4 ii pendesakan linier

8/10/2019 4 II Pendesakan Linier

http://slidepdf.com/reader/full/4-ii-pendesakan-linier 1/34

BAB IV: PENDESAKAN LINIER TAK TERCAMPUR

(Versi 2 November 2004)

Bab ini menjelaskan tentang fenomena pendesakan fluida ke dalam reservoir untuk

meningkatkan perolehan minyak. Pendesakan dimaksud adalah injeksi air untuk mendorong

minyak menuju sumur produksi. Pembahasan dalam bab ini terbatas pada asumsi-asumsi

yang diterapkan pada proses pendesakan tersebut. Asumsi-asumsi utama yang digunakan

diantaranya:

1.

Pendesakan melibatkan dua fluida yang tidak tercampur satu sama lain (immiscible), yaitu

air dan minyak. Implikasi dari asumsi ini adalah terdapat bidang kontak yang jelas di

antara kedua fluida.

2. Proses pendesakan adalah imbibisi, yaitu air mendesak minyak dalam reservoir yang

bersifat water-wet . Implikasi dari asumsi ini adalah permeabilitas relatif dan tekanan

kapiler harus diukur dalam keadaan imbibisi.

3.

Pendesakan umumnya terjadi di bawah kondisi kesetimbangan secara vertikal terhadap

ketebalan formasi yang didesak. Dalam hal ini, terjadi kesetimbangan hidrostatik

sehingga distribusi saturasi dapat ditentukan sebagai fungsi dari tekanan kapiler (atau

ketinggian) atau, dengan kata lain, fluida terdistribusi secara vertikal menurut

kesetimbangan kapiler-gravity, yaitu:

10x0133.1

cosgy)S( p

6wc

θρΔ=

Untuk menjelaskan hal ini lebih lanjut, tinjau situasi statik pada injeksi air ke dalam suatu

formasi yang mempunyai sudut kemiringan θ sebagai berikut:

y

A•

Minyak

Air

Sw = 1 - Sor X

θ

Swc 1 - Sor

Swa

pc

Δρgz

z

Pendesakan Linier Tak Tercampur, hal. 1



Statik yang dimaksud di sini adalah bahwa gambar tersebut memperlihatkan situasi

dimana injeksi air dihentikan pada saat bidang saturasi air Sw = 1 – Sor dengan pc = 0

mencapai Titik X. Jika kurva tekanan kapiler memperlihatkan zona transisi yang jelas

seperti ditunjukkan pada gambar di atas (kanan), maka di atas Titik X saturasi akan

terdistribusi menurut kurva pc. Sebagai contoh, pada Titik A, yang berjarak y (normal

terhadap dip atau arah aliran) dari bottom formasi mempunyai tekanan kapiler:

gzcosgy p p)S( p ccwc ρΔ=θρΔ=−=

sehingga saturasi air pada Titik A dapat dibaca dari kurva tekanan kapiler sebesar Swa.

Jika injeksi kemudian dilanjutkan dan kemudian dihentikan kembali, maka akan

diperoleh gambar seperti di atas dengan distribusi saturasi air yang berbeda pada Titik X.

4. Pendesakan bersifat incompressible karena hanya melibatkan air sebagai fluida pendesak

dan minyak sebagai fluida yang didesak. Implikasi dari asumsi ini adalah:

qqq owt +=

5. Pendesakan terbatas pada geometri linier dengan sumur injeksi dan produksi diperforasi

sepanjang ketebalan formasi yang didesak, tanpa memperhitungkan efek dari keberadaan

streamline (potensial konstan) di sekitar sumur, dan saturasi dianggap seragam di setiap

titik di reservoir.

6.

Metode perhitungan kinerja pendesakan dikembangkan menurut salah satu dari keadaan berikut:

Diffuse flow (menggunakan kurva fractional flow dan melibatkan metode Buckley-

Leverett dan/atau metode Welge)

Segregated flow (metode perhitungan dikembangan menurut kriteria stabilitas

pendesakan dari Dietz).

Yang dimaksud dengan diffuse flow adalah bahwa saturasi terdistribusi secara seragam

terhadap ketebalan. Dengan asumsi diffuse flow, maka akan memudahkan pemodelan

pendesakan dengan model satu dimensi. Dengan demikian, dapat digunakan permeabilitas

relatif yang dirata-ratakan terhadap ketebalan. Diffuse flow dapat terjadi pada dua kondisi

ekstrim yaitu:

-

jika laju injeksi sangat tinggi sehingga kondisi kesetimbangan vertikal tidak terpenuhi

dan pengaruh tekanan kapiler dan gravitasi diabaikan, dan

- jika laju injeksi cukup rendah sehingga ketebalan zona transisi kapiler jauh melebihi

ketebalan reservoir dan akibatnya saturasi terdistribusi secara merata terhadap

ketebalan dan kondisi kesetimbangan vertikal dapat terpenuhi.




Dengan demikian, jika tidak terjadi salah satu dari kedua kondisi ekstrim tersebut maka

pendesakan yang terjadi berada dalam keadaan segregated flow. Kondisi segregated flow

memerlukan pemodelan dua dimensi untuk menghitung distribusi saturasi fluida secara

vertikal. Namun, dengan menggunakan cara perata-rataan saturasi pada arah normal

(tegak lurus) terhadap arah aliran, umumnya model dua dimensi tersebut dapat

disederhanakan menjadi model satu dimensi. Sebagai contoh, untuk pendesakan pada

reservoir berlapis (stratified system) seringkali model yang digunakan adalah model satu

dimensi dengan melakukan perata-rataan harga saturasi, permeabilitas relatif, dan tekanan

kapiler terhadap ketebalan (normal terhadap arah aliran).

Konsep Pendesakan Torak

Pada pendesakan torak ( piston-like displacement ) berlaku bahwa di daerah belakang front

mengalir hanya fluida pendesak dan di muka front hanya mengalir fluida yang didesak.

Dalam sistem pendesakan air terhadap minyak, maka saturasi di belakang dan di muka front

adalah sebagai berikut:

Di belakang front:

or o SS = k o = 0

Sw = 1 – Sor k rw = k rw*

Di muka front:

Sw = Swc k rw = 0

So = 1 – Swc k o = k ro*

Seperti terlihat pada gambar di bawah, harga-harga saturasi dan permeabilitas relatif tersebut

dapat digambarkan sebagai berikut:

k k *rwSor 1rw =−

k k *roSwcro =

1 – Sor

Swc

Sw

Sw

pcH

Front

AirMinyak

H

H = zona transisi




k rw*

k ro*

k rw

k ro

1- Sor Swc

Seperti disebutkan di atas, pada pendesakan torak, di belakang front tidak terdapat saturasi

gradient, sehingga minyak tersisa (Sor ) sudah terjadi pada titik masuk. Ini berarti tidak ada

zona transisi yaitu pengaruh kapiler tidak ada (lihat gambar zona transisi kapiler di atas).

Pendesakan Torak Pada Formasi Linier Satu Dimensi

Dalam sistem aliran pendesakan dua fasa dimana air mendesak minyak, maka di belakang

front mengalir fluida pendesak (yaitu air) dan di muka front hanya minyak yang mengalir.

Aliran ini bersifat mantap (steady state). Secara skematik, sistem ini digambarkan sebagai

berikut:

Pada batas minyak-air terjadi:

ww

D

ww

dx

dpuv ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ=φ

=

oo

D

oo

dx

dpuv ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ=φ

=

)SS1( or wcD −−φ=φ

Pada batas tersebut berlaku vw = vo, sehingga

Δ

λ w λ o

p

0 x L

Arah

aliran




oo

ww

dx

dp

dx

dp⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ

wo

w

o

dx

dpM

dx

dp⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =λ

λ=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Perbedaan tekanan total

p p p wo Δ+Δ=Δ

wo dx

dpx

dx

dp)xL( +−=

ww dx

dpx

dx

dpM)xL( +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

x)M1(ML

p

xM)xL(

p

dx

dp

w −+Δ

=+−

Δ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

Conductance ratio (γ) adalah perbandingan velocity pada suatu waktu, vx, terhadap velocity

pada x = 0 (yaitu vo).

v

v

o

x=γ =

ML p

xM)xL(

p

Δ

+−Δ

=x)M1(ML

ML

−+

=

L

x1

M

11

1

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

=

Dx1M

11

1

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+

Kecepatan fluida dalam media berpori (velocity bukan flux) adalah:

D

wuv

φ= [untuk air, di mana )SS1( or wcD −−φ=φ ]

)x)M1(ML( p

dxdp

D

w

wD

w

−+φΔλ−=⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

φλ−=

γ

M<1

M=1

M>1

00

xD

1.0

1.0




dan v dapat digunakan untuk menentukan waktu batas minyak-air mencapai jarak x, yaitu:

))M1(xML(

p

dt

dxv

D

w

−+φ

Δλ−== , inout p p p −=Δ

∫ ∫ −+Δλφ−=θt

0

x

0w

D dss)M1(ML( p

d

Lx0,002

x)M1(MLx

p0t

2

w

D ≤≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−+

Δλ

φ−=−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

Δλ

φ−=

2

x)M1(MLx

pt

2

w

D

Satuan untuk persamaan waktu di atas adalah waktu t dalam det, permeabilitas k dalam

Darcy, tekanan p dalam atm, jarak x dalam cm, dan viskositas μ dalam cp.

Contoh 1: Pendesakan Linier Satu Dimensi

Sistem linier ini merupakan pendesakan air terhadap minyak dengan batas minyak-air

terletak pada x dimana panjang sistem linear adalah L. Tentukan waktu yang diperlukan oleh

batas minyak-air untuk mencapai jarak x = 50 m.

Diketahui :

k rw* = 0.3, μw = 0.5 cp, φ = 0.2, k ro

* = 0.8, μo = 5 cp, ∆ p = -50 atm, L = 100 m, k = 0.2 D, Sor

= 0.2, Swc = 0.2,

75.35/8.05.0/3.0M == 12.0

5.0)3.0)(2.0(k k

w

*rww ==

μ=λ

Pada harga x = 50 m tentukan waktu pendesakan (t).

)SS1( or wcD −−φ=φ

12.0)2.02.01(2.0 =−−=

t

p

))M1(2

xMLx(

w

2

D

Δλ

−+φ−=

λ w λ o

1 2

0 x L

∆ p = p2 – p1




)50)(12.0(

)75.31(2

)5000(5000x000.10x75.312.0

2

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−=

hari45.35det3062500 ==

Dari persamaan t tersebut dapat dijabarkan persamaan x untuk harga t tertentu yaitu dengan

cara mencari akan kuadratis dari x menggunakan persamaan mencari akar sebagai berikut:

a2

ac4 b bx

2 −±−=

dimana persamaan kuadratis dalam x:

0 pt

MLx)M1(2

x

D

w2=

φλΔ++−

sehingga akar dari persamaan di atas dalam x adalah

)M1(

t)M1( p2

)ML(ML

x

5.0

D

w2

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−φ

Δλ−±−

=

Kinerja Pendesakan Torak Pada Formasi Linier Berlapis

Formasi yang berlapis-lapis memiliki permeabilitas yang berbeda-beda. Akan tetapi tiap

lapisan memiliki φD yang sama.

Pendesakan pada tiap lapisan terjadi pada aliran dengan M yang sama. Dengan menggunakan

persamaan letak batas pada tiap lapisan (x) untuk waktu tertentu (t). Untuk menghitung

Lapisan i

Lapisan j




recovery dan water-oil ratio, lapisan disusun dari permeabilitas terbesar sampai terkecil

seperti ditunjukkan pada gambar skematik di atas. Anggaplah lapisan i terjadi tembus fluida

(breakthrough), maka yang perlu diketahui (ditentukan) adalah kedudukan front pada lapisan

yang permeabilitasnya lebih kecil (lapisan j) yang belum breakthrough.

p

)M1(2

xMLx(

tw

2

D

Δλ

−+φ−=

Breaktrough pada lapisan i

λ

−+=

φ

Δ−

wi

22

D

i)M1(

2

LML

pt

λ

+=wi

2

2

)M1(L

Kedudukan front pada lapisan j adalah:

)M1(2

L)M1(

2

xMLx

wi

2

wj

2 j

j+

λ=

λ

−+

)M1(k

k 2

L

k k

)M1(2

x

MLx

w

*rw

i

2

w

*rw

j

2

j +

μ

=

μ

−+

0)M1(k

k

2

LMLx)M1(

2

x

i

j22

=+−+−

M1

)M1(k

k

2

L

2

)M1(4)ML(ML

x

5.0

i

j2

2

j −

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

+±−

=

M1

)M1(k

k L)ML(ML

x

5.02

i

j22

j −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++±−

=

)M1(

M1(k

k MM

L

x

5.02

i

j2

j −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+±−

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

Laju Produksi fluida pendesak (air) berasal dari lapisan 1 sampai i:




∑ ∑==i

1

i

1 j j jw uAqq

∑μ

Δ−=

i

1

j j

w

*rw

hk L

wk p

Laju fluida yang didesak (minyak) berasal dari lapisan (i+1) sampai n:

∑ ∑==+ +

n

1i

n

1i j j jo uAqq

)M1(xML

pwh

dx

dpAq

j jwj

w jwj j −+

Δλ−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ−=

⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−+Δμ−=

)M1(L

xM

1

L

pwhk k

j j

w

*

rw j

∑−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Δμ

=+

n

1i

j

j j

w

*rw

o

)M1(L

xM

hk

L

pw

k q

Jadi

o

w

q

q

WOR =

∑−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

∑

=

+=

=

n

1i j

j

j j

i

1 j j j

)M1(L

xM

hk

hk

Recovery (NPD)

∑

∑ ∑ ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +

=

=

= +

n

1 j j

i

1 j

n

1i j

j j

PD

h

hLxh

N

Prosedur perhitungan recovery didasarkan pada lapisan yang terakhir tembus air (misalnya

lapisan i). Faktor waktu yang berkaitan dengan breakthrough:

wiD

i

2

)M1(L pt

λ+

=φ

Δ−




Kedudukan front pada lapisan lain di luar lapisan i (pada lapisan yang lebih kecil

permeabilitasnya):

M1

)M1(

k

k MM

Lx

5.02

i

j2

j −⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

−+±

−=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

Harga ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ L

x

j

dihitung untuk j = i +1 sampai n. Berdasarkan harga tersebut dapat ditentukan

WOR dan NPD. Jadi dibuat tabulasi:

τ=φ

Δ−=

λ+

D

i

wi

pt

2

)M1(L terhadap NPD dan WOR

o

w

q

q

WOR =

o

o

w

w

s

B

q

B

q

)WOR ( =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

B

B)WOR ()WOR (

w

os

( )

( ) ( )

2

WOR WOR

WOR

1sjsj

s

++

=

( ) ( ) s p j p1 j p )WOR ( NWW Δ+=+

,

dimana W p diukur dalam STB.

Persamaan Fractional Flow

Pendesakan desaturasi di belakang front pertama kali dikembangkan oleh Buckley-Leverett.

Pendesakan ini mengikuti geometri linier dan aliran mantap (steady state) serta

incompressible disamping tentu saja anggapan pendesakan tak bercampur (immiscible).

N pD

τ




Anggapan lain yang juga penting diperhatikan adalah bahwa Sor terjadi sejak di titik masuk

dan bidang saturasi konstan tegak lurus arah aliran. Penentuan recovery pada kasus

pendesakan seperti ini didasarkan pada persamaan fractional flow dan frontal advance.

Untuk mendapatkan persamaan fractional flow, tinjau pendesakan minyak dalam reservoir

yang mempunyai kemiringan seperti ditunjukkan oleh gambar skematik berikut:

Persamaan fractional flow ini diperoleh dari persamaan Darcy yang linier, yaitu:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρ+

∂

∂

μ−=

∂

Φ∂

μ−=

6

oo

o

roo

o

oroo

10x0133.1

sing

x

pA

k k

x

Apk k q

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρ+

∂

∂

μ−=

∂

Φ∂

μ−=

6

ww

w

rww

w

wrww

10x0133.1

sing

x

pA

k k

x

Apk k q

Dengan memperhatikan

qqq wto −=

p p p woc −=maka dapat dijabarkan persamaan fractional flow sebagai berikut:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρΔ−

∂

∂+

μ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ μ+

μ6

c

ro

ot

ro

o

rw

ww

10x0133.1

sing

x

pA

k k

q

k k k k q

dimana gradient tekanan kapiler dalam arah aliran adalah

x

p

x

p

x

p woc

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

dan

θ y

x

z

h

qi

qt




ρ−ρ=ρΔ ow

Fractional flow pada tiap titik di reservoir didefinisikan sebagai:

q

q

qq

qf

t

w

ow

ww =

+

=

Sehingga dengan substitusi persamaan ini ke dalam persamaan di atas diperoleh:

k

k 1

10x0133.1

sing

x

pA

q

k k 1

f

rw

ro

o

w

6

c

ot

ro

w

μ

μ+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρΔ−

∂

∂

μ+

=

Atau dalam satuan lapangan yaitu permeabilitas dalam md, laju alir dalam bbl/hari, viskositas

dalam cp, luas penampang dalam ft

2

, tekanan dalam psi, γ = gravity, persamaan fractionalflow di atas dapat dituliskan sebagai berikut:.

k

k 1

sin4335.0x

pA

q

k k 10127.11

f

rw

ro

o

w

c

ot

ro3

w

μ

μ+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θγΔ−

∂

∂

μ×+

=

−

Pengaruh masing-masing parameter tekanan kapiler dan gravitasi pada persamaan fractional

flow adalah sebagai berikut. Berdasarkan konvensi, sudut θ diukur dari garis atau bidang

horizontal ke garis yang menunjukkan arah alirn. Oleh karena itu, ruas yang menyatakan efek

gravitasi pada persamaan tersebut akan positif untuk pendesakan dengan arah up dip (ke atas

dengan 0 < θ < π) dan negative untuk pendesakan dengan arah down dip (ke bawah dengan π

< θ < 2π)) seperti ditunjukkan oleh gambar berikut. Dengan demikian, jika parameter lainnya

dibuat sama, maka fractional flow untuk up dip lebih kecil dibandingkan dengan fractional

flow untuk down dip).

θ

θ

0 < θ < π → 610x01331

sing θρΔ positif

π < θ < 2π → 610x0133,1

sing θρΔ negatif




Sekarang tinjau harga gradient tekanan kapiler pada persamaan fractional flow di atas.

Pengaruh dari gradient tekanan pada fractional flow sebenarnya tidak terlalu jelas terlihat.

Namun, secara kualitatif dapat dijelaskan sebagai berikut. Dengan menggunakan chain rule,

maka gradient tekanan kapiler tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

x

S

S

p

x

p w

w

cc

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

Seperti ditunjukkan oleh gambar skematik berikut, maka harga-harga kedua suku pada ruas

kanan persamaan gradient tekanan kapiler di atas adalah bernilai negatif. Dengan demikian

gradient tekanan kapiler selalu berharga positif. Akibatnya, tidak tergantung pada arah aliran

apakah mengalir ke atas (up dip) atau mengalir ke bawah (down dip), keberadaan gradient

tekanan kapiler selalu memperbesar fractional flow.

0S

p

w

c <∂

∂

0x

Sw <∂

∂

Distribusi saturasi terhadap lokasi linier x, seperti ditunjukkan oleh gambar di atas (kanan),

adalah pada suatu waktu setelah dilakukan injeksi sejumlah air. Terlihat bahwa terdapat

(shock ) front yang jelas, yaitu terdapat diskontinuitas saturasi air. Artinya, ada lonjakan harga

saturasi air dari harga Swc ke Swf pada lokasi yang sama. Pada lokasi shock front inilah harga-

harga ∂ pc/∂Sw dan ∂Sw/∂x mempunyai harga yang maksimum (lihat kedua gambar di atas).

Dengan demikian harga ∂ pc/∂x juga maksimum. Di belakang front, harga ∂ pc/∂x relatif kecil

sehingga dapat diabaikan dalam persamaan fractional flow.

x

pc

∂

∂ → positif

Sw

pc

-dpc

dSw

x

Sw -dSw

dx

1-Sor

Swc

Swf

Shock

front




Oleh karena itu, jika gradient tekanan kapiler diabaikan, maka jika pendesakan dilakukan

pada reservoir horizontal (dimana sin θ = 0), maka persamaan fractional flow menjadi jauh

lebih sederhana, yaitu:

k

k 1

1f

rw

ro

o

ww

μ

μ+

=

Gambar berikut menunjukkan kurva fractional flow, yaitu plot antara f w vs. Sw. Beberapa

parameter yang tertera pada gambar tersebut akan dijelaskan pada bagian berikut ini.

Persamaan Frontal Advance Dari Buckley-Leverett

Pada tahun 1942, Buckley dan Leverett menyampaikan apa yang dikenal sekarang sebagai

persamaan dasar untuk menjelaskan pendesakan tak tercampur (immiscible) satu dimensi.

Untuk kasus dimana air mendesak minyak, persamaan tersebut dapat digunakan untuk

menentukan kecepatan bidang saturasi konstan yang bergerak sejalan dengan proses

pendesakan. Dengan anggapan kondisi aliran diffuse, konservasi massa melalui elemen

volume Aφdx seperti ditunjukkan secara skematik pada gambar berikut ini menghasilkan

persamaan sebagai berikut:

12

3

1.0

1.000

Sw

f w

1.0

1.00

0 Sw

f w

f ,S w Swf wf

S w

Swc 1-Sor

x x + dx

dx

ρww xq ρ

+ww dxxqAφdx




Mass flow rate = Rate of increase of mass

in – out in the volume element

( wwww dxxww xS

tdxAqq ρ

∂ )

∂φ=ρ−ρ + (2)

( ) ( )wwwwww xww xS

tdxAdxq

xqq ρ

∂∂

φ=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ρ∂∂

+ρ−ρ

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

)S(t

A)q(x

wwww ρ∂∂

φ=ρ∂∂

−

Dengan anggapan incompressible maka ρw = konstan sehingga dapat dihilangkan dari kedua

sisi:

t

SA

x

q ww

∂∂φ−=

∂∂

t

SA

x

q w

x

w

t ∂

∂φ−=

∂

∂ (3)

Untuk aliran incompressible, qt = konstan, dan dengan menggunakan:

f qq wtw =

maka

0t

SA

x

f q ww

t =∂

∂φ+∂

∂ (4)

Dengan membagi kedua sisi dengan A dan gunakan q = uA, maka:

0t

S

x

f u ww =

∂

∂φ+

∂

∂

Deferensiasi penuh dari saturasi air, Sw(x,t) adalah:

dt

t

Sdx

x

SdS w

x

w

t

w

∂

∂+

∂

∂=

Yang menjadi perhatian kita adalah gerakan dari bidang dengan saturasi konstan, sehingga

dSw = 0. Maka:

t

x

x

S

t

S

S

w

t

w

x w∂∂

∂

∂−=

∂

∂ (5)

Selanjutnya, dengan chain rule:

t

w

w

ww

t x

S

S

q

x

q⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ (6)




Sekarang, substitusi persamaan (6) ke dalam persamaan (3), yaitu:

t

SA

x

q w

x

w

t ∂

∂φ−=

∂

∂ (3)

diperoleh:

t

SA

x

S

S

q w

xt

w

w

w

∂∂

φ−=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

Selanjutnya, substitusi Persamaan (5):

dt

dx

x

SA

x

S

S

q

S

w

tt

w

w

w

w∂

∂φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

Atau

t

xA

S

q

Sw

w

t w∂∂φ=

∂∂ (7)

Lagi, untuk aliran incompressible, qt = konstan, dan dengan menggunakan:

f qq wtw =

diperoleh:

wSw

wt

dt

dxA

S

f q φ=

∂

∂

ww Sw

wt

S dS

df

A

q

dt

dx

φ= (8a)

Persamaan (8) di atas disebut dengan persamaan frontal advance atau persamaan Buckley-

Leverett, yang juga dapat ditulis sebagai:

S

f

A

qv

w

wtSw

Sw∂

∂

φ= (8b)

Persamaan frontal advance menyatakan bahwa untuk suatu injeksi air dengan laju injeksi

konstan maka kecepatan bidang saturasi konstan berbanding lurus dengan turunan

(derivative) persamaan fractional flow yang dihitung pada saturasi tersebut. Integrasi

Persamaan (8) untuk waktu sejak injeksi dimulai, maka

∫φ

=t

0t

w

w

S

dtqdS

df

A

1x

w

ww Swwi

SdS

df

A

Wx φ= (9)




dimana Wi adalah kumulatif air yang injeksikan sejak injeksi dimulai dengan asumsi bahwa

Wi = 0 pada t = 0. Dengan demikian Persamaan (9) dapat digunakan untuk memplot posisi

bidang saturasi konstan untuk waktu tertentu sejak injeksi dimulai dengan hanya menghitung

slope kurva fractional flow pada saturasi tersebut.

Namun, terdapat sedikit kesulitan untuk menentukan lokasi bidang saturasi konstan dengan

metode di atas karena bentuk kurva fractional flow yang menunjukkan bentuk ”S.” Dengan

bentuknya yang demikian, maka plot dari slope kurva fractional flow terhadap saturasi akan

menunjukkan titik maksimum seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini (kiri). Oleh karena

itu, penggunaan Persamaan (9) untuk memplot distribusi saturasi terhadap lokasi akan

berbentuk kurva seperti ditunjukkan pada gambar yang sama (kanan). Sudah tentu profile

saturasi seperti ini tidak mungkin terjadi karena ternyata ada lebih dari satu harga saturasi

pada satu lokasi yang sama. Yang terjadi sebenarnya di reservoir adalah bahwa pada harga

df w/dSw maksimum, yang berarti pada kecepatan maksimum, harga saturasi pada titik itu

akan mulai ”menutup” harga saturasi yang lebih rendah sehingga terjadi saturation

discontinuity atau shock front. Dengan kata lain, persamaan (8a) dan persamaan (9) hanya

bisa digunakan pada lokasi di belakang shock front, yaitu pada lokasi dimana harga saturasi

berada pada selang:

S1SS or wwf −<<

dimana Swf adalah saturasi shock front. Pada interval saturasi ini, umumnya gradient tekanan

kapiler dapat diabaikan sehingga persamaan f w vs Sw yang digunakan pada Persamaan (8a)

dan (9) menjadi lebih sederhana.

Perlu dicatat di sini bahwa untuk menggambarkan profil saturasi dengan benar menggunakan

persamaan Buckley-Leverett maka harus dapat ditentukan shock front (yaitu bidang

x

Sw

Swf

B

1-Sor

A

Swc

Sw

1-Sor Swc Swf

dSdf v

w

wSw ∝




saturation discontinuity). Bidang dimana terdapat diskontinuitas saturasi tersebut

digambarkan sebagai garis putus-putus pada gambar di atas (kanan). Secara grafis, bidang

tersebut dapat ditentukan jika luas daerah A sama dengan luas daerah B.

Penentuan Saturasi Rata-rata Dengan Metode Welge

Pada tahun 1952, sepuluh tahun setelah publikasi Buckley dan Leverett, Welge menyajikan

suatu metode yang lebih baik untuk menentukan hal yang sama seperti dilakukan oleh

Buckley dan Leverett. Metode Welge ini berkaitan dengan penentuan harga saturasi rata-rata

di belakang front seperti ditunjukkan oleh gambar skematik berikut:

Situasi yang digambarkan di atas adalah pada suatu waktu tertentu, sebelum terjadi water

breakthrough di sumur produksi dengan kumulatif injeksi Wi. Pada gambar di atas, saturasi

air maksimum, Sw = 1 – Sor , telah bergerak sejauh x1 dengan kecepatan yang sebanding

dengan slope kurva fractional flow seperti dijelaskan oleh Buckley-Leverett. Saturasi front

dari pendesakan, Swf , berada pada lokasi x2. Maka dengan menggunakan konsep material

balance:

)SS

(AxWwcw2i

−φ=

atau

φ=−

Ax

WSS

2

iwcw

Dengan menggunakan persamaan Buckley-Leverett, Persamaan (9), yang hanya berlaku

untuk lokasi di belakang front, x2:

dS

df

1SS

w

w

S

wcw

wf

=−

Sw

Swc

1-Sor

x

S w

Swf

x1 x2




Berdasarkan gambar skematik di atas, saturasi air rata-rata di belakang front, Sw, dapat pula

diperoleh dengan cara integrasi kurva profil saturasi, yaitu:

( )

2

x

xw1or

w x

dxSxS1

S

2

1

∫+−

=

Sedangkan menurut Buckley-Leverett, untuk sejumlah air yang diinjeksikan dengan Sw

S

≥

wf , maka berlaku:

ww Sw

w

SdS

df x ∝

sehingga

( )

wf

wf

or or

Sw

w

S

S1 w

ww

S1w

wor

w

dS

df

dS

df dS

dS

df S1

S

∫ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

= −−

Dengan menggunakan kaidah integrasi (integration by parts):

∫∫ −= vduuvudv

wf

or

wf

or

wf

or

S

S1w

S

S1w

ww

S

S1 w

ww f )

dS

df S(

dS

df dS

−−−−=∫ ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

Sehingga persamaan Sw di atas menjadi:

( )

wf

wf

or

wf

or or

Sw

w

S

S1w

S

S1w

ww

S1w

wor

w

dS

df

f dS

df S

dS

df S1

S−−−

−+−

=

Atau

wf

wf wf

Sw

w

Sw

Sw

wwf

w

dS

df

1f dS

df S

S

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

=

Dengan demikian, Sw yang dihitung dari kurva profil saturasi adalah:




wf

wf

Sw

w

Sw

wf w

dS

df

f 1

SS

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

+=

Sehingga jika persamaan ini digabungkan dengan persamaan Sw yang dihitung dengan

material balance di atas, yaitu:

φ==−

Ax

W

dS

df

1SS

2

i

w

w

S

wcw

wf

(10)

maka dapat ditulis:

wcwwf w

Sw

Sw

w

SS

1

SS

f 1

dS

df wf

wf −

=−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

Secara grafis, persamaan di atas ditunjukkan oleh gambar skematik berikut. Garis singgung

dari titik Sw = Swc, f w = 0 ke kurva fractional flow mempunyai kordinat Sw = Swf , f w = f w Swf

dan titik potong garis singgung tersebut yang diekstrapolasi sampai f w = 1 adalah Sw =Sw

, f w

= 1. Oleh karena itu, dengan sendirinya, saturasi rata-rata di belakang front dapat ditentukan

jika plot f w vs. Sw tersedia untuk seluruh interval berikut:

S1SS or wwc −<< .

1.0

1.00

0Sw

f w

S w

Swc 1-Sor

f w Swf

Swf




id

bt,idBT

q

Wt =

Setelah breakthrough, x tetap konstan sama dengan L dan Swe dan few meningkat sejalan

dengan injeksi seperti terlihat pada gambar di atas. Setelah breakthrough tersebut, penentuanrecovery relative lebih rumit dan memerlukan penerapan persamaan Welge untuk

memperoleh saturasi rata-rata Sw sesuai dengan harga saturasi pendesak pada titik keluar

(Swe), yaitu:

( )

weSw

wwewew

dS

df

1f 1SS −+=

Yang dengan menggunakan Persamaan (11) dapat pula ditulis sebagai:

( ) idwewewWf 1SS −+= (13)

Dengan mengurangkan Swc pada Persamaan (13) maka diperoleh Npd sebagai berikut:

( ) ( ) idwewcwewcw pd Wf 1SSSS N −+−=−= (PV) (14)

Untuk menggunakan Persamaan (12) dan (14) dilakukan prosedur sebagai berikut:

1. Gambar kurva fractional flow dengan persamaan berikut:

k

k 1

1

f

rw

ro

o

ww

μμ+=

atau

k

k 1

10x0133.1

sing

x

pA

q

k k 1

f

rw

ro

o

w

6

c

ot

ro

w

μ

μ+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρΔ−

∂

∂

μ+

=

Jika perlu, masukan efek gravitasi tapi abaikan efek gradient tekanan kapiler.

2. Tarik garis singgung dari titik (Sw = Swc, f w = 0) sehingga diperoleh kordinat Sw = Swf =

Swbt, f w = f w(Swf ) = f w(Swbt) dan ekstrapolasi ke f w = 1 menghasilkan .SS wbtw = Gunakan

persamaan berikut untuk mendapatkan recovery dan waktu pada saat breakthrough.

btw

bt

Sw

w

wcw btid bt

id bt

pd

dS

df

1SStqW N =−=⋅==




0.55 0.100 0.120 0.893 0.391

0.60 0.132 0.081 0.942 0.424

0.65 0.170 0.050 0.971

0.70 0.208 0.027 0.9870.75 0.251 0.010 0.996

0.80 0.300 0 1.000

Data yang diketahui:

θ = 0, h = 40 ft, φ = 0.18, Swc = 0.20, Sor = 0.20, μo = 5 cp, μc = 0.5 cp, qr = 1000 bbl/hari, Bo

= 1.3 bbl/STB, Bw = 1.0 bbl/STB

rw

ro

o

ww

k

k 1

1f

μ

μ+

=

( )( )

,Bf 1

Bf WOR

ow

wws −

= ( ) ww f f 1WOR =−

WOR = f w (WOR + 1)

1WOR

WOR f

w +=

( ) ( )

w

w

o

ws B

f

B

f 1WOR =

−

( )w

owwss

B

Bf f WOR WOR +=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

w

osw

B

BWOR f

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

w

os

sw

B

BWOR

WOR f

Setelah BT

( )( ) tahuncuft

cuft

365x615.5q

PVW

q

Wt

t

id

t

id ==

( )

( )( )

tahunW4.39

365x165.51000

18.0x2000x40x625Wid

id ==




( ) ( idwewcwe pd Wf 1SS N −+−= )

weSw

wid

dS

df

1W =

Pendesakan Dengan Kondisi Segregated Flow

Segregated flow umumnya terjadi pada reservoir miring dengan bottom water. Lagi, pada

daerah yang didesak air berlaku air yang mengalir dengan k rw= k rw* dan pada daerah minyak

(uninvaded zone) hanya minyak yang mengalir dengan k ro= k ro* dengan masing-masing harga

permeabilitas relative tersebut seperti dijelaskan di atas. Gambaran dari batas minyak-air

pada sistem 2 dimensi reservoir miring tersebut dapat berbentuk:

•

stabil

•

tidak stabil.

Pada kondisi stabil front bergerak pada sudut yang konstan sedangkan pada kondisi tidak

stabil front bergerak seperti lidah (tongue) dengan sudut front dengan arah aliran adalah 0

derajat. Ketiga bentuk front ini diberikan seperti gambar berikut ini dan aliran ini dikenal

pula sebagai segregated flow. Tentang segregated flow ini dan segregation drive akan

dijelaskan lebih lanjut pada Bab V: Segregation Drive.

θ

θ

θ

dx

β

β = 0

dy

x

y

Stabil

β < θ

Stabil

β > θ

β = 0

Arahaliran

Air

Minyak

dydx




Aliran terpisah (segregated flow) ini berdasarkan aliran incompressible yang mengikuti

persamaan Darcy dimana flux minyak dan air pada batas minyak-air adalah sama, yaitu:

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ θρ+

∂

∂

μ−==

6oo

o

*ro

to

10x0133.1

sing

x

pk k uu

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θρ+

∂

∂

μ−==

6ww

w

*rw

tw10x0133.1

sing

x

pk k uu

Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut dan menggunakan

( ) dy10x0133.1

singddp6woc θρΔ=ρ−ρ=

maka didapat persamaan

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +θμ

θρΔ=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

μ

μ1

tan

1

dx

dy

q10x0133.1

sinAk k 1

k

k

tw6

*rw

o

*ro

w

*rw

atau, dapat pula dituliskan sebagai

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +θ

=− 1tan

1

dx

dyG1M

jika

μμ=

o

*ro

w

*rw k

/k

M

wt

rw4

q

sin*kk 10x9.4G

μ

θγΔ= − yang disebut dengan gravity number (dimensionless).

dimana:

AIR

Sw = 1 - Sor

So = Sor

MINYAK

Sw = Swc

So = 1 – Swc

Pendesakan minyak oleh air di bawah

kondisi segregated flow




dicari secara geometri, dimulai pada saat BT (sebelum breaktrough N pD = WID).

( )or wc b

pPD

SS1V

N N

−−φ=

BTBT ID pD WtanL2h1 N =β−=

Setelah BT

( )β

−−=

tanhL2

yh1 N

2e

pD

β+=

tanhL2

y NW

2e

pDID

Prosedur penentuan kinerja

h - ye

β

θ

ye

β

−

tan

yh e

1.

Hitung G dan M

wt

*rw4

q

sinAk k 10x9,4G

μ

θγΔ= −

o*ro

w*rw

k

k M

μ

μ=

2.

Hitung sudut β

θ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=β− tan

G

G1Mtan

3. HitungBTBT ID pD W N =




β−=

tanL2

h1 N

BT pD

4. Tentukan NPD setelah berdasarkan 0h

y1 e >> , dengan pertambahan 1.0

h

ye = sampai

0.1hye =

( )β

−−=

tanL2

hy1h1 N

2e

PD

( )β

−+=

tanL2

hy1h NW

2e

PDID




Contoh 1: Penentuan Kinerja Reservoir Dengan Segregated Flow

θ = 25o, h = 40 ft, L = 2000 ft, W = 625 ft, γw = 1.04, k = 2000 mD, γo = 0.81, qt = 467

bbl/hari, φ = 0.18, Swc = 0.20, Sor = 0.20, μw = 0.5 cp, μo = 2.5 cp, k rw* = 0.3, k ro

* = 0.8




!!! WARNING !!!

THIS PAGE AND THOSE THAT FOLLOW ARE OLD VERSION

Buckley Leverett equation:

Dari conservation of mass didapat:

)S(t

A)q(x wwww ρ

∂∂

φ−=ρ∂∂

dan dijabarkan menjadi:

Sd

f d

A

qv

dt

dx

w

w

t

tS

Sw

wφ

==

Persamaan Buckley-Leverett

•

Suatu model untuk pendesakan tak tercampur (immiscible displacement)

• 1 – dimensi

•

Kondisi aliran : diffuse

• Diturunkan untuk aliran linier tapi bisa dikembangkan untuk aliran radial (buku Collins)

• Diturunkan untuk pendesakan minyak aoleh air ttapi bisa dikembangkan untuk

pendesakan minyak oleh gas

Tinjau suatu sistem reservoir linier, minyak didesak oleh air

Total aliran

qoBoqwBwt q +='

Sw berubah dari Sw/t menjadi (Sw + dSw)/t+dt sehingga laju peerubahan volume air dalam

volume element :

xt

Swdx Ac

dt

dW ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=

615.5

φ ....................................................... (1)

Jika water cut pada x adalah fw, maka water cut pada x + dx adalah (fw – dfw)




Maka laju alir air yang masuk volume element pada x adalah fwq’t dan pada x + dx adalah

(fw – dfw) q’t sehingga :

t fwqt qdfw fwdt

dW '')( −−=

…………………………………………… (2)dfwt q'−=

Dari (1) & (2)

t x dx

dfw

Ac

t q

dt

Sw⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

φ

'615.5 ……………………………… (3)

Jika viskositas minyak dan air konstan, makafw = f (Sw) yang berarti fungsi dari x dan t

dx x

Swdt

t

SwdSw

t x

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂= ............................................. (4)

Dari sini, kita dapat menentukan kecepatan bidang saturasi (konstan),Swt

x⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂, yaitu untuk

dSw = 0

Sehingga (4) menjadi :

dx x

Swdt

t

Sw

t x

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=0

atau :

( )

t

x

Sw xSw

t Sw

t

x

)/(

/

∂∂

∂∂−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂

Dari persamaan (3) :

t

t

Sw xSw

x fw

Ac

t q

dt

x

)/(

)/('615.5

∂∂

∂∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

φ

atau :

t Sw Sw

fw

Ac

t q

dt

x⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

φ

'615.5 ………………………………. (5)

Persamaan ini menggambarkan kecepatan front saturasi.

Jika total aliran konstan, makaSw

fw

∂

∂ konstan pada suatu harga Sw, sehingga dengan integrasi

persamaan (5)

∫∫ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=

t

Sw

x

dt Sw

fw

Ac

t qdx

00

'615.5

φ

atau :




SwSw

fw

Ac

t q x ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=

φ

'615.5

Welge method:

4 ii pendesakan linier

Documents