1. Desde un dirigible que está volando a 800 metros de altura se distingue un pueblo con un ángulo de depresión

de 12º. ¾A qué distancia del pueblo se halla?

Solución:

tan 12º = cateto opuestocateto contiguo = 800

x ⇒ x = 800tan 12º ' 3,763′70 metros de altura.

2. Dada una parcela triangular, resuélvelo sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y que forman entre

ellos un ángulo de 70º.

Solución:

Ya conocemos dos de los lados, y para calcular el tercero podemos utilizar el teorema del coseno:

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos 70º = 802 + 1302 − 2 · 80 · 130 · cos 70º ' 16,185′98⇒ c =√

16,185′98 ' 127′22 m

Con los tres lados ya conocidos, podemos echar mano del teorema del seno para calcular los ángulos desconocidos:

csen C

= asen A

⇒ 127′22sen 70º = 80

sen A⇒ sen A = 80·sen 70º

127′22∼= 0′59⇒ A ' 36º13′13′′

Para calcular el tercer ángulo, basta aplicar que 180º = A+ B + C ⇒ B = 180º− A− C ' 73º46′47′′.

3. Sabiendo que un ángulo λ verifica que tanµ = 2 y que 180º < µ < 270º, calcula las restantes razones trigonométri-

cas del ángulo.

Solución:

1

Primeramente procederemos a calcular las razones trigonométricas suponiendo que el ángulo está en el primer cuadrante

en vez de en el tercero, y así todas ellas serán positivas.

tan2µ+ 1 = 1cos2µ ⇒ 4 + 1 = 1

cos2µ ⇒ cos2µ = 14+1 = 1

5 = 15 ⇒ cos µ =

√15 = 1√

5' 0′4472

Además, tanµ = senµcos µ = senµ

1√5

⇒ senµ = 1√5· tanµ = 1√

5· 2 = 2√

5' 0′8944.

Una vez calculados el seno y el coseno, como por hipótesis el ángulo µ está en el tercer cuadrante, sabemos que el

seno debe ser negativo y el coseno también, y por tanto las razones trigonométricas serán: senµ ' − 2√5, cos µ ' − 1√

5,

tanµ = senµcos µ = 2.

4. RAZONA la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones (½ojo! Sin justificación la respuesta no puntúa):

a) 135º son 3π4radianes.

b) El ángulo de 1880º corresponde a 5 vueltas completas más un ángulo de 180º.

c) La siguiente tabla es correcta:

0º 90º 180º 270º

sen 0 -1 0 1

cos -1 0 1 0

tan 0 no existe 0 no existe

d) El valor del seno y de la tangente se encuentra entre -1 y 1.

Solución:

a) Verdadero, pues 135º = 3 · 45º = 3 · π4 rad = 3π4 rad. Y sabemos que 45º = π

4 rad porque:

360º 2π rad

45º x

x = 45·2·π360 = π

4 rad

b) Falso, son 5 vueltas completas más un ángulo de 80º, pues 1880 = 5 · 360 + 80.

c) Falso, el seno de 90º y está intercambiado con el seno de 270º y el coseno de 0 lo está con el coseno de 180º.

d) Falso, la tangente puede tomar un valor cualquiera o, incluso, no existir.

5. Calcula el área de un heptágono regular, sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es de 10 cm.

Solución:

Como se trata de un heptágono regular, el área viene dada por Area = perımetro·apotema2 . Tendremos que calcular, pues, el

lado y el apotema del heptágono.

2

Utilizaremos el triángulo que aparece dibujado en rojo, que resulta ser un triángulo rectángulo cuyos catetos son el apotema

(h) y la mitad del lado (x) del heptágono. Además, como el hepágono es regular, sabemos que su ángulo central es

360º÷ 7 ' 51º25′43′′, y por tanto que el ángulo superior del triángulo rojo es 51º25′43′′ ÷ 2 ' 25º42′52′′ ' 25, 71º. Así,

sen 25, 71º = x10 ⇒ x ' 4′3388 cm ⇒ lado = 2x ' 8′6776 cm

cos 25, 71º = h10 ⇒ apotema = h ' 9′0097 cm

Y ya podemos calcular el área buscada: Area = 7·8′6776·9′00972 ' 273′6387 cm2.

6. Un extranjero ha venido a Sanabria. Es muy paseante, y ha comprobado que entre El Puente y Puebla hay 4 km,

y que entre Requejo y Puebla hay 11 km. Mañana quiere ir de Requejo a El Puente, y para saber cuántos km

va a tener que andar, mide el ángulo que forman las dos distancias conocidas, que resulta ser de 95º. Ayúdale y

calcula tú la distancia desconocida. ¾Cuál será, además, el ángulo que forman los caminos que salen de Requejo?

Solución:

Con el teorema del coseno:

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C = 42 + 112 − 2 · 4 · 11 · cos 95º ' 144′6697⇒ c =√

144′6697 ' 12′0279 km separan Requejo de El

Puente.

Queremos calcular también el ángulo que se forma en Requejo, para lo cual nos ayudamos del teorema del seno:

asen A

= csen C

⇒ sen A = 4·sen 95º12′0279 ' 0′3313⇒ A ' 19º20′51′′

7. Dado el siguiente cuerpo geométrico, calcula su área lateral y su volumen:

3

Solución:

Para calcular el área lateral tendremos que calcular el área del siguiente triángulo:

, pero para ello necesitamos conocer el radio del cono, el cual podemos calcular a partir del triángulo rectángulo:

, tan 27º = r4 ⇒ r ' 2′0381 cm ⇒ Alateral = base·altura

2 = 2·π·2′0381·42 ' 25′6115 cm2.

Para calcular el volumen basta aplicar la fórmula V = πr2h3 = π·2′03812·4

3 ' 17′3996 cm3.

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