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Prof. Dr. Wandinger 5. Methode der finiten ElementeStrukturdynamik
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26.02.19
4. Transiente Analyse
● Bei der transienten Analyse wird der zeitliche Verlauf der Antwort auf eine zeitlich veränderliche Last bestimmt.
● Die zu lösende Bewegungsgleichung lautet:
● Die transiente Analyse wird verwendet, um die Antwort auf eine stoßartige Anregung zu ermitteln.
[ M ] [ u ]+ [ D ] [ u ]+ [ K ] [ u ]= [ l ]
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4. Transiente Analyse
4.1 Direkte transiente Analyse
4.2 Modale transiente Analyse
4.3 Praktische Hinweise
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4.1 Direkte transiente Analyse
● Methode:
– Die Bewegungsgleichung wird mit einem Zeitintegrations-verfahren gelöst.
– Gebräuchlich sind die Methode der zentralen Differenzen, die Methoden von Houbolt, von Wilson, von Newmark und von Hilber, Hughes und Taylor.
● Vorteile:
– Es werden keine weiteren Näherungen gemacht.
– Es muss keine Modalanalyse durchgeführt werden.
– Es lassen sich auch Nichtlinearitäten berücksichtigen.
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4.1 Direkte transiente Analyse
● Nachteile:
– Wenn die Antwort für einen längeren Zeitabschnitt berech-net werden muss, kann die Berechnung sehr aufwändig werden, und es fallen sehr viele Daten an.
● Einsatz:
– Bei linearen Systemen wird die direkte transiente Analyse nur zur Kontrolle der modalen transienten Analyse verwen-det.
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4.1 Direkte transiente Analyse
● Die Methode von Newmark:
– Gegeben sind die Anfangswerte:
– Aus der Bewegungsgleichung folgt:
– Der zu untersuchende Zeitbereich T wird in gleich große In-tervalle Δt unterteilt.
– Für die Verschiebungen und Geschwindigkeiten zum Zeit-punkt werden die folgenden Ansätze ge-macht:
[ uL0 ]=[ uL(0)] , [ uL
0 ]=[ uL(0) ]
[ uL0 ]=[ M L L ]
−1 ( [ lL0 ]− [ DL L ] [ uL
0 ]−[ K L L ] [ uL0 ] )
t n+1=(n+1)Δ t
[ uLn+1 ]=[ uL
n ]+( (1−β ) [ uLn ]+β [ uL
n+1 ] )Δ t (1)[ uL
n+1 ]=[ uLn ]+ [ uL
n ] Δ t+( (1/2−α ) [ uLn ]+α [ uL
n+1 ] )Δ t 2 (2)
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4.1 Direkte transiente Analyse
– α und β sind Parameter, von denen die Genauigkeit und die Stabilität des Verfahrens abhängen.
– Für die Standardwerte α=0,25 und β=0,5 ist das Verfahren unbedingt stabil.
– Als dritte Gleichung zur Bestimmung von Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zum Zeitpunkt tn+1 dient die Bewegungsgleichung für den Zeitpunkt tn+1 :
– Aus (2) folgt:
[ M L L ] [ uLn+1 ]+ [ DL L ] [ uL
n+1 ]+ [ K L L ] [uLn+1 ]= [ l L
n+1 ] (3)
[ uLn+1 ]=
[ uLn+1 ]− [uL
n ]αΔ t 2 −
[ uLn ]
αΔ t −(1
2 α−1) [ uL
n ] (2')
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4.1 Direkte transiente Analyse
– Einsetzen von (2') in (1) ergibt:
– Einsetzen von (1') und (2') in (3) führt auf:
[ uLn+1 ]=
β
αΔ t ( [ uLn+1 ]−[ uL
n ] )+(1−βα ) [ uL
n ]+(1−β
2α ) [ uLn ] Δ t (1')
(1
αΔ t 2 [ M L L ]+β
αΔ t [ D L L ]+ [ K L L ]) [ uLn+1 ]
= [ lLn+1 ]+ [ M L L ]( 1
αΔ t 2 [ uLn ]+
1αΔ t [ uL
n ]+(1
2α−1) [ uL
n ])+ [ DL L ](
β
αΔ t [ uLn ]+( βα−1) [ uL
n ]+(β
2α−1)Δ t [ uL
n ])
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4.1 Direkte transiente Analyse
– Aus dieser Gleichung können die Verschiebungen be-stimmt werden.
– Die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen können dann mit (1') und (2') berechnet werden.
[ uLn+1 ]
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4.2 Modale transiente Analyse
● Methode:
– Die Antwort wird durch eine Überlagerung von Eigenvekto-ren approximiert. Dabei ist die Anzahl der verwendeten Ei-genvektoren klein im Vergleich zur Anzahl der Freiheitsgra-de.
● Vorteile:
– Die zu lösende Bewegungsgleichung ist von wesentlich kleinerer Dimension als bei der direkten transienten Analy-se.
– Im Falle von modaler Dämpfung ergeben sich entkoppelte Bewegungsgleichungen.
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4.2 Modale transiente Analyse
● Nachteile:
– Die Methode liefert eine Näherungslösung der Bewegungs-gleichung.
– Es muss zuerst eine Modalanalyse durchgeführt werden, um die Eigenvektoren und Eigenfrequenzen zu ermitteln.
● Einsatz:
– Bei linearen Systemen ist die modale transiente Analyse die Standardmethode.
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4.2 Modale transiente Analyse
● Modale Reduktion:
– Die Verschiebungen werden durch eine Überlagerung der ersten p Eigenvektoren approximiert:
– Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Projektion auf die Eigenvektoren ergibt:
– Die Gleichungen sind nur über die Dämpfungsmatrix ge-koppelt.
[uL(t ) ]≈ [uLp(t )]=∑
n=1
p
[ x n ] qn (t )= [ X p ] [ q p(t )]
[ M ] p [ q p ]+ [ D ] p [ q p ]+ [ K ] p [ q p ]= [ l ] p
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4.2 Modale transiente Analyse
● Anzahl der benötigten Eigenvektoren:
– Zunächst muss eine Fourier-Transformation der Anregung durchgeführt werden.
– Anhand der Fourier-Transformation wird eine Abschneide-frequenz fc festgelegt, unterhalb der die wesentlichen Fre-quenzanteile liegen.
– Der durch das Abschneiden eingeführte Fehler kann an-hand einer inversen Fourier-Transformation der abgeschnit-tenen Fourier-Transformierten beurteilt werden.
– Eine andere Möglichkeit besteht darin, mithilfe der Funktion resample den Einfluss einer Erniedrigung der Abtastrate zu untersuchen.
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4.2 Modale transiente Analyse
– Bei der modalen Reduktion sind im Allgemeinen alle Eigen-schwingungen mit fn < 3 fc zu berücksichtigen.
– Eine genauere Bewertung kann mithilfe der modalen Formänderungsenergien durchgeführt werden.
● Lösung des gekoppelten Systems:
– Wenn die Bewegungsgleichungen für die modalen Koeffizi-enten über die Dämpfung gekoppelt sind, können für die zeitliche Integration die gleichen Verfahren wie bei der di-rekten transienten Analyse verwendet werden.
– Durch die modale Reduktion wird jedoch die Größe des zu lösenden Systems erheblich reduziert.
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4.2 Modale transiente Analyse
● Lösung der entkoppelten Gleichungen:
– Bei modaler Dämpfung sind die Gleichungen für die moda-len Koeffizienten entkoppelt:
– Die Lösung ergibt sich durch Faltung mit der Impulsantwort-funktion:
qn+2 Dn ωn qn+ωn2 qn=[ x n ]
T[ lL ] , n=1, ... p
mit hn(τ)={0 für τ<0
1ωdn
e−δn τ sin (ωdn τ) für τ≥0,
δn=ωn Dn
ωdn=ωn √1−Dn2
qn (t )=∫0
t
hn (τ) [ xn ]T
[ lL(t−τ)] d τ
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4.2 Modale transiente Analyse
– Wenn das Integral numerisch berechnet wird, muss für den Zeitschritt gelten:
– Die so berechnete Lösung gehört zu homogenen Anfangs-bedingungen, d. h. Verschiebungen und Geschwindigkeiten sind am Anfang null.
– Wenn die Anfangsbedingungen nicht homogen sind, muss eine geeignete Kombination von Lösungen der homogenen Gleichung überlagert werden.
Δ t < 16 f p
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4.2 Modale transiente Analyse
● Restmodekorrektur:
– Wie bei der Frequenzganganalyse lässt sich die Genauig-keit der modalen Reduktion durch eine Restmodekorrektor verbessern.
– Für zeitlich veränderliche Lasten der Form
lautet die Korrektur
mit
[ l (t )]=∑k
[ l k ] ϕk (t )
[ uLs(t ) ]=∑
k[uLk
s ] ϕk (t )
[ uLks ]=[ K L L ]
−1 ( [ lLk ]−[ M L L ] [ X p ] [ X p ]T
[ lLk ] )
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4.3 Praktische Hinweise
● Netzfeinheit:
– Sowohl bei der direkten als auch bei der modalen transienten Analyse muss der p-te Eigenvektor durch die Vernetzung ab-gebildet werden können.
– Die Anzahl p der benötig-ten Eigenvektoren kann mithilfe der modalen Formänderungsenergien ermittelt werden.
● Zeitschritt:
– Der Zeitschritt muss so klein gewählt werden, dass das Verhalten der höchsten berücksichtig-ten Eigenschwingung wiedergegeben werden kann:
– Außerdem muss der Ver-lauf der Last wiedergege-ben werden können.
Δ t <T min
6=
16 f p
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4.3 Praktische Hinweise
● Simulationsdauer:
– Die Simulationsdauer sollte so lange gewählt werden, dass alle wesentlichen Effekte erfasst werden.
– Ausschlaggebend dafür ist die Periode der ersten Eigen-schwingung.
– Als Richtwert gilt:
– Dabei ist tl die Dauer, während der die Last wirkt, und
die Periode der ersten Eigenschwingung.
t S=t l+n T 1 mit n zwischen 3 und 7
T 1=1/ f 1
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4.3 Praktische Hinweise
● Beispiel:
– Daten:● a = 2,5 m● E = 2,1·1011 Pa, ρ = 7850 kg/m3
● A = 10-4 m2, Iz = 10-6 m4
● Dämpfung:
2a
x
y
A
B
C
D E
K
H
G
F
l(t)
a
a
a
Dn=12 (αK ωn+
αMωn )
mit αK =2⋅10−5 s , αM=71s
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4.3 Praktische Hinweise
– Belastung:● Für die im Punkt G angreifende Kraft gilt
● Aus der Fourier-Transformation ergibt sich für die Abschnei-defrequenz:
● Die Abbildung auf der nächsten Seite zeigt eine gute Über-einstimmung zwischen ϕ(t) und der zurück transformierten abgeschnittenen Fourier-Transformierten.
l ( t )=l 0 ϕ( t )
mit ϕ( t )={12 [1−cos (2π
tt 0
)] , 0≤t≤t 0
0, t> t 0
, l 0=100 Nt 0=0,01 s
f c t 0=2 → f c=2t 0
=200 Hz
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4.3 Praktische Hinweise
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4.3 Praktische Hinweise
– Modale Reduktion:● Aus der Abschneidefrequenz folgt für die Frequenz der
höchsten berücksichtigten Eigenschwingung: fp > 600 Hz
● Die Fehleranalyse anhand der modalen Formänderungsener-gien zeigt, dass bereits 25 Eigenschwingungen ausreichend sind.
● Mit p = 25 gilt: fp = 514,3 Hz
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4.3 Praktische Hinweise
Modal strain energies of loadcase 1:
mode frequency En/ES Sum 1 - Sum
1 8.70 Hz 9.30696e-01 0.930696 6.93044e-02 2 30.10 Hz 3.87359e-02 0.969432 3.05685e-02 3 50.05 Hz 1.44658e-05 0.969446 3.05540e-02 4 57.53 Hz 7.71215e-06 0.969454 3.05463e-02 5 58.02 Hz 2.59130e-02 0.995367 4.63331e-03 6 60.26 Hz 8.02391e-06 0.995375 4.62528e-03 7 122.86 Hz 5.68203e-05 0.995432 4.56846e-03 8 139.56 Hz 2.51060e-05 0.995457 4.54336e-03 9 156.27 Hz 1.48689e-06 0.995458 4.54187e-03 … … … …
22 441.29 Hz 2.96006e-05 0.998569 1.43144e-03 23 447.48 Hz 1.25179e-07 0.998569 1.43132e-03 24 489.79 Hz 2.96397e-04 0.998865 1.13492e-03 25 514.25 Hz 1.81427e-04 0.999047 9.53496e-04
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4.3 Praktische Hinweise
– Zeitschritt:● Für den Zeitschritt folgt:
● Verwendet wird ein Zeitschritt von 0,2 ms.● Damit ergeben sich 50 Zeitschritte für die Dauer der Belas-
tung. Damit wird auch die Belastung gut erfasst.
Δ t < 16 f p
=1
6⋅514,3s−1=3,24⋅10−4 s
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4.3 Praktische Hinweise
– Simulationsdauer:● Mit f1 = 8,70 Hz und gewähltem n = 5 folgt für die Simulations-
dauer:
– Ergebnisse:
t S=t 0+5/ f 1=0,1 s+5/8,70 s≈0,6 s
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