1

4. ศั�กย์�ไฟฟ�าความต่�างศั�กย์�และศั�กย์�ไฟฟ�า เมื่��อประจุทดสอบ q

0 วางอยู่��ในสนามื่ไฟฟ�า ท��เกิ�ดจุากิว�ตถุมื่�

ประจุอ��น แรงทางไฟฟ�าท��กิระท"าต�อประจุทดสอบคื�อ (ถุ$าสนามื่เกิ�ดจุากิว�ตถุมื่�ประจุมื่ากิกิว�าหน&�งชิ้�(นแรงท��กิระท"าต�อประจุทดสอบคื�อผลรวมื่แบบเวกิเตอร+ของแรงแต�ละแรงท��กิระท"าต�อประจุทดสอบโดยู่ว�ตถุมื่�ประจุแต�ละอ�น ) แรง เป.นแรง

อนร�กิษ์+เพราะว�าแรงแต�ละแรงท��อธิ�บายู่โดยู่กิฎของคื�ลอมื่บ+ (Co ulomb’s law) จุะอนร�กิษ์+ ถุ$าประจุเคืล��อนท��ในสนามื่เน��องจุากิ

แรงภายู่นอกิ งานท��กิระท"าโดยู่สนามื่ต�อประจุจุะเท�ากิ�บงานท��ท"าโดยู่แรงภายู่นอกิ ถุ$าระยู่ะขจุ�ดเล4กิๆ คื�อ งานท��กิระท"าโดยู่

สนามื่ไฟฟ�าต�อประจุคื�อ ปร�มื่าณของงานเหล�าน�(กิระท"าโดยู่สนามื่พล�งงานศั�กิยู่+ของระบบประจุ- สนามื่ (the cha

- rge field system) มื่�คื�าเพ��มื่ข&(นโดยู่ปร�มื่าณของ ส"าหร�บระยู่ะขจุ�ดจุากิ A ไปยู่�ง B กิารเปล��ยู่นแปลงของ

พล�งงานศั�กิยู่+ของระบบ คื�อ

sdEqUUΔU B

A0AB

กิารอ�นท�เกิรทตามื่เส$นทางท�� q0

เคืล��อนท��จุากิ A ไป B เร�ยู่กิว�า path integral หร�อ line integral เพราะว�า

แรง q0

E เป.นแรงอนร�กิษ์+ ด�งน�(นกิารอ�นท�เกิรทเชิ้�งเส$นจุะไมื่�ข&(นกิ�บเส$นทางท��ประจุ q

0 เคืล��อนท��จุากิ A ไป B

E

0q E

0q E

0dU q E ds

0F ds q E ds ds

2

พล�งงานศั�กิยู่+ต�อหน&�งหน�วยู่ประจุ U/q0 ไมื่�ข&(นอยู่��กิ�บ คื�าของ q0 และมื่�คื�าเพ�ยู่งคื�าเด�ยู่วในทกิๆ จุดในสนามื่

ไฟฟ�า ปร�มื่าณ U/q0 เร�ยู่กิว�า ศั�กิยู่+ไฟฟ�า V

q

UV

0

พล�งงานศั�กิยู่+ U และศั�กิยู่+ไฟฟ�า V เป.นปร�มื่าณสเกิลาร+ความต่�างศั�กย์� V ระหว�างจุด A และ B ใดๆ ในสนามื่ไฟฟ�าน�ยู่ามื่ว�าเป.นกิารเปล��ยู่นแปลงของพล�งงานศั�กิยู่+ของ

ระบบหารด$วยู่ประจุทดสอบ q0

น��นคื�อB

B A0 A

ΔU ΔV V V E ds

q

ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเป.นปร�มื่าณสเกิลาร+ของสนามื่ไฟฟ�าไมื่�ข&(นอยู่��กิ�บประจุต�างๆ ท��อาจุจุะวางต�วอยู่��ในสนามื่ เมื่��อพ�ดถุ&งพล�งงานศั�กิยู่+เราจุะกิล�าวถุ&ง ระบบประจุ-สนามื่ (the

charge – field system ) เนื่��องจากเราสนื่ใจที่��จะที่ราบศั�กย์�ไฟฟ�าที่��ต่ าแหนื่�งประจ#และพล�งงานื่ศั�กย์�

เนื่��องจากอ�นื่ต่รก%ร%ย์าระหว�างประจ#และสนื่าม

ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุดใดๆ ในสนามื่ไฟฟ�าคื�อ

3

เพราะว�ากิารเปล��ยู่นแปลงพล�งงานศั�กิยู่+ของประจุจุะตรงข$ามื่กิ�บงานท��กิระท"าโดยู่สนามื่ไฟฟ�าต�อประจุ คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ ระหว�างจุด A และ B เท�ากิ�บงานต�อหน&�งหน�วยู่ประจุจุากิภายู่นอกิท��ใชิ้$ในกิาร

เคืล��อนยู่$ายู่ประจุทดสอบจุากิ A ไป B โดยู่ไมื่�มื่�กิารเปล��ยู่นพล�งงานจุลน+ของประจุทดสอบ (คืวามื่เร4วคืงท�� ) ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุดใดๆ คื�อ งานท��ต$องกิระท"าต�อประจุบวกิขนาดหน&�งหน�วยู่ในกิาร

เคืล��อนประจุทดสอบน�(จุากิระยู่ะอน�นต+มื่ายู่�งจุดท��เราพ�จุารณา ด�งน�(น ให$จุด A อยู่��ท��อน�นต+ ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด P ใดๆ คื�อ

P

P sdEVเมื่��อ VP คื�อคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ ระหว�างจุด P และจุดท��ต"าแหน�งอน�นต+

เน��องจุากิศั�กิยู่+ไฟฟ�าว�ดจุากิพล�งงานศั�กิยู่+ต�อหน&�งหน�วยู่ประจุ หน�วยู่ของศั�กิยู่+ไฟฟ�าและพล�งงานศั�กิยู่+คื�อ J/C ซึ่&�งคื�อ V น��นเอง : 1 V = 1 J/C น��นคื�อ งานหน&�งจุ�ลจุะใชิ้$ในกิารเคืล��อนท��ประจุ 1 C ผ�านคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ V 1

นอกิจุากิน�( คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ ยู่�งสามื่ารถุแสดงในหน�วยู่ของสนามื่ไฟฟ�าคื�ณกิ�บระยู่ะทาง ด�งน�(น หน�วยู่ของสนามื่ไฟฟ�า คื�อ N/C จุ&งสามื่ารถุแสดงในร�ปของ

V/m ได$ด$วยู่ : 1 N/C = 1 V/m

หน�วยู่ของพล�งงานท��มื่�กิใชิ้$ในว�ชิ้าฟ;ส�กิส+อะตอมื่และฟ;ส�กิส+น�วเคืล�ยู่ร+คื�อ electron v olt (eV ) ซึ่&�งน�ยู่ามื่ว�าเป.นพล�งงานท��อ�เลกิตรอนหร�อโปรตอนส�ญเส�ยู่เมื่��อเคืล��อนท��ผ�านคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ 1 Vเพราะว�า V V VVV 1 และอ�เลกิตรอนมื่�ประจุ 1.6x10-19 C ด�งน�(น 1 eV = 1.6x10-19 C .V = 1.6x10-19 J

ΔV

ΔV

4

คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ในสนามื่ไฟฟ�าสมื่"�าเสมื่อพ�จุารณาสนามื่ไฟฟ�าสมื่"�าเสมื่อมื่�ท�ศัในแนวแกิน y ด�งร�ป (a) คื"านวณ คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างจุด A และ B ซึ่&�งอยู่��ห�างกิ�นเป.นระยู่ะทาง d จุะหาได$ด�งน�(

ร�ป (a) เมื่��อสนามื่ E มื่�ท�ศัพ �งลง จุด B อยู่��ในศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��ต"�ากิว�าจุด A ประจุทดสอบท��

เป.นบวกิซึ่&�งเคืล��อนท��จุากิ A ไปยู่�ง B จุะส�ญเส�ยู่พล�งงาน

ศั�กิยู่+ไฟฟ�า (b) มื่วล m เคืล��อนท��ตามื่

สนามื่แรงด&งด�ด g ท"าให$มื่�นส�ญเส�ยู่พล�งงานศั�กิยู่+

B

A

B

A

0B

AAB EdsdsEcos0sdEVVΔV

EddsEΔVB

A

เน��องจุากิ E มื่�คื�าคืงท�� ด&งออกิจุากิเคืร��องหมื่ายู่อ�นท�เกิรทได$

เคืร��องหมื่ายู่ลบแสดงให$เห4นว�าจุด Bมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าต"�ากิว�าจุด A น��นคื�อ VB

V< A เส$นสนามื่ไฟฟ�าจุะชิ้�(ในท�ศัของกิารเพ��มื่ข&(นของศั�กิยู่+ไฟฟ�าเสมื่อด�ง

ร�ป (a)สมื่มื่ต�ว�าประจุทดสอบ q0

เคืล��อนท��จุากิ A ไป B เราสามื่ารถุ

คื"านวณ กิารเปล��ยู่นแปลงพล�งงานศั�กิยู่+ ได$จุากิสมื่กิาร EdqVqU 00

A A

B Bq

d d

(a) (b)

E g

m

5

• ถ้'า q0

เป(นื่บวกและ U เป(นื่ลบ ประจ#บวกจะส)ญเส�ย์พล�งงานื่ศั�กย์�ไฟฟ�าเม��อม�นื่เคล��อนื่ที่��ที่%ศัเดี�ย์วก�บสนื่ามไฟฟ�า E หมาย์ความว�าสนื่ามไฟฟ�าที่ างานื่ต่�อประจ#บวกเม��อม�นื่เคล��อนื่ที่��ในื่ที่%ศัของสนื่ามไฟฟ�า ถ้'าประจ#ที่ดีสอบบวกถ้)กปล�อย์จากสถ้านื่ะหย์#ดีนื่%�งในื่สนื่ามไฟฟ�า ม�นื่จะไดี'ร�บแรงไฟฟ�า q

0 E ในื่ที่%ศัของ E ดี�งนื่�-นื่ ม�นื่จะถ้)ก

เร�งในื่ที่%ศัลง และม�พล�งงานื่จลนื่�เพ%�มซึ่/�งม�ค�าเที่�าก�บค�าพล�งงานื่ศั�กย์�ที่��ลดีลง

• ถ้'า q0

เป(นื่ลบและ U เป(นื่ บวก ประจ#ลบจะไดี'ร�บพล�งงานื่ศั�กย์�ไฟฟ�าเพ%�มข/-นื่เม��อม�นื่เคล��อนื่ที่��ที่%ศัเดี�ย์วก�บสนื่ามไฟฟ�า ถ้'าประจ#บวกถ้)กปล�อย์จากหย์#ดีนื่%�งในื่สนื่าม E ม�นื่จะถ้)กเร�งในื่

ที่%ศัที่างที่��ต่รงข'ามก�บสนื่าม

จากผลที่��ไดี'เราพบว�า

B B

A A

V E.ds E ds E s

พ%จารณาในื่กรณ�ที่��วไปส าหร�บอนื่#ภาคม�ประจ#ซึ่/�งเคล��อนื่ที่��อย์�างอ%สระ ระหว�างจ#ดีสองจ#ดีในื่สนื่ามไฟฟ�าสม �าเสมอที่��ม�ที่%ศัในื่แนื่วแกนื่ x ดี�ง

ร)ป ถ้'า ค�อเวกเต่อร�ขจ�ดีระหว�างจ#ดี A และ B จะไดี'ว�า

ร)ปสนื่ามไฟฟ�าสม �าเสมอม�ที่%ศัต่ามแกนื่บวก x จ#ดี B ม�ศั�กย์�ไฟฟ�าต่ �ากว�า A จ#ดี B และ C ม�ศั�กย์�ไฟฟ�าเที่�าก�นื่

เน��องจุากิ E มื่�คื�าคืงท�� ด�งน�(นพล�งงานศั�กิยู่+ของประจุคื�อ0 0U q V q E s

สรปได$ว�า ทกิจุดในระนาบท��ต�(งฉากิกิ�บสนามื่ไฟฟ�าสมื่"�าเสมื่อจุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเท�า

กิ�นจุากิร�ป VB V– A = VC – VA ด�งน�(น

VB V= C คื"าว�า E quipotential surface คื�อพ�(นผ�วใดๆ ท��มื่�กิารกิระจุายู่ของจุดซึ่&�งมื่�

ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเด�ยู่วกิ�น

E

s

s

E

)

6

ต�วอยู่�าง The electric field between two parallel plates of opposite chargeแบตเตอร��ขนาด 12 V สร$างคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างแผ�นต�วน"าท��ต�ดอยู่��กิ�บมื่�นด�งร�ป โดยู่มื่�ระยู่ะระหว�างแผ�นขนานเป.น

d = 0.30 cm และสมื่มื่ต�ว�าสนามื่ไฟฟ�าระหว�างแผ�นขนานมื่�คื�าสมื่"�าเสมื่อ จุงหาขนาดของสนามื่ไฟฟ�าระหว�างแผ�นคื��ขนาน

ร�ป แบตเตอร+ร��ขนาด 12 V ต�ออยู่��กิ�บแผ�นคื��

ขนาน สนามื่ไฟฟ�าระหว�างแผ�นมื่�ขนาด

เท�ากิ�บคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ หารด$วยู่ระยู่ะห�าง

ระหว�างแผ�นขนาน d

ว�ธิ�ท"าสนามื่ไฟฟ�ามื่�ท�ศัจุากิแผ�นประจุบวกิ (A) ไปยู่�งแผ�นประจุลบ (B)

โดยู่แผ�นท��เป.นบวกิจุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าส�งกิว�าแผ�นท��เป.นลบ คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างแผ�นจุะเท�ากิ�บคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ของแบตเตอร+ร� น��นคื�อทกิๆ จุด บนแผ�นต�วน"าจุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเท�ากิ�น ด�งน�(น ขนาดของสนามื่ไฟฟ�าระหว�างแผ�นมื่�คื�า

ด�งสมื่กิารm/V 100.4

1030.0

12

d

VV E 3

2AB

ร�ปน�(เร�ยู่กิว�า - a parallel plate capacitor

7

ต่�วอย์�าง Motion of a proton in a uniform electric field โปรตอนถุ�กิปล�อยู่จุากิสถุานะหยู่ดน��งในสนามื่ไฟฟ�าขนาด 8x104 V/m ซึ่&�งมื่�ท�ศัในแกินบวกิ x ด�งร�ปโปรตอนเคืล��อนท��ได$ระยู่ะขจุ�ด

0 .5 0 m ในท�ศัของสนามื่ E (กิ ) จุงหากิารเปล��ยู่นแปลงของศั�กิยู่+ไฟฟ�า V ระหว�างจุด A และ

B(ข ) จุงหากิารเปล��ยู่นแปลงของพล�งงานศั�กิยู่+ U ของโปรตอน

เน��องจุากิกิารกิระจุ�ด V 05 น�(

ร)ปโปรต่อนื่ถ้)กเร�งจาก AไปB ในื่ที่%ศัของสนื่ามไฟฟ�า

เพราะว�าโปรตอนเคืล��อนท��ในท�ศัของ สนามื่ไฟฟ�า ด�งน�(นมื่�นจุะเคืล��อนท��ไปยู่�ง

จุดท��มื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าต"�ากิว�า จุะได$ว�า

ว%ธี� ที่ า

V4x10- )(0.5)10(8EdΔV 44

J106.4)104.0)(10(1.6ΔVqΔU 154190

เคืร��องหมื่ายู่ลบแสดงว�าพล�งงานศั�กิยู่+ของโปรตอนลดลงเมื่��อมื่�นเคืล��อนท��ตามื่สนามื่

ไฟฟ�า น��นคื�อโปรตอนถุ�กิเร�งในสนามื่ไฟฟ�ามื่�นได$ร�บพล�งงานจุลน+เพ��มื่ข&(นและในขณะ

เด�ยู่วกิ�นมื่�นกิ4จุะส�ญเส�ยู่พล�งงานศั�กิยู่+(เน��องจุากิพล�งงานมื่�กิารอนร�กิษ์+)แบบฝึ6กห�ดี ใชิ้$แนวคื�ดในกิารอนร�กิษ์+พล�งงานหาคืวามื่

เร4วของโปรตอนท��จุด Bต่อบ 2.8 x 106 m/s

8

ศั�กย์�ไฟฟ�าและพล�งงานื่ศั�กย์�เนื่��องจากจ#ดีประจ#

ร�ป คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างจุด A

และB เน��องจุากิจุดประจุ q ข&(นอยู่��กิ�บ

radial coordinates

เร��มื่ต$นและสดท$ายู่ rA และ rB

พ�จุารณาจุดประจุบวกิ q ซึ่&�งท"าให$เกิ�ดสนามื่ไฟฟ�ามื่�ท�ศัพ �งออกิจุากิประจุบวกิ

ตามื่แนวร�ศัมื่� ในกิารหาศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด ซึ่&�งห�างจุากิประจุเป.นระยู่ะทาง r จุะเร��มื่

ต$นจุากิสมื่กิารคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ด�งน�( B

A

AB sdEVV8

เมื่��อ A และ B คื�อ ท��จุดใดๆ ในสนามื่ ไฟฟ�าด�งร�ป

E2

k qˆE = r

r

r̂ เมื่��อ คื�อเวกิเตอร+หน�วยู่มื่�ท�ศัชิ้�(จุากิ ประจุไปยู่�งจุดในสนามื่ไฟฟ�า จุะได$

คื�อ สนามื่ไฟฟ�าเน��องจุากิจุดประจุคื�อ

E2

k qˆE ds = (r ds)

r

dr cosθ dssdr̂

โดยู่ เป.นมื่มื่ระหว�าง และr̂ ds

9

น��นคื�อระยู่ะขจุ�ด ds ใดๆ จุากิ A ไป B ท"าให$เกิ�ดกิารเปล��ยู่นขนาดของ r ไป dr โดยู่ระยู่ะร�ศัมื่�ถุ&งประจุท"าให$

เกิ�ดสนามื่ ด�งน�(น E2

k qE ds = dr

r

ด�งน�(นจุะได$ คืวามื่ต�างศั�กิยู่+BB

AA

rr

EB A r E E2

r B Ar

dr k q 1 1 V -V = - E dr = -k q = k q -

r r r r

สมื่กิารน�(แสดงให$เห4นว�า คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างสองจุด A และ B ใดๆ ในสนามื่ไฟฟ�าท��เกิ�ดจุากิจุดประจุจุะข&(นอยู่��กิ�บร�ศัมื่� rA และ rB ถุ$าให$ สนามื่ไฟฟ�าท��เกิ�ดจุากิจุด

ประจุท��จุดใดๆ ท��อยู่��ห�างจุากิมื่�นเป.นระยู่ะทางr คื�อ E

q V = k

r

กิารอ�นท�เกิรท ไมื่�ข&(นอยู่��กิ�บเส$นทางระหว�าง A และ B

A r =

E ds

10

แสดงกิราฟของศั�กิยู่+ไฟฟ�ามื่�คื�าเป.นฟ>งกิ+ชิ้�นกิ�บ r ด�งร�ป โดยู่ r คื�อระยู่ะร�ศัมื่�จุากิประจุบวกิในระนาบ xy พ�จุารณาเหตกิารท��เกิ�ดจุร�งเชิ้�นกิารกิล�(งล�กิห�นไปยู่�งส�วนท��ส�งสดของภ�เขาด�งร�ป (a) ให$มื่องแรงโน$มื่ถุ�วงท��เกิ�ดกิ�บล�กิห�นเป.นแรงผล�กิเน��องจุากิว�ตถุท��มื่�ประจุบวกิเคืล��อนท��เข$าหากิ�นและให$มื่องว�ากิราฟของศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��ล$อมื่รอบประจุลบเป.นหล�มื่ จุะได$ว�าศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��เป.นผลมื่าจุากิจุดประจุสองจุดหร�อมื่ากิกิว�า หาได$โดยู่ใชิ้$หล�กิกิารรวมื่ น��นคื�อ ศั�กิยู่+

ไฟฟ�าท��จุด P เน��องจุากิจุดประจุใดๆ คื�อผลรวมื่ของศั�กิยู่+ของแต�ละจุดประจุ ด�งน�(นศั�กิยู่+ไฟฟ�ารวมื่ท�� P คื�อ

ร)ป (a) ศั�กย์�ไฟฟ�าในื่ระนื่าบซึ่/�งล'อมรอบประจ#บวกเดี��ย์วโดีย์

แสดีงกราฟในื่แกนื่ต่�-ง(ฟ7งก�ชั�นื่ศั�กย์�ไฟฟ�าส าหร�บประจ#ลบม�ล�กษณะเป(นื่หล#ม)

เส'นื่ส�แดีงแสดีงการลดีลง 1/r ของศั�กย์�ไฟฟ�าดี�งสมการ (b) ภาพที่��มองลงไปต่ามแกนื่ต่�-ง

ของร)ป(a) แสดีงวงกลมซึ่/�งม�ศั�กย์�ไฟฟ�าคงที่��ที่��ม�ศั)นื่ย์�กลาง

ร�วมก�นื่

r

qkV

i i

iE

เมื่��อ ศั�กิยู่+ท��ระยู่ะอน�นต+เป.นศั�นยู่+และ ri คื�อระยู่ะระหว�าง P และ qi สมื่กิารน�(เป.นผลรวมื่แบบสเกิลาร+ โดยู่ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��อยู่��รอบไดโพลมื่�ล�กิษ์ณะด�ง

ร�ป

ร)ป (a) ศั�กย์�ไฟฟ�าในื่ระนื่าบที่��ม�ไดีโพล (b) top view ของความส�มพ�นื่ธี�ที่��แสดีงเป(นื่กราฟในื่ข'อ (a)

11

พ%จารณาพล�งงานื่ศั�กย์�ของระบบอนื่#ภาค ม�ประจ#สองต่�ว

ถ้'า V1 ค�อศั�กย์�ไฟฟ�าที่�� P เนื่��องจาก q1 งานื่จากภาย์นื่อกที่��ใชั'ในื่การนื่ าประจ# q2

จากระย์ะอนื่�นื่ต่�ไปที่�� P โดีย์ปราศัจาก ความเร�งค�อ q2V1 งานื่นื่�-จะม�ค�าเที่�าก�บ

พล�งงานื่ศั�กย์� U ของระบบสองอนื่#ภาค โดีย์ระย์ะระหว�างอนื่#ภาคค�อ r12 ดี�งนื่�-นื่

พล�งงานื่ศั�กย์�ค�อ

ร)ปจ#ดีประจ# 2 จ#ดีอย์)�ห�างก�นื่เป(นื่ระย์ะที่าง

r12 พล�งงานื่ศั�กย์�ของค)�ประจ#ค�อ kq1q2/r12

12

21E r

qqkU

ร)ประบบจ#ดีประจ# 3 จ#ดี พล�งงานื่ศั�กย์�ของระบบหาไดี'โดีย์ ถ้'าให' q 1 อย์)�ที่��ต่ าแหนื่�งที่��สนื่ใจ

q 2 และ q 3 อย์)�ที่��ระย์ะอนื่�นื่ต่� เที่อมแรกในื่สมการค�องานื่ภาย์นื่อกที่��ใชั'ในื่การเคล��อนื่ประจ# q 2 ใกล' q 1 ค�อ ซึ่/�งค�อเที่อมที่��สองและสามค�องานื่ที่��ใชั'ในื่การนื่ า q 3 จากระย์ะอนื่�นื่ต่�มาที่��

ต่ าแหนื่�งใกล' q 1 และ q 2 ต่ามล าดี�บ

ถ้'าเป(นื่ประจ#ชันื่%ดีเดี�ย์วก�นื่ U ม�ค�าเป(นื่บวก สอดีคล'องก�บความจร%งที่��ว�างานื่ที่��เป(นื่บวกระบบจะถ้)กกระที่ าโดีย์ แรงจากภาย์นื่อกเพ��อที่ าให'ประจ#ที่�-งสองเคล��อนื่ที่��เข'าใกล'ก�นื่ (เนื่��องจากประจ#ที่��เหม�อนื่ก�นื่จะผล�กก�นื่) ถ้'าประจ#

เป(นื่คนื่ละชันื่%ดีก�นื่ U จะม�ค�าเป(นื่ลบ นื่��นื่ค�องานื่ที่��เป(นื่ลบกระที่ าเพ��อต่�อต่'านื่แรงดี/งดี)ดีระหว�างประจ#ต่�างชันื่%ดีก�นื่ถ้'าม�ประจ#มากกว�าสองประจ#ในื่ระบบ จะสามารถ้ค านื่วณหาพล�งงานื่ศั�กย์�รวมโดีย์

การค านื่วณ U ส าหร�บประจ#แต่�ละค)�และรวมแต่�ละเที่อมแบบพ�ชัคณ%ต่ เชั�นื่พล�งงานื่

ศั�กย์�รวมของระบบสามประจ#ค�อ

23

32

13

31

12

21E r

qq

r

qq

r

qq kU

12

ต่�วอย์�าง The electric potential to two point charges

ร)ป (a) ศั�กย์�ไฟฟ�าที่��จ#ดี P เนื่��องจากประจ#ที่�-งสองเป(นื่ผลรวมของศั�กย์�ไฟฟ�าของประจ#

แต่�ละต่�ว (b) ร)ปแสดีงระบบของประจ# 3 ประจ#

ประจ# q1 = 2 C และ q1 = -6 C อย์)�ที่��ต่ าแหนื่�ง (0, 0) m และ (0 , 3 .0 ) m ต่ามล าดี�บ ดี�งแสดีงในื่ร)ป (a)

(ก ) จงหาศั�กย์�ไฟฟ�ารวมที่�� P ซึ่/�งอย์)�ที่��ต่ าแหนื่�ง (4 .0 ,0 .0 ) mเนื่��องจากประจ#เหล�านื่�-

(ข ) จงหาการเปล��ย์นื่แปลงของพล�งงานื่ศั�กย์�ของประจ# 30. C ถ้'าม�นื่เคล��อนื่ที่��จากระย์ะอนื่�นื่ต่�ไปย์�งจ#ดี P

ในื่ร)ป (b)ว%ธี�

ที่ า(กิ) ส"าหร�บระบบสองประจุสามื่ารถุหาผลรวมื่ของศั�กิยู่+

ไฟฟ�าได$โดยู่ใชิ้$สมื่กิาร1 2

P E1 2

6 69

3

q qV k

r r

2x10 6x10 9x10

4 5

6.3 x 10 V

(ข ) เมื่��อประจุอยู่��ท��ระยู่ะอน�นต+ Ui V 0 และเมื่��อประจุอยู่��ท��

P U f = q3

Vp ด�งน�(น

J10x9.18)1029.6)(100.3(0VqU 336p3

UW ด�งน�(นถุ$า งานท��เป.นบวกิจุากิภายู่นอกิจุะใชิ้$ใน กิารเคืล��อนยู่$ายู่ประจุจุากิจุด P กิล�บไปยู่�งจุดท��เป.นอน�นต+

แบบฝึ6กห�ดี จุงหาพล�งงานศั�กิยู่+ของระบบด�งแสดงในร�ป (b) ต่อบ -5.48 x10-2 V

13

การหาค�าสนื่ามไฟฟ�าจากศั�กย์�ไฟฟ�า สนามื่ไฟฟ�า E และศั�กิยู่+ไฟฟ�า V มื่�คืวามื่ส�มื่พ�นธิ+กิ�น ถุ$าทราบศั�กิยู่+ไฟฟ�าในบร�เวณท��แน�นอน จุะคื"านวณ

สนามื่ไฟฟ�าได$ด�งน�(

ถุ$าสนามื่ไฟฟ�ามื่�เพ�ยู่งองคื+ประกิอบในแนวแกิน x คื�อ E x ด�งน�(น

dx

dVE x

sdEdV

คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ dV ระหว�างจุดสองจุดท��ห�างกิ�นเป.นระยู่ะทาง ds จุะมื่�คื�าเท�ากิ�บ

dxEsdE x

จุะได$ dV -= Ex dx

หร�อ

14

ร)ปพ�-นื่ผ%วสมศั�กย์� (เส'นื่ประนื่ -าเง%นื่) และเส'นื่สนื่ามไฟฟ�า (เส'นื่ส�แดีง) ส าหร�บ

(a) สนื่ามไฟฟ�าสม �าเสมอที่��เก%ดีจากแผ�นื่ประจ#ขนื่าดีอนื่�นื่ต่� (b) จ#ดีประจ# และ (c) ไดีโพลไฟฟ�า

ในื่ที่#กกรณ�พ�-นื่ผ%วสมศั�กย์�จะต่�-งฉากก�บเส'นื่สนื่ามไฟฟ�าที่#กๆ จ#ดี

น��นคื�อ ขนาดของสนามื่ไฟฟ�าซึ่&�งมื่�ท�ศัเด�ยู่วกิ�บท�ศัของพ�กิ�ดจุะเท�ากิ�บคื�าลบของกิารเปล��ยู่นแปลงศั�กิยู่+ไฟฟ�าเท�ยู่บกิ�บต"าแหน�ง น��นคื�อ ศั�กิยู่+ไฟฟ�าจุะ

ไมื่�เปล��ยู่นแปลงเมื่��อระยู่ะขจุ�ดต�(งฉากิกิ�บสนามื่ไฟฟ�า ด�งน�(นพ�(นผ�วท��มื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าคืงท��จุะต�(งฉากิกิ�บสนามื่ด�งแสดงในร�ป (a) ซึ่&�งมื่�ประจุบวกิวางต�วอยู่��น��งในเส$นสนามื่ไฟฟ�าเร��มื่เคืล��อนท��ไปตามื่ท�ศัของ E เพราะว�าท�ศัทาง

ของแรงท��กิระท"าต�อประจุโดยู่กิารกิระจุายู่ของประจุท"าให$เกิ�ดสนามื่ไฟฟ�า(เป.นท�ศัทางของ a) เน��องจุากิประจุเร��มื่เคืล��อนท��ด$วยู่คืวามื่เร4วต$น

เป.นศั�นยู่+ โดยู่เคืล��อนท��ในท�ศักิารเปล��ยู่นคืวามื่เร4วซึ่&�งกิ4คื�อคืวามื่เร�ง aน��นเอง ในร�ป (a) และ (b) ประจุท��วางน��งในสนามื่เคืล��อนท��เป.นเส$นตรงเพราะว�าเวกิเตอร+คืวามื่เร�งจุะขนานกิ�บเวกิเตอร+คืวามื่เร4วเสมื่อ โดยู่ขนาดของ V เพ��มื่ข&(นแต�ท�ศัไมื่�เปล��ยู่น ซึ่&�งต�างกิ�บสถุานกิารณ+ในร�ป (c) ซึ่&�งประจุบวกิวางอยู่��ท��ต"าแหน�งท��ใกิล$กิ�บไดโพล ซึ่&�งเร��มื่เคืล��อนท��ในท�ศัท��ขนานกิ�บ E เน��องจุากิท�ศัทางของสนามื่ไฟฟ�ามื่�คื�าแตกิต�างกิ�นท��ต"าแหน�งต�างๆ แต�แรงท��กิระท"าต�อประจุมื่�กิารเปล��ยู่นท�ศัทางท"าให$ประจุมื่�กิารเปล��ยู่นท�ศัทาง

และคืวามื่เร4ว

15

ถุ$ากิารกิระจุายู่ของประจุท"าให$เกิ�ดสนามื่ไฟฟ�าทรงกิลมื่สมื่"�าเสมื่อซึ่&�งมื่�คืวามื่หนาแน�นประจุเชิ้�งปร�มื่าตรข&(นอยู่��กิ�บร�ศัมื่� r ในกิรณ�น�( E.ds = Er dr ด�งน�(น

และสามื่ารถุแสดง dV ในร�ปของ -dV= Er drdr

dVEr

r

qkV E เน��องจุากิ V เป.นฟ>งกิ+ชิ้� �นของ r

เพ�ยู่งอยู่�างเด�ยู่วจุะสามื่ารถุหาสนามื่ไฟฟ�าเน��องจุากิ

จุดประจุเป.น

r

qkE

2E

r

จุะเห4นว�ากิารเปล��ยู่นแปลงศั�กิยู่+จุะเกิ�ดข&(นในแนวร�ศัมื่�เท�าน�(น และไมื่�เกิ�ดข&(นในท�ศัทางท��ต�(งฉากิกิ�บ r (เส$น

สนามื่ไฟฟ�า ) ด�งน�(น V (เหมื่�อนกิ�บ Er ) จุะเป.นฟ>งกิ+ชิ้� �นของ r เพ�ยู่งอยู่�างเด�ยู่ว

ต�วอยู่�างเชิ้�นศั�กิยู่+ไฟฟ�าของจุดประจุคื�อ

ผ�วสมื่ศั�กิยู่+ส"าหร�บไดโพลไฟฟ�าในร�ป (c) เมื่��อประจุทดสอบเคืล��อนท��ได$ระยู่ะขจุ�ด ds ในแนวผ�วสมื่ศั�กิยู่+ dV จุะเท�ากิ�บศั�นยู่+เพราะว�าศั�กิยู่+มื่�คื�าคืงท��ตลอดผ�ว

สมื่ศั�กิยู่+ จุากิสมื่กิาร -dV = E.d s = 0 น��นคื�อ E จุะต�(งฉากิกิ�บระยู่ะขจุ�ดในแนวผ�วสมื่ศั�กิยู่+ แสดงให$เห4นว�า

ผ�วสมื่ศั�กิยู่+จุะต$องต�(งฉากิกิ�บเส$นสนามื่ไฟฟ�าเสมื่อ

16

กิรณ�ท��วไปศั�กิยู่+ไฟฟ�าเป.นฟ>งกิ+ชิ้��นของโคืออด�เนทท�(งสามื่ถุ$ากิ"าหนด V(r) ในเทอมื่ของระบบโคืออด�เนทคืาร+ท�เซึ่�ยู่น องคื+ประกิอบของสนามื่ไฟฟ�า Ex , Ey และ Ez สามื่ารถุเข�ยู่นในร�ปของ V(x, y, z) ในร�ปกิารหาอนพ�นธิ+บางส�วน

x

VE x

y

VE y

z

VE z

ต�วอยู่�างเชิ้�นถุ$า yzyyx3V 22 จุะได$ว�า

xy6

)x(dx

dy3 )yx3(

x

)yzyyx3(x

x

V

22

22

17

ต�วอยู่�าง The electric potential due to a dipoleไดโพลไฟฟ�าประกิอบด$วยู่ประจุสองต�วท��มื่�ขนาดเท�ากิ�นท��มื่�เคืร��องหมื่ายู่ตรงข$ามื่กิ�นอยู่��ห�างกิ�นเป.น

ระยู่ะทาง 2 a ด�งร�ป ไดโพลวางต�วอยู่��ในแนว

แกิน x มื่�จุดศั�นยู่+กิลางอยู่��ท��จุดกิ"าเน�ด

(กิ) จุงคื"านวณศั�กิยู่+ไฟฟ�าท�� P22

EE

i

iE

ax

qak2

ax

q

ax

q k

r

q k V

(ข ) จุงคื"านวณ V และ Ex ณ จุดซึ่&�งอยู่��ห�างจุากิไดโพลมื่ากิๆ

2E

x

qak2V (x >>

a)3E

xx

qa4k

dx

dVE

18

(คื ) จุงคื"านวณหา V และ Ex ถุ$า P อยู่��ท��ต"าแหน�งใดๆ ระหว�างประจุท�(งสองi E

E E 2 2i

q q q 2k qxV = k k - -

r a-x x+a (x -a )

2 2E

x E2 2 2 2 2

dV d 2k qx x aE ( ) 2k q

dx dx x a (x a )

เราสามื่ารถุตรวจุผลท��ได$โดยู่ใชิ้$สภาวะท��จุดศั�นยู่+กิลางของไดโพลท�� x = 0 , V = 0 และ Ex = - 2kEq/a2

19

ศั�กย์�ไฟฟ�าเนื่��องจากการกระจาย์ของประจ#อย์�างต่�อเนื่��อง

ร�ป ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด P เน��องจุากิกิารกิระจุายู่ประจุ

อยู่�างต�อเน��องสามื่ารถุท"ากิารคื"านวณได$โดยู่กิารแบ�งว�ตถุมื่�ประจุเป.นส�วนเล4กิๆ dq และท"ากิารรวมื่ศั�กิยู่+ไฟฟ�าจุากิส�วนเล4กิ ๆ

ทกิส�วน

ส"าหร�บศั�กิยู่+ไฟฟ�าของจุดประจุท��กิระจุายู่อยู่�างต�อเน��อง

พ�จุารณาศั�กิยู่+เน��องจุากิส�วนของประจุเล4กิๆ dq (มื่องส�วน

ของประจุเล4กิๆ น�(ให$เป.นจุดประจุ ) ศั�กิยู่+ไฟฟ�า dV ท��จุด P

เน��องจุากิประจุ dq คื�อr

dqkdV E

เมื่��อ r คื�อระยู่ะทางระหว�างประจุและจุด Pศั�กิยู่+ไฟฟ�ารวมื่ท��จุด P หาได$โดยู่

กิารอ�นท�เกิรต สมื่กิารน�(ซึ่&�งเป.นกิารรวมื่องคื+ประกิอบในทกิแบบของกิารกิระจุายู่ของประจุ

r

dqkdVV E

20

ถุ$าเราทราบสนามื่ไฟฟ�าเราสามื่ารถุใชิ้$กิฎของเกิาส+คื"านวณศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิกิารกิ

ระจุายู่ประจุอยู่�างต�อเน��องได$ ถุ$ากิารกิระจุายู่ของประจุมื่�คืวามื่สมื่มื่าตรส�ง เร��มื่แรกิท"ากิารประมื่าณ E ท��จุดใดๆ แทนลงไปในกิฎของเกิาส+เพ��อหาคื�าคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ V ระหว�างสองจุดใดๆ แล$วท"ากิารเล�อกิศั�กิยู่+

ไฟฟ�าท��จุดๆ หน&�งให$เป.นศั�นยู่+

21

ต�วอยู่�าง Electric potential due to a uniformly charged ring

ร�ปวงแหวนมื่�ประจุอยู่�างสมื่"�าเสมื่อร�ศัมื่� r วางต�วอยู่��ในระนาบซึ่&�งต�(งฉากิกิ�บแกิน x ส�วนเล4กิๆ

dq ทกิส�วนบนวงแหวนมื่�ระยู่ะห�างจุากิจุด P ซึ่&�งอยู่��บนแกิน x เท�ากิ�น

a. จุงหาส�ตรส"าหร�บศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด P ซึ่&�งอยู่��บนแกินกิลางซึ่&�งต�(งฉากิกิ�บห�วงกิลมื่ท��มื่�กิารกิระจุายู่ของประจุอยู่�าง

สมื่"�าเสมื่อ โดยู่ห�วงกิลมื่มื่�ร�ศัมื่� a มื่�ประจุท� (งหมื่ด Q(ข) จุงหาส�ตรส"าหร�บขนาดของสนามื่ไฟฟ�าท��จุด P

ว�ธิ�ท"า

22EE

ax

dqk

r

dqkV

(กิ) ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด P ซึ่&�งอยู่��บนแกินกิลางซึ่&�งต�(งฉากิกิ�บห�วงกิลมื่ท��มื่�

กิารกิระจุายู่ของประจุอยู่�าง สมื่"�าเสมื่อ โดยู่ห�วงกิลมื่มื่�ร�ศัมื่� a มื่�

ประจุท�(งหมื่ด Q

ax

Qkdq

ax

kV

22

E

22

E

แต่�ละประจ# dq อย์)�ห�างจาก P เป(นื่ระย์ะที่างที่��เที่�าก�นื่ ดี�งนื่�-นื่

...(1)

22

(ข) หาส�ตรส"าหร�บขนาดของสนามื่ไฟฟ�าท��จุด Pจุากิหล�กิคืวามื่สมื่มื่าตร พบว�า E ตามื่แนวแกิน x มื่�แต�องคื+ประกิอบในแนวแกิน x

2/122Ex )ax(

dx

dQk

dx

dV E

2/322E

2/322E

)ax(

Qxk

)x2()ax( )2

1 ( Qk

23

ต�วอยู่�าง Electric potential due to a uniformly charged disk จุงหา ศั�กิยู่+ไฟฟ�าและขนาดของสนามื่ไฟฟ�า ตามื่แกินกิลางซึ่&�ง

ต�(งฉากิจุานกิลมื่ท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อ โดยู่จุาน กิลมื่มื่�ร�ศัมื่� a และมื่�คืวามื่หนาแน�นประจุเชิ้�งพ�(นผ�ว

ร�ปจุานกิลมื่ท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�าง

สมื่"�าเสมื่อร�ศัมื่� a วางต�วอยู่��ในระนาบท��

ต�(งฉากิกิ�บแกิน x

ว�ธิ�ท"าเล�อกิจุด P ห�างจุากิจุดศั�นยู่+กิลางของจุานกิลมื่เป.นระยู่ะทาง x และให$ระนาบ

ของจุานกิลมื่ต�(งฉากิกิ�บแกิน x เราสามื่ารถุท"าป>ญหาให$ง�ายู่ข&(นได$ โดยู่แบ�งจุานกิลมื่ให$เป.นชิ้ดห�วงกิลมื่ซึ่&�งมื่�

ประจุกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อ ศั�กิยู่+ไฟฟ�าของแต�ละห�วงกิลมื่แสดงด�งสมื่กิาร(1) พ�จุารณาห�วงกิลมื่ร�ศัมื่� r หนา dr ด�ง

ร�ป พ�(นผ�วหน$าของห�วงกิลมื่คื�อ rdr2dA

ด�งน�(น ศั�กิยู่+ท�� P เน��องจุากิห�วงกิลมื่คื�อ22

E

22

E

xr

rdr2k

xr

dqkdV

24

ท"ากิารหาศั�กิยู่+ไฟฟ�ารวมื่ท��จุด P โดยู่กิารรวมื่ศั�กิยู่+ไฟฟ�าของแต�ละห�วงกิลมื่ น��นคื�อท"ากิารอ�นท�เกิรต dV จุากิ r

= 0 ไปถุ&ง r = a

a

0

2/122E

a

022E rdr2)xr(k

xr

rdr2kV

อ�นท�กิร�ลน�(อยู่��ในร�ป undu ให$ผลเฉลยู่เป.น un+1 /(n+1) เมื่��อ - 12n = / และ u = r2+x2 จุะได$ว�า

xax σkπ2V 1/222

E

หาสนามื่ไฟฟ�าท��จุดใดๆ บนแกินกิลางซึ่&�งต�(งฉากิจุานกิลมื่ท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อได$จุากิ

ax

x1 k2

dx

dV E

22Ex

25

ต�วอยู่�าง Electric potential due to a finite line of chargeแท�งคืวามื่ยู่าว L วางต�วตามื่แนวแกิน x มื่�ประจุรวมื่ Q และคืวามื่หนาแน�นประจุเชิ้�งเส$นมื่�คื�าสมื่"�าเสมื่อเป.น

จุงหาศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุด P ซึ่&�งอยู่��บนแกิน yห�างจุากิจุดกิ"าเน�ดเป.นระยู่ะทาง a

ร�ป เส$นประจุสมื่"�าเสมื่อยู่าว L

วางต�วอยู่��บนแกิน x

ว%ธี�ที่ า22EE

ax

dxk

r

dqkdV

L

022

L

022 ax

dx

L

Qk

ax

dxkV

L

P

a rdq

x x

y

)axx( ln ax

dx 22

22

a

aLLln

L

QkV

22E

จุะได$ว�า

ด�งน�(น

Q / L

26

ต�วอยู่�าง Electric potential due to a uniformly charged sphere ทรงกิลมื่ฉนวนแข4งร�ศัมื่� R มื่�คืวามื่หนาแน�นประจุบวกิ

เชิ้�งปร�มื่าตรสมื่"�าเสมื่อและมื่�ประจุรวมื่เป.น Q จุงหา ศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุดภายู่นอกิทรงกิลมื่ ท��ผ�วทรงกิลมื่ และ

ภายู่ในทรงกิลมื่

ร�ปทรงกิลมื่ฉนวนมื่�ประจุกิระจุายู่สมื่"�าเสมื่อร�ศัมื่� R มื่�ประจุรวมื่ Q

ขนาดของสนามื่ไฟฟ�าภายู่นอกิทรงกิลมื่ท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อร�ศัมื่� R คื�อ

2Err

QkE (r > R)

โดยู่สนามื่มื่�ท�ศัชิ้�(ออกิตามื่แนวร�ศัมื่�เมื่��อ Q เป.นบวกิ ในกิารหาศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุดภายู่นอกิเชิ้�นท��จุด B

ว�ธิ�ท"า

R)(r r

Qk

r

drQkdrEV E

r

2E

r

0rB

B E

QV k

r

27

เพราะว�าศั�กิยู่+มื่�คื�าต�อเน��องท�� r = R เราจุะใชิ้$ส�ตรท��ได$ในกิารหาศั�กิยู่+ท��ผ�วของทรงกิลมื่ เชิ้�น ศั�กิยู่+ท��จุด C R)(r

R

QkV EC

สนามื่ไฟฟ�าภายู่ในทรงกิลมื่ต�นฉนวนท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อคื�อR)(r r

R

QkE

3E

r

)rR(R2

Qkrdr

r

QkdrEVV 22

3E

r

R3

Er

RrCD

เราสามื่ารถุหาคื�าคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ VD – VC ท��จุด D ภายู่ในทรงกิลมื่

แทนคื�า VC = kEQ/R ลงไปจุะได$ R)(r )R

r3(

R2

QkV

2

2E

D

ท�� r = R ส�ตรท��ได$จุะแสดงให$เห4นคื�าของศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��พ�(นผ�วซึ่&�งกิ4คื�อ VC น��นเอง

28

กิราฟระหว�างศั�กิยู่+ไฟฟ�า V และระยู่ะทาง r จุากิจุดศั�นยู่+กิลางของทรงกิลมื่ฉนวนท��มื่�ประจุกิระจุายู่อยู่�าง

สมื่"�าเสมื่อร�ศัมื่� R ศั�กิยู่+ไฟฟ�ามื่�คื�าส�งสด V0 ท��จุดศั�นยู่+กิลางของทรงกิลมื่

แบบฝึ6กห�ดี ขนาดของสนามื่ไฟฟ�าและศั�กิยู่+ไฟฟ�าท�� ศั�นยู่+กิลางของทรงกิลมื่มื่�คื�าเท�าไร ต่อบ E = 0 ,

V = 3kQ/2R

29

ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิต�วน"าท��ได$ร�บกิารประจุ

ร�ปทรงกิลมื่ร�ปร�างใดๆ มื่�ประจุบวกิเมื่��อต�วน"าอยู่��ใน

สมื่ดลประจุไฟฟ�าสถุ�ตท�(งหมื่ดจุะอยู่��บนพ�(นผ�ว , E

= 0 ภายู่ในต�วน"า ,ภายู่นอกิต�วน"า E มื่�ท�ศัพ �งออกิและต�(งฉากิกิ�บพ�(นผ�ว

เราพบแล$วว�าเมื่��อต�วน"าในสถุานของแข4งมื่�สมื่ดลของ

ประจุ ประจุจุะออกิ�นอยู่��ท�� ผ�วภายู่นอกิต�วน"า และ

สนามื่ไฟฟ�าภายู่นอกิต�วน"าจุะต�(งฉากิกิ�บผ�วซึ่&�งสนามื่

ภายู่ในต�วน"าเป.นศั�นยู่+ต�อไปจุะแสดงให$เห4นว�า ทกิๆ จุดบนผ�วของต�วน"าท��

ได$ร�บกิารประจุอยู่�างสมื่ดล จุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเด�ยู่วกิ�น

30

พ�จุารณาจุด A และ B ท��อยู่��บนผ�วของต�วน"าท��ได$ร�บกิารประจุด�งร�ป ตามื่เส$นทางท��เชิ้��อมื่ต�อจุดท�(งสอง E จุะต�(งฉากิกิ�บระยู่ะขจุ�ด ds ด�งน�(น E.ds = 0 และสรปได$ว�าคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�าง A และ B มื่�คื�าเป.น

ศั�นยู่+ B

AAB sdEVV

ด�งน�(น สรปได$ว�า V มื่�คื�าคืงท��ตลอดผ�วของต�วน"าท��ได$ร�บกิารประจุ น��นคื�อพ�(นผ�วของต�วน"าท��ได$ร�บกิาร

ประจุในสมื่ดลไฟฟ�าสถุ�ตเร�ยู่กิว�า ผ�วสมื่ศั�กิยู่+

นอกิจุากิน�(เพราะว�าสนามื่ไฟฟ�าเป.นศั�นยู่+ภายู่ในต�วน"า เราสามื่ารถุสรปได$จุากิสมื่กิาร Er - = dV/dr ซึ่&�ง

ศั�กิยู่+ไฟฟ�าจุะมื่�คื�าคืงท��ทกิๆ ท��ภายู่ในต�วน"าและเท�ากิ�บคื�าท��พ�(นผ�ว

สามื่ารถุใชิ้$ผลท��ได$กิ�บจุด 2 จุดใดๆ บนพ�(นผ�ว

31

พ�จุารณา ประจุบนทรงกิลมื่ต�วน"าร�ศัมื่� r มื่�กิารกิระจุายู่อยู่�างสมื่"�าเสมื่อบนพ�(นผ�ว ทรงกิลมื่โลหะแข4งร�ศัมื่� R มื่�ประจุรวมื่เป.นบวกิ Q ด�งร�ป (a)

สนามื่ไฟฟ�าภายู่นอกิเป.น kEQ/r2 มื่�ท�ศัชิ้�(ออกิตามื่แนว

ร�ศัมื่� เราพบว�าศั�กิยู่+ไฟฟ�าภายู่ในและท��ผ�วของทรงกิลมื่เป.น kE Q/R ศั�กิยู่+ภายู่นอกิ

ทรงกิลมื่คื�อ kE Q/r ร�ป (b)

คื�อกิราฟศั�กิยู่+ไฟฟ�าเท�ยู่บกิ�บร�ศัมื่� r จุากิศั�นยู่+กิลางทรง

กิลมื่ต�วน"า และแสดงให$เห4นว�าศั�กิยู่+ไฟฟ�ามื่�กิารแปรตามื่ r

ร�ป(c) กิราฟขนาดสนามื่ไฟฟ�าเท�ยู่บกิ�บระยู่ะทาง r2 จุากิ

ศั�นยู่+กิลางทรงกิลมื่ต�วน"ามื่�ประจุ

32

ร�ปแสดงเส$นสนามื่ไฟฟ�ารอบต�วน"าทรงกิลมื่ 2 อ�น ต�วน"าอ�น เล4กิมื่�ประจุ Q ต�วน"าอ�นใหญ�ไมื่�มื่�ประจุ ในกิรณ�น�(คืวามื่หนา

แน�นประจุเชิ้�งพ�(นผ�วจุะไมื่�สมื่"�าเสมื่อในต�วน"าแต�ละต�ว ต�วน"าท��ไมื่�มื่�ประจุจุะมื่�กิารเหน��ยู่วน"าประจุลบท��ผ�วซึ่&�งอยู่��ต�ดกิ�บทรงกิลมื่

ท��มื่�ประจุ Q และประจุบวกิจุะถุ�กิเหน��ยู่วน"าบนทรงกิลมื่ท��ไมื่�มื่�ประจุในด$านตรงข$ามื่กิ�บด$านท��มื่�กิารเหน��ยู่วน"าประจุลบเส$น

ส�น"(าเง�นแสดงพ�(นท��หน$าต�ดของผ�วสมื่ศั�กิยู่+ของโคืรงสร$างน�( เส$นสนามื่ไฟฟ�าจุะต�(งฉากิกิ�บผ�วของต�วน"าในทกิๆ จุด

ร�ปเส$นสนามื่ไฟฟ�า(ส�แดง) รอบต�วน"าทรงกิลมื่ 2 อ�น ทรงกิลมื่

เล4กิมื่�ประจุสทธิ� Q ทรงกิลมื่อ�นใหญ�มื่�ประจุสทธิ�เป.นศั�นยู่+ เส$นส�น"(าเง�นคื�อคื�าภาคืต�ดขวางของ

ผ�วสมื่ศั�กิยู่+

33

ต�วอยู่�าง Two connected charged sphere ต�วน"าทรงกิลมื่ 2 อ�นมื่�ร�ศัมื่� r1 และ r2 อยู่��ห�างกิ�นเป.นระยู่ะทางท��มื่ากิกิว�าร�ศัมื่�ของทรงกิลมื่ท�(งสองมื่ากิทรงกิลมื่ท�(งสองเชิ้��อมื่

ต�อกิ�นด$วยู่สายู่ต�วน"า ด�งร�ป ประจุบนทรงกิลมื่สมื่ดลมื่�คื�าเป.นq1 และ q2 จุงหาอ�ตราส�วนของสนามื่ไฟฟ�าท��พ�(นผ�วของทรง

กิลมื่ท�(งสอง

ร�ปต�วน"าทรงกิลมื่ 2 อ�นเชิ้��อมื่ต�อกิ�นโดยู่

เส$นต�วน"าทรงกิลมื่จุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเด�ยู่วกิ�น

ว�ธิ�ท"าเพราะว�าทรงกิลมื่เชิ้��อมื่ต�อกิ�นด$วยู่เส$น ต�วน"า ด�งน�(นมื่�นจุะมื่�ศั�กิยู่+ไฟฟ�า

เด�ยู่วกิ�น2

2E

1

1E r

qk

r

qkV

2

1

2

1

rr

qq

เน��องจุากิทรงกิลมื่อยู่��ห�างกิ�นมื่ากิและพ�(นผ�วมื่�

กิารประจุอยู่�างสมื่"�าเสมื่อ ด�งน�(น ขนาดของสนามื่ไฟฟ�าของผ�วทรงกิลมื่แต�ละอ�นคื�อ

1

1E1 r

qkE

2

2E2 r

qkE

r

r

E

E

1

2

2

1 จุะได$ว�า

34

สร#ป

1. เมื่��อประจุ q0 เคืล��อนท��ระหว�างจุด A กิ�บ B

ในสนามื่ไฟฟ�า E พล�งงานศั�กิยู่+ท��เปล��ยู่นไปคื�อ

B

0

A

U q E ds

2. คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ V ระหว�างจุด A กิ�บ B ในสนามื่ไฟฟ�า E คื�อ

B

0 A

UV E ds

q

3. คืวามื่ต�างศั�กิยู่+ระหว�างจุด A กิ�บ B ในสนามื่ไฟฟ�าเอกิร�ป เมื่��อ d เป.นระยู่ะระหว�าง A กิ�บ B ว�ดตามื่แนวสนามื่: V = -Ed4. ผ�วสมื่ศั�กิยู่+ คื�อ ผ�วท��ทกิจุดบนผ�ว

น�(นมื่�ศั�กิยู่+คื�าเด�ยู่วกิ�น ผ�วสมื่ศั�กิยู่+จุะต�(งฉากิกิ�บสนามื่ไฟฟ�า5. ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิจุดประจุ q ณ ต"าแหน�งท��ห�าง

จุากิจุด q เป.นระยู่ะ r คื�อ V = kEq/r ถุ$าเป.นศั�กิยู่+เน��องจุากิกิล�มื่ของประจุ

จุะหาได$จุากิกิารรวมื่กิ�นทาง พ�ชิ้คืณ�ตของศั�กิยู่+อ�นเน��องจุากิแต�ละจุดประจุ

4. ศั�กย์�ไฟฟ�า

35

6. พล�งงานศั�กิยู่+ของประจุจุดคื��หน&�งท��วางห�างกิ�นเป.นระยู่ะ r12 คื�อ U = kEq1q2/r12 พล�งงานศั�กิยู่+ของประจุท��กิระจุายู่ หาได$จุากิกิาร รวมื่กิ�นทางพ�ชิ้คืณ�ตของคื��ประจุทกิคื��

7. ถุ$าร� $ศั�กิยู่+ไฟฟ�าในเทอมื่ x, y, z เราสามื่ารถุหาองคื+ประกิอบ

ของสนามื่ไฟฟ�าได$ เชิ้�น Ex = - dV/dx8. ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิประจุกิระจุายู่อยู่�างต�อเน��อง ทกิจุดบนผ�วต�วน"าท��มื่�ประจุและมื่�คืวามื่สมื่ดลทางไฟฟ�าสถุ�ต จุะมื่�ศั�กิยู่+เท�ากิ�น และท��จุดภายู่ในเน�(อของต�วน"าจุะมื่�ศั�กิยู่+คืงท��และคื�า เด�ยู่วกิ�บท��ผ�วต�วน"า

E

dqV k

r

36

9. ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิจุดประจุกิระจุายู่เป.นวงแหวนร�ศัมื่� a ท��จุดเป.นแนวแกิน

ห�างจุากิศั�นยู่+กิลางของวงแหวนเป.นระยู่ะ x คื�อE 2 2

QV k

x a

10. ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิประจุกิระจุายู่เป.นแผ�นจุานกิลมื่ร�ศัมื่� a ท��จุดบนแกิน ของจุานห�างจุากิจุานเป.นระยู่ะ x คื�อ11. ศั�กิยู่+ไฟฟ�าเน��องจุากิประจุกิระจุายู่เป.นทรงกิลมื่ต�นท��เป.นฉนวนร�ศัมื่� R มื่�ประจุท� (งหมื่ด Q คื�อ

2 2EV 2 k r( x a x)

E

2E

2

QV k ; r R

r

k Q rV (3- ) ; r R

2R R

37

แบบฝึ6กห�ดี

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

1. จุงหาสนามื่ไฟฟ�าและศั�กิยู่+ไฟฟ�าท��จุดศั�นยู่+กิลางของทรงกิลมื่ฉนวนท��มื่�ร�ศัมื่� R และมื่�ประจุไฟฟ�า Q

ตอบ E = 0 และ V0 = 3kQ/2R2 .ส��เหล��ยู่มื่จุ�ตร�ส มื่�เส$นทแยู่งมื่มื่ยู่าว 0.2 m

วางประจุ 3x10-6 C, -2x10-6 C, 8x10-

6 C และ –5x10-6 C ท��มื่มื่ท�(งส��ของร�ปส��เหล��ยู่มื่น�( จุงหาคืวามื่ต�างศั�กิยู่+ท��จุดศั�นยู่+กิลางส��เหล��ยู่มื่จุ�ตร�สน�(

ตอบ 3.6x105 V

38

เอกสารประกอบการค'นื่คว'า

ภาคืว�ชิ้าฟ;ส�กิส+. เอกิสารประกิอบกิารสอนฟ;ส�กิส+เบ�(องต$น, คืณะว�ทยู่าศัาสตร+ มื่หาว�ทยู่าล�ยู่นเรศัวรภาคืว�ชิ้าฟ;ส�กิส+. ฟ;ส�กิส+2, คืณะว�ทยู่าศัาสตร+ จุฬาลงกิรณ+มื่หาว�ทยู่าล�ยู่D.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,

ISBN: 0-13-666769-4, 1991.D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htm

http://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/

tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?

tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/

physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.php

http://www.physics.sci.rit.ac.thhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/

index2.htm