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Questao 1 Um cilindro de massa m e raio a, rola sem deslizar sobre o plano inclinado mostrado nafigura, que por sua vez desliza sobre uma mesa sem atrito. Quanto vale a aceleracao do plano inclinado?
Solucao
Baseando-se na figura abaixo, temos que :
~rGm/O = ~rM +~b+ ~rGm/A
E derivando essa equacao temos:d2~rGm/O
dt2=d2~rMdt2
+d2~rGm/A
dt2
Para resolver este problema, vamos primeiro ilustrar as equacoes centrais que envolvem o problema:
1.Equacao de translacao para o cilindro:
~N + ~fat +m~g = md2~rGm/O
dt2
2.Equacao de translacao apra o plano:
~N1 +M~g − ~fat − ~N = Md2~rMdt2
3.Equacao de rotacao para o cilindro:~rB/GmX ~fat = IGm~α
Antes de manipular essas equacoes, vamos escrever os vetores nas suas componentes cartesianas:
~N = N cosαuy −N sinαux
~fat = f sinαuy + f cosαux
~g = −guy~N1 = N1uy
d2~rGm/A
dt2= aA cosαux + aA sinαuy
d2~rGm/O
dt2=d2~rMdt2
+d2~rGm/A
dt2
d2~rGm/O
dt2= Aux + aA cosαux + aA sinαuy
Agora, iremos voltar as 3 equacoes anteriores e substituir os vetores decompostos obtidos acima, afimde resolver e encontrar as incognitas alpha,f e A(resposta do problema):
Translacao do plano:
~N1 +M~g − ~fat − ~N = Md2~rMdt2
Equacoes escalares:N1 −Mg − f sinα−N cosα = 0
−f cosα +N sinα = MA
Translacao do cilindro:
~N + ~fat +m~g = md2~rGm/O
dt2
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Equacoes escalares:N cosα + f sinα−mg = maA sinα
−N sin alpha+ f cos alpha = mA+maA cosα
Rotacao do cilindro:
−αuzX~rB/Gm =d2~rGm/A
dt2
−αuzX(−a cosαuy + a sinαuy) = aA cosαux + aA sinαuy
α = −aAa
Ainda da rotacao do cilindro:~rB/GmX ~fat = IGm~α
(−a cosαuy + a sinαuy)X(f sinαuy + f cosαuy) = ma2
2αuz
af = ma2
2α
f = −maA2
Substituindo f nas relacoes anteriores, teremos as equacoes
maA cosα + 2N sinα = 2MA (equacao 1)
2N cosα− 2mg = 3maA sinα (equacao 2)
−2N sinα = 2mA+ 3maA cosα (equacao 3)
De (1) e (3) obteremos:maA cosα = −(m+M)A
De (2) e (3):2N − 2mg cosα = −2mA sinα
N = m(g cosα− A sinα)
Substituindo os valores em (1);
−(m+M)A+ 2m(g cosα− A sinα) sinα = 2MA
o que resulta em
~A =mg sin 2α
3M + 2m−m cos 2αuz
Uma rapida analise da expressao acima mostra que a aceleracao do plano e positiva,ou seja,para aesquerda, conforme o referencial adotado. O cilindro rola ao longo do plano inclinado, conforme mostra osinal de α.
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Questao 10.28 (Alonso e Finn) Um bastao de comprimento L e massa m repousa sobre um planohorizontal sem atrito (Fig. 10-34). Durante o curto intervalo de tempo ∆t o bastao e atingido por umaforca F que produz um impulso I. A forca age num ponto P situado a uma distancia a do centro de massa.Procure (a) a velocidade do centro de massa, e b) a velocidade angular em torno do centro de massa. c)Determine o ponto Q, que permance inicialmente em repouso no refencial do laboratorio, mostrando que
b =K2
a, onde K e o raio de giracao em torno do centro de massa. O ponto Q e chamado centro de
percussao.(Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelo centro de percussao no sentido deevitar a desagradavel sensacao de reacao do taco quando ele atinge a bola.)Prove tambem que se a forcafor aplicada em Q, o centro de percussao estara em P.
Solucao
a) Pelo princıpio do Impulso e Momento Linear:
t2∫t1
−→F dt = m
−→V CM2 −m
−→V CM1
Fdt(−j) = I = m−→V CM2 − 0
−→V CM2 = − I
mj
b) Se analizarmos o torque total relativamente ao centro de massa, temos que
−→τ CM =d−→L CM
dt
E utilizando ICM como o momento de inercia do taco em relacao ao eixo vertical que passa pelo centro demassa do taco, e lembrando que o impulso vale I:
t2∫t1
−→τ CMdt = aF∆t(−k) = ICM−→ω 2 − 0
−→ω 2 = − Ia
ICM
k
Ou ainda, se utilizarmos o raio de giracao K, atraves da relacao ICM = mK2:
−→ω 2 = − Ia
mK2k
c) O ponto Q e formado peloa composicao dos movimentos de translacao e rotacao: Rotacao:−→ω Q = −→ω 2 =
− Ia
mK2k logo
−→V Q(rot) =
Iab
mK2j Translacao:
−→V Q(trans) =
−→V CM2 = − I
mj .Como
−→V Q = 0,
−→V Q(trans) +
−→V Q(rot) =
Iab
mK2j − I
mj = 0 .Portanto: b =
K2
aAnalogamente, se a forca for aplicada em Q, teremos (a
indicacao do apostrofe significa em relacao as aplicacoes em Q) :
−→V
′CM2 =
−→V CM2 = − I
mj
−→ω ′2 = − Ib
mK2
E procedendo-se analogamente como no caso anterior, encontramos as contribuicoes da velocidade lineardevido a rotacao e a translacao do centro de massa, que somadas devem resultar em 0, implicando final-
mente em a =k2
b, ou seja, o centro de precessao estara em P .
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Questao 10.31 (Alonso e Finn) Um cordao e enrolado no pequeno cilindro da Fig. 10.37. Supondoque o puxemos com uma forca F , calcule a aceleracao do cilindro. Determine o sentido do movimento.Aqui, r = 3cm,R = 5cm,F = 0, 1kgf e m = 1kg (massa do cilindro).
Solucao
Considerando-se que o cilindro rola sem deslizar, o ponto de contato com o solo pode ser consideradoum centro instantaneo de rotacao. Alem disso, seja α a aceleracao angular em relacao a esse ponto.Assim, calculemos o torque total externo em relacao a esse ponto:
τ = Iα
E pelo Teorema dos Eixos Paralelos, podemos obter I:
F (R− r) = (mR2
2+mR2)
a
R
F (R− r) = ma3R
2
a =2
3F (1− r
R)m
Substituindo os valores:
a =2
3.0, 1.0, 981(1− 3
5).1 = 0, 3m/s2
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