ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN

1)Cho x, y, z và . Chưng minh:

GIẢI

Ta có: VT + 3 =

0.25

0.25

0.25

(đpcm)

( Dâu băng xay ra khi và chi khi x = y = z = 1)

2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

GIẢI

Ta có nên

Tương tự ta có

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

vậy Amax =

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức .

G

Đặt . Ta có:

Và . ĐK: .

Suy ra : .

Do đó: ,

và .

KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên đoạn )

4)Với mọi số thực dương thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: .

G

Áp dụng BĐT Cô-si : (1). Dâu băng xãy ra khi .

Tương tự: (2) và (3).

Mà: (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: .

. KL: GTNN của P là .

5. Chứng minh với mọi số dương .

G

Ta có: (1)

Tương tự: (2), (3).

Cộng (1), (2), (3), ta có:

6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . CMR:

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

+Ta có : ; ;

+ Lại có :

cộng các BĐT này ta được đpcm.

7) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIẢI

Ta có: P + 3 =

Để PMin khi a = b = c = 1

8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :

GIẢI

.Ta có :VT =

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

Từ đó tacó VT

Dâu đẳng thưc xay ra khi a=b=c=1/3

9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z .Chứng minh rằng: + + 45 xyz.

GIẢIBất đẳng thức

+ +

VT .

Đặt t =

ta có do đó t 1

Điều kiện . 0 < t 1. XÐ hàm số f(t)= + =45

Dâu băng xay ra khi: t=1 hay x=1; y= ; z= .

10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng

GIẢI

Để ý rằng ;

và tương tự ta cũng có

Vì vậy ta có:

11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

GIẢI

Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: .

Đặt .

Vế trái viết lại:

Ta có: .

Tương tự:

Do đó: .

Tưc là:

12. Cho hai số dương thỏa mãn: .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

GIẢICho hai số dương thỏa mãn: .

Thay được:

băng khi Vậy Min P =

Lưu ý:

Có thể thay sau đó tìm giá trị bé nhât của hàm số

13. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIẢI

Trước hết ta có: (biến đổi tương đương)

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

Đặt x + y + z = a. Khi đó

(với t = , )

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có

Lập bang biến thiên

GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0

14. Chứng minh: với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn .

GIẢI

Ta có: .

Suy ra :

15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .

GIẢI

TXĐ: ; .

y’= 0 ; y(1) = 0 vì là HSĐB

Khi 0 < x < 1 ; khi x > 1 . KL: miny = 0 .16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng

GIẢI

Để ý răng ;

và tương tự ta cũng có

Vì vậy ta có:

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

vv

17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải

2/. Ta có:

Vậy GTNN là Pmin = khi x = y = z

18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIẢI

Theo cô – si có . Tương tự …

Đặt

Vậy Dâu băng xay ra khi

19. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIẢI

Trước hết ta có:

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

Đặt x + y + z = a. Khi đó

(với t = , )

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có

Lập bang biến thiên

GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0

20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

GIẢI

Ta có : (*)

Nhận thây : x2 + y2 – xy xy x, y

Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x, y > 0

Tương tự, ta có : y, z > 0

x, z > 0

Cộng từng vế ba bât đẳng thưc vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.

21. Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trước hết ta có: (biến đổi tương đương)

Đặt x + y + z = a. Khi đó

(với t = , )

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t . Có

Lập bang biến thiên

GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:

* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 a2b + ab2 (*)Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0 (a + b)(a - b)2 0 đúng Đẳng thưc xẩy ra khi a = b.* Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) b3 + c3 bc(b + c) c3 + a3 ca(c + a) 2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:

+ + 3 = (2)

* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cmĐẳng thưc xẩy ra khi a = b = c. 23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức: .

.

Vì , Áp dụng BĐT Côsi ta có: =

Dâu băng xay ra . Vậy MaxP =

24. Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có

. Do 3t - 2 > 0 và nên ta có

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

Xét hàm số f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.

t2 4 +

f’(t) - 0 +

f(t) + +

8

Do đó min P = = f(4) = 8 đạt được khi

25.Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt khi đó

Đặt

Với

Khi đó ;

Vậy khi . Hay khi .

Vậy :

26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

G. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy= 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y 0 và x + y = 1 nên 0 t ¼ Khi đó S = 16t2 – 2t + 12

S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t =

S(0) = 12; S(¼) = ; S ( ) = . Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :

Max S = khi x = y =

Min S = khi hay

27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

.

Giải:

Từ gia thiết ta có:

x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz

Đặt a = x + y và b = x + z

Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz

Mặt khác

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2

=

=

=

Ta lại có:

3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)

3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phai chưng minh

28. Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.net

Ta có: P + 3 =

Để PMin khi a = b = c = 1

29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).

Ta có nên

Tương tự ta có

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

vậy Amax =

30. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab ab

a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

ĐẶNG VIỆT ANH-BR http://thay-do.netT¬ng tù ta cã

,

Céng theo vÕ ta cã

= + +

=

DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1