3.6 fließgelenktheorie - department bauingenieurwesen · el tritt im querschnitt plastisches...

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

3.6 Fließgelenktheorie


3.6 Fließgelenktheorie

plM

3.6.1 Allgemeine Vormerkungen

Bei M > Mel tritt im Querschnitt plastisches Fließen auf. Die Tragfähigkeit des Tragwerks geht jedoch nicht verloren. Erst bei M = Mpl ist der gesamte Querschnitt plastiziert. Der Querschnitt wirkt wie ein „Fließgelenk“, welches das plastische Grenzmoment überträgt.

Plastische Zone

Annahmen:

Die Momenten–Krümmungsbeziehung wird dabei als elastisch-ideal plastisch angenommen.

Bei Entlastung verhält sich das Material elastisch.

/ plM M

/ pl

elM Entlastung

Näherung

Exakt1

el


Traglast

Statisch bestimmte Systeme:

Bei einem statisch bestimmten System wird durch die Bildung eines Fließgelenks ein kinematisches System entstehen. Die zugehörige Last nennt man Traglast, die zugleich auch die plastische Grenzlast ist.

T plF F

Statisch unbestimmte Systeme:

Bei einem statisch unbestimmten System führt die Bildung eines Fließgelenks im Allgemeinen noch nicht zum Verlust der Tragfähigkeit des Systems. Bei Laststeigerung bilden sich hintereinander Fließgelenke, so dass ein abschnittsweise lineares Systemverhalten auftritt. Daher braucht man hierbei nur lineare Berechnungen (keine Iterationen). Erst bei der Theorie II. Ordnung braucht man Iterationen in den einzelnen Schritten.


Traglast

F

TF

w

elFTh. II. Ord.

Th. I. Ord.plF

elw

T plF F

plF

Fel = elastische Grenzlast

Fpl = plastische Grenzlast

FT = Traglast

Bemerkung:

Bei Th. II. Ord. kann die Traglast vor der plastischen Grenzlast auftreten.


Vergleich vom Momentengelenk und Fließgelenk

Momentengelenk Fließgelenk

Knickwinkel ja ja

Aufnahme vom Moment nein ja, Mpl

Drehrichtungen 2 1

Momentengelenk Fließgelenk

möglich

Zu (1): Drehung in Richtung des zunehmenden Moments.

Zu (2): Bei einer Entlastung verhält sich ein Querschnitt wieder elastisch. Das Fließgelenk ist also „eingefroren“ bzw. „verschwunden“!

/ plM M

/ pl Entlastung

Belastung

(2)

(1)möglich möglich (1)

Mpl

nicht möglich (2)


3.6.2 Traglast bei statisch bestimmten Systemen

Bemerkungen:

Wird ein Fließgelenk in einem statisch bestimmten System ausgebildet, entsteht dadurch eine kinematische Kette. Die Tragfähigkeit des Systems geht verloren.

Fließgelenk tritt an der Stelle des maximalen Biegemomentes auf.

Zur Bestimmung der Traglast statisch bestimmter Systeme können 2 unterschiedliche Methoden verwendet werden:

1) Statische Methode (Gleichgewichtsmethode)

2) Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV)


3.6.3 Traglast bei statisch unbestimmten Systemen

Zur Bestimmung der Traglast statisch unbestimmter Systeme können 2 verschiedene Methoden verwendet werden:

1) Methode der sukzessiven Laststeigerung

2) Direkte Methoden

3.6.3.1 Methode der sukzessiven Laststeigerung

Bei dieser Methode wird die Last schrittweise gesteigert. Beim Erreichen einer kinematischen Kette am Teil- oder Gesamt-system erhält man die Traglast.

Die einzelnen Lastschritte werden durch linear elastische Berechnung mit dem KGV, WGV oder sonstigen baustatischen Verfahren bestimmt.


Methode der sukzessiven Laststeigerung

Im Lauf der Laststeigerung gilt:

Grad der statischen Unbestimmtheit nimmt ständig ab (durch zusätzliche Gelenke).

Grad der geometrischen Unbestimmtheit nimmt ständig zu (durch zusätzliche Gelenkverdrehungen). Die Element-steifigkeiten nehmen ab.

Vorteil:

Besseres Verständnis der sukzessiven Ausbildungen der Fließgelenke und schließlich der kinematischen Kette (Versagensmechanismus).


Anwendung von baustatischen Verfahren

Die Lasten werden entweder mit einem gemeinsamen Lastfaktor gesteigert oder mit getrennten Steigerungsfaktoren sukzessiv aufgebracht. Im Lauf der Laststeigerung entstehen nacheinander Fließgelenke und dadurch wird das System ständig geändert. In den einzelnen Lastschritten können verschiedene Varianten von baustatischen Verfahren eingesetzt werden.

1) Kraftgrößenverfahren (KGV)

Bei bekannter Lage der Fließgelenke werden dort statische Überzählige Xi eingeführt. Im Lauf der Laststeigerung werden sie nacheinander durch die bekannten Fließmomente Mpl ersetzt. Dadurch verkleinert sich das System ständig.



2) Verschiebungsgrößenverfahren (WGV)

WGV mit zunehmender Anzahl von Verdrehungen an den Fließgelenken

Vorteil: Steifigkeitswerte ändern sich nicht.Nachteil: Gleichungssystem wird zunehmend größer.

WGV mit sukzessiv reduzierten SteifigkeitenDie Elementsteifigkeiten werden durch die Fließgelenke

reduziert.Das Verfahren entspricht der FEM mit dem Newton-Raphson-

Verfahren.Vorteil: Anzahl der Unbekannten bleibt konstant.Nachteil: Elementsteifigkeiten müssen neu aufgestellt

werden.



3) Gemischtes Verfahren

Ist die Lage der Fließgelenke nicht bekannt, werden statische Überzähligen an allen potentiellen Fließgelenken angebracht. Dadurch wird das System im Allgemeinen kinematisch. Durch zusätzliche Knotenverschiebungen als Unbekannte (geometrische Überzählige im WGV) wird das System wieder gehalten. Das Gleichungssystem wird zunehmend durch die Ausbildung von Fließgelenken kleiner.


Invarianz der plastischen Grenzlast

Der Kraftzustand beim Erreichen der plastischen Grenzlast ist unabhängig von der Belastungsgeschichte, wenn keine Entlastungen vorkommen.

Der Kraftzustand beim Erreichen der plastischen Grenzlast ist unabhängig von Verformungslastfällen.

Grund: Vor der Bildung der kinematischen Kette wird das System zuerst statisch bestimmt. Daher spielen die Verformungslastfälle keine Rolle für den Kraftzustand beim Erreichen der plastischen Grenzlast.

Der Verschiebungszustand ist von der Belastungsgeschichte und den Verformungslastfällen abhängig.


Invarianz der plastischen Grenzlast

Bemerkungen:

Die obige Invarianz gilt nur für Fließgelenktheorie I. Ordnung.

Für Fließgelenktheorie II. Ordnung ist sowohl der Kraftzustand als auch der Verschiebungszustand von der Belastungs-geschichte abhängig.


3.6.3.2 Direkte Methoden

Die Bestimmung der Traglast mit sukzessiver Laststeigerung ist recht aufwendig, insbesondere bei hochgradig statisch unbestimmten Systemen. Hierbei ist es vorteilhaft, die Traglast direkt zu bestimmen, ohne die Zwischenzustände zu untersuchen. Diese Vorgehensweise entspricht der Annahme eines ideal-plastischen Werkstoffgesetzes.

/ plM M

/ pl

1

-1


Statik(1)

Gleichgewichtsbedingungen und statische Randbedingungen (statisch zulässig)

Werkstoff(2) Positive Dissipationsarbeit

(4)Kinematik

(3)Kinematische Fließgelenkkette + geometrische Randbedingungen(kinematisch zulässig)

Direkte Methoden

Voraussetzungen für die direkten Methoden:

1) Proportionale Belastung, keine Entlastung.

2) Unabhängigkeit der Traglast von der Belastungsgeschichte.

Der Traglastzustand muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

plM MFliessbedingung:


Positive Dissipationsarbeit


Dissipationsarbeit

Bemerkungen:

Die Dissipationsarbeit ist immer positiv, falls

Anzeichnen der Momenten-Pfeilspitzen auf der gedrückten Seite

Mpl entgegen der Richtung der VerdrehungplM

plM

plM

0iW 0iW


Eindeutigkeitssatz

Eindeutigkeitssatz:

Wenn ein Lastzustand alle 4 Bedingungen erfüllt, dann ist dieser

bei der Fließgelenktheorie I. Ordnung der tatsächliche Traglast-

zustand.

Um alle 4 Bedingungen zu erfüllen, ist es in vielen Fällen sehr

schwierig. Daher wird zuerst auf Bedingungen (3) + (4) oder (2)

verzichtet. Dies führt zu den folgenden beiden Grenzwertsätzen.


Grenzwertsätze

Statischer Grenzwertsatz:

(1) und (2) sind erfüllt; Verzicht auf (3) und (4).

Kinematischer Grenzwertsatz

(1), (3) und (4) sind erfüllt; Verzicht auf (2).

Bemerkungen:

Der statische Grenzwertsatz stellt einen unteren Grenzwert für die Traglast dar:

stat TF F

Der statische Grenzwertsatz ist sicher!


Grenzwertsätze

Der kinematische Grenzwertsatz stellt einen oberen Grenzwert für die Traglast dar:

kin TF F

Der kinematische Grenzwertsatz ist unsicher!


Statischer Grenzwertsatz

Jede Belastung, zu der ein statisch zulässiger Kraftzustand gehört, die die Fleißbedingung nicht verletzt, stellt einen unteren Grenzwert für die Traglast dar.

Fstat < FT FT


Traglastbestimmung nach dem statischen Grenzwertsatz

stat TF F

Vorgehensweise (statische Methode):

Verzicht zuerst auf die Bedingungen (3) und (4);

Annahme eines statisch zulässigen Kraftzustandes (Bedingung (1));

Bestimmung von Fstat über die Fließbedingung (2);

Überprüfung, ob eine kinematisch zulässige Fließgelenkkette vorliegt (Bedingungen (3)+(4)).

Falls (3) und (4) erfüllt, dann ist die Traglast gefunden:

Falls (3) und (4) nicht erfüllt, dann erhält man einen unteren Grenzwert:

stat TF F

Bemerkung: Man kann den statisch zulässigen Kraftzustand solange variieren, bis (3) und (4) erfüllt sind. Damit kann man dieTraglast erhalten.


Kinematischer Grenzwertsatz

Jede Belastung, die an einem kinematisch zulässigen Mechanismus Gleich-gewicht bildet, stellt einen oberen Grenzwert für die Traglast dar.

Fkin > FT FT


Traglastbestimmung nach dem kinematischen Grenzwertsatz

kin TF F

Vorgehensweise (kinematische Methode):

Verzicht zuerst auf die Bedingung (2);

Annahme einer kinematisch zulässigen Fließgelenkkette (Bedingung (3));

Bestimmung von Fkin mit Gleichgewichtsmethode oder PvV (Bedingungen (1)+(4));

Überprüfung, ob die Fließbedingung (2) im gesamten Tragwerk erfüllt ist;

Falls (2) erfüllt, dann ist die Traglast gefunden:

Falls (2) nicht erfüllt, dann erhält man einen oberen Grenzwert:

kin TF F

Bemerkung: Man kann die kinematisch zulässige Fließgelenkkette solange variieren, bis (2) erfüllt ist. Damit kann man die Traglast erhalten.


Zwei Varianten der kinematischen Methode

Variante 1: Vergleichsmethode

Wenn alle Fließgelenke bekannt sind, kann man durch den Vergleich aller Grenzlasten die tatsächliche Traglast finden.

Vorgehensweise der Vergleichsmethode:

Untersuchungen aller möglichen Fließgelenkketten;

Bestimmung der zugehörigen Grenzlasten mit PvV;

Vergleich aller Grenzlasten:

Traglast FT = kleinste Grenzlast Fkin

Nachteil: Alle Fließgelenkketten müssen untersucht werden!


Zwei Varianten der kinematischen Methode

Variante 2: Probiermethode

Wenn alle Fließgelenke nicht bekannt sind, kann man einige wahrscheinlichste Fließgelenkketten untersuchen. Durch „Probieren“ kann man auch die tatsächliche Traglast finden.

Vorgehensweise der Probiermethode:

Untersuchungen einiger wahrscheinlichster Fließgelenkketten;

Bestimmung der zugehörigen Grenzlasten mit PvV;

Überprüfung, ob die Grenzlast auch die Fließbedingung (2) erfüllt;

Falls (2) erfüllt ist, dann ist Traglast gefunden:

Falls (2) nicht erfüllt ist, dann weiter probieren.

Vorteil: Man braucht nur eine oder einige Fließgelenkketten zu untersuchen!

kin TF F


Elementarketten

Knotenketten Giebelketten


Fließgelenke und Elementarketten

Mögliche Orte von Fließgelenken:

• Bei Einspannungen

• Bei Querschnittsprüngen

• Unter Einzellast

• Bei Mmax (Nulldurchgang von Q) für verteilte Lasten

• An Rahmenecken

Statisch unbestimmte Rahmen:

• Anzahl der Elementarketten: m = h -n

h: Anzahl der Fließgelenke

n: Grad der statischen Unbestimmtheit


Elementarketten und Kombination


Praktische Vorgehensweise zur Bestimmung der Traglast

Der statische Grenzwertsatz bzw. die statische Methode ist sicher, aber sehr aufwendig, insbesondere bei hochgradig statisch unbestimmten Systemen.

Der kinematische Grenzwertsatz bzw. die kinematische Methode ist einfacher anzuwenden, aber unsicher.

In der praktischen Anwendung kann man beide Grenzwertsätze bzw. Methoden kombinieren, um die Traglast zu bestimmen. Die „praktische Vorgehensweise“ zur Bestimmung der Traglast ist auf der nächsten Seite angegeben.


Praktische Vorgehensweise zur Bestimmung der Traglast

3.6 fließgelenktheorie - department bauingenieurwesen · el tritt im querschnitt plastisches...

Documents