3D-s számítógépes geometria 1

3D-s számítógépes geometria

Dr. Várady

TamásBME, Villamosmérnöki és Informatikai KarIrányítástechnika és Informatika Tanszék

http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIIIAV01

7b. A Bézier

és B-spline

reprezentáció

kiterjesztése

3D-s számítógépes geometria 2

Tartalom

Racionális polinomokmotivációprojektív transzformációkúpszeletekracionális görbék és felületekforgásfelületek

Hiányos csomóvektorokmotivációlokális kontrollpont alapú spline felületekT-spline konstrukció

],/*/*[ :D2]1,//[],[:3Dzyz,yxxzz,yxzx,y

=→→

3Projektív leképzés

Projektív leképzés1

Affin leképzésegyenes → egyenesszakaszok aránya őrződik:

Projektív leképzésegyenes → egyenesnégy pont egy egyenesen; kettősviszony (cross

ratio) definició:

o vetítési középpontΩ vetítési sík (kép sík)a kettősviszony őrződik

a

bc

cb

a|ˆˆ|/|ˆˆ||/|| cbbabcab =

||/||||/||][

cdacbdababcd =

ab

c

d

Ω

a b c d

]ˆˆˆˆ[][ dcbaabcd =

4Projektív leképzés

Projektív leképzés2

∆ területek aránya alapján:

⇒ a kettősviszony csak az o-beli szögektől függ

legyen

a két egyenes közötti parametrizációracionális, felírható az alábbi alakban:

γβαγβα

sin/)(sin)(/)(||/||)(sin/sin)(/)(||/||

4331

4221

llllllll

+=ΔΔ=+=ΔΔ=

cdoacocdacbdoabobdab

]1ˆˆ0[]ˆˆˆˆ[];10[][ tbbt →→ dcbaabcd

),,(||/||||/||][ γβαf==

cdacbdababcd

tctctct

12

1

)1(ˆ

+−=

o

5Kúpszeletek

Kúpszeletek1kúpszelet létrehozása projekcióvaltérbeli parabola síkba vetítése

a projekció középpontja az origóa projekció síkja a z=1 sík

vetítés:

tetszőleges w-re (projektív egyenes)

parabola:

kúpszelet:

]1,[:3D],[ :D2 x,yx,y

][],[],,[],[ xx →→ wwyxwwx,wy

)()()()( 222

211

200 tBtBtBt pppp ++=

2,1,0],,[

,)()()(

)()()()( 222

211

200

2222

2111

2000

==++++

=

iwwtBwtBwtBwtBwtBwtBwt

iiii bp

bbbc

]1,//[],[ zz,yxzx,y →

6Kúpszeletek

Kúpszeletek2racionális törtfüggvények:

mindig átparaméterezhető:

kúpszeletek osztályozása:parabola

hiperbola

ellipszis

kör:

]1,,1[],,[,,**)1(

**, *1210

0

2 wwwwww

tttttt →=

+−=→ ρρ

5.0,1*1 == sw

)()(cos)()()(cos)()( 2

221

20

222

211

200

tBtBtBtBtBtBt

++++

=αα bbbc

)()()()(

,)()()(

)()(

222

211

200

222

211

200

22

tBtBtBttBwtBwtBw

tBwtB iii

bbbc ++=

++=

5.0,1*1 >> sw

5.0,1*1 << sw

αcos*1 =w

0b

1b

2bα

*1

*1

1 wws+

=

7Kúpszeletek

Köregyenlet (kitérő)egyenlet:

felezőpont (behelyettesítés -egyenlet teljesül):

félkörív:

22

22

)1(2cos)1(01

)1(2tg0

cos)1(01

)(tttt

ttttt

+−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=α

αα

c

o90→α

)0,1(0 −=b

)tg,0(1 α=b

)0,1(2 =b

α

ααsin

1=Rα

αααα

αcos1

sintg1

sin1,

cos1sin)5.0(

++=

+=yc

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

−=⇒

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−

+−+−−

=

12,

11)(;1

,)1(

)1(2,)1()1()(

22

2

2222

22

uu

uuu

ttu

tttt

ttttt

c

c

αtg1

8Kúpszeletek

Racionális Bézier

görbékracionális Bézier görbe:

súlyok görbe módosításújraparametrizálás

∑

∑

=

== n

j

njj

ni

n

iii

tBw

tBwt

0

0

)(

)()(

cr

ii

i wcw =*

2=c

1=c

5.0=c

9Kúpszeletek

Racionális egyenletekracionális Bézier görbe:

racionális B-spline görbe:

racionális Bézier (B-spline) felület:

elsődleges alkalmazás - forgásfelületek

∑

∑

=

== n

j

njj

ni

n

iii

tBw

tBwt

0

0

)(

)()(

cr

∑

∑

=

== L

j

njj

ni

L

iii

tNw

tNwt

0

0

)(

)()(

dr

)()(

)()(),(

0 0

0 0

uBuBw

uBuBwvu

mj

ni

n

iij

m

j

mj

ni

n

iijij

m

j

∑∑

∑∑

= =

= ==c

s

10T-spline-ok

T-spline1

u

v

NURBS –

4712, T-spline

–

1109 kontrollpont

•

B-spline

felületek két csomóvektor: ui, vjkontrollpontok rács topológiába rendezve

•

Problémák komplex esetekben redundáns struktúraszámítási hatékonyságsimaság

•

Példa: 2x2 csomó

beszúrása8 helyett 2nm új kontrollpont keletkezik

•

Cél: a csomó struktúra általánosításaa kontrollpontok számának optimalizálása

11T-spline-ok

T-Spline2Módosított definíció:

Csomóértékek → CsomóintervallumokKontrollpoligon élein címkék: di

= ui+1

– ui [(0),1,2,3,4,6,9,10,11,(12)]

Kontrollpontok - a csomórács pontjaihoz rendeljükPoláris koordináták a szomszédos csomók alapján

P0

=P012

P1

=P123 P2

=P235

P3

=P356

0 1 2 3 5 6

12T-spline-ok

T-Spline3Pontok alapján definiált általános spline felület:

kontrollpontok - csak néhány metszéspontbanbázisfüggvények – a szomszédos csomóintervallumok Ui ,Vi alapján a pontok teljesen függetlenek

Példa:n=m=3, a középső ponthoz tartozócsomóvektorokUi = [si0, si1, si2, si3, si4]Vi = [ti0, ti1, ti2, ti3, ti4]

Cél: a csomóvektorok automatikus meghatározása

,)()()()(

),( ,0

,0

,0

,0

∑∑=

iVimUin

iVimUin

i

tNsNtNsN

tsP

S

P1

P2

P4

P3

13T-spline-ok

T-Spline4

T-spline : hiányos rács struktúra T-elágazásokkal

Szabályok:egy lap szemben levő éleinek hossza azonos;pl. F: e6

+ e7

= e8

+ e9

ha két szemben lévő T-elágazáscsomóértéke megegyezik, ezeketössze kell kötni egy belső

éllel;pl. ha e7

= e9,

Csomók meghatározása, harmad-fokú példák

a széleken a kimaradó csomónem számít (azonosnak vehetjük)

P1

: [s1

, s2

, s3

, s4

, s5

-d8

] [t1

-e0

, t1

, t2

, t3

, t4

+e9

]

P2

: [s3

, s3

+d6

, s5

-d8

, s5

, s5

+d5

] [t1

, t2

, t3

, t4

, t5

]

P3

: [s1

-d0

, s1

-d0

, s1

, s2

, s2

+d7

]

[t1

, t5

-e4

+e9

-e7

, t5

, t5

+e5

, t5

+e5

]

14Következő előadás

A következő

előadás tartalma

Görbe

interpoláció

-

szakaszonkéntparametrikus és geometriai folytonosságBézier szegmensek illesztése

B-spline görbe

interpolációvégponti kényszerek, egyenletrendszercsomóvektor - különböző parametrizációk

B-spline görbe

approximációlegkisebb négyzetes minimalizálásismeretlen felület, ismeretlen parametrizációiteratív eljárás, paraméter korrekció

B-spline felület approximációáltalánosításparaméter korrekció