B OQUE 4-4:TRANSFORMADORES MONOFÁSICOSL1. Constitución y esquema eléctrico de los transformadores Se denomina transformador a una máquina eléctrica que permite aumentar o disminuir la tensión en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo la frecuencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal, esto es, sin pérdidas, es igual a la que se obtiene a la salida. Las máquinas reales presentan un pequeño porcentaje de pérdidas, dependiendo de su diseño, tamaño, etc. Los transformadores son dispositivos basados en el fenómeno de la inducción electromagnética y están constituidos, en su forma más simple, por dos bobinas devanadas sobre un núcleo cdenominan primario y secundario según correspondan a la entrada o salida del sistema en cuestión, respectivamente. 2. Funcionamiento del transformador monofásico 2.1. Principios del funcionamiento del transformador monofásico IDEAL

*Consideramos un transformador ideal en el que no hay ni pérdidas de flujo, ni pérdidas por efecto Joule.

V1 ε1 ε2

Zc

Io

N1 N2

V1 ε1 ε2 V2

Zc

I1 I2

N1 N2 φ

φ

*Consideramos que un núcleo magnético cerrado en el que se arrolla una bobina del primario con N1 espiras. *Sea I0 la intensidad senoidal que circula por la bobina llamada intensidad de vacío y creada como consecuencia de la aplicación de V1 tambien senoidal *Sea φ el flujo que atraviesa a cada uno de los dos devanados. Dicho flujo φ, es creado al inducirse una fem en el devanado primario.

Joule) efectopor pérdidashay no que osconsideram (si11

1111

-V por tantoy V a opuesto signo dey igual es e fem esta que resultay

ε

φε=

−=dtdN Como el flujo tiene

un caracter sinusoidal : V1 Io Φo

V2=ε2

ε1

.f2.y máximo valor el es m o,instantáne valor el es dónde . πωφφωφφ == tsenm Si se sustituye el valor del flujo en las ecuaciones anteriores obtenemos que:

flujo del máximovalor 0

alterna corriente la de frecuenciaf

secundaria bobina la de espiras 2N

primaria bobina la de espiras1N022011 ...44,4 ...44,4

=

=

=

=

==

φ

φεφε NfNf

*Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente relación:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 ideal esador transformel comoy VVr

NNr

NN

tt =====εε

εε

*El transformador es un aparato con muy pocas pérdidas. Debido a esta circunstancia la potencia del primario será prácticamente igual que la del secundario, lo que permite igualar las expresiones siguientes:

2222

1111cos..

cos..ϕ

ϕIVPIVP

== ; igualando ambas expresiones obtenemos que:

11

22

2

1

cos.cos.

ϕϕ

II

VV

= y en condiciones

ideales podemos suponer que los dos factores de potencia 21 coscos ϕϕ ≅ son iguales y entonces:

trII

VV

==1

2

2

1

*En el transformador en vacío, la corriente del primario es I0, y esa corriente pasa a ser en carga I1. Se demuestra que aparece una corriente suplementaria I2´porque al cerrar el secundario se produce una corriente I2 que provoca a su vez una variación del flujo, que hace que el flujo total varíe, y por tanto la intensidad en el primario varíe. Se verifica que:

1

222

201

.´

´

NNII

IIIrr

rrr

−=

+=

2.2. Principios del funcionamiento del transformador monofásico REAL a) El transformador real en vacío

-ε1 ϕo

Io Im Ip

Φo

V2=ε2

ε1

V1 jI0.Xd1 Io.R1

*En el transformador real se dan unas pérdidas que no se dan en el ideal: -Histéresis magnética -Corrientes parásitas de Foucault -Flujo de dispersión -Resistencia por efecto Joule en los devanados primario y secundario (que llamaremos R1 y R2) *Como consecuencia de esto, se producen pérdidas, de manera que la corriente de vacío I0, tiene dos componentes: - Ip: componente activa de Io(componente de pérdidas) - Im: componente reactiva de Io(componente magnetizante) Como consecuencia .IpVhierro elen Pérdidas 1= *Observamos que en el primario:

rrr11001 .1. εr

−+= jXdIRIV

Io

N1 N2

V1 ε1 ε2 V2

Xd2R2 Xd1 R1 φ

b) El transformador real en carga Vectorialmente observamos que:

I1

Io I2´ I2

N1 N2

φ R1 Xd1 R2 Xd2

V1 ε1 ε2 V2

Zc

V1 jI1.Xd1 I1.R1 I1

I2´

-I2.Xd2

-I2.R2

V2

-ε1 ϕ1

Io Im Ip

Φo

ε2

ε1

ϕ2

I2

2.2.2.2.

1.1.

.´

´

2222

2222

1111

1

222

201

jXdIRIVjXdIRIV

jXdIRIVNNII

III

rrrr

rrrr

rrrr

rr

rrr

++=⇒⇒−−=

++−=

−=

+=

εε

ε

En módulos obtenemos que:

222222

111111.2.cos.2.

.1.cos.1.ϕϕε

ϕϕεsenXdIRIV

senXdIRIV−−=

++=

c) Magnitudes reflejadas al primario y circuito equivalente En ocasiones para simplificar el análisis, los dos circuitos se refieren a uno de los dos lados, normalmente al primario. La magnitud reducida se nombra por medio de una tilde En ese caso se hace los siguiente:

I´2I1

R1 Xd1 R´2 X´d2

V1 V´2

Xe

Io

2

2

22

22

22

222

22

22

.22´.22´.´

/´.´

.2..´.´.´

t

t

tcC

t

tXdXd

ttRR

t

t

rXddXrRRrZZ

rIIrVV

rRIrVVrVVr

===

==

==== εε

Xe sirve para representar la bobina primaria y hacer cumplir que I 201 ´II

rrr+=

En muchas ocasiones se puede despreciar Io, en cuyo caso obtenemos un esquema reflejado reducido que queda como el siguiente

I1 =I´2

A Rcc y Xcc les llamamos resistencia y reactancia de cortocircuito

V1 V´2

Xcc=Xd1+X´d2 Rcc=R1+R´2 d) Tensión de cortocircuito en un transformador real A partir de lo anterior definimos la impedancia de cortocircuito

como ccXccRZcc 22 += I1n

Rcc=R1+R´2 Xcc=Xd1+X´d2

Vcc

ϕcc Vcc Rcc.I1n Xcc.I1n I1n

Definimos la tensión de cortocircuito como nIccZccV 1.rrr

= , dónde lo que hacemos es cortocircuitar el secundario y elevamos gradualmente la tensión en el primario hasta que conseguimos que circule la intensidad nominal I1n. Como es evidente:

22

.cos.

XccRccCCccccXcc

ccccRcc VVVsenVVVV +=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

ϕϕ

El valor de la tensión de cortocircuito es siempre pequeño en relación con la tensión nominal del primario

y por eso se expresa en %. 100.(%)1n

cccc V

V=ε

e)Intensidad de cortocircuito en un transformador real Icc

Si a un transformador cortocircuitado se le aplica la tensión nominal V1n, la corriente que circula por ambos arrollamientos será muy elevada, dando lugar al llamado accidente de cortocircuito. A partir de los esquemas anteriores observamos que:

Rcc=R1+R´2 Xcc=Xd1+X´d2

V1

ncc

n

cc

n IVV

ZVIcc 1

11 ==

f)Pérdidas y rendimiento de un transformador En un transformador se tienen las siguientes pérdidas:

1. Pérdidas por efecto Joule en el primario y en el secundario: 22

22

21 ´.2.1. IRRIRIP ccCu ≈+=

2. Pérdidas en el hierro producidas por medio de la histéresis y de las corrientes parásitas de Foucault. Se observa que:

secundario elen potencia:2P

primario elen potencia :1P21 FeCu PPPP ++=

Análogamente:

111

222

222

222

2

2

1

2

cos..cos..

cos..cos..

ϕϕ

ϕϕη

IVIV

PPIVIV

PPPP

PP

CuFeFeCu

=++

=++

==

Se denomina factor de carga a:

cc2

1nccdóndecc

Feque demuestra sey

1

1

2

2

2

2 .RIP PPC

´´

=====nnn I

III

IIC

Además: 2

1cc máximoCu máximo :que demuestra Se 2

1ncccarga plena a .IRP .IR === ηηFeCu PP

1.Un transformador monofásico ideal tiene los arrollamientos primario y secundario con 200 y 25 espiras respectivamente. Su potencia nominal es de 500 KVA. Si al primario se le aplica una tensión de 1000 voltios calcula:

-Tensión en el secundario. Sol:125V -Intensidades nominales de primario y secundario. Sol: 500A y 4000A.

2.Un transformador de 60KVA y con relación de transformación 2200/220V, tiene las siguientes características:R1=0,5Ω, Xd1=0,3Ω, R2=0,01Ω, Xd2=0,05Ω, Io=1A Halla las intensidades y las caidas de tensión, si se conecta al secundario una carga de 50kW y factor de potencia de la carga 0,9. Sol: I2=252,5A; I1 aprox 25,25; V1=2214,7V; V2=212,2V. 3.Un transformador tiene una relación de transformación de 3000/200V y sus características son R1=0,2Ω, Xd1=0,3Ω, R2=0,02Ω, Xd2=0,06Ω, Io=2A. Halla el esquema equivalente referido al primario y la resistencia y la reactancia de cortocircuito. Sol: R´2=4,5Ω; X´d2=13,5Ω; Xe=1500Ω; Rcc=4,7Ω; Xcc=13,8Ω. 4. Un transformador monofásico 20000/220V tiene una potencia de 500KVA. Si se cortocircuita el secundario y se aplica al primario una tensión de 300V, circula por el secundario la intensidad nominal con un desfase de 55º. Halla la tensión de cortocircuito en porcentaje y la impedancia de cortocircuito, así como sus componentes resistiva e inductiva. Sol: Zcc=12Ω; Rcc=6,88Ω; Xcc=9,83Ω; εcc=1,5% 5. La tensión de cortocircuito de un transformador monofásico de 1000KVA y de relación de transformación 5000/500V es del 5%. Hallar las intensidades de cortocircuito en el primario y en el secundario. Sol: Icc1=4000A; Icc2=40000A. 6. En un transformador de 100KVA y 5000/220V las pérdidas en el hierro son de 1200W y en el cobre a plena carga de 3200W. Halla: a) Rendimiento a plena carga (dato: cosϕ2=0,88). Sol:95% b)Índice de carga correspondiente al rendimiento máximo del transformador (dato: cosϕ2=0,88). Sol: 0,612 7. Un transformador monofásico tiene las siguientes características: N1=2000 espiras; N2=500 espiras; V1=220V; f=50Hz. Calcula: a) Relación de transformación. Sol:4 b) Flujo máximo del circuito magnético. Sol:4,955.10-4Wb c) F.e.m del secundario. Sol: ε2=55V 8.El primario de un transformador tiene 600 espiras, y el secundario 250. Cuando en el primario se aplican 220V, circula una corriente de 4A en el secundario. Calcula: a) Relación de transformación. Sol:2,4 b) Tensión en el secundario. Sol:91,7V c) Potencia aparente que suministra el transformador. Sol:366,6VA d) Intensidad en el circuito primario. Sol:1,67A 9.Un transformador de 200kVA y relación de transformación 0000/1500V tiene unas pérdidas en el hierro de 2600W. La potencia de cortocircuito es de 21800W cuando alimenta una carga de 1500KW con factor de potencia 0,88. Halla: a) Rendimiento del transformador .Sol:0,988 b) Carga a la que corresponde el máximo rendimiento. Sol:518kW