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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDAS

F AC UL T AD D E I N G E NI E R I A

SYLLABUS

FACULTA DE INGENIERIA

NOMBRE DEL DOCENTE:

ESPACIO ACADMICO : VARIABLE COMPLEJA

Obligatorio ( X ) : Bsico ( X ) Complementario ( )

Electivo ( ) : Intrnsecas ( ) Extrnsecas ( )

CDIGO: 24

NUMERO DE ESTUDIANTES: GRUPOS: 1 y 3

NMERO DE CREDITOS: 2

TIPO DE CURSO: TERICO X PRACTICO TEO-PRAC:

Alternativas metodolgicas:

Clase Magistral (X ), Seminario ( ), Seminario Taller ( ), Taller (X ), Prcticas ( X), Proyectos

tutoriados ( X ), Otro: _

HORARIO:

DIA HORAS SALON

I. JUSTIFICACIN DEL ESPACIO ACADMICO

El estudi del anlisis complejo es muy importante en la ingeniera ya que no slo da

herramientas o algoritmos para resolver problemas, sino que a la vez es un lenguaje til para

representar modelos tericos de algunos fenmenos fsicos propios de la ingeniera que por lo

general involucran temticas concernientes con el campo de la variable compleja.

El curso plantea abordar herramientas importantes del anlisis complejo para el ingeniero, ya

que en este se desarrollan: el concepto bsico de funcin analtica, series, teora del residuo

y transformada Z. En la asignatura el estudiante aprender los temas anteriores para el

estudio en seales e imgenes, sistemas de control, circuitos elctricos, aplicaciones de

sistemas dinmicos y otros temas relacionados con aplicaciones de la matemtica en el rea

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de la ingeniera.

PROGRAMACION DEL CONTENIDO

II. OBJETIVO GENERAL

Plantear con argumentos validos, analizando y proponiendo alternativas de solucin a

problemas en el campo de la ingeniera desde el punto de vista matemtico, aplicando no

solo sus conocimientos sino haciendo uso de su creatividad, ingenio y recursos disponibles.

Utilizar las analogas del clculo elemental y del algebra lineal en el estudio de conceptos del

anlisis complejo que permitan al estudiante de ingeniera analizar, plantear y resolver

modelos que requieren el manejo de la variable compleja, a partir de la comprensin de los

conceptos bsicos: de derivada e integrales de funciones analticas, series, residuos y polos

y transformada Z en diferentes situaciones que se presentan en ingeniera.

Con el estudio de la variable compleja se pretende:

1. Fomentar en el estudiante el hbito de complementar sus conocimientos con una

correcta utilizacin y un uso ptimo de las fuentes de informacin como estrategia

para su formacin

2. Propiciar en el estudiante acciones concretas para que pueda expresar sus ideas

matemticas mediante el uso de un lenguaje simblico adecuado.

III. OBJETIVOS ESPECFICOS

1. Desarrollar la habilidad para aplicar las ideas fundamentales de la variable compleja

tales como el teorema de Cauchy y el teorema del residuo a problemas matemticos

aplicados a la Ingeniera.

2. Fundamentar en los estudiantes el concepto de funcin analtica, resaltando sus

propiedades como mapeo o transformacin y los criterios (ecuaciones de Cauchy-

Riemann, series de Laurent). para la identificacin de este tipo de funciones.

3. Calcular las series de Taylor y su expansin a series de Laurent de funciones

complejas.

4. Definir y estudiar la transformada Z y su aplicacin a ecuaciones en diferencias finitas,

anlisis de las seales y sistemas lineales de tiempo discreto.

5. Comprender la importancia de los modelos matemticos con la computacin.

3

IV. COMPETENCIAS DE FORMACION

General: Se espera que a travs del curso el estudiante domine e interprete el lenguaje

matemtico, desarrolle competencias genricas instrumentales que le permitan disear,

resolver y expresar situaciones que se presentan en su vida cotidiana y en el entorno

profesional.

Especficas: Al finalizar el curso el estudiante:

1. Desarrolla habilidades y destrezas de la aritmtica y algebra del campo de los

complejos.

2. Argumenta y justifica las funciones analticas mediante problemas prcticos y tericos

especficos de las diferentes reas de actividad de su profesin, usando lenguaje y

simbologa apropiada para las representaciones que requiera.

3. Reconoce y aplica modelos matemticos con la computacin a problemas que

describen variaciones y cambios.

4. Relaciona el concepto de integracin compleja con los teoremas importantes de la

teora de residuos y realiza el clculo de residuos.

V. PROGRAMA SINTETICO

Unidades Temticas

I. Campo de los nmeros complejos

1. Definicin, representacin geomtrica, sumas y productos de nmeros complejos.

2. Vectores, mdulo, complejo conjugado y propiedades.

3. Forma exponencial, productos y potencias.

4. Argumentos de productos y cocientes.

5. Races de los nmeros complejos.

6. Regiones en el plano complejo.

II. Funciones Analticas

1. Funciones de variable compleja.

2. Mapeos.

3. Lmites, continuidad, y derivadas.

4. Ecuaciones de Cauchy - Riemann.

5. Funciones analticas.

6. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en Coordenadas polares.

7. Funciones Armnicas

4

III. Funciones Elementales.

1. Funcin Exponencial.

2. Funcin Logartmica.

3. Ramas y derivadas de los logaritmos.

4. Exponentes complejos.

5. Funciones trigonomtricas.

6. Funciones Hiperblicas.

IV. Integrales

1. Integrales de contorno.

2. Integrales con corte de rama.

3. Cotas superiores para el mdulo de integrales de contorno.

4. Teorema de Cauchy- Goursat.

5. Dominios mltiplemente conectados.

6. Formula integral de Cauchy.

7. Teorema de Liouville y teorema fundamental del algebra.

V. Series

1. Convergencia de sucesiones y series.

2. Series de Taylor.

3. Series de Laurent.

VI. Residuos y Polos.

1. Puntos singulares aislados.

2. Residuos.

3. Teorema de del residuo de Cauchy.

4. Residuos y polos.

5. Ceros de funciones analticas

6. Evaluacin de integrales impropias

VII. Transformada Z

1. Definicin y propiedades de la transformada Z

2. Transformada inversa.

3. Ecuaciones en diferencias.

4. Aplicaciones al procesamiento de seales.

VI. METODOLOGA PEDAGGICA Y DIDCTICA

La metodologa del curso requiere que el estudiante realice la lectura previa de cada tema de

clase. El docente inicialmente evaluar la lectura previa por medio de quices al iniciar la

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semana de clases, estos tendrn preguntas referentes a los temas a tratar para despus ser

desarrollados y aclarados por el docente, utilizando como ayuda didctica el tablero, el texto y

las guas de clase. Cada tema estar acompaado de una exposicin terica y ejemplos de

aplicacin suficientes de manera que aclaren el por qu de los conceptos tericos dados. Se

buscar una alta participacin de los estudiantes a travs de talleres individuales y grupales

realizados en la clase y fuera de ella, los cuales tendrn relacin directa con los temas

tericos tratados en el curso, haciendo uso de la lectura previa y de la tecnologa. De igual

forma se propone la realizacin de discusiones grupales en torno a problemas especficos,

realizando evaluaciones peridicas con el fin de llevar el seguimiento constante sobre los

progresos y dificultades en el proceso formativo del estudiante. Los estudiantes podrn

disponer de espacios para asesora por parte del profesor en los casos que as lo requieran.

Hora

s

Horas

profesor/sem

Horas

Estudiante/sem

Total Horas

Estudiante/sem

Crditos

Tipo de

Curso

TD TC TA (TD + TC) (TD + TC +TA) X 16 semanas

Asignatura 5 1 3 6 9 144 3

Trabajo Presencial Directo (TD): Se desarrollar por parte del docente en clase presencial

los contenidos mnimos del curso.

Trabajo Mediado Cooperativo (TC): Se desarrollarn semanalmente 2 horas de clase

alrededor de las temticas trabajadas en la semana. Se sugiere desarrollar 2 o 3 proyectos a

lo largo del semestre. En este espacio se espera que el docente oriente a los estudiantes en

el desarrollo de su proyecto, resolviendo dudas, planteando inquietudes entorno a la temtica

del proyecto.

Trabajo Autnomo (TA): El docente asignar temas especficos que complementarn el

trabajo desarrollado en clase, el estudiante es responsable de esta actividad.

VII. RECURSOS

Medios y Ayudas: El curso requiere de espacio fsico (aula de clase); Recurso docente,

recursos informticos (pgina de referencia del libro, CD de ayuda del mismo, Recursos

bibliogrficos (revistas especializadas), retroproyector, videobeam, televisor, computadores

(salas).

Practicas especificas: Laboratorios sobre lmites y derivadas a travs de alguna herramienta

informtica.

VIII. BIBLIOGRAFA - TEXTOS GUAS

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AUTOR (ES) TITULO Editorial Edicin y/o ao Tipo*

James Ward Brown/ and

Ruel V. Churchill

Complex Variables and

applications

McGraw- Hill 8 edicin TG

Saff, Edward B., and

Arthur David Snider.

Fundamentals of complex

Analysis with applications to

engineering, science, and

Mathematics.

Prentice hall 3 edicin TC

A. David Wunsch Variable Compleja con

Aplicaciones.

Addison Wesley

Iberoamericana

2 edicin TC

Arthur A. Hauser, Jr.

,

Variable Compleja Fondo Educativo

Interamericano.

nica TA

Spiegel, Murray R. Variable Compleja McGraw- Hill nica TC

Peter V. O Neil Matemticas Avanzadas

para Ingeniera

Limusa. 5 edicin TC

TG: Texto Gua. TC: Texto Consulta. TR: Texto Referencia. TA: Texto Adicional.

DIRECCIONES DE INTERNET

1. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/#undergrad

2. http://www.math.utah.edu/~cherk/teach/3160.html

3. http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521534291

ORGANIZACIN / TIEMPOS

Espacios, Tiempos, Agrupamientos:

El espacio acadmico contempla horas de trabajo directo, trabajo colaborativo y

trabajo autnomo; las temticas se desarrollarn por unidades programadas por

semana; el trabajo directo se realizar a partir de exposiciones del docente, que

permitan el planteamiento de problemas y su posible solucin prctica. La prctica

en laboratorio (trabajo colaborativo), ser abordada grupalmente y desarrollar

temticas y/o el tratamiento de problemas previamente establecidos, con el

acompaamiento del docente. El estudiante desarrollar el trabajo autnomo de

acuerdo con criterios previamente establecidos en trminos de contenidos temticos

y problemas planteados.

IX. EVALUACIN

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ASPECTOS A EVALUAR DEL CURSO

1. Evaluacin del desempeo docente. 2. Evaluacin de los aprendizajes de los estudiantes en sus dimensiones: individual/grupo,

terica/prctica, oral/escrita. Examen Final Conjunto con la Facultad que corresponde al 30% de la nota definitiva.

3. Autoevaluacin y Coevaluacin del curso: de forma oral entre estudiantes y docente.

TIPO DE EVALUACIN FECHA PORCENTAJE

EXAM. FINAL Examen final conjunto: Se evala el conocimiento sobre las competencias finales adquiridas por el estudiante.

30%

X. PROGRAMA COMPLETO (PARCELACIN SUGERIDA) Semana Temas a tratar Secciones Ejercicios

Sumas, producto y mdulo. Conjugado, forma exponencial, productos y potencias de forma

1 exponencial. Argumentos de productos y cocientes

Races, regiones en el plano.

1,2,3, y 4.

5,6, y 7. 8.

9,10,11.

Pag 5: 2,10,11 Pag 7: 1, 7 y 8. Pag 12: 3, 5 ,6. Pag 15: 1, 2,13,14,15. Pag 23: 1,6,9,10. Pag 30: 2,3,4,6,8.

Pag 33: 1,2,5

2

3

4

5 y 6

Funciones de variable compleja. Mapeos. Limites, continuidad, derivadas Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Coordenadas polares. Funciones analticas. Funciones armnicas. Funcin exponencial Funcin logaritmo. Ramas y derivadas de logaritmos,

Identidades. Exponentes complejos. Funciones

trigonomtricas. Funciones hiperblicas, inversa de

funciones trigonomtricas e hiperblicas.

Derivadas de funciones w(t), Integrales definidas.

Contornos, integrales de contorno. Ejemplos con corte de ramas. Antiderivadas. Teorema de Cauchy-Goursat.

12. 13, 14. 15,16,17,18. 21. 23. 24. 26

29 30 31,32

33,34 35,36. 37,38

39,40

41,42

44,46

Pag 37: 1,2,3,4. Pag 44: 1,2,3,5,7,8. Pag 55: 1,3,5,10 Pag 62: 1,2,3,7,8,9. Pag 72: 4,6,7,8,10. Pag 77: 4,5,6,7. Pag 82:1,2,3,7,8,9,11.

Pag 92: 1,8,10,12. Pag 97:2,3,6,9,11. Pag 100:1,2,3. Pag 103: 2,5,8. Pag 108: 3,4,8,915,16

Pag 111: 11, 13,15,16 Pag 114: 1,2,3,6. Pag 121: 2,3,5. Pag 125: 1,2,5,6. Pag 135: 1,3,4,6,10. Pag 149: 1,2,3,5

8

Dominios simple y mltiplemente 48,49 Pag 161: 1,2,4,5,6 6 y 7 conexos. 50 Pag 170: 1,2,7

Formula integral de Cauchy. 53,54 Pag 179: 1,3 9. Teorema de Liouville y teorema fundamental del algebra. Principio del mdulo mximo Convergencia de series, Series de 56,57 Pag 188: 1,2,3,4 Taylor. Ejemplos 59 Pag 195: 1,2,3,6,7,11

7 y 8

Series de Laurent. Ejemplos Integracin y derivacin de series de potencias

Punto singular aislado, residuos.

60

65

68,69

Pag 205: 1,2,3,5,7,9 Pag 219:1,2,3,4.

Pag 239:1,2,3 9 y 10 Teorema del residuo de Cauchy, Pag 243: 1,2,3,4,5

residuo de f en el infinito. 70,71 Pag 248: 1,2,3,5,6.

Tres tipos de singularidades aisladas 72 Residuos y polos. Ejemplos 73,74 Ceros de funciones analticas 75 Pag 255: 1,2,3,4,5,6,

11 Polos y ceros. 76 7,8

Calculo de integrales impropias. 78,79 Pag 267: 1,3,5,7,8 12 y 13 Ejemplos Pag 275: 1,3,5,7

Integrales impropias del anlisis de 80 Pag 306: 1,2,3,4,5. Fourier. Transformada inversa de Laplace. 88,89 Ejemplos.

TRANSFORMADA Z

Texto: Complex Analysis for Mathematics and Engineering. Authors: John H. Mathews and Russell W. Howell

14 Transformada Z, definicin, 9.1 Pag 365: 1,3,5,7,9, propiedades 10,13,

Inversa de la Transformada Z Tabla de transformada Z.

15 y 16 Ecuaciones en diferencia finitas 9.2 Pag 371: 1,2,3,5,7,9 primer y segundo orden Pag391: 1,2,3,4,5,6,7.

Filtros de seales digitales. 9.3

Los tres parciales se programan en las semanas 5, 10 y 15. .