3.5.6 método de scheffé para a comparação de todos os contrastes
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3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes. Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento. Em seu método, o erro tipo I é no máximo para qualquer das comparações possíveis. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery
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3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes.
• Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento.
• Em seu método, o erro tipo I é no máximo para qualquer das comparações possíveis.
• Suponha um conjunto de m contrastes das médias de tratamento.
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a
i i
ilEl
a
il
i
ill
a
iiill
a
iiill
n
cMSSC
Cn
cC
ycC
mlc
1
2
1
22
1.
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é de padrão erro o que tal)Var(
,...,2,1,
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3
0:
0:
1
0
l
l
H
HaNallll FaSCSSCRC ,1,,, )1( com:
O procedimento de Scheffé também pode ser usado paraconstruir intervalos de confiança para todos os contrastes possíveis entre as médias de tratamento.
lll SCIC ,:)1,(
intervalos simultâneos tal que o nível de confiança conjunto é pelo menos 1-.
Exemplo
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97,45
09,65:
97,4509,65
55,1134,16
80,15580,193
2
1
2,01.01,01.0
21
21
412
43211
C
CRC
SS
SCSC
CC
3.5.7 Comparação de pares de médias de tratamento
• Nesse caso poderíamos fazer
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jijil ,
e usar Scheffé.
Porém, nesse contexto, o método de Scheffé não é o mais sensível para tais comparações.
Existem vários métodos para esse tipo de comparação.Veremos os dois mais populares.
Teste de Tukey• Suponha uma ANOVA na qual a hipótese nula de
médias iguais foi rejeitada e que deseja-se testar as hipóteses
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ajijiH ji ,...,2,1,,,:0
• Tukey (1953) propôs um procedimento para o qual o nível de significância global é exatamente , quando ostamanhos amostrais são iguais e, no máximo , quando ostamanhos são desiguais.• Também é possível usar esse método para construirintervalos de confiança para as diferenças entre médias.•Os intervalos têm nível de confiança conjunto de 100(1- )%no caso balanceado e pelo menos 100(1- )% no caso não balanceado.
Teste de Tukey para a comparação de pares de médias
• O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada
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},...,,{Min e
},...,,{Max com,
..2.1min
..2.1maxminmax
a
aE
yyyy
yyyy
nMS
yyq
• Valores da distribuição da estatística q foram tabulados
liberdade de graus de n. e os tratamentn.de - com ),,( fpfpq
• Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeitaa hipótese nula se
n
MSfpqTyy E
ji ),(..
Teste de Tukey para a comparação de pares de médias
• Equivalentemente, podemos construir intervalos de confiança de 100(1-)% para todos os pares dados por
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jin
MSfpqyy E
ji ,),(..
• Quando as amostras são não balanceadas
Kramer-Tukey de toProcedimen
11
2
),(:)1,(
11
2
),(
..
jiEjiji
jiE
nnMS
fpqyyIC
nnMS
fpqT
Teste de Tukey para a comparação de pares de médias
• No R, há as função TukeyHSD e plot(TukeyHSD).
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Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = dados$y ~ dados$rf)
$`dados$rf` diff lwr upr p adjp180-p160 36.2 3.145624 69.25438 0.0294279p200-p160 74.2 41.145624 107.25438 0.0000455p220-p160 155.8 122.745624 188.85438 0.0000000p200-p180 38.0 4.945624 71.05438 0.0215995p220-p180 119.6 86.545624 152.65438 0.0000001p220-p200 81.6 48.545624 114.65438 0.0000146
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Comparação de médias
• É possível obter um teste F global da ANOVA significativo e, ao comparar todos os pares de médias, concluirmos que as diferenças não são significativas.
• Essa situação pode ocorrer porque o teste F está considerando simultaneamente todos os contrastes possíveis envolvendo as médias de tratamento e não somente os pares.
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Método de Fisher da menor diferença significante (mds)
• O método de Fisher da menor diferença significante para comparar todos os pares de média controla a taxa de erro para cada comparação individual, mas não a taxa de erro global do experimento.
• Esse procedimento usa a estatística t para testar a hipótese H0 : i = j .
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jiE
ji
nnMS
yyt
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ˆ ..0
• Supondo uma alternativa bilateral uma região crítica Para um teste de nível é:
jiEaNji nn
MStyy11
,2/..
Método de Fisher da menor diferença significativa (mds)
• A quantidade
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jiEaN nn
MStMDS11
,2/
é chamada menor diferença significativa. Se o experimentoé balanceado
nMStMDS EaN /2,2/
• Para usar um procedimento de Fisher, simplesmentecomparamos a diferença observada em cada par com a correspondente MDS.• O risco global pode ser consideravelmente inflacionado por esse método.
Que método usar?• Não existe uma resposta e muitos estatísticos
discordam sobre a utilidade dos vários procedimentos.• Carmer e Swanson (1973) realizaram uym estudo de
simulação de Monte Carlo de vários procedimentos de comparações múltiplas, incluindo procedimentos que não foram apresentados aqui.
O método MDS é efetivo para detectar diferenças verdadeiras se aplicado somente após o teste F da ANOVA ter resultado significante a 5%, apesar do método não controlar a taxa de erro global.
Muitos preferem o método de Tukey por controlar a taxa de erro global.
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Comparações de médias de tratamento com um controle
• Se um dos tratamentos é um controle e se está interessado em comparar cada um dos outros a-1 tratamentos com o controle, apenas a-1 comparações são feitas.
• Um procedimento para fazer essas comparações foi desenvolvido por Dunnett (1964). Suponha que entre os tratamentos, o a-ésimo seja o controle e que
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ai
ai
H
H
:
:
1
0
• O procedimento é uma modificação do teste t usual.
Procedimento de Dunnett
• Para cada hipótese calcula-se a diferença
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1,...,1,.. aiyy ai
jiEai nn
MSfadyyRC11
),1(: ..
em que a constante d é obtida por meio de tabela apropriada.Aqui, é o nível conjunto dos a-1 testes.Quando comparamos tratamentos com um controle, uma boaestratégia é usar mais observações no controle do que nosdemais.A razão na/n de ve ser aproximadamente igual à raiz quadradade a.
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3.7 Sample Size DeterminationText, Section 3.7, pg. 101
• FAQ in designed experiments• Answer depends on lots of things; including what
type of experiment is being contemplated, how it will be conducted, resources, and desired sensitivity
• Sensitivity refers to the difference in means that the experimenter wishes to detect
• Generally, increasing the number of replications increases the sensitivity or it makes it easier to detect small differences in means
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Sample Size DeterminationFixed Effects Case
• Can choose the sample size to detect a specific difference in means and achieve desired values of type I and type II errors
• Type I error – reject H0 when it is true ( )
• Type II error – fail to reject H0 when it is false ( )
• Power = 1 - • Operating characteristic curves plot against a
parameter where
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2 12
a
ii
n
a
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Sample Size DeterminationFixed Effects Case---use of OC Curves
• The OC curves for the fixed effects model are in the Appendix, Table V
• A very common way to use these charts is to define a difference in two means D of interest, then the minimum value of is
• Typically work in term of the ratio of and try values of n until the desired power is achieved
• Most statistics software packages will perform power and sample size calculations – see page 103
• There are some other methods discussed in the text
2 22
22
nD
a
/D
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Power and sample size calculations from Minitab (Page 103)
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Sugestão de exercícios do capítulo 3
• 1,2,4,6,8 a 11, 16, 18 a 20