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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I SEMINARIO Nº 03

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 01. En un paralelogramo ABDC, desde el

vértice D se traza DE ( )E AB∈ , de

manera que AE 1EB n

= . Demostrar que

DE divide a la diagonal AC en la

razón 11 n+

.

02. En un triángulo ABC, BC = a y AC=b, si m BCA 2m BAC∠ = ∠ , entonces AB es A) ( )b a b+ B) ( )2a a b+

C) ( )a a b+ D) 2 2b a− E) ( )2b a b+

03. En una C el diámetro AB es

perpendicular a la cuerda CD , en la prolongación de DC se ubica el punto M tal que { }∩ =MA NC . Si MN = 4u y NA = 5u. Calcule la longitud de AD . A) 4 B) 6 C) 2 5 D) 3 5 E) 3 3

04. En los lados AB y BC de un triángulo

ABC se ubican los puntos Q y P, de modo que QP es paralelo al lado AC , la medida del ángulo CAP es el doble de la medida del ángulo BAP. Si AQ = 5 cm, BQ = 4 cm y AC = 6 cm; entonces la longitud (en cm) de AP es

A) 13925

B) 16124

C) 1205

D) 1087

E) 1003

05. Si por un punto exterior a una

circunferencia se trazan dos tangentes y una secante, estas

determinan en la circunferencia los vértices de un cuadrilátero inscrito. Demostrar que el producto de dos lados opuestos es igual al producto de los otros dos lados.

06. Un cuadrado esta inscrito en un

rombo ABCD. Si AC = a y BD = b, entonces la longitud del lado del cuadrado es

A) aba b+

B) 2aba b+

C)2 2a ba b++

D) 2ab2a b+

E) 2aba 2b+

07. Se tiene un triángulo equilátero,

donde la distancia del ortocentro a la recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo es . Calcule la longitud del lado del triángulo. A) 7 3 B) 6 3 C) 5 3 D) 4 3 E) 3 3

08. En una circunferencia de diámetro

AB, se trazan las cuerdas AC y AD (AC < AD). La perpendicular trazada del punto C a AB intersecta a AD en E. Si AE = 2 cm y ED = 6 cm, halle la longitud de AC en cm. A) 2 2 B) 4 C) 4 2 D) 6 E) 2 3

09. En una circunferencia de centro O se encuentra inscrito un triangulo acutángulo ABC, sea M punto medio de AB y F un punto de AC tales que MF es perpendicular a OA . Siendo AF = a, FC = b, hallar la longitud del lado AB. A) ( )2a a b+ B) ( )2 a a b+ C) ( )2 b a b+ D) ab

E) aba b+



10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH. Luego se ubican los puntos medios M y N de BH y BC respectivamente, si

( )AN 2 AM= entonces m BCA∠ es A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

11. Sea ABCD un cuadrilátero

inscriptible, por D se trazan las perpendiculares DH y DL a AC y a la prolongación de BC (H en AC y L en BC ), la prolongación de LH

intersecta a AB en N. Si AB ADBC CD

= ,

demostrar que H es el punto medio de NL .

12. En un triángulo isósceles ABC,

m B 120∠ = , el punto I es el incentro, el punto E el excentro relativo a uno de los lados congruentes y O el circuncentro. Calcule m IEO∠ A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30

13. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B), E es el excentro relativo al lado BC y M es punto medio de AC . Si m ACB m MEB∠ = ∠ , entonces m BAC∠ es A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

14. Asignar el valor de verdad a las

siguientes proposiciones: I. En todo triángulo isósceles se

cumple que el circuncentro, baricentro, incentro, ortocentro y el excentro relativo a la base (lado no congruente) se encuentran en la recta de Euler.

II. En todo triángulo no equilátero, se cumple que la distancia del ortocentro al baricentro es igual al

doble de la distancia del baricentro al circuncentro.

III. En el triángulo isósceles, la circunferencia de Euler es tangente al lado no congruente y pasa por ocho puntos del triángulo.

A) FVV B) VFV C) VVF D) VFF E) VVV

15. Asignar el valor de verdad a las

siguientes proposiciones: I. En la recta de Euler, el baricentro

es un punto interior. II. En todo triángulo obtusángulo, el

ortocentro y el circuncentro, son puntos exteriores y pertenecen a la recta de Euler.

III. La circunferencia de Euler también es conocida como la circunferencia de los 9 puntos.

A) FVV B) VFV C) VVF D) FVF E) VVV

16. Sea el triángulo ABC, m ABC 60∠ = ,

O es el circuncentro y H es el ortocentro del triángulo ABC. La recta de Euler intersecta a AB y BC en M y N, AM = a y NC = b, a > b. La longitud de la distancia entre el ortocentro y circuncentro es

A) a b4− B) a b

3− C) a b

2−

D) (a – b) E) 2(a – b) 17. En un triángulo ABC (recto en B), se

traza la altura BH . Los puntos I1 e I2 son los incentros de los triángulos AHB y HBC. Se traza BT

perpendicular a I I1 2 , calcule BHBT

.

A) 32

B) 2 C) 32

D) 2 E) 5



18. En la figura mostrada, la recta es mediatriz de AB. Si (MN)(BP) = m y QP = n, entonces la longitud de MP es

A) mn

B) m2n

C) 2mn

D) nm

E) n2m

19. En la figura mostrada, BH es altura.

Si HQ = QP, AB = BC y HP BC⊥ , entonces θ es

A) 64 B) 68 C) 70 D) 72 E) 78

20. En un triángulo ABC, se trazan las

alturas AD , BE y CF . La recta DF intercepta a BE en M y a la prolongación de CA en N. Si MD = a y MF = b (a > b), ¿cuál es la longitud de FN?

A) ab B) aba b+

C) ( )a a ba b+−

D) 2 2a b

a 2b−+

E) ( )b a ba b+−

21. En un paralelogramo ABCD, el punto

E BC∈ , tal que { }AE BD F∩ = , FQ // BC , Q CD∈ . Si BE = a y EC = b, entonces FQ es

A) aba b+

B) 2aba b+

C) ab

D) ( )2a b2a b++

E) ( )2a b2b a++

22. AD es el diámetro de una

semicircunferencia, AB y AC dos cuerdas ( )B AC∈ . Se traza BH perpendicular a AD ( )H AD∈ tal que

{ }AC BH P∩ = . Si ( ) ( )AP AC k= , entonces la longitud de AB es

A) k B) k2

C) k

D) k2

E) 2 k2

23. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. En todos los triángulos existe la

recta de Euler y la circunferencia de Euler.

II. El centro de la circunferencia de Euler, es el punto medio del segmento que une el ortocentro con el circuncentro.

III. El ortocentro, centro de la circunferencia de Euler, baricentro y el circuncentro determinan una cuaterna armónica o división armónica.

A) VVV B) FVV C) FFV D) VFV E) FVF

A C

P

B

26º

θº

H

Q

A B

M

P

Q

N



TEOREMA DE PITÁGORAS Y RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 24. En un triángulo rectángulo ABC (recto

en B), se traza la altura BH . Las longitudes de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos AHB, BHC y ABC son r1, r2 y r respectivamente. Demostrar

2 2 21 2r r r= + .

25. Si un punto P interior a un cuadrado

ABCD dista de los vértices A, D y del lado BC una distancia igual a 10 u entonces el lado del cuadrado es igual a A) 12 u B) 13 u C) 14 u D) 15 u E) 16 u

26. El cateto, de menor longitud, de un

triángulo rectángulo ABC es congruente con la mediana relativa a la hipotenusa de medida 8 u. Entonces el cateto mayor (en u) mide A) 3 B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) 5

27. En un triángulo ABC, recto en B, se

trazan la ceviana interior AF y la altura BH . Si AF = FC = HC = 1 u, entonces la longitud (en u) de BC es A) 3 2 B) 3 4 C) 3 5 D) 3 7 E) 3 11

28. En un triángulo ABC (AB > BC) se

traza la bisectriz interior BD y la exterior BE, BE 8 5u= , AD = 4 u, DC = 3 u. Calcule BD (en u). A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

29. Si los lados de un triángulo miden 5 u , 6 u y 7 u , entonces la

longitud de la altura relativa al lado menor (en u) es A) 2,4 B) 2,6 C) 3,9 D) 4,8 E) 5,2

30. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, se construyen en su interior, una semicircunferencia de diámetro OB y un cuadrado OMNQ (M en OA y N en el arco AB), luego BQ interseca al arco OB en P. Si PQ = 2 u, entonces la longitud de BQ (en u) es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

31. Los lados de un triángulo acutángulo

son tres números pares consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro del triángulo. A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36

32. En un cuadrado KLMN de lado se

toma P punto medio de LM y Q, punto medio del lado LK. Los segmentos KP

y QN se cortan en O. Calcular OKOQ

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

33. Dos circunferencias de radios R y r,

son tangentes exteriores. Calcular la longitud del segmento que se obtiene al proyectar el segmento de tangente común exterior, sobre la recta que une los centros de las circunferencias.

A) 24R

r B)

22rR r+

C) 4RrR r+

D) ( )R R r2r+ E) R + r



34. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y las perpendiculares HM y HN a los catetos AB y BC respectivamente. Si AM = 1 u, CN = 8 u, entonces AC mide (en u). A) 3 5 B) 4 5 C) 5 5 D) 8 5 E) 10 5

35. En un triángulo KLM, KL = 6 m,

LM = 8 m y KM = 10 m. Se traza la mediatriz de la mediana relativa al lado mayor, la cual intersecta a los lados KL y LM en los puntos P y Q respectivamente. Calcular (en m) la longitud de PQ . A) 3.2 B) 4.2 C) 5.2 D) 6.2 E) 7.2

36. Si la base mayor de un trapecio

isósceles es congruente a una diagonal, y la base menor es congruente a la altura, entonces la razón entre la longitud de la base menor y la longitud de la base mayor es

A) 12

B) 23

C) 34

D) 35

E) 25

37. En un triángulo ABC, recto en B, se

trazan las cevianas interiores AN y CM , tal que AN2 + CM2 = 130 y BM BN 2MA NC 1

= = . Entonces la longitud

de MN es A) 10 B) 2 10 C) 3 10 D) 4 10 E) 5 10

38. Demostrar que en todo triángulo

rectángulo, la suma de los cuadrados de las medianas relativas a los catetos es igual a cinco veces el cuadrado de la mediana relativa a la hipotenusa.

39. La relación de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es

igual a 58

, y la proyección de la

mediana relativa a la hipotenusa sobre la hipotenusa mide 6 u. Halle la longitud de la hipotenusa. A) 45 B) 48 C) 52 D) 60 E) 64

40. Sea ABC un triángulo rectángulo,

recto en B. Desde M punto medio de AB se traza MQ , perpendicular a la hipotenusa AC , siendo QC2 – QA2 = 20u2. Hallar la longitud del cateto BC.

A) 5u B) 10 u2

C) 2u

D) 2 5u E) 5u 41. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, M y P son puntos medios de AB y BC, respectivamente. En AC se ubican N y L tal que AN = NL = LC = 2 u; las prolonga-ciones de MN y PL se intersectan en Q. Si m MPQ 90∠ = , entonces la longitud de PQ (en u) es A) 6 2 B) 2 3 C) 3 2 D) 3 3 E) 4 2

42. En una circunferencia C de diámetro

AC , se ubica H en AC ; se traza HB perpendicular a AC y desde B se trazan las tangentes BP y BQ a la circunferencia C. Si m PBQ 90∠ = , ( ) ( ) 2 2AH HC h R= − y AC = 2R, calcu-le la longitud de BH .

A) h2

B) 2h3

C) h

D) 2h E) h 2



43. Sea I el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo ABC, siendo tangente a los lados BC , AC y AB en los puntos K, L y M respectivamente. La recta paralela a MK , que contiene a B, intersecta a las prolongaciones de LM y LK en los puntos R y S, respectivamente. Demuestre que el ángulo RIS es agudo.

44. En un triángulo rectángulo ABC,

m B 90∠ = , se traza la altura BH que mide 12 u, y la diferencia de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa mide 7 u. Calcule la longitud del segmento que une los incentros de los triángulos AHB y BHC. A) 2 2 B) 3 2 C) 5 2 D) 5 E) 6

45. Dado un cuadrado ABCD, se traza

por B una recta que intersecta a CD en E y a la prolongación de AD en F.

Si 2 21 1 1

9BE BF+ = , calcule el lado del

cuadrado. A) 3 B) 4,5 C) 2 3 D) 9 E) 3

46. En un trapecio rectángulo ABCD con

ángulos rectos en A, B y BC < AD, las diagonales AC y BD son perpendiculares. Si AD = a y BC = b, calcule CD.

A) 2 2a b+ B) 2 2a b ab+ +

C) 2 2a b ab+ − D) 2 2a ba b++

E) ab

47. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto interior P, tal que, m BPC 135∠ = . Si BP=a, PC=b y AB = BC, calcule AP.

A) 2 2a b+ B) 2 2a 2b+

C) 2 2b 2a+ D) 2 22 a b+

E) 2 22 a 2b+ 48. En el gráfico T, P y Q son puntos de

tangencia. Si Rr = k, halle TP.

A) k B) 2k C) 2 k D) 4 k E) 3k

49. El radio de un cuadrante mide R;

considerando como diámetros sus radios y en su interior se dibujan dos semicircunferencias. Entonces, la longitud del radio de la circunferencia tangente a las dos semicircun-ferencias y a uno de los radios del cuadrante es

A) R12

B) R10

C) R9

D) 2 R9

E) R3

50. Dadas dos circunferencias tangentes

exteriores cuyos radios miden R y r, calcule la distancia desde el punto de tangencia a la recta tangente común externa.

A) 3RrR r+

B) R r2+ C) Rr

D) RrR r+

E) 2RrR r+

P T

R r Q



51. Dado un triángulo ABC, sus lados están en progresión aritmética de razón uno. La medida del mayor ángulo es el doble de la medida del ángulo menor ¿cuánto mide el lado medio? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

52. Dado el trapecio ABCD, BC // AD , M

es punto medio de AD , las prolongaciones de BM y CD se interceptan en F y { }AC BM E∩ = . Si BE = 4a y EM = 3a, calcule MF A) 18a B) 19a C) 20a D) 21a E) 22a

53. En la siguiente figura, hallar la

longitud del radio de la circunferencia, si AB = m y BC = n.

A) 2 2m nm+ B)

2 2m n2m+ C)

2 2m n2n+

D) 2 2m nm+ E)

2 2m nm n++

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 54. En la figura AB = 20. Calcular r.

A) 1.75 B) 2 C) 2.25 D) 2.5 E) 4

55. En el interior del cuadrante AOB, ángulo recto en O, se trazan sobre OA las semicircunferencias de diámetros OE y EA . Si OE = 4 u y EA = 6 u, calcular el radio (en u) de la circunferencia tangente a las dos semicircunferencias citadas y al arco del cuadrante. A) 3.4 B) 3.5 C) 3.6 D) 3.7 E) 3.8

56. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b,

AB = c. Si c2 = a2 + b2 – ab, hallar la medida del ángulo BCA. A) 30 B) 37 C) 60 D) 75 E) 90

57. En un triángulo acutángulo ABC se

trazan las alturas BE y CD , tal que (AC)(EC) = 88u2 y (AB)(BD) = 108 u2. Entonces la longitud de BC es A) 10u B) 12u C) 14u D) 16u E) 18u


diámetro AB y centro O se traza una cuerda CD paralela a AB (C pertenece al arco AD ). Si P es un punto que pertenece a AO , PD = 6 u, PB = 7 u, PA = 3 u, entonces PC (en u) mide A) 5,5 B) 15 C) 18 D) 22 E) 27

59. En el siguiente gráfico, LNSP es

un rectángulo. Si KN = m, KL = n y NT = p, entonces NP es

K N

P T Q

M L

S

A B

C

A B O

r



A) 2 2p n 2np+ −

B) 2 2p m 2mn+ −

C) 2 2p m 2mn+ +

D) 2 2p n 2np+ +

E) 2 2m n 2pm+ − 60. En el interior de un triángulo ABC, se

ubica un punto Q. Se trazan las perpendiculares QM , QN y QP a los lados AB, BC y AC . Si AM2 + BN2 + CP2 = h2, calcular a que es igual MB2 + NC2 + AP2.

A) h2 B) 2h2

C) 2h

3

D) 2h4

E) 22 h3

61. Los lados de un cuadrilátero inscrito

en una circunferencia cuyos lados miden 2 u, 3 u, 4 u y 5 u, respectivamente y en ese orden. Una de las diagonales mide

A) 1 B) 2 C) 25313

D) 5 E) 7 62. En un triángulo ABC, recto en B, M

y N son puntos que están sobre la hipotenusa AC , tal que AB = 4 u, AM = MN = 2 u y NC = 1 u. Entonces BM2 – BN2 es

A) 15

B) 25

C) 35

D) 45

E) 1

63. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, AB = 3 u, BC = 4 u. En AC se ubican los puntos D y E, tal que AD = 1 u, DE = 2 u. Halle BE2 – BD2.

A) 1 u5

B) 1 u3

C) 2 u3

D) 4 u5

E) 1u

64. Las circunferencias ex - inscritas a un

triángulo ABC determinan los puntos de tangencia M y N, sobre los lados AB y BC, respectivamente. Si AB = 6 cm, BC = 5 cm y AC = 7 cm, entonces la longitud aproximada de MN (en cm) es A) 3,25 B) 4,49 C) 4,55 D) 4,85 E) 5,15

65. Desde un punto exterior E a una

circunferencia, se traza la secante EMN que contiene a un diámetro y una tangente ET (T: punto de tangencia). Si MN = 16 u y EM = 4 u, entonces la longitud de NT (en u) es

A) 64 303

B) 32 303

C) 16 303

D) 8 303

E) 4 303

66. En un triángulo ABC, se trazan la

mediana BM y la altura BH . En la prolongación de MB se ubica el punto Q, tal que QC = AB y m QBC 90∠ = . Si BQ = 12 u y MH = 3 u, entonces la longitud de AC (en u) es A) 18 B) 20 C) 24 D) 26 E) 30

67. En un triángulo ABC, la mediana BH

mide 9 u y las otras medianas miden 6 u y 12 u, respectivamente. Halle la longitud del lado AC . A) 2 14 B) 3 29 C) 6 15 D) 2 31 E) 4 7



68. En la figura P y O son centros, el punto M es punto medio de PQ . Si los radios miden R = 12 u y r = 8 u, entonces la longitud del segmento QM es

A) 8 2u B) 2u C) 2,5u D) 3 5u E) 2 2u

69. Si las bases de un trapecio miden 2 u

y 6 u, los lados no paralelos miden 2 u y 4 u, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases (en u) mide A) 5 B) 6 C) 7 D) 10 E) 11

70. Desde el interior R de un triángulo

equilátero MNQ, se une con los vértices. Si RM = a, RN = b y RQ = c y MN = NQ = MQ = , demostrar que

( ) ( )22 2 2 2 4 4 4 4a b c 3 a b c+ + + = + + + . 71. En la figura mostrada, AOB es un

cuadrante, los segmentos OP y PB son los diámetros de las semicircunferencias. Si OP = PB = AO2

= 10 u, entonces la longitud del

radio de la circunferencia (en u) de centro O1 es

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

72. En la figura, O, O1 y O2 son centros y

los radios de las semicircunferencias miden R y r. Calcule el radio x.

A) ( )

( )24 R r Rr

R r

−

+ B) 4Rr

R r+

C) 2RrR r+

D) ( )

( )22 R r Rr

R r

+

−

E) 2 Rr 73. En un trapecio ABCD, circunscriptible

a una circunferencia, BC es paralelo a AD , BC = 2 u, CD = 5 u; La mediana mide 4 u. Entonces, la altura (en u) del trapecio es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

74. En el interior de una semicircun-

ferencia de diámetro AB y centro O, se construyen una semicircunferencia de diámetro AC y una circunferencia tangente a las semicircunferencias mencionadas y al segmento BC . Si OA = 9 u y AC = 12 u, entonces el radio de la circunferencia (en u) es A) 1,44 B) 2,16 C) 2,88 D) 3,20 E) 3,60

O

P r

M

Q

R

A B O

r

O1

x

R

A

O P B

O1



75. Las longitudes de las bases de un trapecio isósceles son a y b; los lados no paralelos miden c y las diagonales d. Demostrar que d2–c2 = ab

76. Los lados de un cuadrilátero miden

14 cm, 30 cm, 40 cm y 48 cm. Hallar la longitud (en cm) del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20

77. En la figura, si (KP + QN) (KN) = c y

KN2 – LM2 = d, entonces la distancia entre los puntos medios de KM y LN es

A) 2c d2+ B) c 2d

2+

C) 2c d2− D) 2 c d

3−

E) c d2+

78. En un trapecio de bases BC y AD ,

AC2 + BD2 – AB2 – CD2 = 20 u2. Entonces (BC)(AD) (en u2) es A) 10 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

79. En un triángulo acutángulo ABC, O es

el ortocentro. Si OB = AC = , calcule la longitud del radio de la C de Euler.

A) 2

B) 22

C)

D) 24

E) 32

80. En un cuadrado ABCD de centro O y de lado 10 , con centro en A y radio AB, se traza el arco BD en el cual se ubica el punto P, de modo que mBP 53= . Calcule PO. A) 0,5 B) 2 C) 1 D) 2 E) 3

81. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, las diagonales se intersecan en E. Si la altura de dicho trapecio es 7 u, además EB = 6,5 u y

AE = 7,5 u, calcule 1 1BC AD

+ .

A) 112

B) 16

C) 14

D) 4 E) 6

82. En un trapecio ABCD ( AB // CD), se traza la mediana MN. Si AC2 + BD2 – 2(MN)2 = k2, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases del trapecio es

A) k 23

B) k 22

C) k 32

D) k2

E) k3

83. En una semicircunferencia, con centro en A de diámetro AB (AB = 2R) y centro O, se traza un arco que contiene al punto O y que intersecta a la semicircunferencia en C. Calcule la longitud del radio de la circunferencia tangente a OB , al arco OC y al arco BC.

A) R5

B) R 23

C) R 22

D) R 35

E) R 34

L M

N K P Q O



84. O, O1 y O2 son centros de AB, AQ y QB , PQ AB⊥ , AO1 = a, BO2 = b. Calcule el radio de la circunferencia de centro O3.

A) aba b+

B) ab C) a b4−

D) ( )a a b+ E) 2aba b−

85. Dado el triángulo ABC, AB = c,

BC = a y AC = b. Si las medianas relativas a los lados AB y AC son perpendiculares entre sí, entonces es verdadero A) b2 + c2 = 6a2 B) b2 + c2 = 5a2 C) b2 + c2 = 4a2 D) b2 + c2 = 3a2 E) b2 + c2 = 2a2

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 86. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O se traza el radio OC AB⊥ . En el cuadrante AOC se inscribe el rectángulo OMNP, M en OA y P en OC ; se prolonga MP hasta que interseque al arco CB en Q. Si MP = 2 u y PQ = 1 u, entonces la longitud de MN (en u) es

A) 32

B) 62

C) 33

D) 63

E) 2

87. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia. Sean M y N punto medios de AB y BC respectivamente; MN interseca a la circunferencia en los puntos E y F. Si AB 2= calcule EF. A) 2 B) 3 C) 2 D) 5 E) 6

88. En la figura mostrada, O es centro de

la semicircunferencia, AF = 12 cm, FD = 15 cm; AD es cuerda y FC es perpendicular a FO . Entonces CF (en cm) es

A) 6 B) 152

C) 6 3

D) 5 3 E) 6 5 89. C1 y C2 son dos circunferencias

tangentes exteriores en C, AB es el segmento tangente común exterior (A en C, y B en C2); se prolonga BC hasta que interseque a C1 en D, se ubica E en CD , tal que AB = BE. Si BC = 1 u y CD = 8 u, entonces la longitud de AE (en u) es A) 2 2 B) 2 3 C) 6 D) 2 6 E) 3 2

90. En una circunferencia C, el diámetro

AB es perpendicular a la cuerda CD ; en la prolongación de CD se ubica N. Desde N se traza la secante NMA y la tangente NQ a C. Si AC = a y NQ = b, calcule la longitud de AN .

A B O

F

C D

A B O Q

P

O O2 O1

O3



A) 2 2a b+ B) 2 22a b+

C) 2 2a 2b+ D) 2 22a b−

E) 2 2b 2a− 91. En el siguiente gráfico, R 5 m= .

Hallar el valor de AF.

A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

92. La base de un triángulo isósceles

mide 6 u y uno de sus lados congruentes mide 12 u. Entonces la longitud del radio de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo es

A) 8 155

B) 7 155

C) 3 152

D) 5 154

E) 9 155

93. En un paralelogramo ABCD,

AC 10 u,= BD = 8 u. La circunfe-rencia circunscrita al triángulo BCD es tangente a AD en D. Calcule AD. A) 2 2 u B) 3 2 u C) 2 3 u D) 3 3 u E) 6 u

94. La distancia entre las ciudades A y B

es 104 km, la distancia entre A y C es 112 km y la distancia entre B y C es 120 km. Si se quiere construir un centro comercial que equidiste de las tres ciudades entonces dicha distancia (en km) es

A) 45 B) 50 C) 60 D) 65 E) 75

95. Demostrar que en todo cuadrilátero

inscrito se cumple que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

96. En un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, se traza la bisectriz interior BD; luego se traza DH perpendicular a AC (H pertenece a BC). Si AB BH 2+ = entonces BD mide A) 2 B) 3 C) 2

D) 1 E) 12

97. Un cuadrado ABCD esta inscrito en

una circunferencia. Sea P un punto del arco BC, PB 18 u= y PC = 2 u. Hallar la longitud de PA . A) 6 u B) 8 u C) 9 u D) 10 u E) 12 u

98. En un cuadrilátero ABCD inscrito en

una circunferencia, la tangente trazada a dicha circunferencia por D es paralela a AC . Si BD2 – (AB)(BC) = 160 u2, entonces la longitud de CD (en u) es A) 5 B) 8 5 C) 6 5 D) 2 10 E) 4 10

99. En un triángulo ABC, m B 60∠ = , I es

el incentro. Si O es el circunscrito del triángulo AIC y AB + BC = 12 u. Calcule OB (en u). A) 4 B) 6 C) 12 D) 4 3 E) 6 3

100. Un triángulo equilátero ABC de lado

se encuentra inscrito en una circunferencia. Sea F un punto de la circunferencia, demostrar que FA2 + FB2 + FC2 =2 2 .

A

O

R B

R

E

F R



101. En un trapecio isósceles ABCD, BC paralelo a AD , el producto de las longitudes de las bases es 48 u2 y el cuadrado de la longitud de un lado no paralelo es 52 u2. Calcular la longitud de las diagonales. A) 7.5 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

102. ABCD es un cuadrado, MN = 6 u y

AB = 2 u. Hallar R (en u).

A) 10 B) 2 10 C) 6 D) 4 E) 5

103. En la figura adjunta, halle la relación

entre las longitudes de AH=a, DF=b, CM = c y BN = d.

A) bd = ac B) ab = cd C) a = c b = d D) b = c E) bc = ad d = a

104. En la figura adjunta, BF . BE = 16 u2, DE = 3 u, halle BD (en u).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

105. Un cuadrilátero ABCD esta inscrito en

una circunferencia; las prolonga-ciones de AB y DC se intersecan en M y las prolongaciones de BC y AD se intersecan en N. Si (MA) (BM) + (NA))(ND)=k2. Calcule MN.

A) k2

B) k C) 3k2

D) k 3 E) k 5

106. En un triángulo ABC, AB=a, BC=b y m ABC 120∠ = . Calcule la longitud de la bisectriz interior BF (F AC∈ ).

A) aba b+

B) 2aba b+

C) ab

D) ab 3a b+

E) 2ab 3a b+

107. En la circunferencia circunscrita a un

triángulo equilátero ABC se ubica el

punto P. Calcule 2 2 2

2PA PB PC

AB+ + .

A) 12

B) 1 C) 32

D) 2 E) 52

M

N

A

D

B

C

R

A F N C

M B

D

H

A

F

B

E

C

ºα ºα

ºα

ºβ

ºβ



108. En una circunferencia se encuentra inscrita el cuadrilátero ABCD,

{ }AC BD M∩ = , BM = 1, MD = 3, si AD es el diámetro. Calcule AB, dado que AB = BC. A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4

109. En una semicircunferencia de diámetro AB, se trazan las cuerdas BC y BD , CF es perpendicular a BA , { }BD CF E∩ = . Si BE=a y DE=b. Calcule BC.

A) 2aba b−

B) aba b+

C) ab

D) ( )b a b+ E) ( )a a b+

POLÍGONOS REGULARES

110. En un cuadrado ABCD se inscribe el triángulo equilátero AEF ( E CD∈ y F BC∈ ). Si AB = L, entonces la longitud de ED es

A) L8

B) ( )L 5 35

−

C) ( )L 5 34

− D) ( )L 3 22

−

E) ( )L 2 3−

111. En un polígono regular ABCDE…, se tiene que AC2 – BA2 = L2. Calcule (AD) (BC). A) L2 B) 2L2 C) 3L2

D) 25 L2

E) 23 L2

112. En un triángulo ABC, AB 2= u,

AC 2 2 3= + u y m BCA 15∠ = . Calcular la medida del ángulo ABC. A) 120 B) 125 C) 135 D) 144 E) 150

113. Sea 2n la longitud del lado de un

polígono regular de 2n lados, inscrito en una circunferencia C de radio R;

en la misma C, nap es la longitud del apotema del polígono regular inscrito en n lados. Demostrar que

( )n2n2 22n n

2 R apap R ap

−=

−.

114. En una circunferencia C, AB es el lado de un polígono regular circunscrito de n lados. Se ubica P, punto medio de AB, PQ es diámetro de C y { }AQ T∩ =C . Si nAB = y R es el radio de la C, demostrar que

2n2 2

n

AT2 16R

=+

.

115. El hexágono regular ABCDEF se halla inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar el perímetro del hexágono formado por las diagonales AC , BD , CE , DF , EA y FB al intersectarse. A) R 3 B) 2R 3 C) 3R 3 D) 4R 3 E) 5R 3

116. ABCDEF es un hexágono inscrito en una circunferencia de radio R, en el cuál AB = CD = EF = a, BC = DE = FA = b. Si a2 + b2 + ab = k2, halle R. A) k B) k 3 C) k 2

D) k 33

E) k 22

117. En un triángulo ABC, m A 45∠ = , m C 30∠ = . Hallar el valor de AC en función del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

A) ( )R 2 62

+ B) ( )R 3 52

+

C) ( )R 2 2 62

+ D) ( )R 2 2 62

+

E) ( )R 2 2 3 62

+



118. En un triángulo ABC, m A 22∠ = y m C 23∠ = . Se trazan las alturas AF y CH . Si AC = 6 u, entonces la longitud de FH es A) 2 u B) 3 u C) 3 2 u

D) 3 3 u2

E) ( )3 5 1 u−

119. Sea KLMNP un pentágono regular,

las diagonales KN y LP se cortan en O. Demostrar que ON es la sección aúrea del segmento KN, dividido en media y extrema razón.

120. En un triángulo ABC, m A 18∠ = ,

m C 45∠ = y ( )BC 5 1 u= − . Hallar AB.

A) 2 B) 2 2 C) 32

D) 8 E) 3 64

121. Una circunferencia C de radio R es

tangente, en Q, a una semicircun-ferencia de diámetro AB y a la prolongación de AB en T; la prolongación de BQ intersecta a C en P. Con centro en T se traza el arco PM (M en AB). Hallar MP. A) 2R B) R 2 2−

C) R 2 3− D) R 4 2 2−

E) R 4 2 3−

122. En una circunferencia, de radio R, se inscribe un polígono de 16 lados. Demostrar que la longitud de su lado

es igual a R 2 2 2− + .

123. En un triángulo ABC, se ubica un punto D interior al triángulo, de tal manera que AD DC BC≅ ≅ . Si m BAD∠ = α , m BCD 2∠ = α ,

m ABC 7∠ = α y BC = 6 u, entonces la longitud de BD (en u) es A) 3 2 3− B) 4 2 3+

C) 2 2 3− D) 6 2 3−

E) 2 3+

124. En una circunferencia, de radio R, se traza una cuerda que subtiende un arco de 135º. Hallar la distancia del centro a la cuerda.

A) R 2 32

− B) ( )R 5 12

+

C) R 2 22

− D) R 22

E) R2

125. En un triángulo rectángulo ABC se

traza la ceviana BP, tal que el ángulo ABP mide 30. Si BP = AB, AC 2 3= + u entonces BP mide (en u) A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 2 E) 3

126. En un trapecio ABCD ( BC // AD ),

m BCD 2m BAD 108∠ = ∠ = y BC + DC = ( )4 5 1 u− , entonces la distancia de D a AB (en u) es A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

127. En un hexágono regular ABCDEF,

inscrito en una circunferencia, L y S son puntos medios de los arcos EF y CD respectivamente, y el circunradio de dicho hexágono mide 2 3− u. Si LA interseca a SB en P. Halle PS (en u). A) 2 B) 3

C) 2 3+ D) 2 3− E) 1



POLÍGONOS REGULARES 128. El valor del número aúreo es

A. 5 12+ B. 5 1

2−

C. 5 14− D. 5 1

4+

E. 2 5 12−


siguientes proposiciones: I. Un triángulo equilátero y un

exágono regular cuyos lados miden 1 m y ½ metro respectivamente, son polígonos isoperimétricos.

II. Un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 m, y un cuadrado cuya diagonal mide 1.5 2 m , son polígonos isoperimétricos.

III. Dado un polígono regular siempre es posible construir el polígono isoperimétrico de doble número de lados.

A) FFF B) FVV C) FVF D) FFV E) VVV


siguientes proposiciones: I. AP es la sección aúrea de AB y

AM es la sección aúrea de AP , entonces AM PB≅ .

II. El lado del pentágono regular es la sección aúrea de su diagonal.

III. El lado del decágono regular es la sección aúrea de su radio.

A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV

131. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si en un exágono la recta que

contiene a la diagonal es un eje de simetría del exágono, entonces el exágono es un polígono regular.

II. Si un polígono tiene dos ejes de simetría, el polígono es necesariamente regular.

III. Los polígonos regulares de lado impar no tienen centro de simetría.

A) Sólo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) Solo III E) I, II y III


siguientes proposiciones: I. Todo polígono equilátero convexo

inscrito en una circunferencia, es un polígono regular.

II. Todo polígono equiángulo convexo circunscrito a una circunferencia, es un polígono regular.

III. Al unir un punto cualquiera M de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, con los tres vértices del triángulo, uno de dichos segmentos mide igual que la suma de las longitudes de los otros dos segmentos.

A) VFF B) FVV C) VVF D) VVV E) VFV

133. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Las diagonales de todo polígono

regular convexo se intersecan en medio y extrema razón.

II. Si en una circunferencia de diámetro AB y centro O, se traza OC AB⊥ y desde D, punto medio de OB , como centro y con un radio DC, se describe un arco el cual interseca a OA en E,



entonces OE y EC son los lados del decágono y pentágono regulares convexos inscritos en dicha circunferencia.

III. En tal pentágono regular convexo, cada diagonal es paralelo a un lado.

A) FVV B) FFV C) VFV D) VVV E) VVF

134. En un pentágono regular de lado ,

la longitud de sus diagonales.

A) ( )5 12

+ B) ( )5 14

+

C) ( )5 12

− D) ( )2 5 12

−

E) ( )2 5 14

−


siguientes proposiciones: I. Se dice que dos polígonos son

isoperimétricos, cuando sus perímetros son iguales.

II. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado del polígono, se llama apotema del polígono.

III. Si un polígono esta inscrito y circunscrito a la vez, entonces dicho polígono es regular.

A) VVV B) VFV C) FVV D) VFF E) VVF

136. En un pentágono regular se trazan

sus diagonales. Calcule la suma de las longitudes de todas las bases de los triángulos elementales congruentes que corresponden a un decágono regular, si la diagonal del pentágono mide ( )6 2 5 u+ . A) 25u B) 30u C) 35u D) 40u E) 45u

137. En una circunferencia están inscritos los polígonos regulares de n, 2n, 4n lados respectivamente y cuyas longitudes son n , 2n y 4n lados.

Demostrar que 3

2 2n4n

n n2=

+.

138. En un triángulo ABC, se trazan las

alturas AE y BF , la recta simétrica de AE respecto a la bisectriz trazada de A y la recta simétrica de BF respecto a la bisectriz trazada de B se intersectan en Q. Si m AQB 100∠ = , entonces la medida del ángulo ACB es A) 40 B) 50 C) 60 D) 65 E) 80

139. Sea A1 A2 … An un polígono regular de n lados. Si 2(A1A3)2 = 3(A1A2) (A1A4), entonces n es A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

140. Sea ABCD, un cuadrilátero

convexo, O un punto del plano P y A 'B 'C'D' el simétrico respecto a O en dicho plano. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. El simétrico del cuadrilátero

ABCD, con respecto al punto O, siempre estará en el plano P.

II. Al superponer el cuadrilátero simétrico A 'B 'C'D' sobre el cuadrilátero ABCD, estos coincidieron.

III. El cuadrilátero ABCD y A 'B 'C'D' tendrán el mismo perímetro.

A) VFF B) VFV C) VVF D) FVF E) FFV



141. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si 5 6 10, , son las longitudes

de n lados de los respectivos

polígonos, luego 2 2 210 5 6= + .

II. Si el número de lados de un polígono regular aumenta, y están situados todos los polígonos en la misma circunferencia, entonces la longitud de los lados de los polígonos disminuye.

III. La sección aurea sólo se refiere a la longitud de un segmento.

A) FVF B) FFV C) VFF D) FVV E) VFV

142. Una diagonal de un pentágono

regular mide d, entonces la longitud del lado es

A) d 22

B) d 2 22

−

C) d 2 32

− D) ( )d 5 12

−

E) d 32

143. Un polígono regular de circunradio

R y apotema a. Calcule la longitud de la apotema de otro polígono regular de doble número de lados que el primero e isoperímetro con éste.

A) R a3+ B) R a

4− C) Ra

R a+

D) R a2+ E) Ra

144. Dos rectángulos simétricos ABCD y

AB'CD' cuyos lados miden AB = 4 y BC = 6 respectivamente. Halle BD' .

A) 9 1313

f B) 10 1313

C) 12 1313

D) 13 E) 14 1313

145. ABCDEF es un exágono regular de 10 u de lado y { }BF AE M ,∩ =

{ }CE BD N∩ = . Si A 'B 'C'D'E 'F ' es el simétrico de ABCDEF con respecto a MN , halle BB'. A) 10 2 3− B) 10 2 3+ C) 45 D) 20 E) 5 2 3+

146. ABCD es un cuadrado cuyo lado miden , y su simétrico con respecto a D es A 'B 'C'D' . Si N B'C'∈ tal que C'N 2B'N,= calcule la distancia de A a N.

A) 313

B) 343

C) 373

D) 393

E) 2


siguientes proposiciones: I. ABCD es un cuadrado de centro

O, entonces el simétrico de dicho cuadrado respecto de O es CDAB.

II. ABCD es un cuadrado de diagonal BD, entonces el simétrico de dicho cuadrado respecto de BD es CBAD.

III. ABCD es un cuadrado de diagonal BD y de centro O, entonces el simétrico respecto de BD y luego respecto de O es ADCB.

A) I, II y III B) I y II C) II y III D) I y III E) I

148. El simétrico del rectángulo ABCD

con respecto a la recta que contiene a AC es el rectángulo AB'CD' . Si AB = a y BC = b (a < b), entonces la longitud de BD' es



A) 2 2

2 2

2b a

a b

−

+ B)

2 2

2 2

b a

a b

−

+

C) 2 2

2 2

a b

b a

+

− D)

( )2

2 2

b a

a b

−

+

E) 2 2

ab

b a−

149. El simétrico del triángulo ABC, con

respecto a la recta que contiene a la bisectriz interior AD , es el triángulo AB 'C' . Si AB = c, BC = a y AC = b (b > a > c), entonces la longitud de B 'C es A) c – a B) b – c C) a – b D) a + b E) b + c

150. En un triángulo ABC recto en B, se

traza la bisectriz interior AD y BH es perpendicular a AD ( )H AD∈ . Si

( )AB 3 5 5 u= + y m ACB 18,∠ = entonces ¿cuál es la longitud (en u) de HD ? A) 2 5 B) 3 5 C) 4 D) 5 E) 6

151. Dado el pentágono regular ABCDE, { }AD BE P∩ = , { }BD AC Q∩ = y { }PQ BC R .∩ = Si PQ 6 2 5,= +

calcule RC

A) 1 B) 2 C) 52

D) 3 E) 72

152. Desde un punto C exterior a una

circunferencia de centro O, se trazan la tangente CB y la secante CA . Si AB es una cuerda de la circunferencia, O AC∈ , m ACB 18∠ = y BC 5 5= + u, calcule la longitud (en u) de AB.

A) 2 B) 2 2 C) 12

D) 0,5 E) 1 153. En un pentágono regular ABCDE,

las diagonales BE y BD intersectan a AC en los puntos P y Q. Si AB = , entonces PQ mide

A) ( )3 58

− B) ( )2 34

−

C) ( )3 52

− D) ( )5 22

−

E) ( )6 32

−

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 154. En el gráfico adjunto, KLMN es un

cuadrado de lado “ ”, de cada vértice se trazan arcos congruentes de radio

, calcular el perímetro de la figura sombreada.

A) 2π B) 12π C) 2

3π

D) 34π E) 4

3π

155. En un octágono regular

ABCDEFGH, se ubica M en AE, tal que BD = DM, halle m MBD∠ . A) 60 B) 65 C) 70 D) 72 E) 75

K

L

N

M



156. AB y CD son paralelos, P BC∈ CP = 2, BP = 4. Calcule la longitud del perfil de Gola que une B con C pasando por P.

A) 32π B) π C) 2π

D) 3π E) 4π 157. En la figura mostrada ABCD, es un

cuadrado de perímetro p. Los arcos BFD , BED y AC tienen centros en los puntos A, C y D respectivamente. Entonces la suma de las longitudes de ED, EF y FD es

A) p24π B) 5 p

12π C) 5 p

36π

D) 5 p24π E) pπ

158. En la figura adjunta, AC y BD son

diámetros de la circunferencia. Halle el perímetro de la figura sombreada, si los arcos tienen como centros los puntos A, B, C, D y AC = 2R.

A) R4π B) 4Rπ C) 2Rπ

D) 8Rπ E) 12Rπ 159. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, se traza un centro en A, un arco que pasa por el punto O y que intersecta a la semicircunferencia en C. Si AB = 6c m, entonces la longitud (en cm) de la circunferencia tangente a OB , al arco OC y BC es

A) 32

π B) 52

π C) 2π

D) 3π E) 3 32

π

160. En un cuadrante está inscrito una circunferencia, calcular la relación entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del cuadrante.

A) ( )4 2 14

π −+ π

B) ( )4 2 12

π −+ π

C) ( )2 2 18

π ++ π

D) ( )2 2 18

π −+ π

E) 28

π

161. En una circunferencia C, está

inscrito un triángulo rectángulo ABC, las longitudes de las flechas relativos a los catetos miden a y b. Calcule la longitud de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. A) abπ B) 2 abπ C) 2abπ

D) 2 2baπ E) 2 2a bπ +

A B

C DP

30º

A

B C

D

E

F

A C

B

D



162. Se tiene una región limitada por las semicircunferencias AB , AO y OB , tal que O es el punto medio de AB ; AO y OB se encuentran en diferentes semiplanos. Si AB = 12 u, entonces la longitud de la línea que divide a dicha región en dos regiones congruentes (en u) es A) 2π B) 3π C) 4π D) 5π E) 6π

163. ABCDEF, es un hexágono regular

cuyo lado mide a. Las semicircunferencias, cuyos diámetros son los lados del hexágono, determinan la región sombreada. Halle su perímetro.

A) aπ B) 2 aπ C) 3 a2π

D) 3 aπ E) 4 aπ 164. En la figura mostrada ABCD, es un

cuadrado de lado a, M y N son puntos de tangencia. Hallar la longitud del arco PQ.

A) a8π B) a

6π C) a

4π

D) a2π E) aπ

165. En un sector circular AOB cuyo

ángulo central mide 60, se inscribe una circunferencia. Si OB = OA = , calcular la longitud de circunferencia inscrita.

A) 3π B)

2π C) 2

3π

D) π E) 43π

166. Dado un cuadrado ABCD, de lado

a, se traza el arco BD con centro en A y radio de longitud a. Hallar la longitud de la circunferencia con centro en CD , tangente al arco BD y al lado BC en C.

A) a4π B) a

2π C) a 2

2π

D) a 63

π E) aπ


diámetro AB y centro O, se dibuja una circunferencia de centro O1, tangente al arco AB en el punto C (arco AC es menor que el arco BC) se traza CH AB⊥ (H en AB ). Si OB = 2CH y OO1 = 4 u, entonces la longitud del arco BC. A) 4π B) 5π C) 6π D) 7π E) 8π

A

B

C

D

E

F

A

B C

DN

M

Q P

3seminario

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