3a. Lista de Exercícios de Cálculo IMTM 5183 - Engenharia Eletrônica, Turma 1235

Profa. Melissa Weber Mendonça∗

13 de maio de 2011

1. Dadas as funções f (x) = 5 − 2x e g(x) = 3x2 − 1, determinar:

a) f ′(1) + g′(1)

b) [g′(0)]2 + 12g′(0) + g(0)

c) f(

52

)−

f ′(5/2)g′(5/2) .

2. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

a) f (x) = 2x2 − x − 1

b) f (x) = 1−xx+3

3. Dadas as funções f (x) = 1x−1 e g(x) = 2x2 − 3, determinar

a) f ◦ f ′

b) f ′ ◦ f

c) g ◦ f ′

d) g′ ◦ f ′

4. Dada a função f (x) = 2x2 − 3x − 2, determinar os intervalos em que:

a) f ′(x) > 0

b) f ′(x) < 0

5. Calcular as derivadas laterais das funções abaixo nos pontos onde a função não é derivável.Esboçar o gráfico.

a) f (x) = 2|x − 3|

b) f (x) ={

1 − x2 , |x| > 10 , |x| ≤ 1

c) f (x) =

2 − x2 , x < −2−2 , |x| ≤ 2

2x − 6 , x < 2

∗Também disponível em http://www.mtm.ufsc.br/∼melissa

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6. Encontrar a derivada das funções abaixo.

a) f (r) = πr2

b) f (x) = 14 − 12 x−3

c) f (x) = (2x + 1)(3x2 + 6)

d) f (x) = 23 (5x − 3)−1(5x + 3)

e) f (s) = (s2 − 1)(3s − 1)(5s3 + 2s)

f) f (t) =3t2 + 5t − 1

t − 1

g) f (x) =4 − x5 − x2

h) f (x) =x + 1x + 2

(3x2 + 6x)

i) f (x) = 12 x4 + 2

x6

7. Seja p(x) = (x − a)(x − b), a e b constantes. Mostrar que se a , b então p(a) = p(b) = 0 masp′(a) , 0 e p′(b) , 0.

8. Dadas as funções f (x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que{f ′(x) + g′(x) = 1 + 2xf (x) − g(x) = x2

9. Em que pontos o gráfico da função y = 13 x3 − 3

2 x2 + 2x tem tangente horizontal?

10. Calcular a derivada das funções abaixo.

a) f (x) = 13 (2x5 + 6x−3)5

b) f (x) = (5x − 2)6(3x − 1)3

c) f (t) = (4t2 − 5t + 2)−13

d) f (x) =7x2

2 5√3x + 1+√

3x + 1

e) f (x) = 2e3x2+6x+7

f) f (x) = e√

x

g) f (s) = (7s2 + 6s − 1)3 + 2e−3s

h) f (u) = cos (π/2 − u)

i) f (θ) = 2 cos (θ2) sin (2θ)

j) f (α) =1 + cos (2α)

2

k) f (x) =(

1sin x

)2

l) f (x) = e2x cos (3x)

m) f (x) = sin2( x2

)cos2

( x2

)2

n) f (x) = (arcsin x)2

o) f (x) = arcsec√

x

p) f (t) = tanh (4t2 − 3)2

11. Dada f (x) = e−x, calcular f (0) + x f ′(0).

12. Mostrar que a função y = xe−x2/2 satisfaz a equação xy′ = (1 − x2)y.

13. Encontrar todos os pontos onde o gráfico de f (x) tem tangente horizontal:

a) f (x) = sin 2x

b) f (x) = 2 cos x

14. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar ográfico em cada caso.

a) f (x) =1x

, x =13

, x = 3.

b) f (x) = 2√

x, x = 0, x = 3, x = a, a > 0.

15. Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x3 − 1, que seja perpendicular à reta y = −x.

16. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com aequação x = 3t2 − t3, em que x está expresso em metros e t em segundos.

a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?

b) Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? (ou seja,nos tempos t = 1, t = 2, t = 3 e t = 4 segundos?)

c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?

17. Calcular as derivadas:

a) f (x) = log2(2x + 4)

b) f (s) = log3(√

s + 1)

c) f (x) = ln(1x+

1x2 )

d) f (x) =(12

)− ln (2x)

e) f (x) =12

ln (7x2 − 4)

f) f (x) = ln(cos2 t)

18. Achar a derivada de ordem 100 das funções y = sin x e y = cos x.

19. Calcular y′ =dydx

das seguintes funções definidas implicitamente:

a) x3 + y3 = a3

b) x3 + x2y + y2 = 0

3

c)√

x +√

y =√

a

d) y3 =x − yx + y

e) a cos2(x + y) = b

f) tan y = xy

g) ey = x + y

20. Demonstrar que a reta tangente à elipsex2

a2 +y2

b2 = 1 no ponto (x0, y0) tem a equação

xx0

a2 +yy0

b2 = 1.

21. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de3cm a 3,1cm.

22. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-seque cada um de seus lados mede 1200m, com um erro máximo de 10m. Usando diferencial,determinar o possível erro no cálculo da área do terreno.

23. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,em graus centígrados, é dada por:

T (t) = 30 − 5t +4

t + 1, 0 ≤ t ≤ 5.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?

24. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500t2 litros, determinar:

a) o tempo necessário para o esvaziamento da piscina;

b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];

c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

25. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de

p(t) = 20 −5

t + 1milhares.

a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?

b) Qual será a variação real sofrida durante o décimo oitavo mês?

26. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio de base e 10m de altura. Notempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/hora. Com que velocidade onível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?

27. Um objeto se move sobre a parábola y = 2x2 + 3x− 1 de tal modo que sua abscissa varia à taxade 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada, quando o objeto estiverno ponto (0,−1)?

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