30/05/2014jm dalbarade - paris dauphine1 les marchés de taux dintérêt
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 1
Les marchés de taux d’intérêt
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Le zéro-coupon
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F0 = 100
F1 = 105
i = 5 %
Le taux i = 5% est-il • un taux d’intérêt ?• un taux de rendement ?• un taux d’actualisation ?
• Prêt + Remboursement• Achat + Revente
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Trois techniques de calcul
• Les taux simples (monétaires)
• Les taux composés (actuariels)
• Les taux continus
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L’intérêt simple
I = i F t
Le flux F La durée t
Post-compté = L’intérêt est calculé sur le flux initial
F = F0
Précompté = L’intérêt est calculé sur le flux final
F = Ft
Base t = d / A
t = Exact / 360
t = Exact / 365
t = Exact / Exact
t = 30 / 360
. . .
Le nominal peut être F0 et l’intérêt est payable à l’échéance (IPE) ou Ft et l’intérêt est payable d’avance (IPA)
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Les taux monétaires (simples)
0
t
Durée t
0F
tF
Capitalisation Actualisation Rendement
Post-compté
Précompté
itFFt 10
itFF t 10
it
FF t
10
it
FFt
1
0
0
01
F
FF
ti t
t
t
F
FF
ti 01
Attention à la mesure de t !
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 6
Exercice n° 1Le marché primaire des Bons du Trésor
Quel est le montant dû, lors d’une adjudication de Bons du Trésor à 13 semaines, pour une soumission de 10 millions d’euros, au taux de 1,35 % ?
NB : Le taux pratiqué est post-compté IPA
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 7
Les taux actuariels (composés)
0
t
Durée t
0F
tF
Capitalisation Actualisation Rendement actuariel
tt iFF )1(0 t
t
i
FF
)1(0 1
1
0
tt
F
Fi
Attention à la mesure de t !
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La « norme » du taux actuariel
Exemple classique de conversion d’un taux monétaire im en un taux actuariel ia pour une durée d’application de d jours :
36500 )1(
3601
d
am iFd
iF
1360
1
365
d
ma
dii
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Exercice n° 2Le marché secondaire des Bons du Trésor
Suite de l’exercice n° 1 :
Les Bons du Trésor acheté lors de l’adjudication sont revendus au bout d’une période de 21 jours au taux de 1,05 %.
• Quelle est la valeur de cession ?
• Quel est le rendement actuariel de l’opération d’achat/vente ?
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Les taux continus (composés)
0
t
Durée t
0F
tF
Capitalisation Actualisation Rendement continu
rtt eFF 0 rt
teFF 0
0
ln1
F
F
tr t
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Interprétation du taux continu
Limite de la capitalisation d’un taux d’intérêt simple r = 5 %
Nb de périodes Formule Capital dans 1 an
1 (année) 1 + r 1,050000
2 (semestres) (1 + r/2)2 1,050625
4 (trimestres) (1 + r/4)4 1,050945
12 (mois) (1 + r/12)12 1,051162
365 (jours) (1 + r/365)365 1,051267
Infini er 1,051271
On obtient donc si i est le taux sur 1 an : er = (1+i) ou r = ln(1+i) (NB : On peut aussi intégrer l’équation différentielle dF = r F dt … !)
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Utilisations comparées
Comparez les 3 types de taux, simples, actuariels et continus, pour le calcul d’un taux global ou moyen.
- Un même taux est appliqué sur 2 périodes successives de durées t1 et t2
- On applique 2 taux différents sur 2 années successives- Un portefeuille est composé de 2 actifs de rendements annuels différents, dans les proportions 1 et 2.
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Exercice n° 3Les taux Euribor
Sur un tableur …
Convertir les taux Euribor du jour, pour les maturités de 1 à 12 mois, en taux actuariels et en taux continus.Représentations graphiques.
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Les structures de flux
Une opération de taux peut correspondre à l’acquisition d’une structure de flux.
Prix P
F1 F2
Fn
t1 t2 tn
La décomposition en n emprunts zéro-coupon, avec un même rendement actuariel i, permet d’écrire :
ntn
tt i
F
i
F
i
FP
)1()1()1( 21
21
. . . . .
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Prix et rendement actuariel
• Le prix est entraîné à la baisse par la hausse du taux• Le rendement actuariel s’améliore quand le prix est bas
ntn
tt i
F
i
F
i
FP
)1()1()1( 21
21
Prix
Rendement
P
i
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L’analogie avec l’actualisationpour une opération d’investissement
Années 0 1 2 … n
Encaissements R1 R2 … Rn
Décaissements I D1 D2 … Dn
nn
i
CF
i
CF
i
CFIVAN
111 221
Le cash-flow de l’année i est CFi = Ri - Di
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Introduction au risque de taux
Achat de 2 emprunts zéro-coupon au taux de 5 %.
Actif Prix d’émission Remboursement
Zéro-coupon 2 ansZéro-coupon 5 ans
100100
100 × 1,052 = 110,25100 × 1,055 = 127,63
Immédiatement après l’acquisition, les taux passent à 6 %.
Actif Prix de marché Remboursement
Zéro-coupon 2 ansZéro-coupon 5 ans
110,25/1,062 =98,12127,63/1.065 =95,37
110,25127,63
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La duration d’un zéro-coupon
La variation que subit le prix de marché d’un zéro-coupon lorsque le taux d’intérêt varie est d’autant plus forte que sa durée est longue.
Ainsi, pour un zéro-coupon,
Duration = Durée
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 19
Duration d’une structure de flux
P
F1 F2
Fn
t1 t2 tn
La duration d’une structure de flux est la moyenne des durées pondérées par les flux actualisés.
n
n
tn
tt
tn
ntt
i
F
i
F
i
Fi
Ft
i
Ft
i
Ft
D
)1()1()1(
)1()1()1(
21
21
21
22
11
D
. . . . .
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Exemple de duration
100
10
1
32
32
1,1
110
1,1
10
1,1
101,1
1103
1,1
102
1,1
101
D
D
0
10
2
110
3
i = 10 %
73,2100
64,82326,8209,91
D
D
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La sensibilité
La sensibilité mesure le rapport entre la variation du prix, en pourcentage, et la variation du taux d’intérêt .
i
P
PiPP
S
1
iSD 1
Une sensibilité égale à 5 signifie que le prix baisse de 0,05 % quant le taux monte d’un point de base (0,01 %).
On démontre que sensibilité et duration sont reliés par :
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La date d’immunisation
P
F1 F2
Fn
t1 t2 tn
La duration peut être comprise comme la date à laquelle la valeur de la structure est insensible à la variation des taux
Si les taux montent :
D
. . . . .
Le gain réalisé sur la capitalisation des flux reçus jusqu'à la date D,
compense
La perte réalisée par l’actualisation des flux à la date D.
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 23
Anticipation de hausse des taux d’intérêt
Un investisseur anticipe une hausse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement).
Comment doit-il placer ses ressources ?
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11/04/23 JM Dalbarade - Paris Dauphine 24
Anticipation de baisse des taux d’intérêt
Un investisseur anticipe une baisse régulière des taux d’intérêt jusqu’à la date D (durée du placement).
Comment doit-il placer ses ressources ?
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Le marché obligataire
• Les obligations à taux fixe– Amortissement in fine– Zéro-coupon, rente perpétuelle et prêt
amortissable
• Les obligations à taux variable– Références pré et post-déterminées
• Les clauses particulières– Indexation, primes, obligations assimilables
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Taux fixe coupon annuel
En l’absence de prime à l’émission et de prime au remboursement, le rendement actuariel est égal au taux du coupon (à démontrer…).
Après l’émission, le prix se décompose en prix pied de coupon et coupon couru.
100
4
1
0
4
2
104
3
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Exercice sur Excel
Identifier sur Internet les caractéristiques d’un emprunt d’état français (OAT) et prélevez son cours et coupon couru.
Calculer le taux de rendement actuariel, la duration, la sensibilité et la convexité.
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Le prêt amortissable à taux fixe
• A chaque période, une part du capital emprunté est remboursée
• L’intérêt est calculé sur le capital restant dû (encours ou KRD)
• Le total remboursé est la somme des intérêts payés et du capital « amorti ». Il peut être constant sur l’ensemble de la période de remboursement.
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11/04/23 JM Dalbarade 29
Exercice
Un emprunt de 66 200 $ est remboursé en 3 annuités constantes de 26 620 $ pendant les 3 années suivantes.
1.En construisant le plan d’amortissement du prêt, vérifiez que le taux d’intérêt est de 10 % ?
2.Quel est le taux rendement actuariel du prêt ?
3.Peut-on décomposer le prêt en 3 zéro-coupons ?
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11/04/23 JM Dalbarade 30
L’annuité de remboursement d’un prêt amortissable
ni
A
i
A
i
AK
111 2
11
1
1
11
1 niii
AK
i
ii
RK
n
11
1
1
11
1
nii
AK
1
11
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La rente perpétuelle
Le capital n’est jamais remboursé…
ni
A
i
A
i
AK
111 2
i
AK
![Page 32: 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine1 Les marchés de taux dintérêt](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062622/551d9da7497959293b8d8bac/html5/thumbnails/32.jpg)
Les emprunts à taux variable
Références prédéterminées : Les taux sont prélevés avant le début de la période d'application (exemple : Euribor).
Références post-déterminées : Les taux sont prélevés à la fin de la période d'application (exemple : TAM).
Montants d'intérêt variables
Achat de l'emprunt
![Page 33: 30/05/2014JM Dalbarade - Paris Dauphine1 Les marchés de taux dintérêt](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062622/551d9da7497959293b8d8bac/html5/thumbnails/33.jpg)
Les indices de taux d'intérêt
• Euribor ( ou Libor ) Taux monétaires de 1 à 12 mois
• Eonia( TJJ ) Taux monétaire au jour le jour
• TMM (T4M)Moyenne arithmétique des EONIA d'un mois
• TAMComposition de 12 TMM consécutifs
• TEC 10Taux actuariel d'une OAT de 10 ans
(obtenu par interpolation)
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Les coupons des empruntsà taux variable
A l'indice prélevé s'ajoute une marge commerciale soit additive Exemple : Euribor + 0,5 % soit multiplicative Exemple : 1,1 × TAM soit mixte Exemple : 0,9 × TAM + 0,5 %
Des seuils plafond et plancher peuvent être définis.
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Le prix et le coupon des emprunts
Le coupon… Le prix…
Emprunt à taux fixe …reste fixe …s’adapte
Emprunt à taux variable …s’adapte …reste fixe
Quand les taux d’intérêt changent …
… approximativement
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Le risque associé à unemprunt à taux variable
• Le risque "instantané" est très faible, limité à l'influence du premier coupon à recevoir.
• Le risque relatif à un horizon futur est croissant avec cette date d'évaluation.
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La marge actuarielle
• Cristallisation
• Tr = Rendement actuariel après cristallisation
• Tc = Taux de cristallisation
• Marge actuarielle Ma = Tr - Tc
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La courbe des taux d'intérêt
La courbe des taux d'intérêt est la représentation graphique des taux en fonction des durées sur lesquelles ils s'appliquent.
• Pour que les comparaisons selon ces durées soient pertinentes, il convient d'utiliser des taux composés, par exemple des taux actuariels.• Pour que les durées d'application soient clairement définies, on ne retient que des opérations à deux flux, c'est-à-dire des emprunts zéro-coupon.
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Actualisation sur la courbe des taux
P
F1 F2
Fn
t1 t2 tn
La décomposition en emprunts zéro-coupon d'une structure de flux implique l'usage de taux d'intérêt différents prélevés sur la courbe des taux zéro-coupon.
ntn
ntt i
F
i
F
i
FP
)1()1()1( 212
2
1
1
. . . . .
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Exercice
A partir des taux zéro-coupon ci-dessous,
Durées 1 an 2 ans 3 ans
Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 %
quel est le taux de référence (hors marge commerciale) d’un emprunt obligataire à taux fixe, coupon annuel, de durée 3 ans, émis et remboursé au pair ?
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Calcul d'un taux à terme (1)
Hypothèse :
Taux zéro-coupon à 1an = 4 %
Taux zéro-coupon à 2 an = 5 %
Quel est le taux à terme à 1an dans 1an ?
0 1
1
1 + i ?
2Taux à terme ?
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Calcul d'un taux à terme (2)
Opération de terme contre terme :
• Le montant emprunté (sur 2 ans) est de 1/1,04• Le montant produit par le placement sur 1an est alors
de 1• Le montant remboursé 1 an plus tard est donc
( 1/1,04 ) × 1,052 = 1,0601Le taux à terme est donc de 6,01 % .
0
1
1 + i
Placement à 4 %
Emprunt à 5 %
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La théorie des anticipations
• Si le taux anticipé est inférieur à 6 % Emprunt à 4 % sur 1 an
+ Placement à 5 % sur 2ans• Si le taux anticipé est supérieur à 6 %
Emprunt à 5 % sur 2 ans + Placement à 4 % sur 1an
Le taux à terme, déduit de la courbe des taux, est le taux anticipé par le marché ( LUTZ ) .
0 1 2 4 % 6 %
5 %
Le refinancement au taux du 1 an (1iercas) ou le replacement à 1an (2ème cas) assure un gain spéculatif.
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Exemple d’une couverture à terme de taux d’intérêt
Une entreprise doit emprunter dans 3 mois un montant de10 000 000 € pour une durée de 6 mois.
6 mois
Aujourd’hui3 mois Taux d’intérêt ?
10 000 000 €
10 000 000 €
+ Intérêt ?
Comment peut-elle fixer dès aujourd’hui le taux d’intérêt futur ?
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Le terme contre terme
L’entreprise qui souhaite emprunter dans 3 mois 10 000 000 €pour une durée de 6 mois peut :• Emprunter immédiatement sur une durée de 9 mois.• Placer temporairement sur une durée de 3 mois.
Placement 3 mois
Emprunt sur 9 mois
6 mois
L'entreprise fixe ainsi le montant reçu dans 3 mois et le montant remboursé 6 mois plus tard, c'est-à-dire son taux à terme.
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Le FRA(Forward Rate Agreement)
• Date de conclusion …………………………......• Acheteur et vendeur …………………………….• Montant…………………………………………...• Période d’application ……………………….......• Taux fixe ………………………………………....• Taux variable ………………………………........• Date de détermination du taux variable ……...
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Le FRA (questions)
Comment est calculé le différentiel ? Comment est déterminé le taux fixe ? Comment couvrir un FRA ?
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Exercice
Durée 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans
Taux zéro 0,5 % 1 % 1,5 % 2 % 2,5 %
A partir des taux zéro-coupon ci-dessous,
calculer tous les taux à terme calculables sans interpolation, ni extrapolation… Mais au fait, combien y-a-t’il de taux à terme calculables ?
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Interprétation de la courbe des taux
Selon la théorie des anticipations :• Une courbe des taux normale (croissante)
correspond à une anticipation de hausse des taux .
• Une courbe des taux inversée (décroissante) correspond à une anticipation de baisse des taux .