Resumo Geometria Plana 3 anoCOLGIO VISO V NGULOS DE UMA CIRCUNFERNCIA 1. NGULO CENTRAL todo ngulo cujo vrtice coincide com o centro da circunferncia. A medida de um ngulo central igual medida do arco que seus lados delimitam na circunferncia cujo centro coincide com o seu vrtice.A O

ngulos de uma circunferncia e potncia de ponto

Professor: Valdir

5. NGULO DE SEGMENTO todo ngulo cujo vrtice pertence circunferncia, sendo que um de seus lados uma secante e o outro tangente circunferncia num dos pontos onde a secante corta a circunferncia.B

=

med AB 2

O

= med ABA B

Teorema do quadriltero inscritvel Se um quadriltero inscrito em um crculo, ento seus ngulos opostos so suplementares. AD

2. NGULO INSCRITO todo ngulo cujo vrtice pertence uma circunferncia e os seus lados so retas secantes desta. A medida de um ngulo inscrito igual metade da medida do arco que seus lados delimitam na circunferncia.A

B

Demonstrao:

C

C

med AB = 2

=

ABC ADC e = 2 2

Como ABC + ADC = 360, ento: + = 180 Observao: Em todo quadriltero inscritvel, o produto das diagonais igual soma dos produtos dos lados opostos. (Teorema de Hiparco). Demonstrao: Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE, com extremidade E na diagonal BD, tal que = .A

B

Obs.: Todo ngulo inscrito numa semicircunferncia reto. Ou seja, se um tringulo inscrito numa semicircunferncia, ento ele retngulo.

O centroO

B E

D

3. NGULO ENTRE DUAS CORDAS (vrtice interno)A D

C

V

=C

AB + CD 2

Dessa forma, teremos ABC ADE. Logo, podemos afirmar que:

B

AC BC = AC.ED = AD.BC (I) AD ED Da mesma forma, teremos ABE ADC. Da, teremos:

4. NGULO ENTRE DUAS SECANTES (vrtice externo)A D V

AC CD = AC.BE = AB.CD (II) AB BE Adicionando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), vem:

C B

AB CD = 2

AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC Como BE + ED = BD, obtemos: AC.BD = AB.CD + AD.BC

EXERCCIOS RESOLVIDOS: 01. Na figura a seguir, os pontos A, B, C, D e E pertencem circunferncia de centro O. Assim, calcule a medida do ngulo x assinalado.C B A 40 x E F25

VI POTNCIA DE UM PONTO 1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIORD A P O

PA.PC = PB.PD

Resoluo:B D

Da figura temos:

C

BE = 2.25 BE = 50 EDC = 25 Como CBE ngulo externo do tringulo ABD, temos: EDC = 40 + 25 EDC = 65 Como x medida de um ngulo externo do tringulo BCF, temos: x = 65 + 25 x = 90 Resposta: x = 90

Dica: O tringulo APB semelhante ao tringulo PCD

2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR

A D P O C B

02. Seja AB um segmento de reta do plano cujo comprimento 30 cm. De um ponto P, do plano , observa-se o segmento AB segundo um ngulo visual de 60. Calcule a maior distncia entre o ponto P e um dos extremos do segmento AB. (Dica: considere AB a corda de uma circunferncia que passa por P) Resoluo:P 60 O

PA.PD = PB.PC

Dica: O tringulo PAC semelhante ao tringulo PBD. 3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE A reta que passa por A e P tangente circunferncia no ponto A. Observe que AO PA, sendo AO o raio da circunferncia.A P

A

30 cm

B O B

O ponto P pertence a uma circunferncia que passa por A e B sendo que o ngulo APB mede sempre 60. Assim, o arco APB o arco capaz dos ngulos inscritos de 60. Ento, a maior distncia entre P e B o dimetro da circunferncia, como mostra a figura. Como PB o dimetro, o ABC retngulo em A. 30 30 60 = sen60 PB = PB = PB = 20 3 cm PB 3 3 2 Resposta: PB = 20 3 cm 03. Considere a circunferncia de centro O circunscrita a um tringulo ABC, sendo AD um dimetro dessa circunferncia e AH a altura do tringulo ABC relativa ao lado BC. Sendo AB = 5 cm, AC = 12 cm e AD = 20 cm, calcule a altura AH.A h B H C O

(PA) = PB.PC

2

C

Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC. 4. DUAS RETAS TANGENTES AA P

O

(PA) = (PB)B

2

2

Obs.: Nesse caso PA = PB.

Resoluo:

D

Teorema do quadriltero circunscritvel. Se um quadriltero ABCD circunscritvel em um crculo, ento AB + CD = BC + AD.D R C

Unindo C com D, temos ACD = 90. (1) Observe que ABH = ADC (mesmo arco capaz) (2) De (1) e (2), vem que ABH ADC. Assim: AB HA 5 h = = h = 3 cm AD CA 20 12

Q S

Resposta: h = 3 cm

2

A

P

B

Demonstrao: Sejam P, Q, R e S os pontos de tangncia aos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Assim, teremos: AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR) Como: AP = AS, BP = BQ, CQ = CR e DR = DS, temos: AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS) AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC Assim, fica provado que: AB + CD = BC + AD.

Resposta: GF = 4 cm 03. Nas figuras a seguir, SQ = AD = 4 cm, CD = PR = 6 cm e QP = DB. Sabendo-se que o tringulo ABC retngulo em C e que CD a altura relativa ao lado AB, determine o comprimento do segmento de reta PT: CS 4 Q x T P R 6 A Figura 1 4 D Figura 2 6 x B

Resoluo:

EXERCCIOS RESOLVIDOS: 01. Na figura a seguir, o crculo de centro O possui raio r e est inscrito no setor circular AOB de raio OB = AO = R. Assim, calcule o raio do crculo em funo do raio R do setor.B S O

Na figura 2, temos: 6 = 4.x x = 9 cm Na figura 1, usando potncia do ponto P, temos: x.(4 + x) = 6.PT 9.(4 + 9) = 6.PT PT = 19,5 cm Resposta: PT = 19,5 cm2

O

A

Resoluo: Seja T o ponto de tangncia do crculo com o raio AO, S o ponto de tangncia com o arco AB e r a medida do raio do crculo.B S

Da figura, temos: OS = R OT = r OP = R 2rP O

O

T

A

Potncia do ponto O em relao ao crculo menor: OS.OP = OT.OT R.(R 2r) = r.r 2 2 2 2 2 2 r + 2.R.r R = 0 r + 2.R.r + R R R = 0 2 2 (r + R) = 2R r = ( 2 1).R. Resposta: r = ( 2 1) 02. (ITA) Seja E um ponto externo a uma circunferncia. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferncia nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferncia intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, calcule o comprimento do segmento GF.A 6 4 3 D G F C 7 B 5

E

Resoluo: Fazendo GC = x, da potncia do ponto E, temos: 4.(7 + x) = 5.12 7 + x = 15 x = 8 cm Fazendo GF = y, da potncia do ponto G, temos: y.6 = 3.8 y = 4 cm

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