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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.5 Elasto-Plastizität für Balken und Stabtragwerke
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Voraussetzungen
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3.5.1 Grenzmomente
Spannung
Dehnung
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Grenzmomente
Elastischer BereichFσW
M
An der Fließgrenze:elMM
WMσ el
F WσM Fel
Elastisch-plastischer Bereich:plel MMM
Fσ F Vollplastischer Zustand:plMM
Fσ im Gesamtquerschnitt, neutrale Faser verschiebt sich.
und
Elastisches Grenzmoment
:elMM
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Grenzmomente
0N2/AAA uo
plFuoFpl WσzzAσM )(2
0 FuFo AA
Plastisches Grenzmoment
dsmoment Widerstansplastische :)(2
Nulllinieder von Teilfläche unterender tesSchwerpunk des Abstand
Nulllinieder von Teilfläche oberender tesSchwerpunk des Abstand
uopl
u
o
zzA W
z
z
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Grenzmomente
WW
MM pl
el
plpl
Formfaktor (plastische Reserve):
Bsp.: Rechteckquerschnitt
6
4)(
22
2
bhW
bhzzAW uopl
5.123pl
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
F
F
F
F
Fz
Fz
2/h
2/h
b
Rechteckquerschnitt: Teilplastischer Bereich
Dehnung Spannung
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
1.) Elastischer Bereich
κEIM
Bestimmung von
elel κEIM elel κκ
MM
Lineare Beziehung
:plκ
zκε z
κ
Daraus folgt:
pl
el
pl
el
pl
el
κκ
κEIκEI
MM
elel κEIM (elastischer Grenzfall)
2/hzκ F
F
Fel
elplelel
plpl κκ
MM
κ
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
2.) Teilplastischer Bereich
2
2
2
22 2232
23
6
32
21
22/)2/(2
hzM
hzbh
zbzzzhzhbM
Fel
FF
FFFFF
FF
2/hκE elF (elastischer Grenzfall)
Fel zh
κκ
2
FF zκE (teilplastisch)
κκ
hz elF
21
FF
F
Fz
Fz
F
2/h
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
Daraus folgt:
2)(3
1123
elel κ/κMM
1
1
elMM
elκκ
5.1
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Einfeldträger unter Einzellast
0,21
0,21
4)(
xlx
xlx
FlxM
Dimensionslose Koordinaten:
Momentenlinie:
hz
lx F 2 ;
Elastischer Grenzzustand: 6
2bhσWσM FFel
x
F2/l 2/l
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Traglastzustand:
Tel FFF
0 bei 4
lFM elel
lbhF Fel
2
32
4
4
2
lFM
bhσWσM
plpl
FplFpl
elFT Fl
bhF 5.12
Teilplastischer Zustand:
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich zF:
2
232
hMMhz
elF
Bei Traglast:
)21(23232 elel F
FMM
elT FF 5.1
Ausdehnung der plastischen Zone:
62
Parabelförmige Grenzkurve
16
bzw. 61 lx
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Plastische Zone
elFF
Tel FFF
TFF
,x,z
Fz
6/l
3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
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3.5.4 Biegelinie
1.) Elastischer Bereich
wEIκEIM
12 ;
6
)1|)((| )()(32 bhIbhM
xmxmMxM
Fel
el
)(2)( xmEh
xw F
EIMxw )(
Mit
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3.5.4 Biegelinie
2.) Teilplastischer Bereich
wκEh
κ Fel ;2
)(2312)(
xmEhxw F
Mit
2)(3
1123
elel κ/κMM
2)(3
1123)(
elκ/κxm