Operaciones con Nº Racionales (Revisión)

Actividades:

Resuelvan los siguientes cálculos:

Números Irracionales (Nº I)

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Toda raíz no exacta de un número entero es un número irracional. Algunos ejemplos de números irracionales son:

O bien todo número de infinitas cifras decimales con alguna regla de formación, por ejemplo:

1,1223334444… - 2, 0102030405… -0,1133557799…

Representación Grafica

Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para representar ese unto sobre la recta numérica, si el irracional es de la forma , se debe reducir al teorema de Pitágoras:

C A

B

Representación de . Se determina sobre la recta un triangulo rectángulo isósceles, cuyos catetos

midan 1.

El valor de la hipotenusa es:

Representación de . Se determina sobre la recta un triangulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y ,

respectivamente.

El valor de la hipotenusa es:

Representación de . Se determina la recta un triangulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente.

El valor de la hipotenusa:

Actividades:

Escriba 4 ejemplos de Nº irracionales. Representen en la recta real los números y .

Notación científica

La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de una manera abreviada. Por ejemplo la temperatura en el interior del sol que es de 15.000.000 c° o el volumen de la célula humana, que es de 0,000000004 , pueden expresarse de la siguiente manera: 1,5 . y 4 .

. Un número esta expresado en notación científica cuando está escrito como el producto de dos

números “a x b”, donde y

Por ejemplo , en este caso a = 2 y

1) Exprese en notación científica los siguientes números

Actividades:

1) Exprese en notación científica los siguientes números

a) 15000000=

b) 0,000000004=

c) -250000000000=

d) 0,0000000098=

e) -0,00074=

f) 0,000023=

g) 97000000000000=

h) 2450000000=

2) Dados los siguientes números en notación científica determina cual es su valor real

a) b)

c) d) e)

f) g)h)

Aproximación

Muchas veces cuando se trabaja con números con grandes cifras decimales es necesario trabajar en forma aproximada, para ello existe dos maneras de aproximación, conocidas como truncamiento y redondeo.

Truncar: significa cortar un número en el lugar del decimal que se indique; por ejemplo

Me indica que tengo que cortar con un digito Me indica que tengo que cortar con dos dígitos

Me indica que tengo que cortar con tres dígitos Me indica que tengo que cortar con cuatro dígitos

Redondear: es la manera de aproximar un número al valor más cercano:

1. Si el decimal siguiente al que se aproxima es 0, 1, 2, 3 o 4 se trunca. 2. Si el decimal siguiente al que se aproxima es 5, 6, 7, 8 o 9 se suma 1 a dicho decimal.

Actividad:

1) Dados los siguientes valores aproximarlos tanto por truncamiento como por redondeo, , y

a) 4,5387878b) 65,243687

c) 129,985762

d) 0,390784402

Radicación

Simplificación: significa expresar la raíz por otra con menor índice y exponente, en otras palabras es dividir por un mismo número tanto al índice de la raíz como a la potencia que interviene, por ejemplo:

en este caso dividimos tanto al índice como a la potencia en dos quedando la raíz igual a . Otro

ejemplo sería como el índice y las potencias se encuentran en la tabla del 2 dividimos a

todos por 2 y nos queda la raíz simplificada Existen casos en que los exponente de los factores no pertenecen a una misma tabla y por lo tanto la simplificación no se realiza solamente con respecto a un solo numero como por ejemplo como se puede observar el 12 con el nueve son múltiplos de 3 mientras que el 12 con el 8 son múltiplos de 2 por lo tanto para realizar esta simplificación se debe previamente realizar la propiedad distributiva y recién simplificar

Actividad: simplificar las siguientes raíces

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Mínimo Común Índice

Reducir dos o más radicales a mínimo común índice es encontrar otros tantos radicales respectivamente iguales a los dados que tengan por índice común, el mínimo múltiplo de los índices dados.Sea reducir a mínimo común índice los siguientes radicales.

, y El m.c.m de los índice 6, 4 y 3, es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.Si se considera el primer radical: . Para pasar del índice 6 al 12, es necesario multiplicar por (12: 6) = 2. Luego el exponente debe multiplicarse también por 2, es decir:

Como 12:4 = 3 es

Y como 12:3 = 4 es El procedimiento seguido aquí es general.

M.C.M: es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Actividades:

Reducir a mínimo común índice los radicales:

a) , , ,

b) , ,

c) ,

d) , ,

e) , ,

Extracción de factores: es un caso particular de simplificación solamente que en este caso los exponentes de los radicandos son mayores que el índice de la raíz dada.Para proceder a la extracción se debe dividirse cada exponente en el índice quedando el factor fuera de la raíz elevad al cociente y dentro de la raíz el factor quedará elevado al resto de la división, un segundo caso es cuando el resto es igual a cero el factor desaparece como radicando.

Primer caso 11:5=2 en este caso el cociente es 2 y el resto es 1 23:5=4 en este caso el cociente es 4 y el resto es 3

Segundo caso 12:6=2 en este caso el cociente es 2 y el resto es igual a cero 20:6=3 en este caso el cociente es 3 y el resto igual a 2

Como se puede observar solamente nos queda el como radicando ya que la división correspondiente a la potencia del numero 9 dio como resto el valor cero.

Actividad: extrae los factores de las siguientes raíces.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) h) i) j)

Introducción de factores: para introducir un factor en una raíz, primero se debe multiplicar el exponente por el índice y si adentro de la raíz existe otro factor de igual base el resultado de la multiplicación deberá sumarse con el exponente del factor que se halla adentro en caso de existir otro factor directamente el exponente dentro de la raíz pasa a ser el resultado de la multiplicación. Por ejemplo si tenemos

3 . 7 = 21 + 5 = 26 por lo tanto la raíz queda expresada de la siguiente 4 .7 = 28 + 2 = 30 manera

Actividad: introducir en la raíz todos los factores que operan con la misma.

a)

b)

c)

d)

e) f)

g) h)

Radicales Semejantes

Son aquellos que tienen igual índice e igual radicando.

Ejemplo

, ,

Actividades:

Escriba 4 ejemplos de radicales semejantes.

Determinen con un x los radicales que sean semejantes:

, , ,

, , , ,

Operaciones con Radicales

Suma y resta de radicales:

Ejemplo

En este caso se asocia el primer término con el tercero ( ) y el segundo termino con el cuarto ( ). Como se observa en los paréntesis esta sociedad se realiza porque poseen la mismas raíces es decir se buscan raíces semejantes. Una vez que se encontró los términos se suman o restan los números que se encuentran afuera de cada raíz estos números se los conoce como coeficientes. Por lo tanto el ejemplo presentará el siguiente resultado.

Multiplicación de radicales:

Ejemplo. Primer caso:

Como se observa en el ejemplo se debe multiplicar los coeficientes por un lado y los números dentro de las raíces por otro lado siempre y cuando las raíces posean el mismo índice para realizar la propiedad asociativa.

Segundo caso:

En este ejemplo existen raíces con distintos índice se lo debe reducir a mínimo común índice y luego aplicar las propiedades reciprocas de las distributivas de las radicación respecto de la multiplicación.

División de radicales:

Ejemploa) b) c) Como se puede ver en estos ejemplos se procede como en los casos presentados en la multiplicación solamente que acá se divide y en el caso de que posean distintos índices se los expresa como una fracción.

Actividad: realizar las siguientes operaciones con radicales:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

17) 18)

Racionalización de Denominadores

Dada una fracción en cuyo denominador figura un radical, racionalizar el denominador de dicha fracción es encontrar otra fracción a la dada, en cuyo denominador no figura ningún radical.

Y las dos son iguales

Primer caso: En el denominador hay un único radical.

Vemos que en este denominador los factores a y b pueden extraerse fuera del radical.

Se multiplica numerador y denominador de la fracción por ese mismo radical.

Se factorea el 12

12 26 23 31

Segundo caso: El denominador es un binomio con un término radical y otro irracional cuadrático. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia:

Tercer caso: El denominador es un binomio cuyos dos términos son irracionales cuadráticos.

Se saca factor común a 2

Actividades:

Racionalizar cada uno de los denominadores de las siguientes fracciones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)