(3) transformasi matriks · pdf file3. satu-satunya elemen ... •harga determinan suatu...
TRANSCRIPT
![Page 2: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/2.jpg)
Definisi : BEBAS LINIER
k
vvv ,,21
02211 kkvvv
021
k
dikatakan bebas linier jika persamaan
Suatu himpunan vektor-vektor
mengakibatkan skalar-skalar
![Page 3: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi : TAK BEBAS LINIER
Suatu himpunan vektor-vektor
m
vvv ,,21
02211
mm
vvv
m ,,,
21
dikatakan tak bebas linier jika terdapat
skalar-skalar
yang tidak semuanya nol sedemikian
sehingga dipenuhi
![Page 4: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/4.jpg)
Rank Baris suatu matriks dimaksud
banyak maksimum vektor-vektor baris
yang bebas linear.
Rank Kolom suatu matriks dimaksud
banyak maksimum vektor-vektor
kolom yang bebas linear.
Di dalam setiap matriks maka rank-
baris=rank-kolom dan disebut rank
dari matriks itu.
![Page 5: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Suatu matriks A mempunyai rank
r[r(A)], jika dapat ditemukan r vektor
baris (kolom) yang bebas linier,
sedangkan setiap r+1 vektor baris
(kolom) tak bebas linier.
2. Suatu matriks A mempunyai rank r,
jika dapat ditemukan minor berderajat
r yang tidak nol, sedangkan setiap
minor berderajat r+1 sama dengan nol.
Definisi : RANK MATRIKS
![Page 6: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/6.jpg)
Matriks Kanonik atau matriks eselon
baris terreduksi dgn rank r adalah
matriks dgn sifat :
1. Elemen pada setiap r baris pertama tidaksemuanya nol, sedangkan elemen pada barisyang lain, jika ada semuanya nol
2. Dalam baris ke-i(i=1,2,3,… r), elemen taknol yang pertama adalah 1.(sebut kolom yangmemuatnya dengan kolom ke-ji )
3. Satu-satunya elemen tak nol pd kolom ke-jiadalah 1.
![Page 7: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/7.jpg)
Penentuan rank matriks, dapat
menggunakan transformasi elementer
yaitu merubah suatu matriks menjadi
matriks kanonik/matriks eselon baris
terreduksi
000
010
001
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
![Page 8: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/8.jpg)
Dalam mengubah suatu matriks A ke
matriks kanonik dapat digunakan :
1. Jika (elemen baris ke-i kolom
ke ji) → memperoleh
elemen 1
011
ja
)(11
11 ja
A
2. Jika tetapi 011
ja 0
1
pj
a pA1
3. Untuk mendapatkan elemen nol
pada kolom ke ji )(kAij
![Page 9: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/9.jpg)
Cari rank matriks berikut ini
7621
5342
4121
A
Jawab
7621
5342
4121
)2(21A
7621
3500
4121
CONTOH
![Page 10: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/10.jpg)
)1(31A
7621
3500
4121
3500
3500
4121
)1(12A
3500
100
4121
53
3500
100
021
53
1517
0000
100
021
53
1517
)(51
2A
)5(32A
2A rank
kanonikBentuk
![Page 11: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/11.jpg)
Suatu matriks B disebut ekuivalen
dengan matriks A [BA], jika
matriks B dapat diperoleh dari
matriks A dengan menggunakan
transformasi elementer pada
matriks A tersebut.
D
E
F
I
N
I
S
I
Matriks Ekuivalen
![Page 12: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/12.jpg)
Diberikan
0441
6312
3201
A
Dilakukan transformasi elementer baris pada
matriks A tersebut, yaitu A31(3) diperoleh
BA
91044
6312
3201
)3(31
Matriks B ekuivalen baris dgn matriks A
CONTOH
![Page 13: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/13.jpg)
Dengan menggunakan transformasi
elementer, setiap matriks tak nol A
[r(A)=r] bisa dibawa kebentuk
normal N. [transformasi elementer baris
dan kolom dapat digunakan secara
bersamaan]
D
E
F
I
N
I
S
I
Bentuk Normal Matriks
0atau 0atau
00
0atau
r
r
r
r
II
II
![Page 14: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/14.jpg)
Diberikan
0441
6312
3201
A
Dilakukan transformasi elementer pada
matriks A tersebut, yaitu B21(-2) dan B31(-1)
CONTOH
3240
0110
3201
![Page 15: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/15.jpg)
)4(),1(322 BB
)( 21
3B
3240
0110
3201
3200
0110
3201
23100
0110
3201 )( 23
43K
![Page 16: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/16.jpg)
0100
0110
0201
0100
0010
0001
)2(),1(1323 BB
03
I
![Page 17: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/17.jpg)
Sebuah matriks nxn dinamakan
matriks elementer jika matriks
tersebut dapat diperoleh dari
matriks identitas (satuan) [In]
dengan melakukan sebuah
transformasi elementer tunggal.
D
E
F
I
N
I
S
I
Matriks Elementer
![Page 18: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/18.jpg)
Iij Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I, dengan menukarkan baris/kolomke i dengan baris/kolom ke j.
JENIS Matriks Elementer
Iij(k) Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I dengan (baris ke i) + k (baris kej) atau (kolom ke j) + k (kolom ke i)
Ii(k) Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I, dengan menggandakanbaris/kolom ke i dengan skalar k≠0.
![Page 19: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/19.jpg)
0010
0100
1000
0001
1000
0100
0010
0001
a.244
II
100
010
301
)3(
100
010
001
c.133
II
30
01)3(
10
01 b.
22II
CONTOH
![Page 20: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/20.jpg)
1. Jika matriks B diperoleh dari matriks
A dengan melakukan transformasi
elementer baris H maka B=HA. H
matriks elementer.
D
E
F
I
N
I
S
I
Matriks Hasil Transformasi
2. Jika matriks E diperoleh dari matriks
A dengan melakukan transformasi
elementer kolom K maka E=AK. K
matriks elementer.
![Page 21: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/21.jpg)
BA
91044
6312
3201
0441
6312
3201
CONTOH-baris
maka
AHB
0441
6312
3201
103
010
001
91044
6312
3201
)3(31
![Page 22: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/22.jpg)
EA
0414
6321
3210
0441
6312
3201
CONTOH-kolom
maka
12
1000
0100
0001
0010
0441
6312
3201
0414
6321
3210
K
AE
![Page 23: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/23.jpg)
1• Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan
hanya jika baris-barisnya tak bebas linier
2• Transformasi elementer tidak merubah rank suatu matriks
3
• Matriks-matriks yang ekuivalen mempunyai rank yangsama
4
• Setiap matriks tak nol ekuivalen baris dengan matrikskanonik/matriks eselon baris tereduksi
5• Jika A Matriks elementer maka r(A)0
6• Rank matriks nol sama dengan nol [r(O)=0]
SIFAT-SIFAT
![Page 24: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/24.jpg)
singular & non singular
Suatu matriks bujursangkar
Anxn disebut singular jika
r(A)<n
D
E
F
I
N
I
S
I
Suatu matriks bujursangkar
Anxn disebut non-singular jika
r(A)=n yaitu det(A)0.
![Page 25: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/25.jpg)
SIFAT
Jika A matriks elementer maka Anon-singular
Bukti
Anxn matriks elementer maka AI,
berarti padahal det(I)=1 jadi
det(A)0 atau A non-singular■
![Page 26: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/26.jpg)
SIFAT
Khusus Anxn non-singular maka AI,
A dan In mempunyai ordo dan rank
yang sama.
Matriks AB jika dan hanya jikaada matriks non-singular P danQ sedemikian sehingga B=PAQ
![Page 27: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/27.jpg)
Bukti ()
AB dengan
r2112sKKKA HHHB
Karena setiap matriks elementer non-
singular, maka matriks
QKKKdan PHHHr2112s
Sehingga B=PAQ■
![Page 28: (3) transformasi matriks · PDF file3. Satu-satunya elemen ... •Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier 2 ... n mempunyai](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051304/5a72d6f47f8b9ac0538e1cfd/html5/thumbnails/28.jpg)
Bukti ()
B=PAQ, P dan Q non-singular,
maka det(P)0 dan det(Q)0.
Ini berarti PImxm dan QInxn.
Akibatnya A→ PA→PAQ=B,
melalui transformasi elementer.
Jadi AB■