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3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1 A existência de equilíbrio termodinâmico ( ET ) ou equilíbrio termodinâmico local ( ETL ) no interior estelar grandes simplificações: »» pode-se escrever: (3.15) e (3.16) No caso do Sol , em. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1
A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbriotermodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações:
»» pode-se escrever:
(3.15) e
(3.16)
No caso do Sol, em
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»» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é:
(3.17)
onde ≡ seção eficaz de interação.
Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 10−16 −10−18 cm2.
Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10−24 cm2.
»» Define-se o peso molecular médio como
o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)
u.m.a. 1,661 x 10-24 g
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Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ (<massa>/ part.) = ½ mH
Copo d’água: 18
Atmosfera da Terra: 29
»» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como:
onde mH é a massa do átomo de H,
A densidade numérica de partículas no interior estelar é,
(3.18)
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»» Com esses valores de n,
~ 10-7 cm para interações entre partículas e
~ 1 cm para interações envolvendo fótons.
Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de
P e T (eqs. (3.15) e (3.16) )
e
variação muito pequena desses parâmetros em alguns :
no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm),
ou, e
CONCLUSÃO ??
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CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES
nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡
≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO
3.6: A Variação da Energia com r
»» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) naregião central da ; sua luminosidade L pode ser escrita:
Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura
» Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura
dr (figura 2.1)
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e
(3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou,
(3.20) (lagrange)
Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg
emitidas em r, e r + dr, e
os valores locais, pode-se escrever:
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»» Ordens de grandeza:
De (3.19), com , deduz-se que:
(3.21).
Para o Sol, , o que permite escrever-se:
para Estrelas em geral.
Ex: SP
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»» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 8
(3.20) , pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA??
»» Implementações na eq. (3.20):
inclusão dos neutrinos e
caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq.
de variação radial de L completa será:
(3.21)
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III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação)
3.8: O Gás de Elétrons
Três simplificações importantes:
ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito*
3.8.1: Gases Perfeitos (GP):
Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas
Quando isso ocorre? escrita:
----------------------------
* num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas.
(isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).
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Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito.
»» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é:
(3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann.
» Em termos do número total de partículas N no volume V,
, sendo o nº de moles,
o nº. de Avogadro e
R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases.
Como , segue que
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»» INFORMAÇÃO PRÁTICA:
um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas.
»» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num
GP: para partículas com separação média de r,
(3.22), sendo .
o volume ocupado por uma partícula é e seja
e T ~107 no interior estelar; com isso,
e ;
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» Por outro lado,
< Et > ~ (3/2) kT ~ 10-9 erg ~ 103 eV, isto é,
Ec << Et
Se a condição acima não for satisfeita,
desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta,
criação de pares
3.8.2: Funções de Distribuição
»» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia
depende da estatística aplicada.
a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a
estatística de Maxwell-Boltzmann:
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(3.23), sendo
o peso estatístico do nível E, ≡
≡ nº de configurações com energia E /cm3 .
é o fator de degenerescência, que é f(n) .
» Para baixas densidades, e para altas, ;
Para fótons, .
b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros
(≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:
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(3.24)
c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons),
como fótons, partículas alfa e mésons , há que aplicar-se a
estatística de Bose-Einstein:
(3.25)
»» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de
ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~
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~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E.
Para a distribuição de MB, e se
(baixas densidades) , f(E) << 1 .
»» O que mais nos ocupará no interior estelar?
a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a
Estatística de FD; nesse caso,
(3.26)
E nas altas densidades em questão, e obtemos ,
O que não é novidade. PORQUE??
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» Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ),
FD MB
3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito
PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM;
» Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;
Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será:
(ver Fig. 3.1)
p
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p
Fig. 3.1
Seja o número de partículas com
QM entre que incidem na
superfície unitária/unid. de tempo, vindas de
direções que fazem com a normal ângulos
no intervalo ;
Nessas condições, a Pressão no cone d
pode ser escrita:
e a pressão total no interior do gás será,
(3.27) ;
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» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever
(3.28)
, onde é a velocidade das ptclas. de
QM a componente de v ao longo da normal n .
»» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA
∝ ângulo sólido subtendido pela figura 3.1; daí,
= dS/r2 e como teremos que =2 sin d e
(3.29)
sendo a densidade de ptclas. com QM entre
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» de 3.27, 3.28 e 3.29,
(3.30), para cuja integração temos de
conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.
da eq. 3.30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas.
»» Estamos interessados no momento num gás de elétrons;
Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que ,
isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita:
(3.31), sendo
n = densidade total de ptclas./cm3 e
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»» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico,
não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será:
(3.32) , sendo
(é possível mostrar que o termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22).
3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode ainda ser escrita na forma
que , com ,
sendo µ o peso molecular médio e .
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» Nessas condições. Podemos definir µ como (3.33)
ou seja, µ é a massa média das partículas do gás,
em unidades de mH.
»» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados, podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) :
EX.: um gás de H puro, completamente ionizado;
a massa de H por cm3 é ,
o número de núcleos de H /cm3 é e
o número de partículas livres /cm3 é ;
de 3.33, ;
CASO GERAL: Tabela 3.1
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»» Pode-se então escrever para a densidade total,
sendo Z um valor médio.
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» Com , resulta
(3.34) e sendo ,
(3.35)
EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2;
Gás totalmente ionizado:
»»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me:
µ
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(3.35), que é o Peso Molecular /elétron livre.
Análogamente ao H, pode-se escrever:
(3.36) e com ,
(3.37) e
(3.38) .
EXs.: H puro: µe = 1; He puro: µe = 2 ;
Gás ionizado em geral: Tab. 3.2
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3.8.5: Degenerescência
»» A densidade de partículas de energia E e o índice de ocupação correspondente se relacionam por
;
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» Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a
densidade de estados = o número de estados por unidade de
volume com energia entre E e E + dE.
» No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente
como o nº de estados /unidade de volume, tal que a
componente do vetor esteja no intervalo , etc...
» o Princípio de Heisenberg nos diz que:
e a incerteza
na posição associada a partículas de quantidade de movimento é:
que dá um volume associado de incerteza de:
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» Para que os estados possam ser resolvidos e identificados,
cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do
(volume de incerteza)-1,
Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para
estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade
de estados com entre , segue que:
(3.39) . ≡ dois graus de polarização
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»» Como a pode ser escrita , de 3.39 →
(3.40) e sendo
, pode finalmente ser escrita como:
(3.41) .
►► ISTO É,
À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados
de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite
estabelecido em (3.41).
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MORAL DA HISTÓRIA??
Nesse caso, os e - de maior contribuição importante
pressão do gás; é a chamada
PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA.
►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):
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1) baixas n : é a de MB (curva a) [n = f(T)]
2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b)
3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um
limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p
são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de >
energia curva deformada, MB , f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes)
4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)
Fig. 3.2
31log Teff