คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 4) ฟงกชนเบองตน

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจานวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

- โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรอง พชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรอง การเลอนแกน

คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจ ดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 4 (4/7) หวขอยอย 1. ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B 2. ฟงกชนทวถง 3. ฟงกชนหนงตอหนง จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของฟงกชนจากเซต A ไปเซต B 2. ตรวจสอบวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B หรอไม 3. ยกตวอยางฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได และนบจานวนฟงกชนทเปนไปได

ทงหมด จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจากดทงคได 4. เขาใจบทนยามของฟงกชนทวถง 5. ยกตวอยางฟงกชนทวถงจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได 6. เขาใจบทนยามของฟงกชนหนงตอหนง 7. ยกตวอยางฟงกชนหนงตอหนงจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได และนบจานวนฟงกชน

หนงตอหนงทเปนไปไดทงหมด จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจากดทงคได 8. ตรวจสอบวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไมโดยใชวธเชงพชคณตหรอ

โดยใชกราฟของฟงกชนได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. ตรวจสอบไดวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหหรอไมได 2. ยกตวอยางฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได และนบจานวนฟงกชนทเปนไปได

ทงหมด จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจากดทงคได 3. ตรวจสอบไดวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนทวถงจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดให

หรอไมได 4. ยกตวอยางฟงกชนทวถงจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5. ตรวจสอบวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไมโดยใชวธเชงพชคณตหรอโดยใชกราฟของฟงกชนได

6. ยกตวอยางฟงกชนหนงตอหนงจากเซต A ไปเซต B ทกาหนดใหได และนบจานวนฟงกชนหนงตอหนงทเปนไปไดทงหมด จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจากดทงคได

   

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

 

เนอหาในสอ  

   

   

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1. ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

กอนอนครควรทบทวนเพอตรวจสอบวานกเรยนเขาใจหรอไมวาฟงกชนเปนความสมพนธแบบหนง ทมสมบตพเศษกลาวคอสมาชกตวหนาของความสมพนธทเปนฟงกชนนนจะไมถกใชซ า และอาจทบทวนนกเรยนใหยอนนกไปถงความสมพนธจากเซต A ไปเซต B เพอบงบอกใหแนชดวาสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของคอนดบในความสมพนธจะมาจากเซตใด ดงนนในฐานะทฟงกชนเปนความสมพนธแบบหนงการกาหนดวาสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของคอนดบในฟงกชนมาจากเซตใด จงทาไดในทานองเดยวกนกบความสมพนธหากแตมเงอนไขบางอยางเพมเตม ซงไดกลาวถงในสอตอนน  

  

เมอมาถงตอนนครอาจย าอกครงวา ความสมพนธ r จากเซต A ไปเซต B มเงอนไขเพยง r

D AÌ และ

rR BÌ ในขณะทฟงกชน :f A B ตองมเงอนไขทสาคญคอ

fD A= และ

fR BÌ นอกจากนครอาจ

ใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางเซต A และเซต B และฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ดงกลาว ทงนอาจใหนกเรยนลองนกถงเซต A หรอเซต B ทเปนเซตอนนต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในตอนนไดตงขอสงเกตตางๆ เกยวกบฟงกชนจาก เซต A ไปเซต B และการนบจานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจาก เซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากด  

  

  

เมอถงตอนนครอาจใหนกเรยนชวยกนอภปรายหากเซต A หรอเซต B เปนเซตวางแลวจะมฟงกชนจากเซต A ไปเซต B หรอไม ถาหากมฟงกชนนนคอเซตใด   สาหรบการนบจานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดนน หากนกเรยนยงไมเขาใจในทแรกครอาจแบงการอธบายเปนขนๆ ดงน 

1. ให ( ) 1n A = แลวคอยๆ เพม ( )n B จาก 1 เปน 2 เปน 3 เรอยไปจนเปนจานวนนบ m ใดๆ  2. ให ( ) 1n B = แลวคอยๆ เพม ( )n A จาก 1 เปน 2 เปน 3 เรอยไปจนเปนจานวนนบ n ใดๆ  3. ให ( )n A n= และ ( )n B m= เมอ n และ m เปนจานวนนบใดๆ  

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สาหรบการนบจานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดทอธบายไวในสอนน แทจรงแลวใชหลกการคณ ซงเปนหลกการนบเบองตนทกลาววา หากงานชนใหญหนงสามารถแบงออกเปนงานยอยๆ ได k งาน โดยแตละงานยอยมจานวนวธในการทางานยอยใหสาเรจเปน

1 2 3, , , ...,

kn n n n  วธ ตามลาดบแลว จานวนวธทจะทางานชนใหญนนใหสาเรจจะเปน

1 2 3 kn n n n วธ

ซงรายละเอยดสาหรบหลกการนบเบองตนนนกเรยนจะไดศกษาในสอชดการนบและความนาจะเปนโดยอาจารยณฐกาญจนตอไป   เมอนกเรยนเขาใจเรองการนบจานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดแลวครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม  ตวอยาง 1 ถา {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = และ {1, 2, 3}B = แลวจงหาจานวนฟงกชน :f A B ทงหมดซง (1) 1f = และ (2) 2f =   วธทา จากโจทยจะไดวา

fD A= และ (1,1) และ (2,2) fÎ นนคอ

{(1,1), (2,2), (3, ), (4, ), (5, ), (6, )}f = ดงนนในการสรางฟงกชน f ตองนาสมาชกของ B มาจบคกบ 3, 4, 5 และ 6 ตามลาดบ ซงตวเลขทงสนสามารถจบคกบสมาชกของ B ไดตวละ 3 วธ ดงนนจะไดวาจานวนฟงกชน :f A B ทงหมดซง (1) 1f = และ (2) 2f = คอ 43 81= ฟงกชน  ตวอยาง 2 ถา {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = และ {1, 2, 3}B = แลวจงหาจานวนฟงกชน :f A B ทงหมดซง (1) 1f ¹ หรอ (2) 2f ¹   วธทา เนองจากจานวนฟงกชน :f A B ทงหมดซง (1) 1f ¹ หรอ (2) 2f ¹ คอ จานวนฟงกชน

:f A B ทงหมดทนา :f A B ซง (1) 1f = และ (2) 2f = ออกไป ดงนนจานวนฟงกชน :f A B ทงหมดซง (1) 1f ¹ หรอ (2) 2f ¹ คอ 63 81 648- = ฟงกชน  

  

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

แบบฝกหดเพมเตมเรองฟงกชนจากเซต A ไปเซต B  1. กาหนดให {1, 2, 3}A = และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A จานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต ( )P A มมากกวาหรอนอยกวาจานวนฟงกชนทงหมดทเปนไปไดจากเซต ( )P A ไป A อยกฟงกชน  2. สาหรบจานวนนบ n และ m ใดๆ จงแสดงวา 2n nmm £ และ 2m nmn £  3. กาหนดให {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = และ { || | 6}B x x= Î £ จงหาจานวนสมาชกของเซต

{ : |f A B x หาร ( )f x ลงตว ทก }x AÎ  4. กาหนดให {1, 2, 3, 4, 5, 6},A =   {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},B = และ

{ : | ( )F f A B x f x= Ï ทก }x AÎ จงหาจานวนสมาชกของ F   

5. กาหนดให {1, 2, 3, 4}A = และ { : | ( ) 1S f A A f x x= > - ทก }x AÎ จงหาจานวนสมาชกของ S      

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2. ฟงกชนทวถง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในชวงนไดอธบายบทนยามของฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B จากนนไดตงขอสงเกตเกยวกบจานวนสมาชกของเซต A และเซต B ทมผลตอการมอยของฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B เมอทงคเปนเซตจากด และยกตวอยางการนบจานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B เมอทงคเปนเซตจากด   

  

  

 

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

เมอมาถงตรงนครควรย าวาขอสงเกตทไดตงไวในสอนน บอกเพยงวาสาหรบเซต A และเซต B ทเปนเซตจากด ถา ( ) ( )n A n B< แลวจะไมมฟงกชน  :f A B ทเปนฟงกชนทวถง จากนนครควรชวนนกเรยนใหชวยกนอภปรายวา แลวในกรณท ( ) ( )n A n B³ จะหาฟงกชน  :f A B ทเปนฟงกชนทวถงไดอยางนอยหนงฟงกชนเสมอหรอไม ถาหาไดใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางประกอบ   ครควรใหนกเรยนชวยกนอภปรายตอในประเดนตางๆ เชน 

1. สาหรบเซต A และเซต B ทเปนเซตจากด หากมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนทวถงแลวจะเปรยบเทยบ ( )n A กบ ( )n B ไดหรอไม ถาไดผลของการเปรยบเทยบเปนอยางไร  

2. หากเซต A เปนเซตอนนตและเซต B เปนเซตจากดแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนทวถงไดหรอไม 

3. หากเซต A เปนเซตจากดและเซต B เปนเซตอนนตแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนทวถงไดหรอไม 

4. หาก A เปนเซตจากดและมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนทวถง แลวเซต B เปนเซตจากดหรอเซตอนนตหรอสรปไมได 

5. หาก B เปนเซตอนนตและมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนทวถง แลวเซต A เปนเซตจากดหรอเซตอนนตหรอสรปไมได 

เปนตน  สาหรบการนบจานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B ในกรณททงคเปนเซตจากดและ B มสมาชกเปนจานวนมากนนเปนเรองยาก แตยงสามารถอาศยแนวคดในตวอยางทยกไวในสอในการนบจานวนฟงกชนดงกลาวได อยางไรกดสาหรบนกเรยนทสนใจครอาจยกตวอยางนเพมเตม  ตวอยาง 3 ให {1, 2, 3, 4}A = และ { , , }B a b c= จงหาจานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B ทงหมดทเปนไปได  วธทา จานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B ทงหมดทเปนไปได   = จานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเปนไปได   - จานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกตวเดยว   - จานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกสองตว 

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

จากตวอยางในสอทาใหทราบวาจานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกตวเดยว 3= ฟงกชน สาหรบจานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกสองตวนน สมมตวาสมาชกสองตวดงกลาวคอ a และ b ดงนนการหาจานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกสองตว จะเหมอนกบการหาจานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต { , }a b ซงจากตวอยางในสอจะไดวามอย 14 ฟงกชน ในทานองเดยวกนจะสามารถเปลยนเรนจทมสมาชกสองตวใหเปน { , }a c และ { , }b c ดงนนจานวนฟงกชนจากเซต A ไปเซต B ทงหมดทเรนจมสมาชกสองตว 3 14 42= ´ = ฟงกชน ทาใหไดวาจานวนฟงกชนจากเซต A ไปทวถงเซต B ทงหมดทเปนไปได = 43 3 42 36- - = ฟงกชน  นอกจากนครอาจยกตวอยางเพมเตมโดยใชฟงกชนจากสอตอนทผานๆ มาเพอใหนกเรยนชวยกนพจารณาวาเปนฟงกชนจากเซตใดไปทวถงเซตใด ซงตอบไดงายๆ จากการพจารณาโดเมนและเรนจของความสมพนธนนเอง   

แบบฝกหดเพมเตมเรองฟงกชนทวถง จงระบวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปนเปนฟงกชนจากเซตใดไปทวถงเซตใด  1. 2( )f x x= เมอ 1 3x- < £  

2. ( ) | |f x x= เมอ 3 1x- £ <  

3. 2( ) 2 1f x x= -  

4. 2

( )1

xf x

x=

- 

5. 1( ) min , f x x

x

ì üï ïï ï= í ýï ïï ïî þ  

  

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3. ฟงกชนหนงตอหนง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในชวงนไดอธบายถงบทนยามของฟงกชนหนงตอหนงจากเซต A ไปเซต B จากนนไดตงขอสงเกตเกยวกบจานวนสมาชกของเซต A และเซต B ทมผลตอการมอยของฟงกชนหนงตอหนงจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากด    

  

  

เมอมาถงตรงนครควรย าวาขอสงเกตทไดตงไวในสอนน บอกเพยงวาสาหรบเซต A และเซต B ทเปนเซตจากด ถา ( ) ( )n A n B> แลวจะไมมฟงกชน  :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนง จากนนครควรชวนนกเรยนใหชวยกนอภปรายวา แลวในกรณท ( ) ( )n A n B£ จะหาฟงกชน  :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงไดอยางนอยหนงฟงกชนเสมอหรอไม ถาหาไดใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางประกอบ     

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในชวงนไดอธบายการนบจานวนฟงกชนหนงตอหนงทเปนไปไดทงหมดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากด และ ( ) ( )n A n B£   

 

สาหรบการนบจานวนฟงกชนหนงตอหนงทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดนน หากนกเรยนยงไมเขาใจในทแรกครอาจแบงการอธบายเปนขนๆ ดงน 

1. ให ( ) 1n A = แลวคอยๆ เพม ( )n B จาก 1 เปน 2 เปน 3 เรอยไปจนเปนจานวนนบ m ใดๆ 2. ให ( ) 2n A = แลวคอยๆ เพม ( )n B จาก 2 เปน 3 เปน 4 เรอยไปจนเปนจานวนนบ m ใดๆ  3. ให ( )n A n= และ ( )n B m= เมอ n และ m เปนจานวนนบใดๆ ท n m£  

 การนบจานวนฟงกชนหนงตอหนงทเปนไปไดทงหมดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดทอธบายในสอนนอาศยหลกการคณเชนเดยวกน ยงไปกวานนจานวนฟงกชนหนงตอหนงทเปนไปไดทงหมดจากเซต A ไปเซต B เมอทงคเปนเซตจากดทไดนน เทากบจานวนการจดเรยงสงของทแตกตางกน m สงโดยเลอกมาจดเรยงในแนวเสนตรงเพยง n สง ซงรายละเอยดของหลกการนบ และการจดเรยงสงของนนนกเรยนจะไดศกษาในสอเรองการนบและความนาจะเปนโดยอาจารยณฐกาญจน   ครควรใหนกเรยนชวยกนอภปรายตอในประเดนตางๆ เชน 

1. สาหรบเซต A และเซต B ทเปนเซตจากด หากมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงแลวจะเปรยบเทยบ ( )n A กบ ( )n B ไดหรอไม ถาไดผลของการเปรยบเทยบเปนอยางไร  

2. หากเซต A เปนเซตอนนตและเซต B เปนเซตจากดแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงไดหรอไม 

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3. หากเซต A เปนเซตจากดและเซต B เปนเซตอนนตแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงไดหรอไม 

4. หาก A เปนเซตจากดและมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนง แลวเซต B เปนเซตจากดหรอเซตอนนตหรอสรปไมได 

5. หาก B เปนเซตอนนตและมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนง แลวเซต A เปนเซตจากดหรอเซตอนนตหรอสรปไมได 

เปนตน  เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม  

ตวอยาง 4 กาหนดให A เปนเซตจากดใดๆ ทไมใชเซตวาง จงหาจานวนฟงกชนหนงตอหนงทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปพาวเวอรเซตของ A  

 วธทา เนองจากพาวเวอรเซตของ A มสมาชก ( )2n A ตว ซงมากกวา ( )n A เสมอ (ทาไม) ดงนนจานวนฟงกชนหนงตอหนงทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปพาวเวอรเซตของ A เทากบ

( ) ( ) ( ) ( )2 (2 1)(2 2) (2 ( ( ) 1))n A n A n A n A n A- - - - ฟงกชน   ตวอยาง 5 กาหนดให {1, 2}A = และ {1, 2, 3, ..., 10}B = จงหาจานวนสมาชกของเซต  { : |f A B f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ ม x AÎ ซง ( ) }f x x=  

 วธทา จากโจทยจะสามารถแยกพจารณาเปนสองกรณไดดงน  กรณ 1x = จะไดวา {(1,1), (2, )}f = เนองจาก f เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนน 2 จะจบคกบ 1 ดวยฟงกชน f อกไมได ทาใหมจานวนวธทจะนาตวเลขในเซต B มาจบคกบ 2 เพยง 9 วธ กรณ 2x = จะไดวา {(1, ), (2,2)}f = เนองจาก f เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนน 1 จะจบคกบ 2 ดวยฟงกชน f อกไมได ทาใหมจานวนวธทจะนาตวเลขในเซต B มาจบคกบ 1 เพยง 9 วธ อยางไรกดทงสองกรณนมการนบ {(1,1), (2,2)}f = ซากนสองครง ดงนนจานวนสมาชกของเซต  { : |f A B f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ ม x AÎ ซง ( ) }f x x= เทากบ 9 9 1 17+ - = ตว     

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในชวงนไดอธบายถงการตรวจสอบวาฟงกชนทกาหนดใหเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม โดยวธเชงพชคณตและโดยการวาดกราฟ  

  

เมอถงตอนนครอาจตงขอสงเกตใหนกเรยนเหนวาหากฟงกชนทกาหนดมาใหนนมพจนทเกยวของกบ | |x หรอ nx เมอ n เปนจานวนค ฟงกชนเหลานนมสทธจะไมเปนฟงกชนหนงตอหนงสง เนองจาก คาของ x ทเปนนอยกวาศนย หรอมากกวาศนย เมอแทนคาในพจนดงกลาวแลวจะมคามากกวาศนยทงสน ทาใหไดวาสมาชกตวหนาสองตวทตางกนมสทธจะไปจบคกบสมาชกตวหลงตวเดยวกนได ทงนตองพจารณาเงอนไขอนๆ ทเกยวกบฟงกชนทกาหนดใหอยางรอบคอบกอน ดงเชนตวอยางน  

ตวอยาง 6 จงพจารณาวาฟงกชน 3

( )| |

xf x

x= เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม 

 

วธทา สาหรบ 1

x และ 2 f

x DÎ สมมตวา 1 1

( ) ( )f x f x= นนคอ 3 3

1 2

1 2| | | |

x x

x x=  

กรณ (1

0x > และ 2

0x > ) หรอ (1

0x < และ 2

0x < ) จะไดวา 3 3

1 2

1 2| | | |

x x

x x= สงผลให

3 32 21 2

1 21 2

x xx x

x x= = = ทาให

1 2x x=  

กรณ 1

0x > และ 2

0x < จะไดวา 3 3

1 2

1 2| | | |

x x

x x= สงผลให

3 32 21 2

1 21 2

x xx x

x x= = - = - ซงเกดขอขดแยง 

กรณ 1

0x < และ 2

0x > จะไดวา 3 3

1 2

1 2| | | |

x x

x x= สงผลให

3 32 21 2

1 21 2

x xx x

x x- = - = = ซงเกดขอขดแยง 

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

จากทงสามกรณทาใหไดวาถา 1 1( ) ( )f x f x= แลว

1 2x x= แสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ซงสามารถ

พจารณาไดจากกราฟของฟงกชนนเชนกน            เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางฟงกชนจากสอตอนทผานๆ มาเพอใหนกเรยนชวยกนตรวจสอบวาเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม นอกจากนครอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม  ตวอยาง 6 จงพจารณาวาฟงกชน ( ) | 2 1 | 3f x x= - + เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม 

 วธทา เนองจาก (0, 4) fÎ และ (1, 4) fÎ แต 0 1¹ ดงนน f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ทงนอาจสงเกตไดจากกราฟ 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ซงเหนไดชดวามเสนตรงทขนานกบแกน X ตดกราฟ ( )y f x= มากกวาหนงจด ตวอยาง 8 จงพจารณาวาฟงกชน 3( )f x x= เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม 

 วธทา ให

1x และ

2 fx DÎ สมมตวา 3 3

1 1 2 2( ) ( )x f x f x x= = = จะไดวา

1 2x x= และ f เปนฟงกชนหนง

ตอหนง สาหรบฟงกชนนนกเรยนสามารถลองลงรอยทางเดนของจดเพอรางกราฟไดดงรป จากกราฟเหนไดชดวาเสนตรงทงหลายทขนานกบแกน X ตดกราฟของฟงกชนนเพยงจดเดยวเทานนแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยาง 7 จงพจารณาวาฟงกชน ( )ax b

f xcx d

+=

+ เมอ , , a b c และ d เปนจานวนจรงท c และ d ไมเปนศนย

พรอมกน จงหาเงอนไขเพมเตมของ , , a b c และ d ททาให f เปนฟงกชนหนงตอหนง

วธทา ให 1

x และ 2 f

x DÎ สมมตวา 1 21 2

1 2

( ) ( )ax b ax b

f x f xcx d cx d

+ += = =

+ + ดงนน

1 2 1 2 1 2 1 2acx x adx bcx bd acx x bcx adx bd+ + + = + + + นนคอ

1 2( ) ( )ad bc x ad bc x- = - จะไดวา

หาก 0ad bc- ¹ จะไดวา 1 2

x x= และ f เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนนเงอนไขเพมเตมคอ 0ad bc- ¹

พงสงเกตวา 0ad bc- ¹ กตอเมอ a b

c d¹

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

แบบฝกหดเพมเตมเรองฟงกชนหนงตอหนง จงพจารณาวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม พรอมทงใหเหตผลประกอบ 1. ( )f x x= - 2. ( ) 2 | |f x x= 3. 2( ) 3 1f x x=- + เมอ 0x < 4. 2( ) ( 2)f x x= - เมอ 0x ³ 5. ( )f x = จานวนเตมทนอยทสดทมากกวาหรอเทากบ x 6. ( )f x = ห.ร.ม. ของ x กบ 123456 จากกราฟของฟงกชนทกาหนดใหตอไปน จงพจารณาวาเปนกราฟของฟงกชนหนงตอหนงหรอไม หากไมเปนใหยกตวอยางเสนตรงทขนานกบแกน X และตดกราฟของฟงกชนนนๆ มากกวาหนงจด 7. 8.

9. 10.

-2 -1 0 1 2

1

2

3

4

5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-6 -4 -2 2 4 6

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สรปสาระสาคญประจาตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

  

  

ในชวงทสอกาลงสรปสาระสาคญประจาตอนนน ไดกลาวถงฟงกชน :f A B ทมสมบตทวถง และ หนงตอหนงพรอมๆ กน ฟงกชนดงกลาวนจะเรยกวา ฟงกชนสมนยหนงตอหนง (one-to-one correspondence function) ครควรนานกเรยนอภปรายวาหากเซต A และเซต B เปนเซตจากดทงคแลวจานวนสมาชกของเซตทงสองมผลตอการมอยของฟงกชนสมนยหนงตอหนงระหวางเซตทงสองหรอไม โดยอาจเรมจากเงอนไขทวาถา ( ) ( )n A n B³ แลวจะสามารถหาฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนทวถงไดเสมอ ในขณะทหาก ( ) ( )n A n B£ แลวจะสามารถหาฟงกชน

:f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงไดเสมอ เพอนาไปสขอสรปทวาถา ( ) ( )n A n B= แลวจะสามารถหาฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงไดเสมอ และในทางกลบกนสาหรบเซต A และเซต B ทเปนเซตจากด

หากม :f A B ทเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงแลวจะไดวา ( ) ( )n A n B= เชนกน เมอมาถงจดนครอาจชใหนกเรยนตระหนกวา การนบจานวนสงของตางๆ ทมอยเปนจานวนจากด ในชวตประจาวนของนกเรยนแทจรงแลวคอการสรางฟงกชนสมนยหนงตอหนงจากเซต {1, 2, 3, ..., }n ไปยงเซตของสงของทม n ชนนนเอง  

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ในกรณท A และ B เปนเซตอนนต การมอยของฟงกชนสมนยหนงตอหนงระหวางเซตทงสองนบงบอกวาเซตทงสองนม “จานวนสมาชก” เทาๆ กน ซงนกเรยนอาจดตวอยางไดจาก โรงแรมของฮลแบรท ในสอบทนาเรองเซต โดยอาจารยจณดษฐ และอาจารยรตนนท   ชวนคด สาหรบเซต A ใดๆ จะมฟงกชน :f A A ทเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงอยางนอยหนงฟงกชนหรอไม ถามจงยกตวอยางฟงกชนทมสมบตดงกลาว ถาไมมจงใหเหตผลประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

แบบฝกหดระคน สาหรบเซต A และเซต B ใดๆ จงพจารณาวาขอความในขอ 1 – 6 วาเปนจรงหรอไม พรอมทงใหเหตผลประกอบ 1. ถา A เปนเซตจากดแลวฟงกชน :f A B ใดๆ เปนเซตจากด 2. ถา A เปนเซตอนนตแลวม :f A B ทเปนเซตจากด 3. ถา A เปนเซตอนนตและ B เปนเซตจากดแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนทวถง  4. ถา A เปนเซตจากดและม :f A B ทเปนฟงกชนทวถงแลวจะไดวา B เปนเซตจากด 5. ถา A เปนเซตอนนตและ B เปนเซตจากดแลวจะม :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนง 6. ถา A เปนเซตอนนตและม :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนงแลวจะไดวา B เปนเซตอนนต   7. กาหนดให {1, 2, 3, 4, 5, 6},A =   {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}B =  และ

{ : | ( )F f B A f X X= Ï ทกเซต }X BÎ จงหาจานวนสมาชกของ F   

8. กาหนดให {1, 2, 3, 4}A = และ { : | ( ) 1S f A A f x x= £ + ทก }x AÎ จงหาจานวนสมาชกของ S  9. กาหนดให {1, 2}A = และ {1, 2, 3, ..., 10}B = จงหาจานวนสมาชกของเซต  { : |f A B f เปนฟงกชนหนงตอหนง และ ม x AÎ ซง ( ) }f x x¹  

10. กาหนดให {0, 1, 2, 3}A = และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A จงหาจานวนสมาชกของเซต { : ( ) | ( )f A P A x f x Ï และ 1 ( )x f x+ Ï ทก }x AÎ  

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

เฉลยแบบฝกหดเรองฟงกชนจากเซต A ไปเซต B  1. นอยกวาอย 6049 ฟงกชน  2. ให n และ m เปนจานวนนบใดๆ และ A และ B เปนเซตจากดท ( )n A n= และ ( )n B m= จะไดวาจานวนความสมพนธทงหมดทเปนไปไดจากเซต A ไปเซต B หรอจากเซต B ไปเซต A คอ 2nm ความสมพนธ จานวนฟงกชน :f A B ทงหมดทเปนไปไดคอ nm ฟงกชน และจานวนฟงกชน

:f B A ทงหมดทเปนไปไดคอ mn เนองจากฟงกชน :f A B เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B แบบหนง และฟงกชน :f B A เปนความสมพนธจากเซต B ไปเซต A แบบหนง จงสรปไดวา

2n nmm £ และ 2m nmn £  3. 12285 ตว 4. 15625 ตว 5. 24 ตว 

เฉลยแบบฝกหดเรองฟงกชนทวถง 1. f เปนฟงกชนจากเซต ( 1, 3]- ไปทวถง [0,9] 2. f เปนฟงกชนจากเซต [ 3,1)- ไปทวถง [0, 3]  

3. f เปนฟงกชนจากเซต 1 1, ,

2 2

æ ù é ö÷ç ú ê ÷-¥ - È ¥ç ÷ç ú ê ÷çè øû ë ไปทวถง [0, )¥  

4. f เปนฟงกชนจากเซต { 1, 1}- - ไปทวถง {0}-  

5. f เปนฟงกชนจากเซต {0}- ไปทวถง ( , 1] (0,1]-¥ - È   

เฉลยแบบฝกหดเรองฟงกชนหนงตอหนง 

1. เปน เพราะทก 1

x และ 2

x ในโดเมนของ f ถา 1 2

x x- = - แลว 1 2

x x=  

2. ไมเปน เพราะม ( 1) 2 (1)f f- = = แต 1 1- ¹  

3. เปน เพราะทก 1

x และ 2

x ในโดเมนของ f ถา 2 2

1 23 1 3 1x x- + = - + แลว

1 2| | | |x x= แตในทน

10x < และ

20x < ทาใหไดวา

1 2x x=  

4. ไมเปน เพราะม (1) 1 (3)f f= = แต 1 3¹  

5. ไมเปน เพราะม (1) 1 (0.9)f f= = แต 1 0.9¹  

6. ไมเปน เพราะม (4) 4 (20)f f= = แต 4 20¹  

7. เปน 8. เปน 

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9. ไมเปน เพราะมเสนตรงดงรปตดกราฟมากกวาหนงจด 10. ไมเปน เพราะมเสนตรงดงรปตดกราฟมากกวา   หนงจด          

  

เฉลยแบบฝกหดระคน  1. จรง เพราะ

fD A=  

2. เทจ เชน A = เนองจาก f

D A= = ทาใหฟงกชนจากเซต A = ไปเซต B เปนเซตอนนต  3. จรง สมมตวา ( )n B n= เนองจากเซต A เปนเซตอนนต ดงนนสรางฟงกชนจากสมาชก n ตวของเซต A กบสมาชกทกตวของเซต B จากนนสมาชกทเหลอของเซต A สรางฟงกชนโดยกาหนดคาฟงกชนใหเปนสมาชกตวใดตวหนงของเซต B  4. จรง เพราะการทมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนทวถง แสดงวา ( ) ( )n A n B³  

5. เทจ เชน : {1}f เนองจาก f

D = ทาใหฟงกชนระหวางเซตทงสองนไมมทางเปนฟงกชนหนงตอหนงได 6. จรง เพราะการทมฟงกชน :f A B ทเปนฟงกชนหนงตอหนง แสดงวา ( ) ( )n A n B£  

7. 120 ตว 8. 96 ตว 9. 89 ตว 10. 512 ตว  

-6 -4 -2 2 4 6

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6