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4 二維與三維運動Two-and Three-Dimensional Motion

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4-1 物理學探討什麼

4-2 位置與位移

4-3 平均速度與瞬時速度

4-4 平均加速度與瞬時加速度

4-5 拋體運動

4-6 分析拋體運動

4-7 等速圓周運動

4-8 一維的相對運動

4-9 二維的相對運動

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4-1 物理學探討什麼本章中我們將繼續探討關於運動分析方面的物理。不過，現在要考慮的運動可以是二維或三維的。

要研究二維及三維的運動，我們先由位置及位移的概念開始。

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4-2 位置與位移通常我們會用位置向量（position vector）r 來標示粒子（或像粒子的物體）的位置。位置向量是一個從參考點（通常為座標系的原點）延伸至粒子的向量。

以第 3 章的單位向量符號表示法，r 便可以被寫為

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圖4-1

一個粒子的位置向量 r，是 r 的向量分量的向量和。P.56

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4-2 位置與位移 (續)假若在某一時間間隔內，粒子的位置向量從 r1 改變至 r2，則粒子在那段時間間隔內的位移Δr 為

用 4-1 式中的單位向量符號表示，

其中 (x1, y1, z1) 為位置向量 r1 的座標；(x2, y2, z2) 為位置向量 r2 的座標。以Δx 代表 (x2–x1)、Δy 代表 (y2–y1)、Δz 代表 (z2–z1)，並將它們代入位移中重寫成：

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4-3 平均速度與瞬時速度假若一個粒子在時間間隔Δt 內移動了Δr，則它的平均速度（average velocity）vavg 為

或以符號寫成

利用 4-4 式，我們可將 4-8 式寫為向量分量的和

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4-3 平均速度與瞬時速度 (續)當我們講到粒子的速度（velocity）時，通常指的是粒子在某一時刻的瞬時速度（instantaneous velocity）v。v 是當Δt 趨近於 0 時 vavg 的極限值。以微積分的語言，v 可寫成導數

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4-3 平均速度與瞬時速度 (續)圖 4-4 畫出一個被限制在 xy 平面上的粒子之運動路徑。當粒子沿著曲線向右運動時，它的位置向量隨著粒子掃向右邊。在時間間隔Δt 內，粒子的位置向量從 r1 改變到 r2，粒子的位移便是Δr。要得到粒子在時刻 t1 的瞬時速度（此時粒子的位置在 r1），我們縮短在 t1 附近的時間間隔 t，並使其趨近於 0。

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4-3 平均速度與瞬時速度 (續)

當Δt →0 極限時，我們有 vavg→v；同時，最重要的是 vavg 在切線的方向上，所以 v 也在同樣的方向上：

在三維空間的運動也是同樣的結果：v 總是與粒子的路徑相切。

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圖4-4

在時間 t1 時，粒子在位置1，其位置向量是 r1；在時間 t2 時，粒子在位置 2，其位置向量是 r2。在時間間隔Δt 內粒子的位移便是Δr。同時也畫出粒子於位置 1 時路徑的切線。

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圖4-5

粒子的速度 v 跟 v 的純量分量。

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4-4 平均加速度與瞬時加速度在時間Δt 間隔內，若粒子的速度從 v1 改變到 v2。那麼，粒子在時間Δt 內的平均加速度（average acceleration）aavg 為

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4-4 平均加速度與瞬時加速度 (續)對於某一時刻，我們縮短Δt 並使它趨近於 0。那麼，在此極限下，aavg 趨近於在那一時刻的瞬時加速度［instantaneous acceleration；或簡稱加速度（acceleration）］ a；也就是

將 4-16 式以單位向量表示

可以將它改寫成

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4-4 平均加速度與瞬時加速度 (續)4-17式中，a 的純量分量為

對 v 的純量分量做微分可以得到 a 的純量分量。

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4-5 拋體運動一粒子在鉛直面上運動，它的初速是 v0；不過，加速度一直都是向下的自由落體加速度 g。這樣的粒子就叫作拋體（projectile；意指投射或投擲），而它的這種運動就稱為拋體運動（projectile motion）。

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4-5 拋體運動 (續)拋體運動，乍看之下似乎很複雜，但卻可以用以下的特性（由實驗得知）簡化：

利用這個特性，我們能將二維運動的問題分成兩個獨立且較簡單的一維運動問題。其中之一為水平運動（加速度為 0），另外一個是鉛直運動（有向下的等加速度）。

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4-5 拋體運動 (續)兩個高爾夫球

圖 4-10 為兩張高爾夫球的連續快照，其中一球只是被簡單地釋放並落下，另一顆球則是用彈簧將它水平射出落下。在相同的時間內它們落下的鉛直距離一樣，因此它們在鉛直方向上的運動是相同的。

雖然第二顆球在落下時有水平運動，但這個事實並沒有影響到它的鉛直運動；也就是說，水平和鉛直運動互相獨立。

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圖4-10

一球由靜止被釋放；同一時

刻，另一顆球則是水平地往

右方射出。它們在鉛直方向

上的運動是相同的（圖片來

源：Richard Megna/FundamentalPhotographs）。

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4-5 拋體運動 (續)一個令人深思的實驗

圖 4-11 是一個生動有趣的實驗示範。它包括以一顆小球當作拋體的吹管 G，目標為懸於磁鐵 M 下方的鐵罐，並使吹管對準鐵罐。我們特意安排實驗，使小球離開吹管的那一瞬間，磁鐵的磁力恰好消失並釋放鐵罐。

假若 g（自由落體加速度的大小）為 0，小球將會沿著圖 4-11 中的直線前進；而磁鐵釋放鐵罐後，鐵罐仍會漂浮在原地。因此，小球一定能擊中鐵罐。

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圖4-11

射出的小球總能擊中掉

下來的鐵罐。小球和鐵

罐兩者均從無自由落體

加速度時的位置落下 h的距離。

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水平方向的運動

由於在水平方向沒有加速度，拋體的整個運動過程中，速度的水平分量保持不變並與初始值 v0x 相同。在任何時刻 t，拋體與其初始位置 x0 的水平位移x– x0 可由 2-15 式並令 a=0 求得。我們可以寫出

因為 v0x= v0 cosθ0，上式寫為

4-6 分析拋體運動

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鉛直方向的運動

鉛直方向的運動即為 2-9 節中所討論過的自由落體運動，最重要的特點是加速度是個常數。因此表 2-1的方程式可以應用，只要將 a 以 –g 代替，並轉換成y 座標的記號。例如 2-15 式就變成

4-6 分析拋體運動 (續)

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路徑方程式

將 4-21 式和 4-22 式中的時間變數 t 消去，便可求得拋體的運動路徑（軌跡；trajectory）方程式。將 4-21 式的 t 解出，並將它代入 4-22 式中。整理後得

由於 g、θ0及 v0 均為常數，4-25 式有 y=ax+bx2 的函數形式，其中的 a 及 b 均為常數。這是一個拋物線方程式，因此該路徑呈拋物線形。

4-6 分析拋體運動 (續)

P.66

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水平射程

拋體的水平射程（horizontal range）R 是該物體與它初始位置（拋射時位置）在同一高度時的水平距離。要求出 R，我們令 4-21 式中的 x – x0=R 及 4-22 式中的 y – y0=0，可得

利用恆等式 sin 2θ0=2 sinθ0 cosθ0，可得

4-6 分析拋體運動 (續)

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當 sin 2θ0=1 時，4-26 式中的 R 有最大值，此時對應的角度是 2θ0=90°，也就是θ0=45°。

4-6 分析拋體運動 (續)

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空氣的效應

我們曾經假設空氣不會影響拋體的運動。在很多情形下，由於空氣會（反向）阻擋物體的運動，這使得我們計算出的結果與拋體的實際運動有很大的不同。

例如圖 4-13 繪出一個被擊出的球之兩種運動路徑。這個球的初速是 44.7 m/s 並與水平成 60°。路徑 I（由打擊手實際擊出的高飛球）是考慮一般球賽周遭的空氣條件時，所算出的運動路徑；路徑 II（物理教授的高飛球）是球在真空中的運動路徑。

4-6 分析拋體運動 (續)

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圖4-13

路徑 I 是考慮空氣的阻擋效應所算出的運動路徑。球在真空中的運動路徑 II 是以本章的方法計算出的。參考表 4-1中的資料。（取材自“ The Trajectory of a Fly Ball, ” by Peter J. Brancazio,The Physics Teacher, January 1985.）

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表4-1

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假若一粒子以固定的（均勻的）速率在一圓周或圓弧上運動，我們稱此粒子正在做等速圓周運動（uniform circular motion）。等速圓周運動時的加速度又被稱為向心加速度（centripetal acceleration）。加速度 a 的大小為

上式中，r 為圓的半徑，v 是粒子的速率。

4-7 等速圓周運動

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雖然粒子正在做加速，但卻是維持等速率運動。因此，粒子繞行圓周一圈（距離 2πr）所需時間便是

T 稱為迴轉週期（period of revolution），或簡稱為週期（period）它通常是指粒子繞行一個封閉路徑一次所需的時問。

4-7 等速圓周運動 (續)

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圖4-18

等速圓周運動時的速度向量和加速度向量。

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4-8 一維的相對運動一粒子的速度與觀察者或測量者所使用的參考座標系（reference frame）有關。假設 Alex（位於圖 4-20 內參考座標系 A 的原點）將車停於公路旁，觀察 P 車（視為「粒子」）的速度。Barbara（位於參考座標系 B 的原點）以等速率沿著公路行駛並同樣觀察 P 車。由圖 4-20可以看出

這方程式的意義是「A 測量到的 P 的位置座標 xPA，等於 B 測量到的 P 的位置座標 xPB 加上 A 測量到的 B 的位置座標 xBA」。

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4-8 一維的相對運動 (續)

此方程式的意思為「A 測量到的 P 的速度 vPA，等於B 測量到的 P 的速度 vPB 加上 A 測量到的 B 的速度vBA」。

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4-8 一維的相對運動 (續)要將 Barbara 和 Alex 測量到的 P 之加速度關聯起來，我們可以對 4-41 式取時間導數，得

因為 vBA 是常數，最後一項是 0，所以

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圖4-20

Alex（座標系 A）及 Barbara（座標系 B）以不同的速度，沿著兩座標系共同的 x 軸運動，並觀察 P 車。圖中畫出某一時刻的情形。 xBA 是 B 在座標系 A 的座標，xPB 是 P 在座標系 B的座標，xPA= xPB+ xBA 則是 P 在座標系 A 的座標。

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4-9 二維的相對運動再次考慮，有兩名分別在參考座標系 A 和 B 原點上的觀察者，他們觀察一粒子 P 的運動。同時，對 A 而言，B 以一固定速度 vBA 運動（假設兩參考系上對應的軸依然平行）。

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4-9 二維的相對運動 (續)

因為 aBA 是常數，它的時間微分為 0。因此，可得

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圖4-21

相對於座標系 A，座標系 B 有一固定的二維速度 vBA，且 B 的位置向量是 rBA。粒子 P 的位置向量，對 A 而言是 rPA，對 B 而言是 rPB。

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