§4.2-4.3 方差
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§4.2-4.3 方差. 引例 检验两批灯泡的质量 , 从中分别随机抽样 5 只 , 测得使用寿命 ( 单位 : 小时 ) 如下 : A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏. 计算得 : 平均寿命 分别为 :A:1200 B:1200. 数学期望. 方差. 观察得 :A 中 使用寿命偏离 较大 ,B 中使用寿命 偏离较小 ,. 所以 ,B 产品质量较好. 1. 方差的定义. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
§4.2-4.3 方差引例 检验两批灯泡的质量 ,从中分别随机抽样 5只 ,测得使用寿命 (单位 :小时 )如下 :
A: 2000 1500 1000 500 1000
B: 1500 1500 1000 1000 1000
试比较这两批灯泡质量的好坏计算得 :平均寿命分别为 :A:1200 B:1200
观察得 :A中使用寿命偏离较大 ,B中使用寿命 偏离较小 ,所以 ,B 产品质量较好
数学期望 方差
1. 方差的定义
(X - EX)2 —— 随机变量 X 的取值偏离平均值的 情况 , 是 X 的函数 ,
也是随机变量 E(X - EX)2 —— 随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度—— 数
定义： 2
2
, ( ) ,
( ) , ,
X E X EX
E X EX X DX
设 是一个随机变量 若 存在
则称 为 的方差 记为 即2( )DX E X EX 方差
( ) DX均方差 标准差
注 :方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度
,2,1,)( kpxXP kk
若 X 为离散型随机变量，概率分布为
k
kk pEXxDX 2
若 X 为连续型随机变量，概率密度为 f (x) dxxfEXxDX )(2
常用的计算方差的公式：2 2( )DX EX EX
2. 方差的性质(1) 0 (DC C 为常数）
2(2) ( )D CX C DX
(3) , ,
( )
X Y
D X Y DX DY 设 是两个相互独立的随机变量 则
(4) 0 1
( ) , ( ) 1
DX X C
C EX P X C
的充要条件是 以概率取常数
这里 即2 2(5) ( ) ( ) ( )DX E X a EX a a 为任意常数
例 1 设 X ~ P (), 求 DX
解
0 !k
k
k
ekEX
1
1
)!1(k
k
ke
EXXXEEX )]1([2
!)1()]1([
0 k
ekkXXE
k
k
2
2
22
)!2(
k
k
ke
22EX
22 )(EXEXDX
3. 方差的计算
例 2 设 X ~ B( n , p) ，求 DX
解一 仿照上例求 DX
解二 引入随机变量 nXXX ,,, 21
发生次试验事件第发生次试验事件第
Ai
AiX i ,0
,1
nXXX ,,, 21 相互独立，ni ,,2,1 )1( ppDX i
n
iiXX
1
故 )1(1
pnpDXDXn
ii
2,i iEX p EX p
解 DX 2 2( )EX EX
2 21( )
2
b
a
a bx dx
b a
2( )
12
b a
例 3 设 X ~ U( a , b) ，求 DX
例 4 设 X ~ N ( , 2), 求 DX 解 dxexDX
x2
2
2
)(2
2
1)(
dtettt
x
222
2
2
1
令
2
常见随机变量的方差
分布 方差概率分布
参数为 p 的 0-1 分布 pXP
pXP
1)0(
)1(p(1-p)
B(n,p)nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(
np(1-p)
P()
,2,1,0!
)(
kk
ekXP
k
分布 方差概率密度
区间 (a,b) 上的均匀分布
其它,0
,,1
)( bxaabxf
12
)( 2ab
E()
其它,0
,0,)(
xexf
x2
1
N(, 2)2
2
2
)(
2
1)(
x
exf 2
RxexfXx
,2
1)(~ 22
2)(
f(x)
x0 μ
若μ固定 ,σ改变 ,则 σ越大 ,曲线越平坦 ,
σ 越小 ,曲线越陡峭
σ
小
σ 大
方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同σ2 的密度曲线反映出来 :
达到最小值时，当证明 )(xfEXx
,,)()( 2 RxxXExf 设
证 )2()()( 222 xxXXExXExf
)()2( 22 xExXEEX 22 2 xxEXEX
022)( xEXxf
02)( xf又
例 5
EXx 解得
达到最小值时，当所以 )(xfEXx
DXEXXEEXf 2)()(最小值为
例 6 已知 X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | )
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( YXDYXE
故 )1,0(~ NYX
dzezYXEz
2
2
2
1|||)(|
2
2
22
0
2
dzezz
例 7 设 X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为 p ，求 EX , DX
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数， i = 1,2,…, n
1,2,1,)( 1 qpkpqkXP ki
1
1
1
1
k
k
k
ki kqpkpqEX
pqp
1
)1(
12
nXXX ,,, 21 相互独立 , 且
n
iiXX
1
1
1
1
12 )1(k
k
k
ki kpqpqkkEX
pqkkpq
k
k 1)1(
2
2
px
dx
dpq
qxk
k 1
02
2
pxpq
qx
1
)1(
23
2
2
p
p
222
112
p
p
pp
pDX i
p
nEXEX
n
ii
1
故
21
)1(
p
pnDXDX
n
ii
例 8
0,0
,0,ln)(,
2
1,
2
1~
X
XXXgYUX设
求 EY , DY
解
dxxfxgEY X )()(
21
21
1)( dxxg 21
01ln dxx
2
1
2
1ln
2
1
2
12ln
2
1
dxxfxgEY X )()(22
21
0
2 1ln dxx
2ln12ln2
1
2
1ln1
2
1ln
2
1 22
22 )(EYEYDY 2
2
2
12ln
2
12ln12ln
2
1
4
32ln
2
12ln
4
1 2
标准化随机变量
DX
EXXX
为 X 的标准化随机变量 . 显然，
1,0 DXEX
则称且都存在方差的期望设随机变量
,0
,,
DX
DXEXX
仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布 ,例如：
X
P
-1 0 1
0.1 0.8 0.1
Y
P
-2 0 2
0.025 0.95 0.025
与2.0,0 DXEX
2.0,0 DYEY
它们有相同的期望和方差 ,但是分布却不同
但若已知分布的类型及期望和方差，常能确定分布
例 9 已知 X 服从正态分布 , EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 – 2 X , 求 Y 的密度函数
解 1 2 1 2 1.7 2.4,
(1 2 ) 4 4 3 12
EY EX
DY D X DX
y
eyfy
Y ,62
1)( 24
)4.2( 2
例 10 已知 X 的密度函数为
其它,0
,10,)(
2 xBxAxxf
其中 A ,B 是常数，且 EX = 0.5
(1) 求 A ,B
(2) 设 Y = X 2, 求 EY ,DY
解 (1)
1)()(1
0
2
dxBxAxdxxf
2
1)()(
1
0
2
dxBxAxxdxxxf
2
1
34
123
BA
BA
6
6
B
A
(2)
10
3)66(
)(
1
0
22
2
2
dxxxx
dxxfx
EXEY
7
1)66(
)(
1
0
24
4
42
dxxxx
dxxfx
EXEY
700
37)( 22 EYEYDY
作业 P169(P120) 习题四
9 11 16 17 19 21