projeksionit është në pozitë horizontale dhe drejtimi i projektimit është nor-mal në të. Nga pika e çfarëdoshme A, që është jashtë rrafshit të projeksionit tërheqim normale në rrafshin e projeksionit , e cila e depërton rrafshin në pikën A’. Pika A’ parqet projeksion të kuotuar të pikës A (vizatimi 7.1).

Me marrëveshje pajtohemi që pika që është mbi rrafshin e projeksionit të ketë kuotë pozi-tive dhe ajo është e dukshme, ndërsa pika që është nën rrafshin të ketë kuotë negative dhe të mos jetë e dukshme.

Pika A e cila është 3,6m mbi rrafshin e pro-jeksionit në projeksion të kuotuar do të ishte e paraqitur si A’(3,6). Pika B është nën rrafshin për 2,4m dhe do të ishte paraqitur me B’(-4). Pika C shtrihet në rrafshin dhe kuotë zero, gjegjë-sisht C=C’(0) (vizatimi 7.2 dhe vizatimi 7.3).

Projeksioni i pikës afër së cilës është shënu-ar kuota quhet pikë e kuotuar.

Nga diskutimi i mësipërm mund të përfun-dojmë se:

Vizatimi 7.1

Vizatimi 7.3

Vizatimi 7.2

122


Secila pikë në hapësirë është plotësisht e përcaktuar me projeksionin e vet ortogonal dhe me kuotë.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka janë kuotat?2. Për cilin projeksion themi se është projeksion i kuotuar?3. Si shënohen pikat në projeksionin e kuotuar?4. Vizato projeksion të kuotuar të pikës A e cila është:a. 5m mbi rrafshin ,b. 3,5m nën rrafshin ,c. në rrafshin .

7.2 PROJEKSIONI I KUOTUAR I DREJTËZËS DHE SEGMENTIT

Projeksioni i kuotuar i drejtëzës Një drejtëz është plotësisht e përcaktuar në

hapësirë me dy pikat e saja, prandaj projeksioni i kotuar i drejtëzës përcaktohet me ndihmën e projeksioneve të kuotuar të dy pikave nëpër të cilat kalon drejtëza. Në vizatim 7.4 është para-qitur drejtëza:

a=AB[A(0), B(hb) e dhënë me projeksionet e kuotuar të dy

pikave të saj A=A’ dhe B’(hb); a’=A’B’Depërtimi i drejtëzës a nëpër rrafshin ka

kuotë zero dhe paraqet kufi rin e pjesës së duk-shme të drejtëzës me atë të padukshme. Pjesa e drejtëzës mbi rrafshin (përmban pika me kuota pozitive) është e dukshme dhe e vizato-jmë me vijë të plotë, ndërsa pjesa e drejtëzës nën rrafshin (përmban pika me kuota nega-tive) nuk është e dukshme dhe e vizatojmë me vija të ndërprera.

Nëse drejtëzën e bimë në pozitë të rrëzuar mund ta përcaktojmë madhësinë e vërtetë të këndit të pjerrësisë të drejtëzës me rrafshin me ndihmën e trapezit projektues ose trekëndës-hit diferencial. Në vizatimin 7.5 me rrëzimin e

Vizatimi 7.4

123


trapezit BB’C’C rreth a’ në fi tojmë trapezin B’BoCoC’. Me këtë drejtëzën a e bimë në pozitë të rrëzuar ao dhe e përcaktojmë këndin e pjer-rësisë 0 në madhësi të vërtetë. Pasi që ky me-todë kërkon më shumë hapësirë në fl etën për vizatim, më së shpeshti drejtëzën a e rrëzojmë me zbatimin e metodës së trekëndëshit diferen-cial (vizatimi 7.6).

Projeksioni i kuotuar i drejtëzës dhe segmentit në pozitë të veçantëT’i shqyrtojmë vizatimin 7.7 dhe vizatimin

7.8. Drejtëza a është paralele me rrafshin e projeksionit . Projeksioni i saj i kuotuar është drejtëza a’. Të vërejmë se të gjitha pikat e saj kanë kuota të barabarta. Drejtëza b shtrihet në rrafshin e projeksionit dhe ajo puthitet me pro-jeksionin e saj të kuotuar b’. Drejtëza c është normale në rrafshin e projeksionit dhe projek-sioni i saj i kuotuar c’ është pika depërtuese me rrafshin e projeksionit .

Gradimi i drejtëzës dhe segmentitMe nocion gradimi i drejtëzës ose seg-

mentit nënkuptohet përcaktimi i projeksioneve të pikave kuotat e të cilave janë numrat e një-pasnjëshëm të plotë. Gradimi bazohet në vetitë të segmenteve proporcionale. Ekzistojnë dy mënyra për gradimin e drejtëzës ose segmentit.

I pari ka të bëjë me rrëzimin e drejtëzës ose segmentit me ndihmën e trapezit projektues (ose trekëndëshit diferencial), përcaktimin e kuotave të njëpasnjëshme (numra të plotë) dhe konstruktimin e tyre në projeksione.

Mënyra e dytë e cila është më e thjeshtë, është paraqitur në vizatimin 7.9. Segmentin e dhënë A’(2) dhe B’(6,6) e gradojmë ashtu që nga pika A’ tërheqim gjysmëdrejtëz të çfarëdoshme m, në të bartim njësi të zgjedhur të çfarëdoshme për shembull, 1cm. Nëpër gjysmëdrejtëzën m bartim 4,6cm, pasi që dallimi i vërtetë ndërmjet A dhe B është 4,6m. Pikën e fi tuar 6,6 në gjys-mëdrejtëzën m me vijë të ndërprerë e lidhim me B’(6,6). Nga pikat me numër të plotë në m tërhe-qim segmente paralele me segmentin me pika të skajshme 6,6 dhe B’(6,6). Në këtë mënyrë e kemi graduar segmentin dhe i kemi fi tuar pro-

Vizatimi 7.8

Vizatimi 7.7

Vizatimi 7.6

Vizatimi 7.5

124


jeksionet e pikave 3’, 4’, 5’ dhe 6’, të cilat janë me largesë reciprokisht të barabartë.

Ecuria për gradimin e drejtëzës është anal-oge si edhe për gradimin e segmentit. Në viza-tim 7.10 është bërë gradimi i drejtëzës

a’=A’B’[A’(3,6), B’(-1,5)].

Rënia (pjerrësia) dhe intervali i drejtëzësNë vizatimin7.11 është dhënë drejtëza a

me pikat B’(1) dhe C’(2). Ta rrëzojmë drejtëzën a në rrafshin projektues dhe këndin e pjer-rësisë të cilin e formon drejtëza me rrafshin e projeksionit ta shënojmë me (vizatimi 7.12). Nga trekëndëshi kënddrejtë AC’Co e njehsojmë

tangjensin e këndit , .A'C

'CC=tg 0� Ky raport ësh-të numër konstant për drejtëzën a dhe quhet rënia (pjerrësia) e drejtëzës a, ndërsa shënohet me n=no.

Në vizatimin 7.12 kemi .'C'B'AB � Nëse mar-rim ndryshimi i vërtetë ndërmjet A dhe B të jetë 1m, largesën 'B'A e quajmë interval të drejtëzës a dhe e shënojmë me i=ia. Nga trekëndëshi kënd-

drejtë AB’Bo kemi i1

A'BB'B=tgn 0 �� , gjegjësisht

n1i � ose ni=1

Pjerrësia n dhe intervali i i një drejtëze janë madhësi proporcionalisht të zhdrejtë, gjegjë-sisht sa here zmadhohet pjerrësia për aq herë zvogëlohet intervali.

Drejtimin e pjerrësisë së drejtëzës e poten-cojmë me shigjetë, nga pika më e lartë kah pika më e ulët.

Prandaj, secila drejtëz në projeksion të kuo-tuar është e përcaktuar me:• dy pika të kuotuar të saj;• me projeksionin e saj, kotën e njërës pikë të

saj, pjerrësinë (ose intervalin) dhe drejtimin e pjerrësisë.Pjerrësia mundet të jetë e dhënë në disa

mënyra, për shembull, në formë të përqindjes, thyesës, numrit dhjetor etj.

Në vizatimin 7.13 është ilustruar ecuria për përcaktimin grafi k të pjerrësisë, e me këtë edhe intervali i një drejtëze.

Vizatimi 7.12

Vizatimi 7.11

Vizatimi 7.10

Vizatimi 7.9

125


Pyetje dhe detyra:

1. Sqaro ecurinë për përcaktimin e madhësisë së vërtetë tëa) segmentit b) drejtëzësnë projeksion të tuotuar me gradim.2. Bëje gradimin e segmenteve vijuese:a) ,m14'R'P � P’(12,4), R’(17,8), në raport P=1:200.b) ,m50'F'E � nëse E’(121,2), R’(115,8), në rap-ort P=1:1000.3. Bëje gradimin e drejtëzave vijuesea) a’=A’B’ [A’(4,2), B’(9,6)];b) a’=A’B’ [A’(-8,5), B’(-13,4)].Nëse m9'B'A � dhe P=1:150.4. a) Çka është pjerrësia e drejtëzës, si përcak-tohet dhe si shënohet?b) Çka është intervali i drejtëzës, si përcaktohet dhe si shënohet?5. Gjeje intervalin e drejtëzës a në raport P=1:150, nëse pjerrësia e drejtëzës është: a) na=1:15; b) na=1:15; c) na=1,3.

7.3. POZITA RECIPROKE E DY DREJTËZAVE

Dimë se dy drejtëza në hapësirë mund të jenë paralele, të priten ose të jenë shmangëse.

Nëse nëpër dy drejtëza paralele a dhe b ka-lojmë rrafshe normale në rrafshin e projeksionit , ato do ta presin rrafshin e projeksionit në dy drejtëza paralele a’ dhe b’ (vizatimi 7.14). Në të vërtetë drejtëzat a’ dhe b’ janë projeksionet e ko-tuar të drejtëzave a dhe b. Përpos kësaj, pasi që drejtëzat a dhe b janë paralele, ata kanë pjerrës-inë dhe intervalet e barabarta, si dhe drejtimin e njëjtë të pjerrësisë.

Në vizatimin 7.15 janë të paraqitur projek-sionet e kotuar a’ dhe b’ të dy drejtëzave pa-ralele a dhe b.

Dy drejtëza prerëse kanë pikë të përbashkët me një kuotë të njëjtë në raport me secilën prej

Vizatimi 7.15

Vizatimi 7.14

Vizatimi 7.13

126


tyre. Drejtëzat a dhe b në vizatimin 7.16 priten në pikën S. Projeksionet e tyre të kotuar a’ dhe b’, si dhe projeksioni i kuotuar i pikëprerjes së tyre S’(2,3) janë të paraqitur në vizatimin 7.17.

Dimë se dy drejtëza janë shmangëse nëse nuk janë paralele dhe nuk priten. Prandaj, pro-jeksionet e tyre të kuotuar nuk janë paralele dhe nuk priten në pikë me kuotë të njëjtë në lidhje me secilën prej tyre. Kështu drejtëzat a dhe a’; c’ dhe d’;e’ dhe f’ janë shmangëse (vizatim 7.18).

Pyetje dhe detyra:

1. Çfarë janë projeksionet e kuotuara të:a. dy drejtëzave paralele,b. dy drejtëzave që priten,c. dy drejtëzave shmangëse?2. Në raport P=1:200 është dhënë drejtëza a me pjerrësi na=25%,e cila kalon nëpër pikën A’(8,6). Nëpër pikën B’(10,4) e cila nuk shtrihet në drejtëzën a, tërhiqe drejtëzën b e cila e pret drejtëzën a.3. Në raport P=1:200 është dhënë drejtëza a me pjerrësi i=1,5, e cila kalon nëpër pikën A’(4,5). Nëpër pikën B’(6) e cila nuk shtrihet në drejtëzën a, tërhiqe drejtëzën b e cila është paralel me drejtëzën a.

7.4 PARAQITJA E RRAFSHIT

Rrafshi i cili është normal në rrafshin e pro-jeksionit quhet rrafshi projektues. Një rrafsh projektues është i përcaktuar me gjurmën e vet.

Rrafshi i cili është paralel me rrafshin e pro-jeksionit quhet rrafsh horizontal. Ai është i përcaktuar me kuotën e tij.

Gjatë prerjes së rrafshit të përgjithshëm me rrafshet horizontale fi tojmë drejtëza paralele horizontale (vizatimi 7.19). Drejtëzat e fi tuara quhen shtresëzat apo linje nivel të rrafshit.

Shtresëzat me kuotat me numër të plotë i quajmë shtresëzat kryesore.

Në projeksion të kuotuar rrafshi mund të jetë i paraqitur me së paku dy shtresëza, siç është Vizatimi 7.19

Vizatimi 7.18

Vizatimi 7.17

Vizatimi 7.16

127


treguar në vizatimin 7.20. Gjurma e rrafshit ësh-të shtresëz me kuotë zero (so=s).

Drejtëza e cila shtrihet në rrafsh dhe është normal në gjurmë (shtresëzat) quhet vija rënëse e rrafshit). Rrafshi mund të paraqitet me vijën e saj rënëse. Atë e vizatojmë me një drejtëz të hol-lë dhe një drejtëz të trashë, ku mbi drejtëzën e hollë me shigjetë shënojmë kahjen e pjerrësisë së rrafshit.

Shtresëzat kryesore të rrafshit e gradojnë vijën rënëse dhe ato janë normal në të. Vija rënëse e graduar kështu e quajmë matësi i rë-nies (pjerrësisë) së rrafshit. Në vizatim 7.21 është paraqitur rrafshi me matësin e saj të pjer-rësisë. Në vizatimin 7.21 është paraqitur rrafshi me matësin e saj të pjerrësisë. Këndi i pjerrë-sisë të rrafshit me rrafshin është i barabartë me këndin e pjerrësisë të vijës rënëse të tij.

Pika shtrihet në rrafsh nëse i takon njërës shtresëzë të tij, gjegjësisht nëse ka kuotë të barabartë si shtresëza. Në vizatimin 7.22 pika A’(5) shtrihet në shtresëzën s’5, ndërsa pika B’(3,5) shtrihet në shtresëzën s’3,5. Prandaj që të dy pika i takojnë rrafshit. Pika C’(7,8) nuk shtri-het në asnjërën shtresëz të rrafshit, ajo gjendet mbi rrafsh.

Nëse drejtëza e dhënë shtrihet në rrafsh, pikëprerjet e drejtëzës me shtresëzat kanë kuo-ta të barabarta. Me fjalë tjera, shtresëzat e tij e gradojnë drejtëzën, siç është treguar në viza-timin 7.23.

Nëpër drejtëzën e dhënë horizontale mund të kalojmë pafund shumë rrafshe. Nëse ësh-të dhënë pjerrësia e rrafshit, atëherë nëpër drejtëzën e dhënë horizontale mund të kalojmë dy rrafshe.

Detyra 1. Nëpër drejtëzën horizontale a me kuotë 12, kalo rrafsh P me kënd të pjerrësisë .

Drejtëza e dhënë a paraqet një shtresëz të rrafshit të kërkuar P me kënd të pjerrësisë . Normal në a’ vizatojmë vijën rënëse të rrafshit P. Intervalin e rrafshit e përcaktojmë nga këndi i dhënë i pjerrësisë dhe e bartim nga të dy kahe nëpër vijën rënëse (vizatimi 7.24)

Vizatimi 7.23

Vizatimi 7.22

Vizatimi 7.21

Vizatimi 7.20

128


Pyetje dhe detyra:

1. Çka paraqet: a) shtresëza e rrafshit,b) vija rënëse e rrafshit,c) matësi i pjerrësisë të rrafshit?2. Konstrukto disa shtresëza në rrafshin P, i cili është dhënë me gjurmën e tij r dhe pjerrësinë e tij:

a) ;23n{ � b) ;5,0n{ � c) %.75n{ �

3. Gjeje matësin e pjerrësisë dhe këndin e pjer-rësisë të rrafshit të përcaktuar me pikat a) А’(1,8), B’(0) dhe C’(5);b) А’(-3,5), B’(2,2) dhe C’(6,4);Nëse projeksionet A’, B’ dhe C’ formojnë trekëndësh barabrinjës me brinjë 7m, në raport P=1:100.4. Paraqite rrafshin T të dhënë mea) s’o, α=75o;

b) s’3, np= ;21

c) s’2(0), ip=1,5;në raport P=1:150

7.5. PRERJA E DY RRAFSHEVE

Nga gjeometria është e njohur se dy rrafshe mund të jenë paralel ose të priten.

Rrafshet P dhe në vizatimin 7.25 janë pa-ralele. Ato kanë shtresëzat paralele, matësit të njëjtë të pjerrësisë (intervale të barabarta) me kahje të njëjtë të rënies.

Rrafshet P dhe në vizatimin 7.26 priten në drejtëzën t. Me lidhjen e pikëprerjeve 3 dhe 0 të shresëzave përkatëse të dy rrafsheve s me r dhe s’3 me r’3, fi tojmë drejtëzën prerëse t’=03’ (vizatimi 7.27).

Le të jenë dhënë dy rrafshe P dhe me pjerrësitë e ndryshme (nn ose ii) që kanë shtresëzat paralele, por me pjerrësi të kundërt (vizatimi 7.28). Që ta përcaktojmë drejtëzën e tyre prerëse mjafton të lidhim dy pika me kuota

Vizatimi 7.26

Vizatimi 7.25

Vizatimi 7.24

129


të barabarta. Kështu fi tojmë pikën L’. Drejtëza prerëse l’ kalon nëpër pikën L’ dhe është paralele me shtresëzat e rrafsheve të dhënë.

Dy rrafshe me pjerrësi (intervale) të njëjtë kanë drejtëzën prerëse t, projeksioni i së cilës t’ është bisektrisa e këndit , të cilin e formojnë shtresëzat gjegjëse të rrafsheve (vizatimi 7.29). Në zbatimin e projeksionit të kuotuar në ndërtim-tari shumë shpesh përdoret prerja e dy rrafsheve të pjerrëta me pjerrësi të njëjtë.

Pyetje dhe detyra: 1. Sqaro ecurinë për gjetjen e prerjes së dy rraf-sheve.2. Gjeje prerjen e rrafsheve P dhe T, nëse P ësh-të dhënë me matësin e pjerrësisë, ndërsa T me pikat A’ B’ dhe C’, sipas vizatimit 7.30.3. Gjeje prerjen e rrafsheveaP dhe T b) P dh ; c)T dhe ;sipas vizatimit 7.31. Çka paraqet prerja e tre rrafsheve P, T dhe .

Vizatimi 7.31

Vizatimi 7.30

Vizatimi 7.29

Vizatimi 7.28

Vizatimi 7.27

130


7.6 PARAQITJA E SIPËRFAQEVE TOPOGRAFIKE -TERRENI

Me sipërfaqe topografi ke ose teren nënkup-tojmë një pjesë shumë të vogël të sipërfaqes së Tokës. Nëse pikat e terrenit i projektojmë në mënyrë ortogonale në rrafshin horizontal të pro-jeksionit (niveli i rrafshët i detit me kuotë zero, ose rrafshi kryesor horizontal) dhe kuotat e tyre i shënojmë, themi se terrenin e kemi paraqitur në projeksion të kuotuar, çdo herë në raport të zvogëluar (vizatimi 7.32).

Paramendojmë se terreni është prerë me rrafshe horizontale të cilat janë të larguar në mënyrë të barabartë ndërmjet veti. Ato do ta presin terrenin në vijat e lakuara të parreg-ullta dhe të mbyllura të quajtura shtresëzat. Shtresëzat me kuota pozitive i quajmë izohipse (shtresëzat e lartësisë),ndërsa me kuota nega-tive izobate (shtresëzat e thellësisë). Ndryshimi lartsinor ndërmjet shtresëzave është e barabar-të me ndryshimin lartsinor ndërmjet rrafsheve horizontale me të cilat e premë terrenin.

Nëse izohipse janë më afër njëra tjetrës, ter-reni është me pjerrësi më të madhe, më i pjer-rët, dhe e kundërta. Nga vizatimi 7.33 shihet se terreni me pjerrësi më të madhe (nga ana e ma-jtë) është paraqitur me izohipse më të dendura, ndërsa te terreni me pjerrësi më të vogël (nga ana e djathtë) izohipsat janë më të larguara –kemi terren më të butë.

Nëse paramendojmë se terrenin e kemi pre-rë me rrafsh vertikal i cili është dhënë me gjur-mën e tij, atëherë e kemi përcaktuar profi lin lart-sinor të terrenit. (vizatimi 7.34). Duhet ta vizato-jmë konturën e terrenit prerës. Rrafshin vertikal dhe profi lin i rrëzojmë në rrafshin projektues apo në cilin do rrafsh horizontal.

Detyra 1. Në vizatimin 7.34 është paraqitur terreni me izohipse. Në fl etën e veçantë për vi-zatim bëj profi l në drejtim I’– I’.

Nëpër atë drejtim kalojmë rrefshin vertikal me gjurmë f=I’–I’ që i pret projeksionet e izohip-save në pikat A’, B’, …, J’. Largesat mes pikave janë /1 /2…/9. Në gjysmëdrejtëz në fl etën tjetër për vizatim (tek ne mbi vizatimin që e paraqet

Vizatimi 7.33

Vizatimi 7.32

131


terrenin në projeksion të kuotuar) i bartim large-sat l1 l2 ….l9 dhe nga pikat A’, B’, …, J’ ngrehim normale. Pasi që izohipsat janë me kuota më të mëdha, rrëzimin e profi lit do ta bëjmë në rrafshin horizontal me kotë 100. Prandaj në normalet e atyre pikave i bartim gjatësitë të zvogëluar për 100m, në raport që është dhënë grafi kisht. Pikat e fi tuara në atë mënyrë Ao, …, Jo, me lidhjen e tyre e formojnë profi lin e terrenit. Paraqitja e tij më e saktë fi tohet me incizimin detal të atij teren.

Në fund, të përmendim se profi let mund të jenë të tërthorta dhe vertikale.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka janë izohipset e çka janë izobate? Sqaro si fi tohen.2. Në vizatimin 7.35 është paraqitur terreni me izohipse. Bëj profi l në drejtim I’–I’. Pastaj, në bazë të projeksionit të kuotuar të terrenit bëj model nga kartoni, argjiri, gipsi të reliefi t të tij (pamja plastike) në raport të dhënë.3. Është dhënë pjesa e kodrës me maje V’(70) dhe projeksionet e katër shtresëzave (izohipse) me ndryshim lartësinor prej 5m në raport 1:500, si dhe rrafshi vertikal me gjurmën e tij (vizatimi 7.36). Gjeje profi lin e tërthortë të terrenit.

Vizatimi 7.34

Vizatimi 7.36Vizatimi 7.35

132


7.7 GËRMIMI (MIHJA) DHE MBUSHJA

Gjatë kryerjes së objekteve, terreni më së shpeshti nuk është sipërfaqe e rrafshët, por ai është sipërfaqe me formë jo të rregullt, sipërfaqe jo e rrafshët. Që të fi tojmë sipërfaqe të rrafshët e cila është horizontale ose me pjerrësi të shënu-ar, është e domosdoshme që terreni në disa vende të gërmohet , ndërsa në vende tjera të mbushet. Sa do të jetë gërmimi, e sa mbushja, varet prej më tepër elementeve, si për shembull nga konfi guracioni i terrenit, dimensionet e ob-jektit të projektuar, pjerrësisë dhe kahjes së pjer-rësisë të objektit.

Gjatë projektimit të objekteve ku janë të nevojshme më tepër punë tokësore tentojmë që gërmimi dhe mbushja të jenë përafërsisht me kubaturë të barabartë.

Gërmimi (mihja) paraqet gropimin e ter-renit, ndërsa mbushja shtruarjen e terrenit.

Gërmimi (mihja) kryhet kur platforma hori-zontale ose shiriti i autostradës është më e ulët nga rrafshi i terrenit. Mihja nuk kryhet vertika-lisht, për shkak të mundësisë për tu shembur, por me pjerrtësimin e rrafshit. Intervali i gërmimit është ny=1:1, gjegjësisht iy=1m.

Vizatimi 7.37

linja e mihjes

mihja

autostradambushja

linja e mbushjes

terren

133


Mbushja kryhet nëse ndonjë platformë hor-izontale ose shiriti i autostradës, duhet të kry-het mbi kotën e terrenit. Ajo nuk guxon të kry-het vertikalisht, pasi që toka do të shembet dhe mbushja do të rrënohet. Pjerrësia e rrafsheve të mbushjes zakonisht pranohet si nn=1:1,5, gjegjësisht in=1,5m.

Ndërmjet rrafshit të gërmimit (mihjes) dhe autostradës kryhet kanali për përcjelljen e ujërave atmosferike. Fundi i kanalit është me gjerësi të bazës 50cm dhe pjerrësi minimale prej 1% (vizatimi 7.37).

Në vazhdim do të japim shembull për kryer-jen e gërmimit dhe mbushjes së platformës hori-zontale në rrafsh.

Detyra 1. Në vizatimin 7.38 në raport është paraqitur terreni në formë të rrafshit T me pjer-rësi të dhënë grafi kisht. Në të duhet të kryhet platforma horizontale A’B’C’D’ me kotë 23, me dimensione dhe pozitë sipas vizatimit.

Vizatimi 7.38

134


Që të kryhet platforma, pasi që terreni është me pjerrësi, njëra pjesë e tij duhet të mbushet, ndërsa tjetra të gërmohet. Në prerjen e shtresëzës 23 të terrenit me platformë i fi to-jmë pikat E’ dhe F’ të cilat janë kufi tare ndërmjet gërmimit dhe mbushjes. Pika R’ me kotë 25 ësh-të më e lartë se platforma, e cila është me kotë 23 që do të thotë se në atë vend terreni duhet të gërmohet. Pika Q’ me kuotë 22 është më e ulët se platforma dhe prandaj terreni në atë vend duhet të mbushet.

Intervali in=1,5m, gjegjësisht pjerrësia e rraf-shit të mbushjes është nn=1:1,5. Prerja e rraf-sheve të mbushjes me terrenin janë pikat G’, H’, I’, J’. Me lidhjen e E’G’ fi tojmë prerësen n’1, pastaj me lidhjen e H’I’ fi tojmë n’2, me F’J” fi to-het n’3.

Intervali i gërmimit (mihjes) është ny=1:1, gjegjësisht iy=1m. Djathtas nga pikat kufi tare E’ dhe F’ i kalojmë rrafshet e gërmimit.

Vizatimi 7.38

linja e mihjes

linja e mihjes

mihja

mihja

mbushja

mbushja

135


Paraprakisht i vizatojmë kanalet për përcjel-ljen e ujërave atmosferike me dimensione 3x0,5m në raport të dhënë. Pikat K’, L’, M’, N’, O’, P’ janë pikëprerjet e projeksioneve të shtresëzave të terrenit me projeksionet gjegjëse të shtresëzave të rrafsheve të mihjes, dhe me bashkim fi tojmë prerëset e kërkuara K’L’=u’1, M’N’=u’2 dhe O’P’=u’3.

Pyetje dhe detyra:

1. Çka është gërmimi (mihja) e çka mbushja?2. Sa është pjerrësia e rrafsheve të mihjes?3. Sa është pjerrësia e rrafsheve të mbushjes?4. Kur kryhet gërmimi, e kur mbushja?5. Në vizatimin 7.39 është dhënë rrafshi T me pjer-rësi të terrenit 25%. Vendos platformë horizontale në formë të drejtkëndëshit A’,B’, C’, D’ në kotë 39m me dimensione dhe pozitë sipas vizatimit.

7.8. RRUGA ME PJERRËSI NË RRAFSH TË PJERRËT

Detyra 1. Në vizatimin 7.40 duhet të kry-het rrugë me gjerësi të dhënë, pjerrësi prej 8% dhe kahje të dhënë. Në boshtin e rrugës është dhënë një pikë, për shembull A’ me kuotë 31, e cila është nismëtare në atë rrugë për ndërtim.

Vizatojmë gjerësinë e rrugës në raportin grafi k të dhënë. Pjerrësia e rrugës është n=8% ose i=1/n=12,5m. Intervalin e bartim nëpër boshtin e rrugës, duke fi lluar nga A’ dhe fi tojmë pikat B’(32), C’(30) dhe D’(29) nëpër të cilat kalojmë profi le të tërthorta, gjegjësisht profi le normale në boshtin e rrugës. Nëpër ato boshte paramendojmë rrafshe të shtrira vertikale të cilat e presin rrugën dhe ter-renin e dhënë. Profi li I’-I’ që kalon nëpër A’(31) e pret shtresëzën 31 në pikën M’(31), ndërsa profi li III’-III’ që kalon nëpër C’(30) e pret shtresëzën 30 në pikën N’(30). Me vijë të ndërprerë i bashkojmë M’ dhe N’ e cila në prerje me tehet e rrugës i jep pikat O’ dhe P’. Ato janë pikat kufi tare ndërmjet mbushjes dhe gërmimit.

Profi lin I’-I’ e rrëzojmë rreth shtresëzës me kuotë 31. Rrëzimin çdoherë e kryejmë rreth

136


shtresëzës të rrafshit prerës vertikal të barabartë me kuotën e rrugës nëpër të cilën është bërë pre-rja (profi li).

Profi lin II’-II’ e rrëzojmë rreth shtresëzës me kuotë 32 etj. Në vendin ku janë bërë profi let I’-I’, II’-II’ terreni është më i ulët nga rruga e projek-tuar, prandaj duhet të mbushet. Atje ku do t’i ka-lojmë profi let III’-III’ dhe IV’-IV’ terreni është më i lartë dhe duhet të kryhet gërmimi. Së pari duhet të vendosen kanalet për përcjelljen e ujërave atmos-ferike me dimensione 3x0,5m.

Pyetje dhe detyra:

1. Si kryhet rrëzimi i profi leve të terrenit?2. Në vizatimin 7.41 duhet të kryhet rrugë me gjerësi 4m., me pjerrësi të terrenit 25% dhe pjerrësi prej 12,5%. Në boshtin e rrugës është dhënë një pikë, për shembull P’ me kuotë 33, e cila është nismëtare për atë rrugë për ndërtim.

Vizatimi 7.40

137


7.9. RRUGA ME PJERRËSI NË TERREN TË DHËNË ME IZOHIPSE

Detyra 1. Në vizatimin 7.42 është paraqitur terreni jo i rrafshët me izohipse. Në të duhet të kryhet rrugë me gjerësi të caktuar, pjerrësi 1:12 dhe kahje të pjerrësisë. Në boshtin e rrugës është dhënë pika A’(21).

Së pari duhet ta vizatojmë rrugën me gjerësi të caktuar. Nga pika A’ e bartim intervalin 12m në raport të dhënë nëpër boshtin e rrugës dhe fi tojmë pikat B’(20), C’(19), D’(18), E’(17), nëpër të cilat kalojmë profi le të tërthorta.

Gjurma e rrafshit vertikal të profi lit III’-III’ e pret izohipsën 19 në pikën F’, nd`ërsa profi li IV’-IV’ me izohipsën 18 në pikën G’. Vija kufi t-are është vija e thyer pasi që terreni është jo i rrafshët. Për konstruktimin e saj më të saktë do të kryejmë futjen e izohipsave të reja por jo kryesore. Ndërmjet izohipsave 18 dhe 19 do të fusim disa segmente nën kënd 90o. Interva-lin ndërmjet C’ dhe D’ e ndajmë në tre pjesë të barabarta. Prerja me izohipse 18,35 dhe 18,70 i jep pikëprerjet H’ dhe I’. Me lidhjen e F’, H’ I’, G’

Vizatimi 7.41

mihja

mbushja

138


vizatojmë vijën e lakuar kufi tare e cila në prerje me tehet e rrugës i përcakton pikat e kërkuara kufi tare J’ dhe K’.

Nëpër D’(18) dhe E’(17) kalojmë profi le të tërthorta të cilët janë në pjesën e rrugës e cila duhet të mbushet. E gjejmë profi lin në pozitën e rrëzuar. Nga tehu i rrugës në pozitë të rrë-zuar i kalojmë rrafshet e mbushjes me pjerrësi 1:1,5 deri te prerja me profi lin e terrenit. Nga pikat e rrëzuara 7o dhe 80, 9o dhe 100 konstruk-tojmë projeksionet e tyre 7’ dhe 8’, 9’ dhe 10’ me drejtim normal në gjurmën e rrafshit vertikal të profi lit. Me lidhjen e tyre do ti fi tojmë lakoret e mbushjes n’1 dhe n’2 si prerje të terrenit me rrafshet e mbushjes.

Pjesa e rrugës ku janë profi let e tërthorta I’-I’, II’-II’, III’-III’ është në gërmim dhe në të janë të parashikuara kanalet e përcjelljes.

Rrafshet e mihjes janë me pjerrësi 1:1. Ato ndërmjet vete priten në pikat e rrëzuara 1o, 2o,

Vizatimi 7.42

139


…, 6o nga të cilat përcaktojmë projeksionet 1’, 2’, …, 6’ që i lidhim me pikat kufi tare J’1 dhe K’1 dhe me këtë do ti fi tojmë lakoret e mihjes u’1 dhe u’2.

Pyetje dhe detyra:

1. Sqaro ecurinë për fi timin e profi lit të lartësisë së terrenit.2. Rreth cilat shtresëza të rrafshit prerës vertikal e rrëzojmë profi lin e rrugës me pjerrësi?3. Sqaro ecurinë për zgjidhjen e rrugës me pjer-rësi dhe platformë horizontale të terrenit jo të rrafshët.

140

L i t e r a t u r a e s h f r y t ë z u a r

1. J. Justinijanoviq, Gjeometria deskriptive, Shkollska kniga, 1965, Zagreb.

2. D. Vanov, D. Dushkov, Vizatimi teknik me gjeometri deskriptive, Prosvetno delo, 1996, Shkup.

3. K. Trençeski, B. Krsteska, Ll. Kondinska, J. Baboviq, G. Trençeski, Algjebra elementare dhe gjeometria, Prosvetno delo, 2002, Shkup.

4. D. Vasileva, K. Mangaroski, S. Mateski, A. Olluiq, B. Trpkovski, Gjeometria deskriptive, Prosvetno delo, 1982, Shkup.

5. V. Niçe, Gjeometria deskriptive, Shkollska kniga, 1992, Zagreb.

6. Z. Shnajder, Gjeometria deskriptive, Nauçna kniga, 1991, Beograd.

7. V. Gjuroviq, Gjeometria deskriptive, Nauçna kniga, 1993, Beograd.

Literatura e shfrytëzuar

141

P ë r m b a j t j a

1. Hyrje në gjeometri deskriptive .........................................................................71.1. Hyrje në gjeometri deskriptive ......................................................................7

2. Bazat e projektimit ortogonal .........................................................................112.1. Paraqitja hapësinore dhe ortogonale e objekteve ......................................112.2. Projektimi dhe llojet e projeksioneve ..........................................................132.3. Projektimi ortogonal i pikës ........................................................................162.4. Projektimi ortogonal i pikës në pozitë të veçantë .......................................192.5. Kuadrantet. Koordinatat e pikave ...............................................................212.6. Projektimi ortogonal i segmentit .................................................................232.7. Projektimi ortogonal i segmentit në pozitë të veçantë ................................242.8. Madhësia e vërtetë e segmentit dhe këndeve e pjerrësisë ........................272.9. Projektimi ortogonal i drejtëzës ..................................................................302.10. Depërtimet e drejtëzës dhe këndet e pjerrësisë .......................................322.11. Rrafshi i tretë i projeksionit. Projektimi ortogonal i pikës. .........................342.12. Projektimi ortogonal i fi gurave gjeometrike ..............................................362.13. Projektimi ortogonal i trupave gjeometrik .................................................37

3. Projeksioni i pjerrët .........................................................................................413.1. Koncepti për projeksionin e pjerrët .............................................................413.2. Projeksioni i pjerrët i fi gurave gjeometrike dhe zbatimi ..............................443.3. Projeksioni i pjerrët i trupave gjeometrike dhe zbatimi ...............................47

4. Rrafshet ............................................................................................................534.1. Gjurma të rrafshit ........................................................................................534.2. Koordinatat e rrafshit ..................................................................................554.3. Rrafshe paralele me rrafshet e projeksionit ...............................................564.4. Figurat gjeometrike në rrafshe paralele me rrafshe të projeksionit ............574.5. Rrafshe normale në rrafshe të projeksionit ................................................604.6. Pika dhe drejtëza në rrafshin projektues ....................................................614.7. Depërtimi i drejtëzës nëpër rrafshin projektues ..........................................634.8. Rrëzimi i rrafsheve projektuese ..................................................................664.9. Figurat gjeometrike që shtrihen në rrafshet projektuese ............................684.10. Trupat gjeometrik të cilat me bazë shtrihen në rrafshet projektuese ........71

5. Transformimi ....................................................................................................795.1. Koncepti për transformim ...........................................................................795.2. Transformimi i pikës ...................................................................................795.3. Transformimi i fi gurave gjeometrike ...........................................................835.4. Transformimi i trupave gjeometrik ..............................................................84

6. Rrafshi i përgjithshëm.....................................................................................916.1. Pika dhe drejtëza në rrafshin e përgjithshëm .............................................916.2. Bashkëgjurmat dhe zbatimi i tyre ...............................................................93

Përmbajtja

142

6.3. Përcaktimi i gjurmëve të rrafshit të dhënë me drejtëza dhe pika ................966.4. Prerja e dy rrafsheve ..................................................................................996.5. Depërtimi i drejtëzës në rrafshin e përgjithshëm ......................................1016.6. Normalja në rrafshin e përgjithshëm .......................................................1056.7. Rrëzimi i rrafshit të përgjithshëm ..............................................................1076.8. Figurat gjeometrike që shtrihen në rrafshin e përgjithshëm .....................1096.9. Trupat gjeometrik që me bazë shtrihen në rrafshin e përgjithshëm .........112

7. Projeksioni i kuotuar .....................................................................................1217.1. Projeksioni i kuotuar i pikës ......................................................................1217.2. Projeksioni i kuotuar i drejtëzës dhe segmentit ........................................1227.3. Pozita reciproke e dy drejtëzave ..............................................................1257.4. Paraqitja e rrafshit ....................................................................................1267.5. Prerja e dy rrafsheve ................................................................................1287.6. Paraqitja e sipërfaqeve topografi ke- terrenit ............................................1307.7. Gërmimi (mihja) dhe mbushja ..................................................................1327.8. Rruga me pjerrësi në rrafshit të pjerrët .....................................................1357.9. Rruga me pjerrësi në terren të dhënë me izohipse ..................................137 Literatura e shfrytëzuar ...................................................................................140

Përmbajtja

5-1 nacrtna geometrija za i god alb - e-ucebnicie-ucebnici.mon.gov.mk/pdf/5-1 nacrtna geometrija za...

Documents