3.3 derivabilidad formal

Derivabilidad formal: completando

cálculos

El estudio de la derivabilidad formal para lenguajes de Primer Orden adopta la

forma de una mera extensión de las técnicas ya establecidas para el caso de LE. Esto

se traduce en la preservación del formato general de cada uno de los cálculos ya

estudiados y en la correspondiente adición de las reglas destinadas a tratar con los

cuantores. Las reglas que empleemos para manipular conectivas en expresiones de LC

son exactamente las mismas que empleábamos en el caso de LE. En este punto sí

parece confirmarse la existencia de una especie de manifiesta independencia entre

cada una de las constantes lógicas que integran este lenguaje. No parece darse esa

especie de dependencia residual entre conectiva que hemos constatado en la

presentación de algunas reglas en diversos cálculos. Esta afirmación no puede

aplicarse, como es evidente, al caso de los sistemas axiomáticos en los que la

interdependencia entre las diversas constantes lógicas constituye un rasgo diferencial.

Como es costumbre, empezaré por analizar la derivablidad, demostrabilidad,

sería lo correcto, en el caso de los sistemas axiomáticos. Luego seguiremos por la

descripción del Cálculo de Deducción Natural, las Tablas Analíticas, y finalizaré por el

Cálculo de Secuentes. Pese a que la estrategia parece fuertemente conservadora,

además de repetitiva, tendremos oportunidad de anunciar y discutir cambios

sustanciales en la conducta de estos cálculos forzada por la presencia de las reglas de

los cuantores. Esto servirá para que empecemos a familiarizarnos con un fenómeno

común en Lógica: el efecto que un cambio en la potencia expresiva de un lenguaje

tiene sobre la conducta general de las relaciones de consecuencia semántica y

derivabilidad formal definidas sobre ese lenguaje.

Lógica de Primer Orden

252

Sistemas axiomáticos. Tomaré como base para introducir los nuevos axiomas y reglas

el sistema ofrecido en [8], cap.2.6. Un rasgo característico de las reglas dedicadas a la

manipulación de cuantores es la inclusión de ciertas restricciones relativas a la

presencia de variables y constantes, términos en general, bajo el alcance de los

cuantores que se analiza. La siguiente definición es necesaria para establecer una de

esas restricciones.

[1] Decimos que un término t está libre con respecto a la variable x en una

fórmula A en la que ocurre x syss ninguna ocurrencia libre de t cae bajo

el alcance de un cuantor en el que x ocurre.

Esta definición simplifica una situación algo más compleja forzada por la

presencia de términos funcionales, expresiones del tipo f(t1,...tn), de las cuales he

prescindido por ahora. En una fórmula como ∃xR(y,x), la variable y no está libre con

respecto a la variable x, por ejemplo. De todos modos, no deseo insistir demasiado en

una serie de restricciones con las que realmente no vamos a trabajar en lo sucesivo.

El sistema que resulta de añadir a [8], cap. 2.6 los nuevos axiomas y reglas es el

siguiente:

[2] Sistema axiomático para LC: AxC.

Ax.1 | A→(B→A)

Ax.2 | (A→B)→((A→(B→C))→(A→C))

Ax.3 |A→(B→A&B)

Ax.4 |A&B→A

Ax.5 |A&B→B

Ax.6 |A→AvB

Ax.7 |B→AvB

Derivabilidad formal: completando cálculos

253

Ax.8 |(A→C)→((B→C)→(AvB→C))

Ax.9 |(A→B)→((A→¬B)→¬A)

Ax. 10 |¬¬A→A.

Ax. 11 | A(t)→∃xA(x), donde t está libre en A respecto a x

Ax. 12 | ∀xA(x)→A(t), donde t está libre en A respecto a x

R1) |A |A→B

|B

R2) | B→A(x)

|B→∀xA(x) donde B no contiene ocurrencias libres de x

R3) | A(x)→B

| ∃xA(x)→B donde B no contiene ocurrencias libres de x.

La restricción introducida en el Ax.11 se explica porque de otro modo,

∃xRxt→∃xRxx resultaría ser una simple instancia de substitución de dicho axioma, y

por tanto, habríamos de aceptar que tal fórmula es demostrable. Sin embargo, se trata

de una expresión claramente falsa e inaceptable desde un punto de vista intuitivo. La

restricción correspondiente al Ax. 12 hace lo propio con fórmulas del tipo

∀x∃yRxy→∃yRyy. En el caso de las reglas nos enfrentaríamos a situaciones parecidas

cuya identificación queda como ejercicio.

[3] Una fórmula A es demostrable en AxC, |AxcA en símbolos, syss existe

una demostración de A a partir de Ax.1-Ax.12 y R1-R3.

La exposición de este sistema debería dar por finalizado nuestro recorrido por

la demostrabilidad en LC, o lo que es lo mismo, debería bastar como discusión de los

sistemas axiomáticos en el contexto de la Lógica de Primer Orden. Como se puede

ver, la presentación de AxC no parece mejorar en nada las dificultades que ya


254

encontrábamos en el caso de LE para trabajar con este tipo de formalismos. Seguimos

tratando con un cálculo difícil de manejar, más aún si cabe, y nada bien orientado,

desde luego, a lo que he venido denominando el problema de la decisión.

Pese a todo ello, es en este punto donde los sistemas axiomáticos han ejercido

una mayor influencia sobre el pensamiento abstracto y sobre el desarrollo de la

Matemática moderna. A mi entender esto se debe, no tanto a las escasas bondades

que los sistemas axiomáticos presentan como herramientas de cálculo, sino a la

combinación de dos hechos independientes: i la capacidad expresiva de que se

dispone en LC permite formular principios generales aplicables a multitud de dominios

y entidades y ii. la existencia de una antigua fascinación por descubrir colecciones

necesarias y suficientes de principios o postulados capaces de determinar toda la

conducta de una determinada entidad abstracta. El caso paradigmático es el de la

geometría euclídea concebida desde sus inicios como un sistema axiomático cuyos

principios son todos ellos demostrables a partir de una serie de postulados y reglas de

inferencia.

El nombre que este tipo de sistemas suele recibir es el de teorías de Primer

Orden, aunque también es frecuente oír hablar de Lenguajes de Primer Orden. Una

teoría de Primer Orden es un sistema axiomático definido sobre un lenguaje de Primer

Orden en el que aparecen símbolos destacados que desempeñan un papel especial.

Por lo general, el sistema considerado en cada caso intenta caracterizar la conducta

de la noción representada por esos nuevos símbolos incorporados a LC. En términos

estrictamente técnicos tendríamos lo siguiente:

[4] Una teoría de Primer Orden es un sistema axiomático de Primer Orden

en el que junto con los símbolos de LC pueden aparecer otros nuevos

pertenecientes en cualquier caso a una categoría de Primer Orden junto

con una lista de axiomas específicos en los que figuran alguno de los

nuevos símbolos considerados.


255

Una teoría de Primer Orden contiene, pues, toda el aparato expresivo y

deductivo de LPO junto con nuevos axiomas destinados a demostrar fórmulas que no

son aceptables en virtud sólo de su forma y del significado de sus constantes lógicas.

Veámoslo con un ejemplo.

[5] Teoría de los Órdenes (orden parcial)

Ax.1 ∀x x≤x

Ax.2 ∀x∀y (x≤y & y≤x →x=y)

Ax.3 ∀x∀y∀z (x≤y & y≤z → x≤z)

Salvo que por alguna razón sea preciso aclarar los axiomas y reglas del

fragmento puramente lógico, una teoría de Primer Orden se suele especificar

mencionando sólo los axiomas que esta añade. En el caso anterior, basta con tres de

ellos. Estos axiomas permiten obtener, con la ayuda eventual del armazón lógico

subyacente, todas las fórmulas que representan correctamente la conducta del

símbolo “≤”. Aunque hablar de este modo es básicamente correcto, siempre puede

parecer que la caracterización axiomática de un símbolo, “≤” en este caso, responde a

la identificación previa de un significado al cual deseamos ceñirnos. A medida que

aumenta el nivel de abstracción de las teorías consideradas, esta imagen se

substituye por otra en la que los axiomas establecen directamente la conducta del

símbolo en cuestión sin que podamos presumir la existencia de un contexto previo.

Sea como fuere, queda claro que es en el estudio y caracterización de teorías

de Primer Orden donde se puede sacar todo el partido a este tipo de mecanismo

deductivo. Como ya dije en su momento, los sistemas axiomáticos son interesantes

cuando lo que se intenta es analizar de forma perspicua las propiedades metateóricas

de un sistema. Saber que un cierto concepto o relación abstracta puede ser

caracterizada como una teoría de Primer Orden con estos o aquellos axiomas

particulares, suele aportar una cantidad de información general sobre la conducta de


256

ese concepto o relación realmente notable. Esto es algo que, de todos modos, no

estamos en condiciones de entender y evaluar en un curso introductorio como éste.

En la formulación de los axiomas para la teoría de los órdenes parciales me he

permitido la licencia de emplear el símbolo de identidad “=” como símbolo primitivo. La

práctica habitual en el momento en que la Lógica se empieza a usar como herramienta

de análisis y fundamentación de la Matemática, es considerar el símbolo de identidad

como una constante lógica más cuya conducta se caracteriza de forma independiente.

No obstante, esta no es la costumbre en el dominio de la Lógica pura. El resultado de

esta maniobra es lo que se conoce como Lógica de Primer Orden con Identidad. El

lenguaje correspondiente se identificará mediante LC=. La única novedad en este punto

hace referencia al modo de emplear el nuevo símbolo introducido. Esto da lugar a lo

siguiente:

[6] Lenguaje de la Lógica de Primer Orden con identidad LC=. Junto a las

cláusulas ya consideradas para definir fbfC se añade la siguiente

cláusula adicional:

c=) Si t y t’ son términos t=t’ es una fbfC=.

En el dominio de un sistema axiomático, incorporar el símbolo de identidad “=”

al aparto lógico del sistema puede quedar reducido a presentar los axiomas

correspondientes a “=”. Nadie se extrañará de que el resultado sea el que se indica a

continuación:

[7] Axiomas para la identidad:

Ax.1 ∀x (x=x)

Ax.2 ∀x∀y (x=y → y=x)

Ax.3 ∀x∀y∀z (x=y & y=z →x=z)


257

Para finalizar este breve recorrido por las teorías de Primer Orden quiero hacer

una advertencia acerca del número de axiomas que eventualmente pueden precisarse

para caracterizar adecuadamente una determinada noción, y de paso, alguna

precisión de interés sobre otros usos del término “teoría”. En la definición [4] sólo se

menciona una lista de axiomas específicos que se añaden a la lista de axiomas

puramente lógicos. Nada exige que esa lista haya de ser finita. La aceptación –ya

hablaremos más delante de qué significa aceptar en este contexto- de una

determinada teoría axiomática como una representación satisfactoria de los rasgos de

un cierto concepto o teoría informal puede requerir que el número de axiomas no sea

finito. Decimos que una teoría es finitamente axiomatizable si existe un número finito

de axiomas que permiten dar cuenta satisfactoriamente de esa teoría. En otro caso, la

citada teoría será no-finitamente axiomatizable. Tal y como hemos venido hablando

aquí a partir de la definición [4] una teoría existe sólo en la medida en que existe una

axiomatización, finita o no, de la misma. Esta costumbre se apoya en la supuesta

legitimidad de confundir una teoría axiomatizable con la colección de axiomas que la

caracterizan. En contextos más abstractos, la costumbre es otra. Una teoría de Primer

Orden es un simple conjunto de fórmulas de LC cerrado bajo consecuencia. Una teoría

T, así entendida, será axiomatizable si somos capaces de establecer una colección

necesaria y suficiente de axiomas que permitan obtener T a partir de dicha colección

de axiomas. Pero al operar de este modo estamos admitiendo igualmente, la

posibilidad de reconocer la existencia de teoría no ya no-finitamente axiomatizables,

sino no-axiomatizables en absoluto. Este tipo de productos de nuestro ingenio formal

son, además, mucho más comunes de lo que cabría esperar. Por el momento

mantendré las dos acepciones del término teoría de Primer Orden reservándome la

opción de elegir por una u otra si el contexto así lo aconseja.

Cálculo de Deducción Natural. En el Cálculo de Deducción Natural cada nueva

constante lógica quedaba asociada a un par de reglas: aquella que muestra cómo

introducir esa constante, y la que indica cómo eliminarla en fórmulas en las que figura

como constante lógica principal. Como ya indiqué en su momento, es dudoso que

cada uno de estos pares pueda ser tomado como una genuina definición de la


258

constante en cuestión. Por eso mismo he preferido siempre adoptar una posición más

cauta en este asunto y hablar simplemente del par de reglas asociado a esa

constante. Lo que sí es innegable es la existencia de un genuino análisis del

significado de cada posible constante lógica tras la presentación de ese par de reglas.

En el caso que nos ocupa ahora -los cuantores- este análisis tiene que ver con el uso

de parámetros individuales como medio de proyectar el contenido de un cuantor en

enunciados simples manejables en un nivel puramente sentencial. Esta especie de

interfaz entre el nivel cuantificacional y el puramente sentencial o enunciativo es una

característica común en todos los sistemas deductivos que nos queda por estudiar.

[8] Un parámetro individual es todo elemento extraído de un conjunto

infinito enumerable del tipo {u1,u2,...ui,...} capaz de figurar en el lugar

que pueden ocupar las constantes individuales en fórmulas de LC.

Estos parámetros se comportan a todos los efectos como constantes

individuales pero no forman parte del lenguaje de LC, sino que deben ser interpretados

como recursos expresivos ligados a los mecanismos específicos de que consta un

determinado sistema deductivo. Una vez aclarado este extremo, lo que procede es

presentar las reglas correspondientes a los cuantores.


259

[9] Cálculo de Deducción Natural para LC (DNC): Junto a las reglas

consideradas en [9] cap. 2.6 para las conectivas enunciativas se

añaden las siguientes cuatro reglas:

(I∃) Aui

∃xA(ui/x)

(I∀) Aui

∀xA(ui/x)

Supuesto que el parámetro u i

no ocurre en ningún supuesto

previo no cancelado ni en las

premisas.

(E∃) ∃xA

A(x/ui)

...

B

BSupuesto que el parámetro u i no ocurre en

ningún supuesto previo no cancelado, ni en las

premisas, ni en A ni en B.

(E∀) ∀xA

A(x/ui)

Las restricciones que en cada caso es preciso imponer son en esta ocasión

considerablemente más directas que las que tuvimos que discutir en el caso de AxC.

En el caso del cuantor universal lo único que se intenta es evitar la derivación de

argumentos del tipo A(b) |DNc ∀xA, y del tipo ∃xA |DNc ∀xA, obviamente incorrectos.

Para ello se identifican los posibles lugares de procedencia de los parámetros

individuales presentes en una derivación. No existen muchas opciones:

i.corresponden a constantes individuales en las premisas, ii. han sido introducidos

mediante una fórmula que introduce la apertura de un supuesto o iii. procede de la

eliminación de un cuantor universal. Los dos primeros casos constituyen instancias de

parámetros que muy bien podríamos denominar cargados. La restante es un ejemplo

de parámetro neutro. La idea que subyace a esta terminología es bastante clara: los


260

parámetros cargados responden a actos extralógicos de ejemplificación de variables

mediante parámetros que no pueden dar lugar a inferencias por completo

independientes de las decisiones arbitrarias que entonces tienen lugar. Así pues, un

cuantor universal sólo se puede introducir sobre parámetros neutros. Estos son los

únicos que no involucran decisión arbitraria alguna. El matiz es más sutil de lo que en

principio parece, al punto de que lo mejor puede ser retener la distinción entre

parámetros neutros y cargados e intentar explicar los diversos actos de instanciación

de variables por medio de estos.

La restricción aplicada a la eliminación del cuantor existencial está destinada a

no permitir la derivación de argumentos del tipo ∃xA |DNcA(b) o |DNc ∃xA→A(b). En

general, la eliminación del cuantor existencial puede explicarse como el intento de no

repetir el uso de parámetros cargados, ni transformar un parámetro cargado en uno

neutro. La primera parte de esta restricción impide repetir el uso de parámetros

cargados, mientras que la segunda evita que uno de estos pueda ser convertido en un

parámetro neutro. En breve discutiremos los detalles a partir de una serie de ejemplos.

La introducción de parámetros como herramienta supletoria en DNc de las

constantes de individuo obliga a dar un pequeño rodeo a la hora de definir la relación

de derivabilidad |DNc en LC. Ya he advertido en alguna otra ocasión contra el peligro de

confundir en exceso las entidades con que se trabaja en un cálculo y las fórmulas

sobre las que se define una relación de consecuencia. Entre una cosa y otra puede

haber tanta distancia como sea preciso. Para dejar clara esta diferencia introduciré un

recurso técnico, que denominaré fórmula parametrizada, y que representaré como Aπ.

Una fórmula parametrizada es en todo igual a una fórmula habitual de LC sólo que en

lugar de contener constantes individuales contiene parámetros en {u1,u2,...u i,...}. La

parametrización de una fórmula de LC consiste en el reemplazo de las constantes por

los correspondientes parámetros. Dado un conjunto de fórmulas, establecemos una

parametrización uniforme de sus elementos, y lo representamos como Xπ, cuando

reemplazamos las mismas constantes por los mismos parámetros y, además, nunca


261

empleamos el mismo parámetro para reemplazar constantes individuales distintas.

Con esto mente decimos ahora,

[10] X |DNc A syss considerada la parametrización uniforme del conjunto

XW{A}, existe una derivación en DNc que parte de fórmulas en Xπ y que

finaliza en Aπ.

Esta definición sólo difiere de la ya dada para el caso sentencial en el uso de

ese interfaz entre fórmulas y fórmulas con parámetros que es preciso considerar aquí.

Por lo demás, no hay nada significativo que altere las propiedades generales de este

cálculo. En particular, la preservación aproximada del mismo formato de definición

para la relación de derivabilidad en el caso sentencial y en el relativo a LC permite

aventurar que en nada mejora la posición de este cálculo respecto al problema de la

decisión. No es posible distinguir cuándo un argumento no es derivable y cuándo nos

hallamos tan sólo ante una derivación inconclusa.

En el caso sentencial suministré una especie de guía heurística útil para

orientarse en la construcción de derivaciones –cfr. [5], cap. 2.7-. Esa misma guía se

puede extender al caso actual sin especiales modificaciones. Lo que sí me interesa es

aclarar el modo en que vamos a manejar aquí ciertos conflictos surgidos entre reglas

relativas a cuantores por la existencia de las restricciones ya vistas. En la práctica

adoptaremos una estrategia consistente en conceder prioridad al uso de reglas que

presentan restricciones. Esto es especialmente relevante en el caso de las reglas de

eliminación de los cuantores. Es posible obtener una notable simplificación de la rutina

de trabajo en el caso de la eliminación del cuantor existencial cuando se opta por

elegir siempre un parámetro nuevo para eliminar ese cuantor. Por parámetro nuevo

debemos entender uno que no ha aparecido aún en ninguna fórmula que figure en

alguna línea de la derivación en curso, con independencia de si se trata de una línea

bajo el alcance de un supuesto no cancelado, una línea de premisa o una línea

cualquiera que no se halla en ninguno de estos casos. Esta decisión, en absoluto

necesaria a partir de una lectura estricta de la regla correspondiente, obliga a


262

posponer el uso de reglas de eliminación de cuantores no sometidas a restricciones, la

correspondiente al cuantor universal, en definitiva. Operar así evita una proliferación

innecesaria de parámetros y de este modo se consigue salvar ciertos puntos críticos

que, de otro modo, harían fracasar la derivación en curso. Veamos con un ejemplo lo

que se quiere decir:

[11] Ejemplo: ∀x(Px→Rax), ∃yPy |DNc ∃x∃yRxy

Opción 1 (aplicación literal de las restricciones)

1. ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada

2. ∃yPy premisa

3. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1

4. Pu2 <u2> parámetro cargado

5. Ru1u2 (E→) 3,4

6. ∃yRu1y (I∃) 5

7. ∃yRu1y (E∃) 2, 3-6

8. ∃x∃yRxy I∃ 7

Opción 2 (elección de parámetros nuevos sin selección de prioridades)

1 ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada

2. ∃yPy premisa

3. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1

4. Pu3 <u3> parámetro nuevo cargado

........

........


263

Opción 3 (elección de parámetros nuevos con selección de prioridades)

1 ∀x(Px→Ru1x) premisa parametrizada

2. ∃yPy premisa

3. Pu2 <u2> parámetro nuevo cargado

4. Pu2→Ru1u2 (E∀) en 1

5. Ru1u2 (E→) 3,4

6. ∃yRu1y (I∃) 5

7. ∃yRu1y (E∃) 2, 3-6

8. ∃x∃yRxy I∃ 7

En la primera opción elegimos el parámetro ya usado u2 por la sencilla razón de

que no viola las condiciones de la regla de eliminación del cuantor existencial: no

aparece en las premisas ni en ningún supuesto previo no cancelado. En otras

palabras, no es un parámetro ya cargado. La razón por la que elegimos un parámetro

nuevo en el caso de la eliminación del cuantor universal en la línea 3 es por pura

conveniencia. Si hubiéramos elegido u1, parámetro cargado al figurar en una premisa,

la eliminación del cuantor existencial tendría que haberse llevado a cabo con otro

parámetro distinto bloqueando la aplicación de la regla (E→) en 5. La relación del

parámetro cargado que se introduce al eliminar el cuantor existencial en 4 permite

identificar perfectamente el parámetro que no puede ser bajo ningún concepto

exportado fuera de ese supuesto. Obsérvese que en 7 se obtiene una fórmula en la

que figura, no obstante, un parámetro. Sin embargo, este no es el que figurar ligado al

paso 4, y por tanto actúa como parámetro no cargado respecto a este supuesto –

aunque está cargado por proceder de una premisa-.

En la opción 2 se hace una aplicación rectificada de la regla de eliminación del

cuantor existencial: el parámetro elegido es nuevo en este caso. Sin embargo, no se

tiene un cuenta las consecuencias de esa reinterpretación de la restricción. Al afectar

al orden de aparición de los parámetros en una derivación, se hace preciso tener en


264

cuenta modos de hacer óptima esa aparición. El no hacerlo bloquea la aplicación de la

regla (E→) entre 3 y 4 y deja suspendida –que no finalizada- la derivación en un punto

crítico. La opción 3 indica cómo resolver ese problema alterando el orden de

eliminación de los cuantores.

Como se puede ver, buena parte de la rutina típica de las derivaciones en de

DNc consiste en hacer aplicables las reglas correspondientes del nivel sentencial. Los

cuantores son eliminados mediante un acto que permite acercar las expresiones del

lenguaje a fórmulas puramente sentenciales. Es posible que este modo de proceder

tienda a provocar la impresión de que en el fondo lo que mueve el cálculo sigue siendo

la subestructura enunciativa aún vigente. Estas cuestiones plantean interrogantes que

hoy en día no tienen una respuesta clara.

Voy a terminar comentando dos ejemplos más en los que abusaremos del uso

de las reglas de Dnc para establecer ya no la derivabilidad de un argumento, sino la

aceptabilidad de un regla acerca de la derivabilidad en Dnc.

[12] Teorema: Para toda fórmula A sucede :

i. ∀xA |Dnc ¬∃x¬A

ii. ∃xA |DNc ¬∀x¬A

Esquema de la demostración : En este caso basta con emplear las

reglas de DNc para establecer sendas derivaciones en las que las

fórmulas son reemplazadas por símbolos esquemáticos de manera

sistemática.


265

Caso 1: ∀xA |Dnc ¬∃x¬A

1. ∀xA premisa

2. ∃x¬A

3. ¬A(x/u1) <u1>

4. ∀xA

5. A(x/u1) (E∀) 4

6. A(x/u1)& ¬A(x/u1) (I&) 4,5

7. ¬∀xA (I¬) 4-6

8. ¬∀xA (E∃) 2, 3-7

9. ∀xA & ¬∀xA (I&) 1,8

10. ¬∃x¬A (I¬) 2-9

Caso 2: ∃xA |DNc ¬∀x¬A

1. ∃xA premisa

2. ∀x¬A

3. ¬A(x/u1) (E∀) 2

4. A(x/u1) <u1>

5. ∃xA

6. A(x/u1) &¬ A(x/u1) (I&) 3,4

7. ¬∃xA (I¬) 5-6

8. ¬∃xA (E∃) 1, 4-7

9. ∃xA & ¬∃xA (I&) 1,8

10. ¬∀x¬A (I¬) 2-9


266

El teorema anterior establece parte de las reglas de interdefinición de

cuantores, reglas que permiten trasladar al cálculo lo que en cualquier caso es

evidente: ∃xA=def ¬∀x¬A, y ∀xA=def ∃xA.

Puesto que al presentar Axc resultó oportuno hablar de la identidad, mostraré

también ahora el modo de extender DNc al lenguaje LC=. En este caso, lo que

corresponde es presentar el par habitual de reglas que indican cómo introducir y cómo

eliminar este símbolo tratado ahora como una constante lógica.

[13] Cálculo de Deducción Natural para LC= (DNC

=): Junto a las reglas

consideradas en [174] para las conectivas enunciativas se añaden las

siguientes reglas:

(I=) A(x/ui)

∀x(x=ui→A)

(E=) ∀x(x=ui→A)

A(x/ui)

Lo único que merece la pena añadir aquí es que lo que antes eran axiomas que

parecían caracterizar una teoría de Primer Orden, la de la identidad, son ahora

fórmulas derivables en DNc=. Lo cual no es nada extraño, por otra parte, ya que las

reglas están especialmente diseñadas a tal efecto. Sí es más interesante hacer notar

el modo en que el uso de estas reglas depende de la posibilidad de derivar ciertos

hechos básicos de tipo sentencial acerca de la conducta de la identidad. La presunta

independencia de las constantes lógicas en la presentación que de éstas se hace en

un Cálculo de Deducción natural vuelve a estar con ello en entredicho. Veamos lo que

se quiere decir obteniendo un principio tan elemental como ∀x(x=x)


267

[14] Ejemplo: |DNc= ∀x (x=x)

1. u1=u2

2. ¬(u1=u2)

3. (u1=u2) & ¬(u1=u2) (I&) 1,2

4. ¬¬(u1=u2) (I¬) 2-3

5. u1=u2 (E¬) 4

6. u1=u2→ u1=u2 (I→) 1-6

7. ∀x(x=u2→x=u2) (I∀) 6

8. u2=u2 (E=) 7

9. ∀x(x=x) (I∀) 8

El uso de la regla de eliminación de la identidad en 8 es lo único notable en

esta derivación. Queda claro de qué modo es posible aislar antecedente y

consecuente del condicional que constituye el alcance del cuantor en 7 y con ello

aplicar de forma productiva la regla en cuestión. El resto de las propiedades o axiomas

característicos de la identidad se demuestran de manera parecida, pero esto queda

como ejercicio.

Tablas Analíticas. El cálculo de Tablas Analíticas es bastante literal por lo que hace a

su nombre. Realmente se trata de analizar un conjunto de expresiones obteniendo en

el proceso fórmulas de grado lógico cada vez menor. Este rasgo permite, junto con

otros aspectos menos evidentes, alcanzar un punto en el que podemos dar por

concluido el análisis y establecer una conclusión acerca de la derivabilidad del

argumento propuesto. En la extensión de este procedimiento a LC deberemos estar


268

especialmente atentos al modo en que las nuevas reglas afectan a los componentes

que hacen que TA se comporte en el caso de LE como un procedimiento de decisión.

Cada conectiva queda asociada –de nuevo evito hablar de algo más fuerte

como podría ser “caracterización” o incluso “definición”- a un par de reglas reconocidas

como “verdad de...” y “falsedad de...”. Tendremos que añadir, por tanto, cuatro reglas,

dos para cada cuantor.

[15] Cálculo de Tablas Analíticas para LC (TAc): Reglas para cuantores.

(V∀) ∀xA

A(x/ui)

(V∃) ∃xA

A(x/ui)

Donde ui es un parámetro que

no ocurre en ninguna fórmula de

las ramas en que figura esa

ocurrencia de ∃xA.

(F∀) ¬∀xA

¬A(x/ui)

Donde ui es un parámetro que no

ocurre en ninguna fórmula de las ramas

en que figura esa ocurrencia de ∃xA.

(F∃) ¬∃xA

¬A(x/ui)

Como se puede ver, volvemos a hacer uso de parámetros con el fin de evitar la

confusión con genuinas constantes individuales. Las restricciones que hemos añadido

a la elección de parámetros siguen estando orientadas a evitar la derivabilidad de

ciertos argumentos intuitivamente inaceptables. Esta vez, sin embargo, implican


269

abiertamente y desde un principio la consideración de componentes contextuales

ligados al propio desarrollo de la derivación. Siempre que se obliga a elegir un

parámetro “nuevo” estamos introduciendo componentes contextuales que pueden

variar dependiendo del orden en que se proceda a aplicar reglas sobre las fórmulas

presentes en una tabla. Veámoslo discutiendo de nuevo el ejemplo [11].

[16] Ejemplo: ∀x(Px→Rax), ∃yPy |TAc∃x∃yRxy

Opción 1: 1. ∀x(Px→Ru1x)

2. ∃yPy

3 ¬{∃x∃yRxy}

4. Pu2→Ru1u2 (V∀) 1

5. ¬∃yRu1y (F∃) 3

6. ¬Ru1u2 (F∃) 5

7. ¬Pu2 (V→) 4 8. Ru1u2 (V→) 2

9. Pu3 (V∃) 2

...........

...........

Opción 2: 1. ∀x(Px→Ru1x)

2. ∃yPy

3 ¬{∃x∃yRxy}

4. Pu2 (V∃) 2

5. Pu2→Ru1u2 (V∀) 1

6. ¬∃yRu1y (F∃) 3

7. ¬Ru1u2 (F∃) 5

8. ¬Pu2 (V→) 4 9. Ru1u2 (V→) 2


270

La única diferencia entre ambas tablas es el orden en que se ha procedido a

aplicar reglas sobre las fórmulas que ocupan sus nodos. En la segunda tabla, se ha

dado prioridad a la fórmula cuya regla presenta restricciones, mientras que en la

primera se ha ignorado esta instrucción y se ha procedido por orden de aparición. El

resultado es, sin embargo, determinante. Mientras que la segunda tabla puede ser

considerada como una tabla cerrada a todos los efectos, no es fácil ver que puede

decirse de la primera. Antes de discutir más en profundidad lo que a todas luces

parece un conflicto entre dos resultados distintos y correctos, introduciré algo de

terminología.

[17] Tipología de las fórmulas de LC según TAc.

i. formulas tipo α: fórmulas a las que corresponde una regla del

nivel sentencial que no introduce un punto de bifurcación,

ii. fórmulas tipo β: fórmulas a las que corresponde una regla del

nivel sentencial que sí introduce un punto de bifurcación,

iii. fórmulas tipo γ: fórmulas a las que corresponde una regla de

cuantores no sometida a restricción sobre la elección de

parámetros,

iv. fórmulas tipo δ: fórmulas a las que corresponde una regla de

cuantores sometida a restricciones relativas a la elección de

parámetros.

En el caso de LE vimos que era conveniente dar prioridad al uso de fórmulas

tipo α sobre fórmulas tipo β. La razón era evitar la generación de tablas complejas

cuando no había necesidad de ello. No obstante, tuve buen cuidado de advertir que el

incumplimiento de esta recomendación no afectaba en nada al veredicto final que una

de estas tablas arroja –cfr. cap.2.7-. Ahora la situación es obviamente muy distinta.

Acabamos de ver un caso en el que dependiendo del tipo de prioridades aplicadas en

la extensión de la tabla el resultado es una tabla cerrada o una cuya conclusión no es

evidente. ¿Qué resultado nos interesa primar? Dado que el ejemplo considerado en


271

[16] corresponde a un argumento correcto desde un punto de vista intuitivo, la opción

natural será la de considerar que para establecer la derivabilidad de un argumento en

TAc bastará pues con establecer la existencia de al menos una tabla cerrada. Y todo

parece indicar, a su vez, que la obtención de tablas cerradas se conecta con el respeto

de un sistema de prioridades que no viene dado en la descripción de TAc, sino que

hay que considerar de forma independiente.

[18] Descripción de las prioridades entre fórmulas de los tipos α,β,γ,δ:

1. Fórmulas tipo α.

2. Fórmulas tipo β que contengan subfórmulas cuantificadas.

3. Fórmulas tipo δ

4. Fórmulas tipo γ.

5. Fórmulas tipo β que no contengan subfórmulas cuantificadas.

La idea general a la que responde este sistema de prioridades es muy fácil de

entender, lo que permite que se aplique con cierta libertad. Se trata de llegar cuanto

antes a establecer el tipo γ o δ de cada subfórmula cuantificacional que pueda

aparecer en fórmulas de las tabla inicial T0. Esto es algo que obliga a utilizar fórmulas

tipo β siempre que resulte necesario.

Una vez discutido este extremo podemos analizar en qué situación queda la

tabla que resulta de la primera de las opciones consideradas en [16]. Parece obvio que

todas sus fórmulas han sido usadas, esto es, han sido objeto de la aplicación de

alguna regla de TAc, o son fórmulas atómicas parametrizadas y por tanto no son

sujeto de la aplicación de regla alguna. En LE esto bastaría para dar por terminada la

tabla –según la terminología introducida en [14.ii] cap. 2.6- y, según se discute en el

cap.2.7, para entender que no existen extensiones no redundantes de la tabla

terminada en cuestión. Como ya de discutió en su momento –cap. 2.7- toda tabla


272

terminada que pueda ser extendida en LE reutilizando alguna fórmula en alguna de sus

ramas abiertas, si existen, sólo da lugar a ramas redundantes. Es decir, a repetir

fórmulas ya presentes en esas ramas. Que esto mismo ya no se verifica para TAc se

confirma revisando las nuevas reglas introducidas. Cada una de las reglas

consideradas para cada cuantor permite un número ilimitado de reutilizaciones no

redundantes: basta elegir cada vez un parámetro distinto al empleado la última vez.

Este nuevo elemento obliga a que reformulemos la noción de rama terminada

reemplazando este concepto por otro que haga mayor justicia a la situación.

[19] Conceptos relativos a tablas:

i. Una rama es terminal si todas las fórmulas que la integran han

sido usadas, o bien son fórmulas atómicas parametrizadas sobre

las cuales no cabe ya emplear regla alguna.

ii. Una tabla es terminal si todas sus ramas lo son.

iii. Una rama en una tabla está cerrada syss contiene una fórmula y

su negación.

iv. Una tabla es cerrada syss todas sus ramas lo son.

Como vemos sólo cambian las nociones de rama y tabla terminada que en este

caso pueden ser confundentes. Al hablar de tablas terminales ya no tenemos una

entidad en el cálculo que se pueda asociar a la no derivabilidad de un argumento. En

LE podíamos afirmar que un argumento no era derivable si la correspondiente tabla

terminada que resulta de extender la tabla T0 formada por la cabecera de dicho

argumento contenía ramas abiertas. Ahora no tenemos tablas terminadas, sino tablas

terminales que puede extenderse a otras tablas sin término aparente, salvo que, en

algún punto den lugar a una tabla definitivamente cerrada. Determinar si una tabla


273

terminal puede ser finalmente extendida a una tabla cerrada es una pregunta que no

puede ser respondida desde TAc sin contar con datos de cierta envergadura.

Conviene también que sepamos diferenciar el problema que ahora se plantea

del hecho de aplicar o no las prioridades para uso de fórmulas establecidas en [18].

Este sistema de prioridades sólo ayuda a evitar una innecesaria proliferación de

parámetros, pero no garantiza que si una tabla terminal obtenida mediante el estricto

respeto de este sistema contiene ramas abiertas, entonces cualquier extensión de esa

tabla también las contiene. Esto supondría, entiéndase bien, tanto como admitir la

existencia un número máximo de parámetros a considerar a la hora de analizar la

derivabilidad de un argumento en TAc. Si fuese posible establecer un metateorema

con ese contenido, es decir, uno que determinase el número máximo de parámetros

que es preciso considerar en una tabla, entonces toda tabla terminal que contuviese

ese número máximo de parámetros podría ser tratada en la práctica como una tabla

terminada. Este hecho constituiría una consecuencia trivial de admitir que una tabla

terminal obtenida con la aplicación del sistema de prioridades anterior sólo se extiende

a lo sumo a tablas terminales. En la medida en que dudemos de la veracidad del

primer resultado, no podemos admitir el segundo. Puedo anticipar ya que, ni uno ni

otro son ciertos cuando lo que se evalúa es la derivabilidad sobre LC, aunque podemos

encontrar fragmentos donde ambos extremos se cumplen.

Estas consideraciones obligan a reformular con algo más de cuidado la noción

de argumento derivable en TAc.

[20] Derivable en TAc: Un argumento X|TAcA es derivable en TAc si existe al

menos una tabla cerrada que extiende a la tabla incial T0 formada por las

fórmulas parametrizadas Xπ y Aπ.

Como se desprende de la discusión anterior, no siempre podremos determinar

si una tabla tal existe o no. Con ello vemos decaer esa notable característica de TA en

el caso de LE que permitía ver en este cálculo un procedimiento de decisión. Este dato


274

no es efecto de un cambio en las normas básicas del procedimiento, sino que es el

resultado de la adición de las reglas que responden al significado y conducta de las

nuevas constantes lógicas consideradas. Sea como fuere, y a falta de otras

consideraciones, acabamos de constatar que el Cálculo de Tablas Analíticas no puede

ser considerado como un procedimiento de decisión para la derivabilidad en LC. Si no

somos capaces de encontrar otro procedimiento capaz de enmendar esta dificultad, o

si no se obtienen resultados colaterales que permitan reinterpretar las nuevas

características del cálculo, deberemos hacer frente a un resultado de cierta

importancia: la derivabilidad en LC no sería ya decidible. Seguramente es mejor que

empecemos a considerar algo que más que una posibilidad entre otras es un hecho

cierto.

La necesidad de reutilizar fórmulas ya usadas no es, como veremos a

continuación una circunstancia que quepa considerar infrecuente o extraña.

[21] Ejemplo: Considérese la siguiente tabla Tn:

....

....

∀x∀y¬Rxy

....

∃x(¬Rxx→∃yRxy)

La única forma de extender esa tabla a una tabla cerrada es mediante

reutilizando la fórmula ∀x∀y¬Rxy tal y como se indica a continuación:


275

.....

.....

n. ∀x∀y¬Rxy

....

m. ∃x(¬Rxx→∃yRyx)

m+1. ¬Ru1u1→∃yRyu1 (V∃) m

m+2. ¬¬Ru1u1 (v→) m+1 m+3. ∃yRyu1 (V→) m+1

m+4. Ru1u1 (F¬) m+2 m+5. Ru2u1 (V∃) m+3

m+5. ∀y¬Ru1y (V∀) n m+6. ∀y¬Ru1y (V∀) n

m+7. ¬Ru1u1 (V∀) m+5 m+8. ∀y¬Ru2y (V∀) n

m+9. ¬Ru2u1 (V∀) m+8

La reutilización tiene lugar en el paso m+8, en el que se desestima el

parámetro heredado de m+6 para iniciar un nuevo proceso. Este tipo de maniobras

suele estar asociado a la presencia de distintas distribuciones de variables en fórmulas

similares, como sucede en Rxx y Rxy. No sería difícil exponer de forma más general

este tipo de fenómeno pero tampoco obtendríamos con ello una mejora sustancial de

la situación de este cálculo. Así pues bastará con lo dicho hasta ahora.

Tal y como hemos venido presentando y discutiendo aquí el método de Tablas

Analíticas no puede haber duda acerca de que este procedimiento constituye una

caracterización de la derivabilidad en LC (LE). No obstante, aún es frecuente presentar

este procedimiento como un análisis semántico de la consecuencia, algo que,

propiamente, nos situaría ante una definición alternativa de la consecuencia

semántica. Este error se basa en dos rasgos característicos del cálculo de Tablas

Analíticas. El primero, y con diferencia menos relevante, hace referencia a la

denominación de sus reglas características. Se habla de reglas de verdad y de

falsedad, de donde se deduce que son reglas de tipo semántico. Esta conclusión es

obviamente incorrecta ya que no son por ello más o menos semánticas que las del

Cálculo de Deducción Natural. Es posible que en este modo de ver las cosas hayan


276

influido algunas presentaciones de TA en las que las fórmulas eran explícitamente

etiquetadas con los símbolos “V” y “F”, dando pie así a considerar que lo que era un

simple recurso técnico del cálculo constituía una genuina alusión a la interpretación de

tales fórmulas. La segunda razón es más especiosa. Es cierto que este método

permite conectar con extraordinaria facilidad ramas abiertas con modelos, o para ser

más precisos, con especificaciones parciales de funciones modelo. Esta conexión se

establece a partir de un expediente realmente sencillo: dada una rama, decimos que la

función modelo asociada a esa rama es aquella que satisface el principio según el cual

si A está en la rama, entonces es verdadera en esa función modelo. El objetivo de esta

asociación es llegar a definir conjuntos, denominados en ocasiones conjuntos

modelos, que puedan ser interpretados como genuinas descripciones en el lenguaje

de un modelo –una función modelo-. Da la impresión de que este método explotase el

significado modelista de las constantes lógicas de LPO de una forma mucho más clara

o manifiesta que otros cálculos. Creo que se puede admitir que la presentación tabular

de este cálculo suministra una visualización más clara de lo que puede ser la

descripción parcial de una función modelo, pero de ahí a decir que por eso mismo es

un método semántico o que sus reglas reflejan mejor el significado modelista de las

constantes lógicas hay un salto que resulta claramente ilegítimo. Por otra parte, las

especificaciones ulteriores a las que hay que someter al método de tablas para

permitir que una rama abierta se aproxime fielmente a un modelo no hacen que este

método goce de mayores ventajas que otros. Sea como fuere, no es aún el momento

de entrar a discutir la forma en que los sistemas deductivos pueden ser puestos en

relación con los modelos que dan significado a sus fórmulas. Sí quiero dejar claro que

cualquier sistema deductivo respeta de igual modo la conducta modelista de sus

constantes, ya que de otro modo, resultarían simplemente incorrectos.

No hay a penas tradición en lo que hace a la extensión de este cálculo al

lenguaje LC= de la identidad. Una solución airosa que permita extender el

procedimiento a dicho lenguaje podría pasar por considerar lo siguiente:


277

[22] Reglas para la identidad:

(V=) ui=uj

A(ui)

A(uj)

(F=) ¬(ui=ui)

Es posible que no sean reglas muy ortodoxas desde el punto de vista de TAc,

pero permiten operar adecuadamente.

Cálculo de Secuentes. Con el Cálculo de Secuentes cabe esperar ya pocas

novedades. Hemos visto cómo el Cálculo de Tablas Analíticas para LC pierde el

estatuto que le convertía en un procedimiento de decisión para la derivabilidad en LE.

Podríamos haber mantenido la tensión a la espera de ver qué sucede con Sq, pero de

hecho la respuesta ya ha sido anticipada al sugerir que tal vez sea la propia relación

de derivabilidad formal sobre LC la que no es decidible. Y ello a causa de una serie de

argumentaciones que en cierta medida son independientes de la presentación de

estos cálculos. El problema se presenta, de hecho, de forma tal que podemos anticipar

cualquier cálculo decidible para LC es en realidad un cálculo incorrecto.

Así las cosas, lo único que cabe esperar aquí es la confirmación de la pérdida

de aquellos rasgos que permitían que Sq pudiese operar también como un

procedimiento de decisión para la derivabilidad en LE. Ya hemos visto que el formato

canónico de un Cálculo de Secuentes no hace que este sistema constituya de suyo un

procedimiento tal. Hacen falta dos propiedades notables para que pueda hacerse


278

operar un cálculo secuencial de forma que arroje un procedimiento de decisión para la

derivabilidad. La primera de ellas es la confirmación de un resultado de considerable

alcance: la eliminabilidad de la Regla de Corte. La segunda se refiere al equilibrio

existente entre las fórmulas que aparecen en la cabecera y en el consecuente de cada

regla. La razón por la que Sq deja de ser un procedimiento de decisión no tiene que

ver con la modificación del estatuto de la Regla de Corte: esta sigue siendo tan

eliminable como antes. Por tanto, debemos buscar las razones, o parte de ellas, en el

fenómeno de equilibrio que se ha mencionado. El problema ocupa un lugar similar al

que en tenía TAc la imposibilidad de considerar que una fórmula ya usada no era

capaz de introducir información nueva mediante una segunda utilización. De hecho, y

en la medida en que un Cálculo de Secuentes sólo se conecta con un procedimiento

de decisión cuando aplicamos su reglas en orden inverso -como reglas de eliminación-

, podemos decir que la dificultad a la que nos enfrentaremos muy bien podría ser vista

como una versión de aquella que afecta a TAc.

La filosofía que animaba la definición de Sq era la de ver en todo argumento

derivable una complicación de un esquema básico, el que recoge el axioma. Las

reglas correspondientes a las constantes lógicas, las llamadas reglas lógicas, se

agrupaban según lo anterior, en reglas de y de introducción por la derecha. Esto hace

que debamos añadir otras cuatro reglas a las que ya considerábamos en el caso

sentencial: una de introducción y otra de eliminación para cada cuantor. En cuanto a

las restantes reglas, las reglas estructurales, no hay nada que deba ser cambiado. En

la medida en que el contexto de derivación y la interpretación general de la

consecuencia no cambia en absoluto, y puesto que las reglas estructurales se

consideran en general asociadas a estos rasgos, no hay razones para alterar en nada

su formato. El axioma tampoco se modifica, salvo por el hecho de que ahora debe

considerar fórmulas de LC parametrizadas.


279

[23] Cálculo Secuencial para LC (Sqc). Reglas para cuantores.

I∀ X,Aui⇒Y

X,∀xA⇒Y

I∃ X,Aui⇒Y

X,∃xA⇒Y

Donde el parámetro ui no

ocurre en el secuente

X,∃xA⇒Y

D∀ X⇒Aui,Y

X⇒∀xA,Y

Donde el parámetro ui no ocurre

en el secuente X,∃xA⇒Y

D∃ X⇒ Aui,Y

X⇒∃xA,Y

Como ya he dicho, el resto de las reglas de Sq se mantienen intactas, así como

el axioma. Las restricciones son materia ya común en cada uno de estos cálculos y

responden como es obvio al deseo de bloquear la derivabilidad de argumentos

intuitivamente indeseables.

A continuación, conviene definir la noción de derivabilidad en Sqc:

[24] Derivable en Sqc: X|Sqc A syss existe una derivación que parte de

instancias del axioma y finaliza en el secuente Xπ⇒Aπ empleando tan

sólo las reglas correspondientes al nivel sentencial y las ofrecidas en

[23].

Una buena forma de apreciar el modo en que actúan las restricciones

introducidas es mediante un ejemplo:


280

[25] Ejemplo: ∃xA |Sqc A(x/a)

1. ∃xA ⇒A(x/u1)

2. A(x/u2)⇒A(x/u1) (I∃) 1

.......

El esquema inferencial propuesto es inaceptable, por tanto, desearemos ver

alguna forma de bloquear su derivabilidad en Sqc. Como venía siendo habitual,

procedemos en orden inverso al que oficialmente propone un cálculo secuencial. La

línea 1 contiene, por tanto, una versión parametrizada del secuente que corresponde

al argumento cuya demostración se propone. La línea 2 se obtiene aplicando la regla

de introducción por la izquierda del cuantor existencial (I∃) sobre 1. Esta regla es una

de las sometidas a restricción, y por tanto, se habrá de introducir (eliminar) el cuantor

existencial sobre un parámetro que no se encuentre presente en el secuente en

cuestión. En la práctica, es decir, en un uso invertido del cálculo secuencial, esta

restricción obliga a considerar la eliminación del cuantor eligiendo un parámetro nuevo,

restricción por entero similar a la que estaba vigente en el caso de TAc.

Este rasgo impide que el cálculo muestre el modo de acotar el número de

parámetros que es preciso tener en cuenta a la hora de derivar un cierto argumento en

Sqc. El efecto de estas restricciones es el mismo que en el caso de TAc: la pérdida de

la decidibilidad. De nuevo quiero insistir en que resultado no se puede extrapolar sin

más a la derivabilidad en LPO. Sucede, es cierto, que cálculos que antes estaban

mediata o inmediatamente asociados a ciertos procedimientos de decisión para la

derivabilidad en LE ya no lo están. Pero eso es algo que en principio siempre podría

resolverse mediante algún razonamiento auxiliar establecido al efecto. Parece

evidente que en este caso, ese razonamiento debería llevar a establecer un resultado

bastante general que permitiera determinar el número máximo de parámetros que es

preciso considerar en el proceso de derivación de un argumento. Si todos esos

parámetros intervienen de forma relevante y el análisis del argumento no muestra una

forma de proceder a partir del axioma y las reglas hasta el secuente buscado,


281

entonces podríamos afirmar que el argumento no es derivable del mismo modo que lo

hacíamos en el caso sentencial. Sucede, sin embargo, que este resultado intermedio

no puede ser establecido, y por tanto, no hay forma de reconducir la conducta de Sqc

hasta obtener de nuevo un procedimiento de decisión. Este análisis es interesante en

la medida en que permite ver, desde el análisis de la nueva conducta de este cálculo,

el tipo de cosas que afectan en general al problema de la decisión.

Sí me gustaría dejar claro que aunque en general usemos las mismas palabras

que en el caso sentencial, hablar de la no derivabilidad de un argumento en LC y en LE

ya no significa lo mismo. Cuando en LC nos servimos de un cálculo, con seguridad TAc

o Sqc, para analizar la derivabilidad de un argumento sólo tenemos a nuestra

disposición dos alternativas: i. la identificación de una derivación efectiva del

argumento, o ii. un proceso inconcluso acerca de cuya continuación no tenemos

especiales instrucciones que aplicar. Es frecuente decir que en este segundo caso el

argumento no es derivable, pero como ya hemos visto, esta es una forma muy

inapropiada de hablar. Lo que suele suceder es que en tales casos disponemos de

evidencia independiente que permite afirmar tal cosa. Esta evidencia puede consistir

en algún argumento capaz de mostrar que la prueba inconclusa no puede ser

extendida a una derivación aceptable del argumento en ningún caso, o puede apelar

de forma más indirecta aún, a la construcción de un contramodelo y a la corrección del

cálculo en cuestión. Sea como fuere, el cálculo ya no basta. Quizá sea esta la mejor

forma de ver unos hechos que sin duda alguna exigen un cierto grado de sutileza.

No creo que debamos utilizar mucho más tiempo en consideraciones que

habremos de analizar con detalle más adelante. Por eso concluiré con algún ejemplo

más. En esta ocasión mostraré el modo en que las restricciones obligan, como en TAc,

a considerar un sistema de prioridades por entero similar al que era vigente entonces.

Dejaré como ejercicio la correcta descripción del mismo.


282

[26] Ejemplo: ∀xPx|Sqc¬∃x¬Px

1. ∀xPx ⇒¬∃x¬Px

2. ∀xPx, ∃x¬Px⇒ (D¬) 1

3. ∀xPx, ¬Pu1⇒ (I∃) 2

4. Pu1, ¬Pu1⇒ (I∀) 3

5. Pu1⇒Pu1 (I¬) 4

Puesto que el secuente que figura en 5 es una instancia del axioma, el

argumento es derivable. El punto crítico de esta derivación se presenta en el paso de 2

a 3. En 2 hay dos fórmulas cuantificadas cualquiera de las cuales puede ser objeto de

la aplicación de una regla. La cuantificada universalmente no se ve afectada por

restricción alguna, mientras que la cuantificada existencialmente sí. Puesto que la

restricción implica considerar los parámetros ya presentes, el orden de eliminación se

ve involucrado en la aplicación de las restricciones. Al analizar la definición de la

derivablilidad en Sqc vemos que se apela a la existencia de al menos una cadena que

conduzca de instancias del axioma al secuente buscado. Lo que hacemos al aplicar

este protocolo de prioridades también puede ser visto entonces como una forma de

seleccionar de manera óptima las derivaciones correctas, cuando estas existen.


283

Orientación Bibliográfica.

Las referencias útiles en este capítulo son las mismas que en el caso de los

capítulos 2.6 y 2.7. Por fortuna podemos añadir además toda la batería de ejercicios

de [Marraud y Navarro, 1988]. Se trata de problemas muy completos. A partir de

argumentos en el lenguaje ordinario se propone su formalización y resolución

mediante el uso de distintos cálculos. Todos ellos están resueltos y en ocasiones

comentados. Para practicar con ejercicios de cálculo en DNc y TAc, así como con la

formalización, sigue siendo una buena referencia [Falguera y Martínez Vidal, 1999].


284

3.3 derivabilidad formal

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