Razonamiento Matemático 2do de Secundaria

Sucesiones Noción de sucesión:Se tiene como idea o noción de sucesión, a todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido, por tanto, se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero, etc; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o fórmula de recurrencia.A los elementos de dicho conjunto se les denomina términos de sucesión

Tipos de sucesiones

• Sucesiones gráficas

• Sucesiones aritmética Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por sumas o restas de cantidades constantes o variables. Se presenta los siguientes casos.1. Por suma o Resta de una cantidad

constante. Ejm.

a) 1, 5, 9, 13,.....

+4 +4 +4 +4

b) 15, 12, 9, 6,.....

-3 -3 -3 -3

2. Por sumas o restas de cantidades variables que forman otra sucesión. Ejm:

a) 4, 5, 7, 10,....

+1 +2 +3 +4

b) 12, 11, 9, 6,.....

-1 -2 -3 -4

3. Por suma o resta de cantidades que no forman una sucesión simple. Ej:

a) 4, 8, 15, 26,....

+4 +7 +11 +x

+3 +4 +5

b) 99, 91, 80, 64, .....

-8 -11 -16 x

-3 -5 -7

• Sucesiones geométricas

Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por multiplicación o división de cantidades constantes o variables. Se presentan los siguientes casos:

4. Por multiplicación de una cantidad constante. Ejemplo:

*) 2, 6, 18, 54,....

x3 x3 x3 x3

**) 48, 24, 12, 6,.....

÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2

5. Por multiplicación o división de cantidades variables. Ejm.

*) 4, 8, 24, 96,....

x2 x3 x4 x5

**) 360, 72, 18, 6,....

÷ 5 ÷ 4 ÷ 3 ÷ 2

Sucesiones combinadas:Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en una misma sucesión. Ejm:

*) 3, 5, 10, 12, 24, ....

+2 x2 +2 x2

**) 2, 6, 4, 12, 10, ......

x3 -2 x3 -2 x3

***)1, 5, -3, 13, ......

+4 -8 +16 x

x(-2) x(-2) x(-2)

• Sucesiones alternadas Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por la combinación de dos sucesiones numéricas diferentes en una misma sucesión. Ejm.:

*) 2, -1, 6, -4, 10, -7 , ... ...

• Sucesiones exponenciales:Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por potenciación de cantidades constantes o variables.

1; 3; 16; 125

• Sucesiones literalesLas sucesiones literales pueden tener una ley de formación de tipo aritmética, geométrica, alternada, combinada o iniciales de palabras populares de uso cotidiano. Ejemplos:

* ) A; C; F; J;....

**) A; C; I;.....

***) C , M , C , M , S , J , ... , ...U A I I E UA R N E I ET T C R S VR E O C EO S O S L E S

)**** A, I, M, E, D, A, C, ....

Nota: Las letras compuestas CH, LL y RR no se consideran en las sucesiones literales, a menos que se indique lo contrario

• Métodos para encontrar el término general de una sucesión aritmética:

Sucesión Lineal o de 1er grado.

Tn = Términos general que permite encontrar cualquier término de la sucesión

n = Lugar que ocupa el término enésimo

A, B = constantes de la ley de formación (L.F.) de la sucesión

Ejemplo: dada la serie 5, 9, 13, 17, ....

Hallar: T220 Solución

⇒B= 1, 5, 9, 13,....

A = 4 4 4 4

∴ Tn = 4n + 1

1

Tn = An + B

Como la razón la encontramos enseguida es una sucesión lineal a continuación retrocedemos

-3 -3 -3

+4 +4 +4

2° 31 42 53

⇒ T220 4(220) + 1T220 = 881

Sucesión cuadrática o de 2do grado

Tn = término general n = lugar enésimo de un término A, B, C = constantes de la L.F.

Ejemplo:Hallar T100 en:

4, 8, 14, 22, 32Solución:

C = 2, 4, 8, 14, 22, 32, ....

A + B= 2 +4 6 8 10

2A = 2 2 2 2

⇒ Tn = n2 + n + 2

∴ T100 = 1002 + 100 + 2 = 10102

Sucesión cúbica o de 3er grado:

Ejm: Hallar T20 en:

-1, 1, 11, 35, 79, 149

Solución:D = -1; -1 , 1, 11, 35, 79, 149, ...

A+B+C=0 2 10 24 44 70

6A+2B= 2 8 14 20 26

6A= 6 6 6 6

∴ Tn = n3 – 2n2 + n-1⇒ T20 = 203 – 2(202) + 20 – 1 = 7219

g

ProblemasNivel I

1. ¿Qué número sigue?4, 7, 13, 25, 49, 97, ____

a) 136 b) 193 c) 214d) 307 e) 929

2. Hallar "x"15, 16, 11, 20, 7, 24, x

a) 3 b) 16 c) 32 d) 9 e) 5

3. Calcular la suma de cifras del siguiente término:

1, 3, 7, 15, 31, __

a) 5 b) 10 c) 6 d) 9 e) 3

4. ¿Qué letras continúan?

__;;;;DK

HC

BE

BA

a) ME

b) NF

c) NE

d) TG

e) SH

5. ¿ Qué letra sigue?O, S, E, R, G, N, _____

a) P b) T c) A d) I e) O

6. Tenemos una progresión geométrica cuyo primer término es 2, y el 6to término es 64. Calcule el octavo término.

2

Tn = An2 + Bn + C

Tn = An3 + Bn2 + Cn + D

Nombre Sucesión Regla de formación o término enésimo

SUCESIONES

NOTABLES

De los números naturales 1,2,3,4,5,....... tn = n

De los números pares 2,4,6,8,10,..... tn = 2n

De los números impares 1,3,5,7,9,....... tn = 2n - 1

De los números triangulares 1,3,6,10,15,21,..... tn = ( )

2

1nn +

De los números tetraédricos 1,4,10,20,35,.......( )( )

6

2n1nntn

++=

Números pentagonales 1,5,12,22,...........( )

2

1n3ntn

+=

Números hexagonales 1,6,15,28,....... tn = n(2n-1)

De los números cuadrados 1,4,9,16,25,........ tn = n2

De los cubos perfectos 1,8,27,64,125,...... tn = n3

SUCESIONES

ESPECIALES

De los números primos 2,3,5,7,11,13,......No se tiene término enésimo pero si el criterio

De Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,..... t1 = 1; t2 = 1

tn=tn–1+tn-2 ∀ n≥ 3

De Feinberg1 (“Tribonacci”) 1,1,2,4,7,13,24,....t1 = 1; t2 = 1 t3=2

tn=tn–1+tn-2 + tn-3 ∀ n ≥ 4

De Lucas 1,3,4,7,11,..........t1 = 1; t2 = 3

tn=tn–1 + tn-2 ∀ n ≥ 3

SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES

A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes

a) 124 b) 64 c) 256 d) 512 e) 1024

7. Hallar el término 80 en la sucesión:

23, 25, 27, 29, ........

a) 174 b) 156 c) 160d) 181 e) 174

8. ¿Qué sigue en?

1, 4, 13, 40, 121, ?

a) 186 b) 264 c) 292 d) 306 e) 364

9. En la sucesión el número siguiente es:

____,171,

101,

51,

21

a) 241

b) 261

c) 211

d) 271

e) 301

10. El octavo término de la sucesión es:

____:,2031,

1217,

67,

21

a) 72127

b) 56129

c) 72128

d) 79129

e) 56127

11.¿Qué número sigue?

2, 3, 4, 9, 16, 29, 54, ?

a) 89 b) 72 c) 81 d) 96 e) 99

12.Hallar el valor de ?

1, 2, 9, 121, ?

a) 260 b) 629 c) 16900d) 1300 e) 2500

13.La ley de formación que corresponde a la sucesión es:

0, 10, 24, 42, 64, 90, .....

a) n2 + 4n + 6 b) 2n2 + 4n + 2 c) 2n2 + 4n – 6 d) 3(n+3) (n-1)e) 2(n+3) (n+2)

14.Hallar 2x

en la sucesión:

5, x , 32, 68, 140, 284

a) 20 b) 10 c) 6 d) 7 e) 3

15.En la sucesión el término siguiente es:

-11, - 4, 6, 22, 50, ?

a) 72 b) 90 c) 102 d) 84 e) 100

Nivel II

1. Hallar el término 40 en:

4, 9, 18, 37, 72, ......

a) 58997 b) 59878 c) 57997d) 50000 e) 64000

2. Dadas las sucesiones:

,.........516,

49,

34,

21

,.........54,

43,

32,

21

la diferencia de los términos n - ésimos es:

a) 1

)1(−+

nnn

b) 1+n

n c)

1)1(

+−

nnn

d) )1(1

−+

nn

ne) )1(

1+−

nn

n

3. Hallar: 2(x + y)

3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x; y

a) 8 b) 64 c) 92 d) 70 e) 28

4. Hallar x: 3; 8; 6; 35; 8; 63; 7; x

a) 27 b) 54 c) 48 d) 81 e) 14

En los siguientes problemas, hallar el valor del término que continúa

5.1; 2; 5; 10; 13; 26; x.

a) 15 b) 29 c) 9 d) 3 e) 16

6.20; 8; 8; 26; 68; x.

a) 10 b) 325 c) 176 d) 140 e) 125

7.G, R, P, N, ___

a) A b) E c) I d) O e) U

8.M, M, J, ____

a) P b) Q c) S d) Y e) V

9.B, D, H, N, ____

a) P b) U c) M d) K e) O

10.

____;356;

154;

32

a) 638

b) 25

c) 176

d) 517

e) 12310

11.

yx;

1111;

148;

166;

175

. Hallar x +y

a) 35 b) 22 c) 9 d) 40 e) 57

12.8; 4, 6; 7; 3; 5; 12; 20; 16; 7; 23; a

a) 15 b) 12 c) 21 d) 34 e) 51

13.34;12;2;2

a) 71 b) 329 c) 28

d) 15 e) 4 15

14.12; 23; 1; 45; ____

a) –15 b) –43 c) 24 d) 48 e) 71

15. Hallar “x”

2, 3, 5, 7, 11, 13, x

a) 15 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18

16. ¿Qué letra continúa:

3

U, T, C, S; ______a) V b) N c) O d) X e) D 17. ¿Qué letra continúa? U, S, O, D, V; ____a) U b) B c) Z d) X e) V

18. Qué letra sigue:

G; H; I; G; I; K; G; J; ______a) N b) P c) R d) M e) S

Lic. Omar Cruzado Quiroz

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