3.2. dynamische verfahren dynamische verfahren sind der versuch, genannte mängel der statistischen...

3.2. Dynamische Verfahren

Dynamische Verfahren sind der Versuch, genannte Mängel der statistischen Verfahren zum Teil mit finanzmathematischen Methoden zu kompensieren.

Durchschnittliche Werte eine Periode (Ein- und Auszahlungen), repräsentativ für eine gesamte Nutzungsdauer, werden durch exakte Ein- und Auszahlungsreihen ersetzt. Dabei werden alle Perioden während der Nutzungsdauer betrachtet.

Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch Auf- bzw. Abzinsen vergleichbar gemacht (Zinseszinsrechnung).

z.B. Zahlung zum Zeitpunkt t0 = x

Zahlung in z.B. fünf Jahren t1 = y

Wenn man das auf t0 berechnet, ist x < y ! Abzinsungsfaktor

Aufgabe: Was sind heute 5.000 € wert, wenn Sie den Betrag in fünf Jahren hätten?

Beziehen Sie den Betrag auf‘s heute und berechnen Sie den Differenzbetrag!

Abzinsungsfaktor: = 1 /(1+i)n

i = Zinssatz in % = 5 %

n = Jahre = 5




n = Jahre = 5

= 0,7835 * 5.000 € = 3.917 € (1.264 € Differenz)

D.h., 5.000 € im Jahr 2014 haben heute einen Wert von 3.917 € bzw. 3.917 € heute sind in fünf Jahren 5.000 € wert.

Aufzinsungsfaktor: = (1+i)n

Ein Investition von 2.000 € ist aufzuzinsen, (6 %, 4 Jahre)




n = Jahre = 5





i = Zinssatz on % = 5 %

n = Jahre = 5

= 0,7835 * 5.000 € = 3.736 € (1.264 € Differenz)

D.h., 5.000 € im Jahr 2011 haben heute einen Wert von 3.736 € bzw. 3.736 € heute sind in fünf Jahren 5.000 € wert.



= (1+0,06)^4 * 2.000 €

= 2.524 €

In 2013 hat sich der Wert der Investition um ein Viertel erhöht.


Beispiel:

Jemand legt 100.000 über 12 Jahre auf einem Sparbuch zu 4% Zinsen p.a. an.

Wieviel liegt nach 12 Jahren auf dem Sparbuch?


Beispiel:

Jemand legt 100.000 über 12 Jahre auf einem Sparbuch zu 4% Zinsen p.a. an.

Wieviel liegt nach 12 Jahren auf dem Sparbuch?

Ende des ersten Jahres befinden sich 100.000 + 4000 = 104.000 auf dem

Sparbuch. Im zweiten Jahr werden, unter der Voraussetzung, dass die Zinsen nicht

abgehoben werden, nicht 100.000 sondern 104.000 verzinst. Die auf die 4.000

(=Zinsen des ersten Jahres) entfallenden Zinsen des zweiten Jahres werden

allgemein als sog. Zinseszinsen bezeichnet.

104.000 + 4.000 + 160 = 108.160

Im dritten Jahr bekommt der Sparer neben den Zinsen von 4.000, Zinseszinsen

von den Zinsen vom ersten Jahr (= 160), Zinseszinsen von den Zinsen vom

zweiten Jahr und Zinseszinsen von den Zinseszinsen vom zweiten Jahr.


Ein mit Auf- oder Abzinsung gewichteter Wert einer Zahlung wird Barwert dieser Zahlung genannt.

Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch den Bezug auf einen gemeinsamen Zeitpunkt finanzmathematisch vergleichbar gemacht (siehe Beiblatt oder auch VDI 2076 Blatt 1).

Im Rahmen der Investitionsrechnung ist auch der Gegenwartswert einer Reihe von Zahlungen, die über mehrere Perioden verteilt in jeweils gleicher Höhe anfallen, zu ermitteln.

-> Rentenbarwertfaktor

= ((1+i)n –1)/((1+i)n * i)

Gegeben: 2.000 € jährliche Einzahlung in einen Rentenfonds

5 % Verzinsung

Laufzeit 30 Jahre

Gesucht: Gegenwartswert

Wert nach 30 Jahren


Ein mit Auf- oder Abzinsung gewichteter Wert einer Zahlung wird Barwert dieser Zahlung genannt.

Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten werden durch den Bezug auf einen gemeinsamen Zeitpunkt finanzmathematisch vergleichbar gemacht (siehe Beiblatt oder auch VDI 2076 Blatt 1).

Im Rahmen der Investitionsrechnung ist auch der Gegenwartswert einer Reihe von Zahlungen, die über mehrere Perioden verteilt in jeweils gleicher Höhe anfallen, zu ermitteln.

-> Rentenbarwertfaktor

= ((1+i)n –1)/((1+i)n * i)

Gegeben: 2.000 € jährliche Einzahlung in einen Rentenfonds

5 % Verzinsung

Laufzeit 30 Jahre

Gesucht: Gegenwartswert

Wert nach 30 Jahren

= 15,37 * 2.000 € = 30.744 € (Gegenwartswert)

= 30.744 € * 4,32 = 132.814 € (Wert in 30 Jahren)

Der Rentenbarwertfaktor dient dazu, konstante Zahlungen (z.B. Renten) auf den Anfangszeitpunkt abzuzinsen. Man erhält dadurch den Rentenbarwert.


Wird eine zum Zeitpunkt t0 zu gleichen Teilen über eine Anzahl von Jahren (erwartete Nutzungsdauer) einschließlich Zinseszins verteilt, rechnet man mit dem

-> Annuitätenfaktor:

= ((1+i)n * i)/ ((1+i)n –1)

(gleiches Beispiel s.o.)

Gegeben: Barwert: 30.744 €

Zinssatz: 5 %

Gesucht: Gleichverteilung der Zahlung über 30 Jahre


Wird eine zum Zeitpunkt t0 zu gleichen Teilen über eine Anzahl von Jahren (erwartete Nutzungsdauer) einschließlich Zinseszins verteilt, rechnet man mit dem

-> Annuitätenfaktor:

= ((1+i)n * i)/ ((1+i)n –1)

(gleiches Beispiel s.o.)

Gegeben: Barwert: 30.744 €

Zinssatz: 5 %

Gesucht: Gleichverteilung der Zahlung über 30 Jahre

= 0,0651 * 30.744 € (Gegenwartswert s.o.) = 2.000 €


3.2.1. Dynamische Verfahren

Es gibt drei wesentliche Verfahren:

- Kapitalwertmethode

- interne Zinsfußmethode

- Annuitätenmethode

3.2.2. Kapitalwertmethode

Die Kapitalwertmethode ermittelt den Barwert einer Investition. Dieser stellt den Wert dar, den eine zukünftige Zahlung heute hat, d.h. es wird eine Abzinsung (Diskontierung) durchgeführt.


Vorgehensweise:

- Ermittlung und Prognostizierung der Anschaffungsausgaben und jährlichen Zahlungen

- Vorgabe des Zinssatzes (Marktzins oder ein intern vorgegebener Mindestzinssatz)

- Ein- bzw. Auszahlungsüberschüsse periodisieren und abzinsen

- Falls die Zurechnung der Zahlungen auf jährliche Zeitpunkte zu ungenau ist, kann auch eine kontinuierliche Diskontierung erfolgen, was allerdings den Aufwand erheblich steigert. Zuletzt sind dann die diskontierten jährlichen Barwerte aufzusummieren und der gesamte Barwert (Kapitalwert) ist dann als Entscheidungskriterium zu verwenden.

Bemerkungen:

1. Die Vorteilhaftigkeit einer Investition hängt bei diesem Investitionsrechnungs-verfahren stark von dem Ansatz des Kalkulationszinssatzes ab. Mit steigendem Kalkulationszinssatz nimmt der Kapitalwert ab.

2. Die Vergleichbarkeit mehrerer Investitionsobjekte ist nur gegeben, wenn der Anfangsinvestitionsbetrag, die Nutzungsdauer und die Zahlungsüberschüsse gleich sind. Gegebenenfalls sind Differenzbeträge bzw. Restzeiträume mit dem Kalkulationszinssatz zu überbrücken oder Ergänzungsinvestitionen in die Berechnung einzubeziehen.

3. Die Kapitalwertmethode enthält die Annahme, dass sich alle Ergänzungsinves-titionen zum Kalkulationszinssatz verzinsen.


KW = 0 Ist der Kapitalwert gleich 0, so werden die eingesetzten Mittel wieder-gewonnen und die Beträge genau zu dem festgelegten Kalkulationszinssatz verzinst.

KW > 0 Ist der Kapitalwert größer 0, so errechnet sich ein zusätzlicher Überschussüber die Mindestverzinsung des Kapitalzinssatzes hinaus. Die Investition ist somit vorteilhaft.

KW < 0 Ist der Kapitalwert kleiner 0, so wird nicht einmal die Mindestverzinsung erreicht. Die Investition ist unwirtschaftlich.

Bei einem Vergleich mehrerer Investitionsobjekte ist das Objekt mit dem höchsten Kapitalwert zu bevorzugen.

•Vorteile:

•geringer (Rechen-) Aufwand

•hohe Anschaulichkeit

•berücksichtigt als dynamisches Verfahren mehrere Zeitabschnitte und ist damit realitätsnäher als statische Verfahren

•durch Vorgabe eines Mindestzinses lässt sich ein gewisses Maß an Sicherheit einfach mit berücksichtigen

•Nachteile:

•keine Berücksichtigung von unterschiedlichen Kapitalbindungen zu Beginn und/oder während der Nutzungsdauer

•viele Prognosen zur Datenermittlung (für die Zahlungsreihe) notwendig


Beispiel: Ermittlung des Kapitalwertes einer einzelnen Investition

Investitionsausgabe (Anschaffungswert der Investition): KI = 100.000 €

Planungszeitraum: 5 Jahre, Kalkulationszinssatz: 6 %

Differenz

Ein- und Auszahlungen: E1 = 55.000 € A1 = 15.000 € 40.000 €

E2 = 50.000 € A2 = 15.000 € 35.000 €

E3 = 50.000 € A3 = 20.000 € 30.000 €

E4 = 50.000 € A4 = 20.000 € 30.000 €

E5 = 50.000 € A5 = 25.000 € 25.000 €

Restwert: R = 0 €


Berechnung: n

KW = ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n

J = 1


0 1 2 3 4 5 Jahre

-100.000 € 40.000 € 35.000 € 30.000 € 30.000 € 25.000€

Berechnung: n

KW = ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n

J = 1


0 1 2 3 4 5 Jahre

-100.000 € 40.000 € 35.000 € 30.000 € 30.000 € 25.000€

+ 37.735 €

+ 31.150 €

+ 25.188 €

+ 23.762 €

+ 18.681 €

Kapitalw. = 36.516 €

Das bedeutet, dass das eingesetzte Kapital über fünf Jahre mit mehr als 6 % Prozent verzinst wird und die Investition einen Gewinn verspricht. Bei einem Vergleich von Alternativen, die sich einander ausschließen, ist diejenige mit dem höchsten Kapitalwert die vorteilhafteste (Gleiche Lebensdauer, annähernd gleicher Kapitaleinsatz ist Voraussetzung für Vergleichbarkeit der Kapitalwerte).

Wird der Kapitalwert mit steigender Verzinsung größer oder kleiner ?

Berechnung: n

KW = ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n

J = 1


Dimension Variante A Variante B Variante C

Investition € 100.000 125.000 90.000

Nutzungsdauer a 5 5 4

Restwert € 5.000 20.000 -

Kalkulationszinssatz % 6 6 6

Auszahlung 1 €/a 13.000 11.000 12.000

Auszahlung 2 €/a 13.500 11.500 12.000

Auszahlung 3 €/a 14.500 12.500 12.000

Auszahlung 4 €/a 16.000 13.000 12.000

Auszahlung 5 €/a 16.000 14.000 -

Einzahlung €/a 43.000 44.000 42.000

Kapitalwert € ? ? ?

Beispiel: Kapitalwertberechnung zur KWK-Anlage

Welche Anlagentechnik ist zu bevorzugen ?


Beispiel: Kapitalwertberechnung zur KWK-Anlage

Dimension Variante A Variante B Variante C

Investition € 100.000 125.000 90.000

Nutzungsdauer a 5 5 4

Restwert € 5.000 20.000 -

Kalkulationszinssatz % 6 6 6

Auszahlung 1 €/a 13.000 11.000 12.000

Auszahlung 2 €/a 13.500 11.500 12.000

Auszahlung 3 €/a 14.500 12.500 12.000

Auszahlung 4 €/a 16.000 13.000 12.000

Auszahlung 5 €/a 16.000 14.000 -

Einzahlung (1-5) €/a 43.000 44.000 42.000

Kapitalwert € 23.786 23.425 13.953

3.2.3. Interne Zinsfußmethode


Setzt man in der Gleichung den Kapitalwert mit 0 an und löst die Gleichung nach dem Zinssatz i auf, lässt sich die effektive Verzinsung berechnen.

Berechnung: n

0 = ((EJ – AJ)* 1/(1+i)J) – KI + R/(1+i)n

J = 1

nach i auflösen und berechnen ! (Umstellung nach i etwas aufwendig)

Graphische Lösung ist einfach und zeigt Kurvenverlauf !

(siehe Excel-Tabelle)Da die Methode des internen Zinsfuß aus der Kapitalwertmethode abgeleitet ist, bringt sie keine fundamental neue Erkenntnisse. Interessant kann der Kurvenverlauf sein, der je nach lokalen Extremwerten bzw. Schnittpunkten zwischen den Kurven neue Aussagen zulässt.

Kalkulationszinssatz in %6 9 20

Variante A 23786 14283 -10903Variante B 23425 11409 -16701Variante C 13953 7191 -12342

Interner Zinsfuß

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Kalkulationszinssatz

Kap

italw

ert

Variante AVariante BVariante C


3.2.4. Annuitätenmethode

Zeigt die Kapitalwertmethode das Ergebnis einer Investition während der gesamten Nutzungsdauer an, wird bei der Annuitätenmethode die zu erwartende Wirtschaftlichkeit je Planungsperiode ausgewiesen.

Die Annuität ist dann : - der in Jahresbeträge umgewandelte Kapitalwert

- der Betrag, der der Kasse entnommen werden kann, nachdem die Verzinsung und die Wiedergewinnung des gebundenen Kapitals gesichert sind

Es wird die Variante gewählt, die die höchste Annuität aufweist. Sie entspricht somit einem fiktiven durchschnittlichem Gewinn in jeder Planungsperiode.

Berechnung:

A = KW * aA = Annuität

KW0 = Kapitalwert bezogen auf Zeitpunkt 0

a = Annuitätenfaktor (siehe Beiblatt, Berechnung nach

Annuitätenmethode in beiliegender Excel-Tabelle)

3.2.4. Annuitätenmethode

3.2.5. Zusammenfassung


Wichtigster Schritt bei der Beurteilung der Wirtschaftlichkeit ist die Auswahl des richtigen Zinsfußes, der unter folgenden Annahmen getroffen werden muss:

- Soll- und Habenzinsen sind gleich

- Fremdkapital hat die gleiche Qualität wie Eigenkapital

- Zinssatz ist über die Lebensdauer des Projektes konstant

Diese Annahmen sind natürlich etwas realitätsfern. Sie sind aber erforderlich, um überschaubar und mit vertretbarem Aufwand Investitionsrechnungen durchführen zu können.

Mit der Variation von Parametern (z.B. Energiekosten, Zinssatz, Preissteigerungen etc.) kann man aber eine Investition im Vorfeld relativ genau abschätzen und den Vergleich mit anderen Varianten gut gegenüberstellen.

Je höher man z.B. den Zinssatz wählt, umso sicherer ist die gewählte Investition gegenüber Unwägbarkeiten geschützt.

Je knapper die Energiekostensteigerung gewählt wird, umso weniger Spielraum hat man zukünftig bei schwankenden Marktpreisen und kann bei wirtschaftlich umstrittenen Projekten schnell in die Unwirtschaftlichkeit abgleiten.


Voraussetzungen Erforderliche Daten

Entscheidungskriterium Anwendung

KapitalwertmethodeZeitliche Verteilung von Ein- und Auszahlungen ist bekannt

KalkulationszinsAuszahlungenEinzahlungenNutzungsdauerInvestitionenRestwert

Kapitalwert > 0 bzw. höchster Kapitalwert

Erweiterungs-investition

Interner ZinsfußZeitliche Verteilung von Ein- und Auszahlungen ist bekannt


Wenn interne Rendite > als gewählter Kalkulationszinssatz, dann ist das Projekt vorteilhaft

Höchster interner Zinssatz bei vergleichbaren Projekten

Erweiterungs-investition

AnnuitätenmethodeZeitliche Verteilung von Ein- und Auszahlungen ist bekannt


Wenn A > 0, Projekt vorteilhaft

Höchste Annuität bei vergleichbaren Projekten

Ersatz- und Rationalisierungs-investition


Anwendung in der Praxis

Im Rahmen der Vorplanung werden für die zu untersuchenden alternativen Investitionsvarianten die Kosten ermittelt. Die Investitionen werden dabei als annuitätische Jahreskosten mit der jeweiligen Nutzungsdauer der Anlagenkomponenten nach VDI 2067 eingebracht.

Weitere Kosten werden als Jahreskosten in

verbrauchsgebundene Kosten + betriebsgebundene Kosten aufgeteilt.

- Brennstoffkosten - Wartung

- Hilfsenergie - Schornsteinfeger

- Kühlwasserkosten - Kundendienst

- Betriebsstoffe

- Schmierstoffe + sonstige Kosten

- Lagerkosten für Brennstoffe - Versicherung

- Verzinsung der Vorauszahlung - Abgaben

für Brennstoffeinlagerung - Steuern

- Verwaltungskosten

- Gewinn

He, kiekt maal He, kiekt maal wat Harmatwat Harmatda moogtda moogt

Der Zusammenhang

zwischen Bildung

und einer

gebratenen

Hähnchenkeule

3.2. dynamische verfahren dynamische verfahren sind der versuch, genannte mängel der statistischen...

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