4_boole_cebri

Boole Cebri

(Boolean Algebra)

Boole Cebri lemleri

3 temel ilem bulunmaktadr:

x y xy0 0 00 1 01 0 01 1 1

x y x+y0 0 00 1 11 0 11 1 1

x x0 11 0

VE(AND)

VEYA(OR)

TMLEME(NOT)

xy, xy x + y x

lem:

fadesi:

Doruluk tablosu:

Boole Fonksiyonu

Tanmlanm olan 3 temel ilem kullanlarak elde edilen fonksiyonlardr. rnek:

f(x,y,z) = (x + y)z + x

Burada: f: fonksiyonun ad x, y ve z: giri deikenleri x, y, z ve x: terim (giri deikenlerinin kendileri veya tmleyenleri

birer terimi oluturur. rnein bu fonksiyonda 4 terimbulunmaktadr.

Doruluk Tablosu (Truth table)

Bir doruluk tablosu giri deikenlerinin alabilecei tm olas deerlere karlk fonksiyonun alaca deeri veren tablodur.

Her bir giri deikeni 1 veya 0 deeri alabilir. Bu durumda eer n tane giri deikeni var ise, giri deikenlerinin

alabilecei deerler toplam 2n tanedir. Tablodaki 2n tane satr binary olarak sralanr. rnein, 3 deikenli bir

fonksiyon iin 000dan 111e doru...

x y z f(x,y,z)0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

f(0,0,0) = (0 + 1)0 + 1 = 1f(0,0,1) = (0 + 1)1 + 1 = 1f(0,1,0) = (0 + 0)0 + 1 = 1f(0,1,1) = (0 + 0)1 + 1 = 1f(1,0,0) = (1 + 1)0 + 0 = 0f(1,0,1) = (1 + 1)1 + 0 = 1f(1,1,0) = (1 + 0)0 + 0 = 0f(1,1,1) = (1 + 0)1 + 0 = 1

f(x,y,z) = (x + y)z + x

Fonksiyonlar ve Devreleri

Herhangi bir Boole fonksiyonu temel lojik kaplar kullanlarak bir devreye dnebilir.

lem srasnn doru srada olmasna dikkat edilmelidir!

VE VEYA TMLEMElem:

Lojik Kap:

Temel lemlere ait Kaplar:

Fonksiyonlar ve Devreleri

(x + y)z + x

Devre Analizi

Devre Analizi sonucunda devrenin karl olan lojik fonksiyonun ifadesi veya doruluk tablosu elde edilir.

lk adm olarak giri deikenleri ve k belirlenir. rnek: Bu devrede tane giri deikeni vardr: x, y, z. k ise yani

fonksiyonun ad: f.

Cebirsel ifadelerin yazlmas

Ardndan, girilerden balayarak ka kadar adm adm kaplarn kndaki ifadeler yazlr. Bylece, en son kapda k ifadesi ortaya kar:f(x,y,z) = xz + yz + xyz

... veya doruluk tablosu yaplmas

Fonksiyonun ifadesini bulmadan dorudan doruluk tablosu da yaplabilir. 3 deikenli bu devre iin 23=8 satrlk bir doruluk tablosu oluturulmaldr.

x y z f0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Her bir satr iin deikenlerin deerlerini yerlerine yazarak kn deeri hesaplanr.

rnein, xyz = 101 olduunda, kaplarn klarnki deerler aadaki gibi yazlabilir. Sonunda k hesaplanr:

f(1,0,1) = 1

x y z f0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 1 11 1 01 1 1

1

01

1

0

0

1

1

0

1

Doruluk tablosu tamamlanr

x y z f0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

Fonksiyonlarn ifadeleri ve Doruluk Tablolar

Bir fonksiyonun doruluk tablosu zaten elimizde var ise, devre zerinden hesaplamak yerine fonksiyonun ifadesi zerinden hesaplama yaparak tablo oluturmak daha kolaydr.

rnein, f(x,y,z) = xz + yz + xyz fonksiyonu iin:

x y z xz yz xyz f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1

Devre Analizi - zet

Devrenin giri ve klarnn bulunmas

Devrenin k iin Boole fonksiyonunun

elde edilmesi

Devrenin doruluk tablosunun bulunmas

Fonksiyonlarn Basitletirilmesi

Boole Cebri, Binary say sistemi zerine kurulu olan cebirdir. Normal cebirden fark

Deikenler sadece 0 ve 1 deerlerini alr. VE, VEYA ve TMLEME olmak zere 3 temel ilem zerine

kuruludur. zerine tanmlanm olan aksiyomlar vardr:

Boole Cebri Aksiyomlar

Boole Cebri Aksiyomlar aadaki liste ile zetlenebilir.

1. x + 0 = x 2. x 1 = x 3. x + 1 = 1 4. x 0 = 0 5. x + x = x 6. x x = x 7. x + x = 1 8. x x = 0 9. (x) = x

10. x + y = y + x 11. xy = yx Deime 12. x + (y + z) = (x + y) + z 13. x(yz) = (xy)z Birleme 14. x(y + z) = xy + xz 15. x + yz = (x + y)(x + z) Dalma 16. (x + y) = xy 17. (xy) = x + y DeMorgan

Boole Cebri Kurallar Sa stundaki eitlikler sol stundakilerin elenii (dual) dir. Elenik (dual)

den kastedilen: Eitlikte VEYA yerine VE, VE yerine VEYA 1 yerine 0 0 yerine 1 yazlmaktadr.



Aksiyomlar yardmyla Fonksiyonlarn BasitletirilmesiAadaki fonksiyonu basitletirelim:

xy + xyz + xy= x(y + y) + xyz [ Dalma; xy + xy = x(y + y) ]= x1 + xyz [ Aksiyom 7; y + y = 1 ]= x + xyz [ Aksiyom 2; x1 = x ]= (x + x)(x + yz) [ Dalma]= 1 (x + yz) [ Aksiyom 7; x + x = 1 ]= x + yz [ Aksiyom 2 ]



ki devrenin karlatrlmas

Daha basit ve daha hzldr;Daha az enerji harcar.

Bir baka rnek

F= XYZ+ XYZ+XZ= XY(Z+Z)+XZ (14)= XY . 1 + XZ (7)= XY+ XZ (2)

Altrma Sorular - 1

Aadaki Boole fonksiyonlarn aksiyomlar yardmyla basitletiriniz. Fonksiyon ka terimden oluuyordu. Siz ka terime indirgediniz?

a. A'C' + A'BC + B'C

b. (A+B)'(A' + B')

c. ABC + A'C

d. BC + B(AD + C'D)

e. (D'E + C' + ED'C')(D'EC + A(D+E') + AC)

zmleri bir hafta sonrawww.yildiz.edu.tr/~bataslar adresinde

Lojik Devre Temelleri linkinin altnda bulabilirsiniz.

Birka Yeni Kural

Boole Cebrinde tanml birka kural aada verilmitir. Burada da sa ve sol stunlar arasnda dual lik sz konusudur!

Bu kurallarn ispatn iki yol ile yapabiliriz:1. Doruluk tablosu ile:

2. Aksiyomlar yardmyla:

x y x xy x + xy x y x + y0 0 0 0 00 1 0 1 11 0 1 0 11 1 1 1 1

x + xy = (x + x)(x + y) [ Dalma ]= 1 (x + y) [ x + x = 1 ]= x + y [ Aksiyom 2 ]

1. x + xy = x 4. x(x + y) = x2. xy + xy = x 5. (x + y)(x + y) = x3. x + xy = x + y 6. x(x + y) = xy

Consensus Teoremi

XY + XZ + YZ = XY + XZ ve (X+Y)(X+Z)(Y+Z) = (X+Y)(X+Z)

spat:

XY + XZ + YZ = XY + XZ + YZ(X + X)

= XY + XZ + XYZ + XYZ

= XY + XYZ + XZ + XYZ

= XY(1 + Z) + XZ(1 + Y)

= XY + XZ

Bir fonksiyonun Tmleyeni

Bir fonksiyonun tmleyeni alnrsa, fonksiyon deerinin 0 olduu yerlerde 1; 1 olduu yerlerde ise 0 deerini alr.

Doruluk tablosu asndan 0 larn yerine 1; 1 lerin yerine ise 0 yazmak yeterlidir.

f(x,y,z) = x(yz + yz)

x y z f(x,y,z)0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 0

x y z f(x,y,z)0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1

Bir fonksiyonun tmleyeninin cebirsel olarak bulunmas

DeMorgan kurallndan yararlanabiliriz:

f(x,y,z) = x(yz + yz)

f(x,y,z) = ( x(yz + yz) ) [ eitliin iki tarafnn da tmleyeni ]

= x + (yz + yz) [ nk (xy) = x + y ]

= x + (yz) (yz) [nk (x + y) = x y ]

= x + (y + z)(y + z) [nk (xy) = x + y ]

fadelerin standart gsterimi

Bir Boole fonksiyonu birden fazla ekilde ifade edilebilir. Sonu deimez. Ancak, baz gsterimler daha kullanldr.

Bir arpmlar Toplam (Sum of products (SOP)) gsterimi: Terimlerin arpm eklindeki ifadelerin toplamdr.

Bu gsterimin avantaj iki-seviyeli devre ile gereklenmeleridir. Terimler ve tmleyenleri: Sfrnc seviye VE kaplar: Birinci seviye Bir tek VEYA kaps: kinci seviyeyi oluturmaktadr.

Bu durumda diyagram biraz basitletirilerek izilirse (Tmleme kaplargsterilmemitir ve terimler birden fazla yerde gsterilmitir.) :

f(x,y,z) = y + xyz + xz

Minterim (minterm)

Bir minterim zel bir terimler arpmdr. zellii ise, her bir minterimde fonksiyonda var olan deikenlerin hepsi bir kez yer almaktadr. Yalnz herbir deiken ya kendisi yada tmleyeni olarak yer alabilir.

n tane deikene sahip bir fonksiyon iin 2n minterim yazlabilir. rnek: 3 deikenli f(x,y,z) fonksiyonunda 23 = 8 minterim vardr:

Her bir minterim girilerin bir kombinasyonunda 1 deerini alr:

xyz xyz xyz xyzxyz xyz xyz xyz

Minterim 1 deerini alr. KsaEer, gsterimi:

xyz x=0, y=0, z=0 m0xyz x=0, y=0, z=1 m1xyz x=0, y=1, z=0 m2xyz x=0, y=1, z=1 m3xyz x=1, y=0, z=0 m4xyz x=1, y=0, z=1 m5xyz x=1, y=1, z=0 m6xyz x=1, y=1, z=1 m7

Minterimler Toplam Gsterimi

Her bir fonksiyon minterimler toplam eklinde yazlabilir ve bu gsterim tektir.

Minterimler toplam fonksiyonun doruluk tablosundan kolaylkla yazlabilir. Fonksiyonun deerinin 1 olduu satrlara karlk gelen minterimler alnp bunlarn bir toplam eklinde yazlabilir.

x y z f(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

f = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= m0 + m1 + m2 + m3 + m6= m(0,1,2,3,6)

Minterimler Toplam Gsterimi

f(x,y,z) fonksiyonunun tmleyeni minterimler toplam eklinde yazlmak istenirse:

x y z f(x,y,z) f(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

f = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= m0 + m1 + m2 + m3 + m6= m(0,1,2,3,6)

f = xyz + xyz + xyz= m4 + m5 + m7= m(4,5,7)

Not: f, f de olmayan tm minterimleri ierir.

Toplamlar arpm

Bir Toplamlar arpm (Product of Sums (POS)) gsterimi: Terimlerin toplam eklindeki ifadelerin arpmdr.

Bu gsterimin avantaj iki-seviyeli devre ile gereklenmeleridir. Terimler ve tmleyenleri: Sfrnc seviye VEYA kaplar: Birinci seviye Bir tek VE kaps: kinci seviyeyi oluturmaktadr.

f(x,y,z) = y (x + y + z) (x + z)

Makterim (Maxterm)

Bir makterim zel bir terimler toplamdr. zellii ise, her bir makterimde fonksiyonda var olan deikenlerin hepsi bir kez yer almaktadr. Yalnz herbir deiken ya kendisi yada tmleyeni olarak yer alabilir.

n tane deikene sahip bir fonksiyon iin 2n makterim yazlabilir. rnek: 3 deikenli f(x,y,z) fonksiyonunda 23 = 8 makterim vardr:

Her bir makterim girilerin bir kombinasyonunda 0 deerini alr:

x + y + z x + y + z x + y + z x+ y + zx + y + z x + y + z x + y + z x + y + z

Makterim 0 deerini alr. KsaEer, gsterimi:

x + y + z x=0, y=0, z=0 M0x + y + z x=0, y=0, z=1 M1x + y + z x=0, y=1, z=0 M2x + y + z x=0, y=1, z=1 M3x + y + z x=1, y=0, z=0 M4x + y + z x=1, y=0, z=1 M5x + y + z x=1, y=1, z=0 M6x + y + z x=1, y=1, z=1 M7

Makterimler arpm Gsterimi

Her bir fonksiyon makterimler arpm eklinde yazlabilir ve bu gsterim tek tir.

Makterimler arpm fonksiyonun doruluk tablosundan kolaylkla yazlabilir. Fonksiyonun deerinin 0 olduu satrlara karlk gelen makterimler alnp bunlarn bir arpm eklinde yazlabilir.

x y z f(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

f = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)= M4 M5 M7= M(4,5,7)

Makterimler arpm Gsterimi

f(x,y,z) fonksiyonunun tmleyeni makterimler arpm eklinde yazlmak istenirse:

x y z f(x,y,z) f(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

Not: f, f de olmayan tm makterimleri ierir.

f = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)= M4 M5 M7= M(4,5,7)

f = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)

= M0 M1 M2 M3 M6= M(0,1,2,3,6)

Minterim Makterim ilikisi

Herhangi bir minterim mi nin tmleyeni karlk gelen Makterim Mi ye eittir.

rnein, m4 = M4 dir. nk: (xyz) = x + y + z

Makterim Ksa gst.x + y + z M0x + y + z M1x + y + z M2x + y + z M3x + y + z M4x + y + z M5x + y + z M6x + y + z M7

Minterim Ksa gst.xyz m0xyz m1xyz m2xyz m3xyz m4xyz m5xyz m6xyz m7

Standart Formlar arasnda dnm

Minterimler toplamn Makterimler arpmna dntrebiliriz:

Sonu olarak, sadece fonksiyonda bulunmayan minterim numaralarna karlk gelen makterimleri yazmak yeterli olmaktadr.

Ayn dnm makterimler arpmndan minterimler toplamna dnm iin de geerlidir.

f = m(0,1,2,3,6)f = m(4,5,7)

= m4 + m5 + m7(f) = (m4 + m5 + m7)f = m4 m5 m7 [ DeMorgan Kural ]

= M4 M5 M7 [ mi = Mi ]= M(4,5,7)

f = m(0,1,2,3,6)= M(4,5,7)

rnek

F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D) fonksiyonu iin

a. DeMorgan kuraln uygulayarak F fonksiyonunu elde ediniz.

b. F fonksiyonunu minterimler toplam eklinde ifade ediniz.

c. F fonksiyonunu makterimler arpm eklinde ifade ediniz.

d. F' fonksiyonunu makterimler arpm ekline dntrnz.

F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)

a. DeMorgan kuraln uygulayarak F fonksiyonunu elde ediniz.


F(A,B,C,D) = ((AB+C)(B+C'D))'

= ((AB+C)' + (B+C'D)'

= ((AB)'C' + B'(C + D')

= (A'+B')C' + B'(C+D')


b. F fonksiyonunu minterimler toplam eklinde ifade ediniz.


= ABB + ABC'D + BC + CC'D [ Dalma ]

=AB + ABC'D + BC [ xx = x; x'x = 0; x+0=x]

=AB + BC [ x + xy = x ]

Bu aamada iki seenek sz konusudur:1. Doruluk tablosu yaplarak minterimler karlr.2. Cebirsel olarak fonksiyon geniletilir.

F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)1. Doruluk tablosu yaplarak minterimler karlr: F(A,B,C,D) = AB + BC

A B C D F 0 0 0 0 0 m0 0 0 0 1 0 m1 0 0 1 0 0 m2 0 0 1 1 0 m3 0 1 0 0 0 m4 0 1 0 1 0 m5 0 1 1 0 1 m6 0 1 1 1 1 m7 1 0 0 0 0 m8 1 0 0 1 0 m9 1 0 1 0 0 m10 1 0 1 1 0 m11 1 1 0 0 1 m12 1 1 0 1 1 m13 1 1 1 0 1 m14 1 1 1 1 1 m15

F(A,B,C,D) = m(6,7,12,13,14,15)


2. Cebirsel olarak fonksiyon geniletilir:

F(A,B,C,D) = AB + BC

= AB(C+C') (D+D') + BC(A+A') (D+D')

= (ABCD + ABC'D + ABCD + ABC'D) +(ABCD + A'BCD+ ABCD' + A'BCD')

= ABCD + ABC'D + ABCD + ABC'D + A'BCD + A'BCD')

= m15 + m13 + m14 + m12 + m7 + m6

= m(6,7,12,13,14,15)


c. F fonksiyonunu makterimler arpm eklinde ifade ediniz

F(A,B,C,D) = m(6,7,12,13,14,15)

F(A,B,C,D) = M(0,1,2,3,4,5,8,9,10,11)


d. F' fonksiyonunu makterimler arpm ekline dntrnz.

F(A,B,C,D) = M(0,1,2,3,4,5,8,9,10,11)

F'(A,B,C,D) = M (6,7,12,13,14,15)

Boole Cebri(Boolean Algebra)Boole Cebri lemleri Boole FonksiyonuDoruluk Tablosu (Truth table)Fonksiyonlar ve DevreleriFonksiyonlar ve DevreleriDevre AnaliziCebirsel ifadelerin yazlmas... veya doruluk tablosu yaplmas Doruluk tablosu tamamlanrFonksiyonlarn ifadeleri ve Doruluk TablolarDevre Analizi - zetFonksiyonlarn BasitletirilmesiBoole Cebri AksiyomlarBoole Cebri KurallarAksiyomlar yardmyla Fonksiyonlarn Basitletirilmesiki devrenin karlatrlmasBir baka rnekAltrma Sorular - 1Birka Yeni KuralConsensus TeoremiBir fonksiyonun Tmleyeni Bir fonksiyonun tmleyeninin cebirsel olarak bulunmasfadelerin standart gsterimiMinterim (minterm)Minterimler Toplam GsterimiMinterimler Toplam GsterimiToplamlar arpmMakterim (Maxterm)Makterimler arpm GsterimiMakterimler arpm GsterimiMinterim Makterim ilikisiStandart Formlar arasnda dnmrnekF(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)F(A,B,C,D) = (AB+C)(B+C'D)

4_boole_cebri

Documents