4 metodos iterativos para la resoluci´ on de´ ecuaciones
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
4Metodos iterativos para la resolucion de
ecuaciones no lineales con MatlabIGDAMI⇒ Implementacion grafica de dinamica aplicada a metodos
iterativos
Francisco Israel Chicharro [email protected]
Instituto de Matematica Multidisciplinar – Universitat Politecnica de Valencia, Spain
Castello de la Plana, 9-25 de enero de 2018
FI Chicharro IGDAMI — Sesion 4
ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
FI Chicharro IGDAMI — Sesion 4
ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Formas de representar una ecuacion no lineal
Expresion analıtica
f(x) = sin(2x)− cos(x2+ π
)
Representacion grafica
Tabla de valores
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Formas de resolver una ecuacion no lineal
Expresion analıtica
f(x) = sin(2x)− cos(x2 + π
)⇓
f(x) = 0
Representacion grafica
Metodo iterativo
f(x) = 0
Tabla de valores
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Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
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Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
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Clasificacion de metodos iterativos para raıces simples
Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
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Ejemplo 1: Newton
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 2: Steffensen
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Ejemplo 3: Secante
xk+1 = xk −xk − xk−1
f(xk)− f(xk−1)f(xk)
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
Los metodos con los que vamos atrabajar
Punto a punto / multipuntoSin derivadas / Con derivadasSin memoria / Con memoria
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Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
FI Chicharro IGDAMI — Sesion 4
ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Parametros de los metodos iterativos
Orden de convergencia p
limk→∞
|xk−1 − α||xk − α|p
= C
Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]
ACOC =
ln
(|xk+1 − xk||xk − xk−1|
)ln
(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|
)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d
Indice de eficiencia I [4]I = p1/d
Conjetura de Kung-Traub [3]
p ≤ 2d−1
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Parametros de los metodos iterativos
Orden de convergencia p
limk→∞
|xk−1 − α||xk − α|p
= C
Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]
ACOC =
ln
(|xk+1 − xk||xk − xk−1|
)ln
(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|
)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d
Indice de eficiencia I [4]I = p1/d
Conjetura de Kung-Traub [3]
p ≤ 2d−1
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Parametros de los metodos iterativos
Orden de convergencia p
limk→∞
|xk−1 − α||xk − α|p
= C
Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]
ACOC =
ln
(|xk+1 − xk||xk − xk−1|
)ln
(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|
)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d
Indice de eficiencia I [4]I = p1/d
Conjetura de Kung-Traub [3]
p ≤ 2d−1
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Parametros de los metodos iterativos
Orden de convergencia p
limk→∞
|xk−1 − α||xk − α|p
= C
Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]
ACOC =
ln
(|xk+1 − xk||xk − xk−1|
)ln
(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|
)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d
Indice de eficiencia I [4]I = p1/d
Conjetura de Kung-Traub [3]
p ≤ 2d−1
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Parametros de los metodos iterativos
Orden de convergencia p
limk→∞
|xk−1 − α||xk − α|p
= C
Orden de convergencia computacional aproximado ACOC [2]
ACOC =
ln
(|xk+1 − xk||xk − xk−1|
)ln
(|xk − xk−1||xk−1 − xk−2|
)Numero de evaluaciones funcionales por iteracion d
Indice de eficiencia I [4]I = p1/d
Conjetura de Kung-Traub [3]
p ≤ 2d−1
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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Calculo del orden de convergencia
Orden de convergencia del metodo de Newton
Desarrollo en serie de Taylor alrededor de la raızSean ck = 1
k!f(k)(α)f ′(α) y ek = xk − α,
f(xk) = f(α) + f ′(α)(xk − α) + 12f′′(α)(xk − α)2 +O
((xk − α)3
)=
= f ′(α)[ek + c2e
2k
]+O(e3k),
f ′(xk) = f ′(α) + f ′′(α)(xk − α) +O((xk − α)2
)=
= f ′(α) [1 + 2c2ek] +O(e2k),
por lo quef(xk)
f ′(xk)= ek − c2e2k +O(e3k).
La ecuacion del error es
ek+1 = xk+1−α = xk−f(xk)
f ′(xk)−α = xk−
[ek − c2e2k +O(e3k)
]−α = c2e
2k+O(e3k).
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Implementacion del ACOC
ACOC
Escribir una funcion ACOC en Matlab que obtenga el valor del orden deconvergencia computacional aproximado a partir de cuatro iteraciones. Elparametro de entrada pueden ser las cuatro ultimas iteraciones o un vectorque contenga todas las iteraciones.
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Metodo de Newton
Expresion iterativa
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Newton
Expresion iterativa
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Metodo de Newton
Expresion iterativa
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Newton
Expresion iterativa
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Newton
Expresion iterativa
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Steffensen
Expresion iterativa
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Steffensen
Expresion iterativa
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Steffensen
Expresion iterativa
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Metodo de Steffensen
Expresion iterativa
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Metodo de Steffensen
Expresion iterativa
vk = xk + f(xk),
xk+1 = xk −f2(xk)
f(vk)− f(xk).
CaracterısticasOrden de convergencia: p = 2
Numero de evaluaciones funcionales por iteracion: d = 2
Indice de eficiencia: I = p1/d =√2
Optimalidad: 2d−1 = 2 = p
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Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
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Estructura general
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variables% Bucle iterativo% Obtencion de resultadosend
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Bucle iterativo
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativox(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);
⇓
function [f,df] = fun(x)f=sin(x);df=cos(x);end
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Bucle iterativo
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativox(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);
⇓
function [f,df] = fun(x)f=sin(x);df=cos(x);end
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Bucle iterativo
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);
⇓
function [f,df] = fun(x)f=sin(x);df=cos(x);end
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Bucle iterativo
xk+1 = xk −f(xk)
f ′(xk).
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;
⇓
function [f,df] = fun(x)f=sin(x);df=cos(x);end
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
Bucle iterativo (II)
¿Cuando paramos?Raız encontrada: tolHemos iterado muchas veces: maxiter
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativo[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;
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Bucle iterativo (II)
¿Cuando paramos?Raız encontrada: tolHemos iterado muchas veces: maxiter
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end
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Bucle iterativo (II)
¿Cuando paramos?Raız encontrada: tolHemos iterado muchas veces: maxiter
function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x(iter));fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end
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Inicializacion de variables
¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variables% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end
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Inicializacion de variables
¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=x=fx=% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end
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Inicializacion de variables
¿A que valor inicializamos las variables?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end
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Inicializacion de variables
¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultados
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Inicializacion de variables
¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultadosxk=rho=
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Inicializacion de variables
¿Como obtenemos los parametros de salida?function [iter,xk,rho] = metodoIterativo(x0,maxiter,tol)% Inicializacion de variablesiter=1;x=x0;fx=tol+1;% Bucle iterativowhile and(iter<maxiter,fx>tol)[f,df]=fun(x[iter]);fx(iter)=f; dfx(iter)=df;x(iter+1)=x(iter)-fx(iter)/dfx(iter);iter=iter+1;end% Obtencion de resultadosxk=x(end);rho=ACOC(x);
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Pruebas numericas
Estima la raız de las siguientes ecuaciones no lineales.
f(x) = sin(x)− x2 + 1
f(x) = x2 − exp(x)− 3x+ 2
f(x) = cos(x)− xf(x) = (x− 1)3 − 1
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Bibliografıa
A. CORDERO, J. R. TORREGROSA. Presentacion: Metodos iterativospara resolver sistemas no lineales. Master INGMATE-UNIR, (2017).
A. CORDERO, J. R. TORREGROSA. Variants of Newton’s method usingfifth-order quadrature formulas. Applied Mathematics and Computation190 (2007), pp. 686–698.
H. T. KUNG, J. F. TRAUB. Optimal order of one-point and multipointiteration. J. Assoc. Comput. Math. 21 (1974), pp. 643–651.
A. M. OSTROWSKI. Solutions of equations and systems of equations.Academic Press, 1966.
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ENL Clasif Param Metodos MaTLaB Bib Act
IGDAMIMetodos iterativos para la resolucion de
ecuaciones no lineales con Matlab
im2Instituto de Matemática
Multidisciplinar
Prometeo 2016-089
MTM-201452016
Gracias por su atencion
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Indice
1 Resolucion de ecuaciones no lineales2 Clasificacion de metodos iterativos3 Parametros de los metodos iterativos
Calculo del orden de convergenciaImplementacion del ACOC
4 Algunos metodos conocidosNewtonSteffensen
5 Implementacion en MatlabBucle iterativoInicializacion de variablesObtencion de resultadosPruebas numericas
6 Bibliografıa7 Actividades
SteffensenAplicaciones: representacion de la orbita de un punto
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Metodo de Steffensen
Metodo STF
Escribe en Matlab la implementacion del metodo de Steffensen de formasimilar a lo realizado con el metodo de Newton. Compara los resultados paralas pruebas numericas.
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Aplicaciones: representacion de la orbita de un punto
Orbita de un punto
Modifica la funcion que ejecuta el metodo de Newton para que, pinchando enun punto del plano complejo, obtenga la orbita de dicho punto. Funciones deayuda:
ginput
pause
hold
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