370576_ed - distribuições discretas - binomial e poisson
TRANSCRIPT
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
1/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
1
1. MODELOS DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES
1.1 MODELOS DE DISTRIBUIO DISCRETA DE PROBABILIDADES
1.1.1 DISTRIBUIO DEBERNOULLI
Suponhamos um experimento E onde:
As diversas provas se realizam sob condies idnticas; Cada prova apresenta somente dois resultados ( Sucesso - S - ou Fracasso - S ), mutuamente
excludentes + =P S P S( ) ( ) 1; A probabilidade p P S= ( ) a mesma em cada prova, isto implica que p q q P S+ = =1 onde ( ) ; As provas so independentes umas das outras.
Um experimento nas condies acima define uma distribuio de Bernoulli, ou seja, temos umavarivel aleatria X discreta em que:
X P(x)
Fracasso q
Sucesso p
1
Para efeito de clculos foram designados os valores 0 e 1, respectivamente, para os resultadosFracasso e Sucesso, assim:
X P(x)
0 q
1 p
1
Uma Varivel Aleatria com estas caractersticas apresenta uma Distribuio de Bernoulli.
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
2/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
2
1.1.1.1 ESPERANA DA DISTRIBUIO DE BERNOULLI
p
p1q0
xpx
x
x
iix
=
+=
=
)(
1.1.1.2 VARINCIA DA DISTRIBUIO DE BERNOULLI
( )[ ][ ]
[ ]
[ ]
VAR x E x
VAR x E x
mas
E x x p x
E x q p p
VAR x p p
VAR x p p
VAR x pq
i x
i x
i i i
i
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
=
=
=
= + =
=
=
=
2
2 2
2 2
2 2 2
2
0 1
1
logo,
1.1.2 DISTRIBUIOBINOMIAL
Seja um experimento que consiste de um nmero n fixo de provas de Bernoulli, com probabilida-de p ( constante ) de sucesso para cada prova.
A distribuio de probabilidade da Varivel Aleatria X chamada Distribuio Binomial com n
provas e probabilidade p de sucesso .A probabilidade de, ao realizarmos n provas, se obter x sucessos, e consequentemente ( n - x ) fra-cassos, numa ordem qualquer :
p q x n x
Como temos Cnx disposies possveis de ocorrncias, a funo Distribuio de Probabilidade
Binomial da Varivel Aleatria X fica:
f x P X x p q x nCnx x n x( ) ( )= = = , 0
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
3/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
3
Exemplo 1 ) Consideremos os seguintes casos:
a) n=5 e p = 0,2O Histograma desta distribuio fica:
P X f
P X f
P X f
P X f
P X f
P X f
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
0 0 0 3277
1 1 0 4096
2 2 0 2048
3 3 0 0512
4 4 0 0064
5 5 0 0003
b) n=5 e p = 0,5O Histograma desta distribuio fica:
P X f
P X f
P X f
P X f
P X f
P X f
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
0 0 0 0313
1 1 0 1562
2 2 0 3125
3 3 0 3125
4 4 0 1562
5 5 0 0313
c) n=5 e p = 0,8O Histograma desta distribuio fica:
P X f
P X fP X f
P X f
P X f
P X f
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
= = =
= = == = =
= = =
= = =
= = =
0 0 0 0003
1 1 0 00642 2 0 0512
3 3 0 2048
4 4 0 4096
5 5 0 3277
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
4/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
4
Podemos observar que para:
p = 0,5 a distribuio SIMTRICA p < 0,5 a distribuio ASSIMTRICA ESQUERDA p > 0,5 a distribuio ASSIMTRICA DIREITA
1.1.2.1 ESPERANA DA DISTRIBUIO BINOMIAL
Como a Distribuio Binomial consiste de n Distribuies de Bernoulli temos:
E x np[ ] =
1.1.2.2 VARINCIA DA DISTRIBUIO BINOMIAL
De maneira anloga Esperana a Varincia da Distribuio Binomial ser:
VAR x npq[ ] =
Exemplo 2 ) Um estudo mostra que 70% dos pacientes que vo a uma clnica devem esperar no mnimo 15 minutos
at serem atendidos. Determine a probabilidade de que para 8 pacientes:
a) Nenhum paciente tenha que se sujeitar espera;b) Dois pacientes tenham que se sujeitar espera;c) Seis pacientes tenham que se sujeitar espera.
Soluo
A probabilidade de sucesso ( o paciente ter que se sujeitar espera ) de 70%, isto , 0,7, logo aprobabilidade de fracasso de 0,3.
a)
P X x f x p q
P X f
f
f
CCnx x n x( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ,
( ) ,
= = =
= = =
=
=
0 0 0 7 0 3
0 0 3
0 0 00007
80 0 8
8
b)
P X x f x p q
P X f
ff
CC
nx x n x( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) , ,( ) ,
= = =
= = =
= =
2 2 0 7 0 3
0 28 0 7 0 30 0 00122
82 2 6
2 6
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
5/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
5
c)
P X x f x p q
P X f
f
f
CC
n x x n x( ) ( )
( ) (5) , ,
( ) , ,
( ) ,
= = =
= = =
=
=
5 0 7 0 3
0 56 0 7 0 3
0 0 25412
85 5 3
5 3
Exemplo 3 ) Determine a probabilidade de um nico 2 sair em 3 lanamentos de um dado:
Soluo
A probabilidade de sucesso ( sair a face 2 ) 1
6 , a probabilidade de fracasso ( NO sair face 2 ) 5
6,logo
f x p q
f
f
C
Cnx x n x
( )
( )
( ) ,
=
=
=
11
6
5
62 0 3472222
31
1 2
1.1.3 DISTRIBUIO DEPOISSON
aplicada nos casos em que o nmero de fracassos ou o nmero de provas so grandezas inume-rveis.
A probabilidade de uma Varivel Aleatria Discreta X dada, pela Distribuio de Poisson, por:
( )P x t
t
xe
onde
t VAR x
xt
x
( , )!
( )
=
= =
Exemplo 4 ) Chegam, em mdia, 10 navios-tanque por dia a um porto, que tem capacidade para 15 destes navios.
Qual a probabilidade de que, em determinado dia, um ou mais navios tenham que ficar ao largoaguardando uma vaga?
Soluo
Resolveremos este problema de duas maneiras. A primeira utilizando a frmula e a segunda utilizando atabela da Distribuio de Poisson
1 maneira:
Se o porto tem uma capacidade de 15 navios, desejamos determinar a probabilidade de em determinado diachegarem mais de 15 navios ao porto.
-
8/6/2019 370576_ED - Distribuies Discretas - Binomial e Poisson
6/6
PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE MINAS GERAISNCLEO UNIVERSITRIO EM CONTAGEM
ESTATSTICA APLICADADistribuies Discretas: Binomial e Poisson
6
P X P X ( ) ( )> = 15 1 15
( )P X P x tx
ex t
xx
( ) ( )!
> = =
==
15 1 10
15
0
15
t = 10, assim
P X e e e e e e( )! ! ! !
.. .! !
> = + + + + + +
15 110
0
10
1
10
2
10
3
10
14
10
15
010
110
210
310
1410
1510
P X( ) , ,> = =15 1 0 9513 0 0487
2 maneira:
J sabemos que a probabilidade desejada :
P X P X ( ) ( )> = 15 1 15
A tabela de Probabilidades de Poisson, assim como as outras tabelas de probabilidades, uma tabela deprobabilidades acumuladas. Portanto ela nos fornece a P X xo( ) .
Devemos, ento, procurar na tabela onde temos t = 10 e r = 15. Para estes valores, encontramos na tabelao valor 0,9512 que P X( ) 15 . Portanto, temos:
P X P X ( ) ( )> = = =15 1 15 1 0,9512 0,0488
1.1.3.1 DISTRIBUIO DE POISSON COMO UMA APROXIMAO DA DISTRIBUIO BINOMIAL
Uma Distribuio Binomial com um nmero de prova n grande e uma probabilidade de sucessop pequena, de tal forma que np seja um nmero de grandeza moderada, pode ser aproximada pela Distri-buio de Poisson.
Suponhamos uma Distribuio Binomial com n = 200 e p = 0,04. Suponha, tambm que desejs-semos a P(X=5).
Pela Distribuio Binomial temos:
P X C( ) , ,= = 5 0 04 0 962005 5 195
Pela Distribuio de Poisson temos:
A mdia da Distribuio Binomial np e da Distribuio de Poisson t, assim
t np= = =200 0 04 8,
Portanto
P X e( )!
,= = =5 85
0191
58