4 consolidazione monodimensionale 18 19 ......teoria della consolidazione monodimensionale...
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R.BERARDI-FG 1
CONSOLIDAZIONE
MONODIMENSIONALE
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R.BERARDI-FG 2
ANALISI A LUNGO E BREVE TERMINE
ASPETTI GENERALI1) Analisi in termini di tensioni efficaci:
� se non si è avuto sviluppo di sovrappressioni ∆u;� se le ∆u sono note;� se, dopo un sufficiente periodo di tempo, le ∆u si sono completamente dissipate
(analisi a lungo termine).
2) Analisi in tensioni totali sono invece tipiche di condizioni a breve termine, riferite
cioè a periodi temporali immediatamente successivi allo sviluppo delle ∆u, nei quali esse non hanno avuto modo di dissiparsi
3) Dissipazione sovrappressioni � in relazione a:
�permeabilità del mezzo;
�condizioni al contorno.
4) Dissipazione sovrappressioni è quindi legata a moti di filtrazione che avvengono
in regime transitorio (CONSOLIDAZIONE)
1) + 2) + 3) + 4) Variabile TEMPO
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R.BERARDI-FG 3
Carico in CONDIZIONI NON
DRENATE e CONSOLIDAZIONE
Caso monodimensionale 1-D
zu σ∆ ≅ ∆
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R.BERARDI-FG 4
i fenomeni di CONSOLIDAZIONE:
�comportano processi di drenaggio, riduzione di volume e incremento di
tensione efficace ( � incremento resistenza e rigidezza);
�sono associabili generalmente ai soli terreni a grana fine, in quanto
suscettibili sotto carico di iniziali condizioni non drenate;
�non si associano quindi ai terreni a grana grossa, per i quali è corretto
parlare di compressione (l’incremento di tensione efficace e la riduzione di
volume sono analoghi, ma se le condizioni rimangono drenate, le pressioni
interstiziali non variano)
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R.BERARDI-FG 5
Necessitiamo di una teoria che spieghi i fenomeni e
fornisca soluzioni
• “accoppiamento” problema idraulico (flussi) a
problema meccanico (variazioni σ′ e volume, cioè deformazioni);
• Necessità di tenere conto della natura porosa e
multifase;
• Necessità di considerare continuità flussi acqua,
equazioni legame, equilibrio e congruenza,
interazione due mezzi
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R.BERARDI-FG 6
Teoria della consolidazione monodimensionale
(Terzaghi, 1923)
1. terreno omogeneo e saturo;
2. incompressibilità del fluido interstiziale e dello scheletro solido;
3. analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo e un volume finito di terreno;
4. applicabilità della legge di Darcy;
5. applicabilità del principio degli sforzi efficaci;
6. flusso dell’acqua e deformazioni monodimensionali;
7. legame lineare tra tensioni e deformazioni nell’intervallo tensionale considerato;
8. possibilità di considerare il coefficiente di conducibilità idraulica k come una costante
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R.BERARDI-FG 7
Condizioni di drenaggio al contorno
u u∆ =
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R.BERARDI-FG 8
Parametri di deformabilità
v z
ded d
eε ε −= =
+1'
'
'
zv
z
z
z
v
z
dm
d
dM
d
dea
d
εσ
σε
σ
=
=
−=
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R.BERARDI-FG 9
tempo to = 0
Per t>to
σz = costante
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R.BERARDI-FG 10
'2 z2
v w
k u
m tz
σγ
∂∂ = −⋅ ∂∂
q A k i= ⋅ ⋅ 1w
dui
dzγ= −
w
dq k d duA
dz dz dzγ = −
2
2w
q k uA
z zγ∂ ∂= −∂ ∂
�
'v zdl m d dzσ= − ⋅ ⋅
⇒
dx dy dl A dl dq dt⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅
'zv
ddqA m
dz dt
σ= ⋅ 'σ∂∂ = ⋅∂ ∂
zv
qA m
z t�
( )'z z ou uσ σ= − +
'z z u
t t t
σ σ∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂
⇒
⇒
2
v 2
u uc
tz
∂ ∂=∂∂
vv w
kc
m γ=
⋅
-
R.BERARDI-FG 11
Condizioni al contorno
w
k uv
zγ∂= −∂
0 z o
0
0
t t 0 0 z H u u
0 t t t z 0 u 0
0 t t t z H u z 0
t t 0 z H u 0
σ
∞
∞
∞
= = ≤ ≤ = ∆ == < ≤ = == < ≤ = ∂ ∂ == ≤ ≤ =
;
0
0
0 t t t z 0 z 2H u 0
0 t t t z H u z 0
t t 0 z 2H u 0
∞
∞
∞
= < ≤ = = == < ≤ = ∂ ∂ == ≤ ≤ =
0 z ot t 0 0 z 2H u uσ= = ≤ ≤ = ∆ =
D=H
D=2H
-
R.BERARDI-FG 12
Soluzione analitica
( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0
2uu z t MZ M T
M
∞
== −∑
( )M 2m 12
zZ
H
π= +
=
vv 2
c tT
H=
-
R.BERARDI-FG 13
Curve ISOCRONE: curve
a uguale tempo.
Rappresentano il valore
delle sovrappressioni
Δu= Δu(z,t).
La loro espressione
analitica è la soluzione
delle equazione di
consolidazione a tempo
fissato, al variare si z.
u u∆ =
( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0
2uu z t MZ M T
M
∞
== −∑
( ) ; zM 2m 1 Z2 H
π= + =
vv 2
c tT
H=
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R.BERARDI-FG 14
u u∆ =
Curve ISOCRONE
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R.BERARDI-FG 15
Soluzione analitica
( ) ( ) ( ), sin exp 2o vm 0
2uu z t MZ M T
M
∞
== −∑
( )M 2m 12
zZ
H
π= +
=
vv 2
c tT
H=
( ) ( )sin exp 2z vm 0
2U 1 MZ M T
M
∞
== − −∑
( ) ( ), ,oz
o o
u u z t u z tU 1
u u
−= = −
-
R.BERARDI-FG 16
;
;
0 v z
v 100100 v z2
t t 0 T 0 U 0
c tt t t T U 1
H∞
= = ⇒ = =
= = ⇒ = =
-
R.BERARDI-FG 17
Curve ISOCRONE
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R.BERARDI-FG 18
Curve ISOCRONE
Serbatoi Centrale Porto Tolle (Berardi e Lancellotta, 2002)
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R.BERARDI-FG 19
Dissipazione Δu
Rilevato “Croce” – Porto Tolle
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R.BERARDI-FG 20
CEDIMENTO di consolidazione
T i c v
c
s s s s
s s∞
= + +=
-
R.BERARDI-FG 21
Cedimento di consolidazione
1) Cedimento al tempo t = t∞2) Cedimento al tempo to
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R.BERARDI-FG 22
Decorso del cedimento nel tempo
2) La stima del decorso del cedimento nel tempo, è condotta introducendo il grado di consolidazione medio, che indica il livello
medio di consolidazione raggiunto all’interno dello strato in esame ad
un determinato tempo t
sovrappressione iniziale media nello strato D :
sovrappressione media in D al tempo t :
( )00
1,
D
ou z t dzD ∫
( )0
1,
Du z t dz
D ∫
grado di consolidazione medio Um è il valore medio di Uz nello strato
( )
( )0
00
,1
,
D
m D
o
u z t dzU
u z t dz
= −∫
∫
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R.BERARDI-FG 23
Decorso del cedimento nel tempo
grado di consolidazione medio Um (valore medio di Uz nello strato) è
anche il rapporto tra st e s∞
( )
( )0
00
,1
,
D
m D
o
u z t dzU
u z t dz
= − ∫
∫
'
ε εσ
= ⇒ = −z zv vz
d dm m
d du
al tempo t :
tra to e t∞
( )( )
( ), ,1
, o
z t u z t
z t u
εε ∞
= −
( )
( )0
0
,
,
ε
ε ∞∞= =
∫
∫
D
tmD
z t dz sU
sz t dz
�
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R.BERARDI-FG 24
Decorso del cedimento nel tempo
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Tv
Um
(%
)
( )exp 2m v2m 0
2U 1 M T
M
∞
== − −∑
( )2 0.6π
≅ ⋅
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R.BERARDI-FG 25
TEMPI consolidazione
D=10m - cv=2 e-7 m2/s
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0
tempo (anni)
gra
do
co
nso
lida
zio
ne
Um
(%
)
t (H=D=10m)
t (H=D/2=5m)
D=10 m - cv=2 e-7 m2/s
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.001 0.01 0.1 1 10 100tempo (anni)
gra
do
co
nso
lid
azi
on
e U
m (
%)
t (H=D=10m)
t (H=D/2=5m)
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R.BERARDI-FG 26
Altre isocrone: esempio
di isocrona iniziale
triangolare
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R.BERARDI-FG 27
Decorso del cedimento nel tempo e
cedimento di consolidazione da curve isocrone
( )( ; )1 2 vs t t m Area OXY = ⋅
'ε σ= = − ⋅z v zdl
d m ddz
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R.BERARDI-FG 28
consolidazione monodimensionale:
possibili correzioni
σ∆ = = ∆o zu u
Il calcolo del cedimento è basato sulle ipotesi della teoria di consolidazione
monodimensionale e in particolare:
1. carico infinitamente esteso (cioè ∆σz costante in z);2. deformazioni monodimensionali;
3. incremento iniziale delle pressioni neutre
4. comportamento lineare (mv = cost.)
� Tempi di consolidazione
� Tensioni indotte da aree di carico
� Correzione di Skempton e Bjerrum
� Non linearità � metodo “edometrico” (vedi prova “edometrica”)
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R.BERARDI-FG 29
TEMPI consolidazione
-
R.BERARDI-FG 30
TEMPI consolidazione
-
R.BERARDI-FG 31
Correzione di Skempton e Bjerrum
cs sµ ∞= ⋅
-
R.BERARDI-FG 32
Cedimenti differiti nel tempo (viscosi)
= + +T i c v
s s s s∆σ
sc
t100
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R.BERARDI-FG 33
Cedimenti differiti nel tempo (viscosi)
•Problema generalmente riferito a
terreni argillosi, ma ….
•In generale si considera un incremento
lineare con log(t) a σ’ =cost.
100 100
log
log
log log1
αε
α
ααε
ε=
= −
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +
z
v
dc
d t
dec
d t
ct ts c D D
t e t